2024-2025学年下学期高一数学第七章B卷

第26页（共26页）第七章B卷一．选择题（共8小题）1．已知a，b∈R，a+3i＝﹣1+bi（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝﹣1，b＝32．设z1，z2为复数，且z1z2≠0，则下列结论不正确的是（）A．|z1z2|＝|z1||z2| B．z1C．若|z1|＝|z2|，则z1D．z3．已知i为虚数单位，复数z满足(z-1)(z+1)=3+4iA．5 B．5 C．2 D．24．已知复数z满足（2﹣i）z＝3+i，则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i5．已知复数z满足：（2+i）z＝﹣1，（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若z1=32+12i（i为虚数单位），向量OA→A．z2的虚部为32B．z2对应的点在第二象限C．|zD．|7．设△ABC的三个顶点为复平面上的三点z1，z2，z3，满足z1z2z3＝0，z1+z2+z3＝8+2i，z1z2+z2z3+z1z3＝15+10i，则△ABC内心的复数坐标z的虚部所在区间是（）A．（0.5，1） B．（0，0.5） C．（1，2） D．前三个选项都不对8．已知f(①f（z）＝0存在实数解②f（z）＝0共有20个不同的复数解③f（z）＝0复数解的模长都等于1④f（z）＝0存在模长大于1的复数解A．0 B．1 C．2 D．3二．多选题（共4小题）（多选）9．设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有（）A．|z1|+|z2|＝|z1+z2| B．z1C．若|z1|＝|z2|，则z1D．若z12＜0（多选）10．已知z∈C，z是z的共轭复数，则（）A．若z=1+3iB．若z为纯虚数，则z2＜0 C．若z﹣（2+i）＞0，则z＞2+i D．若M＝{z||z+3i|≤3}，则集合M所构成区域的面积为9π（多选）11．设z，z1，z2为复数，z1≠z2，下列命题中正确的是（）A．若zz1＝zz2，则z＝0 B．若z1=z2，则|zz1|＝|C．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0 D．|z1+z2|≤|z1|+|z2|（多选）12．已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是（）A．若复数z满足z2∈R，且z2＞0，则z∈R B．若复数z满足1z∈R，则zC．若z1+z2∈R，则z1z2∈R D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1三．填空题（共5小题）13．已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①|z1z2|=2；②|z1z2|＝2，则z1＝，z2＝．（写出满足条件的一组z14．i为虚数单位，若复数z1满足|z1﹣1+i|≤2，复数z2满足|z2|＝|z2+1﹣i|，则|z1﹣z2|的最小值为15．已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为．16．已知z1，z2是复数，则下列正确结论的序号是．①若|z1﹣z2|＝0，则z1=z2；②若③若|z1|＝|z2|，则z1⋅z1=z2⋅z2；④若|z17．已知zn=(1+i)(1+i2)⋯(1+in)(n∈N*四．解答题（共5小题）18．对任意一个非零复数z，定义集合Mz（1）设a是方程x+1x=（2）若复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz．19．已知复数z1＝1+i，z2＝x+yi，其中x，y为非零实数．（1）若z1•z2是实数，求xy（2）若z2=z1，复数20．在复平面内，点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i（其中i是虚数单位），设向量BA→对应的复数为z（1）求复数z；（2）求|z（3）若z1＝m+i，且z1z是纯虚数，求实数21．设复数z1和z2满足关系式z1z2+A（1）z1（2）|z（3）z122．（1）在复数范围内解方程x3＝1；（2）设z1∈C，z2∈C且z2≠0，证明：|z（3）设复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2

第七章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案DCBBCCAC一．选择题（共8小题）1．已知a，b∈R，a+3i＝﹣1+bi（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝﹣1，b＝3【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】借助复数相等求解作答．【解答】解：a，b∈R，a+3i＝﹣1+bi，所以a＝﹣1，b＝3．故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．2．设z1，z2为复数，且z1z2≠0，则下列结论不正确的是（）A．|z1z2|＝|z1||z2| B．z1C．若|z1|＝|z2|，则z1D．z【考点】复数的模；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），∵z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，∴|z且|z则|z1z2|＝|z1||z2|，故A正确；∵z1+z2＝（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i，z1=a∴z1+z则z1+z由|z1|＝|z2|，不一定有z12≠z22，例如z1＝i，z2＝1，满足|z1|＝|但z12=-1，z∵z1•z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，∴z1⋅z∴z1⋅z故选：C．【点评】本题考查复数模的性质，考查运算求解能力，是中档题．3．已知i为虚数单位，复数z满足(z-1)(z+1)=3+4iA．5 B．5 C．2 D．2【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），则z=a-bi，利用复数的乘法和复数相等可求得a、【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），i为虚数单位，复数z满足(z所以(z所以a2+b2-1=32b=4，可得a=0b=2，所以因此|z故选：B．【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于中档题．4．已知复数z满足（2﹣i）z＝3+i，则z的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数的除法运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】先由等式（2﹣i）z＝3+i，反解出z，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可．【解答】解：由已知（2﹣i）z＝3+i，得z=所以z的虚部为1．故选：B．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．5．已知复数z满足：（2+i）z＝﹣1，（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】由复数的除法求出z，可得z，再由复数的几何意义可得答案．【解答】解：由（2+i）z＝﹣1，得z=则z=-∴z的共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为(-故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若z1=32+12i（i为虚数单位），向量OA→A．z2的虚部为32B．z2对应的点在第二象限C．|zD．|【考点】复数对应复平面中的点；复数的模．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】根据复数的概念，几何意义，模长公式，除法运算一一判定选项即可．【解答】解：由z1=32+12i可知所以B(-1对于选项A，z2的其虚部为3，故选项A错误；对于选项B，z2=-1-3i，其对应的点为（﹣1，对于选项C，z1所以|z1+对于选项D，|z2z1|＝|-1+3i故选：C．【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了复数的运算，属于中档题．7．设△ABC的三个顶点为复平面上的三点z1，z2，z3，满足z1z2z3＝0，z1+z2+z3＝8+2i，z1z2+z2z3+z1z3＝15+10i，则△ABC内心的复数坐标z的虚部所在区间是（）A．（0.5，1） B．（0，0.5） C．（1，2） D．前三个选项都不对【考点】复数对应复平面中的点；复数的加、减运算及其几何意义；复数的乘法及乘方运算；三角形五心．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】由对称性及z1z2z3＝0，不妨设z3＝0，则z1+z2＝8+2i，z1z2＝15+10i，根据韦达定理知z1，z2是方程z2﹣（8+2i）z+15+10i＝0，可得方程两根为5、3+2i，不妨设z1＝5，z2＝3+2i，则△ABC在复平面上的顶点坐标为A（5，0），B（3，2），C（0，0），设△ABC的内心为I（x1，y1），根据三角形内心的性质aIA【解答】解：由对称性及z1z2z3＝0，不妨设z3＝0，则z1+z2＝8+2i，z1z2＝15+10i．由韦达定理知z1，z2是方程z2﹣（8+2i）z+15+10i＝0的两个根，则方程z2﹣（8+2i）z+15+10i＝0的两根为5、3+2i．不妨设z1＝5，z2＝3+2i，则△ABC在复平面上的顶点坐标为A（5，0），B（3，2），C（0，0），则a=设三角形内心为I（x1，y1），由内心的性质aIA13(5-所以-13解得y1又10=5+2+3＜所以y1∈（0.5，1）．故选：A．【点评】本题主要考查了复数的几何意义及三角形的内心性质，解题的关键是要熟悉三角形内心性质aIA8．已知f(①f（z）＝0存在实数解②f（z）＝0共有20个不同的复数解③f（z）＝0复数解的模长都等于1④f（z）＝0存在模长大于1的复数解A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数的混合运算．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】设z5+z﹣5＝t，利用换元法可求得z5=t±4-i2⋅i2，从而可判断f（z【解答】解：设z5+z﹣5＝t，则t2＝z10+z﹣10+2，∴z10+z﹣10＝t2﹣2，∴z10+z﹣10+12（z5+z﹣5）=∴f（z）＝0，∴t2解得t=-这两个t的取值都在区间（﹣2，2）内，∴z5+z﹣5＝t有两解z5=t∴f（z）＝0有20个不同的复数解，当t=-1±334时，由于|z|5＝|t∴f（z）＝0的复数解的模长都等于1，∴②③正确．故选：C．【点评】本题考查复数的运算法则、换元法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有（）A．|z1|+|z2|＝|z1+z2| B．z1C．若|z1|＝|z2|，则z1D．若z12＜0【考点】共轭复数；复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BD【分析】由z1＝1+i，z2＝1﹣i判断A，由z1＝1，z2＝i判断C；令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D．【解答】解：对于A：对于z1＝1+i，z2＝1﹣i，则|z1|+|z2|=22≠|z1+对于B，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，则z1=a所以z1+z对于C：对于z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然z12≠对于D，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，z1则a2-b2＜0ab=0故选：BD．【点评】本题考查复数的运算，共轭复数，复数的模的求法，属于中档题．（多选）10．已知z∈C，z是z的共轭复数，则（）A．若z=1+3iB．若z为纯虚数，则z2＜0 C．若z﹣（2+i）＞0，则z＞2+i D．若M＝{z||z+3i|≤3}，则集合M所构成区域的面积为9π【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的意义计算判断B；利用复数的意义判断C；利用复数模的几何意义计算判断D．【解答】解：对于A，z=(1+3i)(1+3i对于B，z为纯虚数，令z＝bi，b∈R，b≠0，则z2＝﹣b2＜0，B正确；对于C，不全是实数的两个复数不能比较大小，C错误；对于D，集合M所构成区域是复平面内以（0，﹣3）为圆心，3为半径的圆及内部，因此该区域面积为9π，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数模长的计算，复数的几何意义，属于中档题．（多选）11．设z，z1，z2为复数，z1≠z2，下列命题中正确的是（）A．若zz1＝zz2，则z＝0 B．若z1=z2，则|zz1|＝|C．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0 D．|z1+z2|≤|z1|+|z2|【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，化成z（z1﹣z2）＝0，结合复数相等的知识即可求解；对于B，利用复数代数形式求解即可；对于C，举出反例即可；对于D，利用复数的向量表示作图即可判断．【解答】解：设z＝a1+b1i，z1＝a2+b2i，z3＝a3+b3i（其中a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R），若zz1＝zz2，则z（z1﹣z2）＝0，∵z1≠z2，∴z＝0，A正确；对于B，因为z1=z2，所以zz1＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+a2bzz|z同理：|z所以|zz1|＝|zz2|，B正确；对于C，令z1＝1，z2＝i，|z1-z2|=|z1+z2|=对于D，设OA→，OB→分别表示复数z1由z1≠z2，若OA→，OB→不共线时，|z1+z2|=|OA→+OB→|=|OC若OA→，OB若OA→，OB综上：|z1+z2|≤|z1|+|z2|，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．（多选）12．已知复数z，z1，z2均不为0，则下列说法正确的是（）A．若复数z满足z2∈R，且z2＞0，则z∈R B．若复数z满足1z∈R，则zC．若z1+z2∈R，则z1z2∈R D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】由已知结合复数的四则运算及复数的概念检验各选项即可判断．【解答】解：对于A选项，令z＝a+bi，a，b∈R，则z2＝a2﹣b2+2abi，因为z2∈R，且z2＞0，所以ab=0a2-b2＞0，则b＝0，a≠对于B选项，令z＝a+bi（a，b∈R），则由1z=1a+bi=a-bia2对于C选项，令z1＝1+i，z2＝2﹣i，此时z1+z2∈R，z1z2∉R，故C错误；对于D选项，令z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则z1z2=(a+所以bc﹣ad＝0，z1z2故选：ABD．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及基本概念的应用，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①|z1z2|=2；②|z1z2|＝2，则z1＝2+2i，z2＝2【考点】复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】z1=2【分析】设z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出a，b，c，d的关系即可．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（abcd≠0，a，b，c，d∈R），则z1z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i，由|z1z所以c2可取a=所以z1故答案为：z1=2+2i；z2=22+22i．（答案不唯一，只要满足a2+b【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的概念，属于中档题．14．i为虚数单位，若复数z1满足|z1﹣1+i|≤2，复数z2满足|z2|＝|z2+1﹣i|，则|z1﹣z2|的最小值为22【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】22【分析】设z1＝a1+b1i，a1，b1∈R，z2＝a2+b2i，a2，b2∈R，由题设易得z1对应的点（a1，b1）的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以r=2为半径的圆面（包括边界）内，z2对应的点（a2，b2）是直线x﹣y+1＝【解答】解：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，则z1﹣1+i＝（a1﹣1）+（b1+1）i，因为|z所以(a即(a所以复数z1对应的点（a1，b1）的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以r=因为z2+1﹣i＝a2+b2i+1﹣i＝（a2+1）+（b2﹣1）i，且|z2|＝|z2+1﹣i|，所以a2整理得a2﹣b2+1＝0，则复数z2对应的点（a2，b2）是直线x﹣y+1＝0上一点，又z1﹣z2＝a1+b1i﹣（a2+b2i）＝（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i，所以|z1-z2|=(a1-a2)由点到直线的距离公式可得，圆心（1，﹣1）到直线x﹣y+1＝0的距离为d=所以|z1﹣z2|的最小值为d-故答案为：22【点评】本题主要考查复数的有关知识，考查计算能力，属于中档题．15．已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为﹣2．【考点】复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】﹣2．【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可．【解答】解：因为iz＝2+i，所以z=所以z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．16．已知z1，z2是复数，则下列正确结论的序号是①②③．①若|z1﹣z2|＝0，则z1=z2；②若③若|z1|＝|z2|，则z1⋅z1=z2⋅z2；④若|z【考点】共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】①②③．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，特殊值法，即可求解．【解答】解：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（其中a1，a2，b1，b2∈R）．由|z1﹣z2|＝0，可得z1＝z2，则z1=z若z1=z2，则a1＝a2，b1＝﹣b2，则若|z1|＝|z2|，则a1又z1⋅z1=a1若|z1|＝|z2|，令z1＝1﹣i，z2＝1+i，则z12=-2i，z2故答案为：①②③．【点评】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．17．已知zn=(1+i)(1+i2)⋯(1+in)(n∈N*【考点】复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1．【分析】由已知条件先表示出z2023﹣z2004，利用复数模的性质计算|z2023﹣z2024|．【解答】解：由zn=(1+i)(1+i2得到z从而有z2023则|z故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的运算，属于中档题．四．解答题（共5小题）18．对任意一个非零复数z，定义集合Mz（1）设a是方程x+1x=（2）若复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz．【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求解方程x+1x=2得a1=22(1+i)，a2=22(1-i)，再由有理指数幂及i（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，则对任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），结合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω⊆MZ．【解答】（1）解：由x+1x∴a1=2当a1=22(1+∴Ma1={ia1，当a2=2∴Ma2={-∴Ma＝{22(1+（2）证明：∵ω∈MZ，∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．于是对任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，ω2n﹣1∈Mz，∴Mω⊆MZ．【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知复数z1＝1+i，z2＝x+yi，其中x，y为非零实数．（1）若z1•z2是实数，求xy（2）若z2=z1，复数【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）﹣1；（2）m＝2．【分析】（1）运用复数乘法及若z＝a+bi为实数则b＝0，计算可得结果．（2）运用共轭复数及复数除法及若z＝a+bi为纯虚数则a=0【解答】解：（1）∵z1•z2＝（1+i）（x+yi）＝x﹣y+（x+y）i为实数，∴x+y＝0，又∵x，y为非零实数，∴xy（2）∵z2∴z1∴z=∴m2∴m的值为2．【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．20．在复平面内，点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i（其中i是虚数单位），设向量BA→对应的复数为z（1）求复数z；（2）求|z（3）若z1＝m+i，且z1z是纯虚数，求实数【考点】由复平面中的点确定复数．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）z＝1+i；（2）22；（3）m＝﹣1．【分析】（1）根据复数与点的对应及向量的坐标运算得解；（2）根据复数的乘法运算、乘法运算及模的运算得解；（3）根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解．【解答】解：（1）因为点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i，所以A（2，3），B（1，2），所以BA→=(1，1)，故z（2）因为z＝1+i，所以|z2+z（3）因为z1＝m+i，所以z1由z1z是纯虚数，可知解得m＝﹣1．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．21．设复数z1和z2满足关系式z1z2+A（1）z1（2）|z（3）z1【考点】复数的除法运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）设复数z1＝a+bi，z2＝c+di，由共轭复数的定义求解即可证明；（2）因为|z|＝|z|，故|z1+A||z2+A|＝|z1+A||z2+（3）利用复数的除法运算的算法和（2）中的结论可证．【解答】证明：（1）设复数z1＝a+bi，z2＝c+di，z1=a﹣bi，z2=c﹣di，z1+z2＝（a+c）+（b+z1+z2=（a+c）﹣（b+d）i，z1+z2=（即z1（2）∵|z1z2+Az1+Az2+AA|＝|A所以|z1+A||z2+A|＝|A|2；（3）∵A≠0，由此得z1+A≠0，z2+A≠0，z1+Az【点评】本题考查复数的运算、复数的模等知识，是中档题．22．（1）在复数范围内解方程x3＝1；（2）设z1∈C，z2∈C且z2≠0，证明：|z（3）设复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2【考点】复数的乘法及乘方运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）x1＝1，x2=-1+3i2【分析】（1）将方程因式分解，借助求根公式即可求；（2）设复数的代数形式，计算即可；（3）将已知化简可得zn+1zn=-【解答】解：（1）由x3＝1得x3﹣1＝0，即（x﹣1）（x2+x+1）＝0，由x﹣1＝0解得x＝1，由x2+x+1＝0，利用二次方程求根公式得x=-1±∴x3＝1的根为x1＝1，x2=-（2）证明：由z1∈C，z2∈C，可设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，（a1，b1，a2，b2∈R）．∴|=(|z故|z（3）证明：由于|z1|＝1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+整理得4(解得zn∴|zn进而由|z|zn∵m为偶数，|z1+z2+…+zm|＝|（z1+z2）+（z3+z4）+…+（zm﹣1+zm）|，又|（z1+z2）+（z3+z4）+…+（zm﹣1+zm）|≤|z1+z2|+|z3+z4|+…+|zm﹣1+zm|，利用①得|z1+z2|+|z3+z4|+…+|zm﹣1+zm|，=3∴对任意正偶数m，均有|z【点评】本题考查复的运算法则、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．三角形五心【知识点的认识】三角形五心包括：（1）重心（2）外心（3）内心（4）垂心（5）旁心．3．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中4．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．5．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．6．由复平面中的点确定复数【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．【命题方向】﹣点与复数的关系：考查如何根据复平面上的点确定对应的复数．﹣复数的几何应用：如何利用复平面中的点解决实际问题．7．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并