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文档简介
第26页(共26页)第七章B卷一.选择题(共8小题)1.已知a,b∈R,a+3i=﹣1+bi(i为虚数单位),则()A.a=1,b=﹣3 B.a=1,b=3 C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=﹣1,b=32.设z1,z2为复数,且z1z2≠0,则下列结论不正确的是()A.|z1z2|=|z1||z2| B.z1C.若|z1|=|z2|,则z1D.z3.已知i为虚数单位,复数z满足(z-1)(z+1)=3+4iA.5 B.5 C.2 D.24.已知复数z满足(2﹣i)z=3+i,则z的虚部是()A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i5.已知复数z满足:(2+i)z=﹣1,(其中i为虚数单位),则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且O为复平面原点,若z1=32+12i(i为虚数单位),向量OA→A.z2的虚部为32B.z2对应的点在第二象限C.|zD.|7.设△ABC的三个顶点为复平面上的三点z1,z2,z3,满足z1z2z3=0,z1+z2+z3=8+2i,z1z2+z2z3+z1z3=15+10i,则△ABC内心的复数坐标z的虚部所在区间是()A.(0.5,1) B.(0,0.5) C.(1,2) D.前三个选项都不对8.已知f(①f(z)=0存在实数解②f(z)=0共有20个不同的复数解③f(z)=0复数解的模长都等于1④f(z)=0存在模长大于1的复数解A.0 B.1 C.2 D.3二.多选题(共4小题)(多选)9.设z1,z2为复数,则下列说法中正确的有()A.|z1|+|z2|=|z1+z2| B.z1C.若|z1|=|z2|,则z1D.若z12<0(多选)10.已知z∈C,z是z的共轭复数,则()A.若z=1+3iB.若z为纯虚数,则z2<0 C.若z﹣(2+i)>0,则z>2+i D.若M={z||z+3i|≤3},则集合M所构成区域的面积为9π(多选)11.设z,z1,z2为复数,z1≠z2,下列命题中正确的是()A.若zz1=zz2,则z=0 B.若z1=z2,则|zz1|=|C.若|z1﹣z2|=|z1+z2|,则z1z2=0 D.|z1+z2|≤|z1|+|z2|(多选)12.已知复数z,z1,z2均不为0,则下列说法正确的是()A.若复数z满足z2∈R,且z2>0,则z∈R B.若复数z满足1z∈R,则zC.若z1+z2∈R,则z1z2∈R D.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1三.填空题(共5小题)13.已知复数z1,z2的实部和虚部都不为0,满足①|z1z2|=2;②|z1z2|=2,则z1=,z2=.(写出满足条件的一组z14.i为虚数单位,若复数z1满足|z1﹣1+i|≤2,复数z2满足|z2|=|z2+1﹣i|,则|z1﹣z2|的最小值为15.已知复数z满足iz=2+i,则z的虚部为.16.已知z1,z2是复数,则下列正确结论的序号是.①若|z1﹣z2|=0,则z1=z2;②若③若|z1|=|z2|,则z1⋅z1=z2⋅z2;④若|z17.已知zn=(1+i)(1+i2)⋯(1+in)(n∈N*四.解答题(共5小题)18.对任意一个非零复数z,定义集合Mz(1)设a是方程x+1x=(2)若复数ω∈Mz,求证Mω⊆Mz.19.已知复数z1=1+i,z2=x+yi,其中x,y为非零实数.(1)若z1•z2是实数,求xy(2)若z2=z1,复数20.在复平面内,点A,B对应的复数分别是2+3i,1+2i(其中i是虚数单位),设向量BA→对应的复数为z(1)求复数z;(2)求|z(3)若z1=m+i,且z1z是纯虚数,求实数21.设复数z1和z2满足关系式z1z2+A(1)z1(2)|z(3)z122.(1)在复数范围内解方程x3=1;(2)设z1∈C,z2∈C且z2≠0,证明:|z(3)设复数数列{zn}满足:|z1|=1,且对任意正整数n,均有4zn+12+2
第七章B卷参考答案与试题解析题号12345678答案DCBBCCAC一.选择题(共8小题)1.已知a,b∈R,a+3i=﹣1+bi(i为虚数单位),则()A.a=1,b=﹣3 B.a=1,b=3 C.a=﹣1,b=﹣3 D.a=﹣1,b=3【考点】复数的运算;虚数单位i、复数.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】D【分析】借助复数相等求解作答.【解答】解:a,b∈R,a+3i=﹣1+bi,所以a=﹣1,b=3.故选:D.【点评】本题主要考查复数相等的条件,属于基础题.2.设z1,z2为复数,且z1z2≠0,则下列结论不正确的是()A.|z1z2|=|z1||z2| B.z1C.若|z1|=|z2|,则z1D.z【考点】复数的模;复数的运算.【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】根据题意,由复数的运算,代入计算,逐一判断,即可得到结果.【解答】解:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),∵z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac﹣bd)+(ad+bc)i,∴|z且|z则|z1z2|=|z1||z2|,故A正确;∵z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,z1=a∴z1+z则z1+z由|z1|=|z2|,不一定有z12≠z22,例如z1=i,z2=1,满足|z1|=|但z12=-1,z∵z1•z2=(a+bi)(c+di)=(ac﹣bd)+(ad+bc)i,∴z1⋅z∴z1⋅z故选:C.【点评】本题考查复数模的性质,考查运算求解能力,是中档题.3.已知i为虚数单位,复数z满足(z-1)(z+1)=3+4iA.5 B.5 C.2 D.2【考点】复数的模.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】B【分析】设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,利用复数的乘法和复数相等可求得a、【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,复数z满足(z所以(z所以a2+b2-1=32b=4,可得a=0b=2,所以因此|z故选:B.【点评】本题主要考查复数的基本运算,考查计算能力,属于中档题.4.已知复数z满足(2﹣i)z=3+i,则z的虚部是()A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i【考点】复数的除法运算.【专题】方程思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】B【分析】先由等式(2﹣i)z=3+i,反解出z,再利用复数的除法运算法则,求出复数z即可.【解答】解:由已知(2﹣i)z=3+i,得z=所以z的虚部为1.故选:B.【点评】本题考查复数的运算,属于基础题.5.已知复数z满足:(2+i)z=﹣1,(其中i为虚数单位),则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数对应复平面中的点.【专题】对应思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】由复数的除法求出z,可得z,再由复数的几何意义可得答案.【解答】解:由(2+i)z=﹣1,得z=则z=-∴z的共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为(-故选:C.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.6.已知复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且O为复平面原点,若z1=32+12i(i为虚数单位),向量OA→A.z2的虚部为32B.z2对应的点在第二象限C.|zD.|【考点】复数对应复平面中的点;复数的模.【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】根据复数的概念,几何意义,模长公式,除法运算一一判定选项即可.【解答】解:由z1=32+12i可知所以B(-1对于选项A,z2的其虚部为3,故选项A错误;对于选项B,z2=-1-3i,其对应的点为(﹣1,对于选项C,z1所以|z1+对于选项D,|z2z1|=|-1+3i故选:C.【点评】本题主要考查了复数的几何意义,考查了复数的运算,属于中档题.7.设△ABC的三个顶点为复平面上的三点z1,z2,z3,满足z1z2z3=0,z1+z2+z3=8+2i,z1z2+z2z3+z1z3=15+10i,则△ABC内心的复数坐标z的虚部所在区间是()A.(0.5,1) B.(0,0.5) C.(1,2) D.前三个选项都不对【考点】复数对应复平面中的点;复数的加、减运算及其几何意义;复数的乘法及乘方运算;三角形五心.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】A【分析】由对称性及z1z2z3=0,不妨设z3=0,则z1+z2=8+2i,z1z2=15+10i,根据韦达定理知z1,z2是方程z2﹣(8+2i)z+15+10i=0,可得方程两根为5、3+2i,不妨设z1=5,z2=3+2i,则△ABC在复平面上的顶点坐标为A(5,0),B(3,2),C(0,0),设△ABC的内心为I(x1,y1),根据三角形内心的性质aIA【解答】解:由对称性及z1z2z3=0,不妨设z3=0,则z1+z2=8+2i,z1z2=15+10i.由韦达定理知z1,z2是方程z2﹣(8+2i)z+15+10i=0的两个根,则方程z2﹣(8+2i)z+15+10i=0的两根为5、3+2i.不妨设z1=5,z2=3+2i,则△ABC在复平面上的顶点坐标为A(5,0),B(3,2),C(0,0),则a=设三角形内心为I(x1,y1),由内心的性质aIA13(5-所以-13解得y1又10=5+2+3<所以y1∈(0.5,1).故选:A.【点评】本题主要考查了复数的几何意义及三角形的内心性质,解题的关键是要熟悉三角形内心性质aIA8.已知f(①f(z)=0存在实数解②f(z)=0共有20个不同的复数解③f(z)=0复数解的模长都等于1④f(z)=0存在模长大于1的复数解A.0 B.1 C.2 D.3【考点】复数的混合运算.【专题】转化思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】C【分析】设z5+z﹣5=t,利用换元法可求得z5=t±4-i2⋅i2,从而可判断f(z【解答】解:设z5+z﹣5=t,则t2=z10+z﹣10+2,∴z10+z﹣10=t2﹣2,∴z10+z﹣10+12(z5+z﹣5)=∴f(z)=0,∴t2解得t=-这两个t的取值都在区间(﹣2,2)内,∴z5+z﹣5=t有两解z5=t∴f(z)=0有20个不同的复数解,当t=-1±334时,由于|z|5=|t∴f(z)=0的复数解的模长都等于1,∴②③正确.故选:C.【点评】本题考查复数的运算法则、换元法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.二.多选题(共4小题)(多选)9.设z1,z2为复数,则下列说法中正确的有()A.|z1|+|z2|=|z1+z2| B.z1C.若|z1|=|z2|,则z1D.若z12<0【考点】共轭复数;复数的模.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】BD【分析】由z1=1+i,z2=1﹣i判断A,由z1=1,z2=i判断C;令z1=a+bi,z2=m+ni,且a,b,m,n∈R,结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D.【解答】解:对于A:对于z1=1+i,z2=1﹣i,则|z1|+|z2|=22≠|z1+对于B,令z1=a+bi,z2=m+ni,且a,b,m,n∈R,则z1=a所以z1+z对于C:对于z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,显然z12≠对于D,令z1=a+bi,z2=m+ni,且a,b,m,n∈R,z1则a2-b2<0ab=0故选:BD.【点评】本题考查复数的运算,共轭复数,复数的模的求法,属于中档题.(多选)10.已知z∈C,z是z的共轭复数,则()A.若z=1+3iB.若z为纯虚数,则z2<0 C.若z﹣(2+i)>0,则z>2+i D.若M={z||z+3i|≤3},则集合M所构成区域的面积为9π【考点】共轭复数;复数的运算.【专题】计算题;转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】ABD【分析】利用复数的除法及共轭复数的意义判断A;利用纯虚数的意义计算判断B;利用复数的意义判断C;利用复数模的几何意义计算判断D.【解答】解:对于A,z=(1+3i)(1+3i对于B,z为纯虚数,令z=bi,b∈R,b≠0,则z2=﹣b2<0,B正确;对于C,不全是实数的两个复数不能比较大小,C错误;对于D,集合M所构成区域是复平面内以(0,﹣3)为圆心,3为半径的圆及内部,因此该区域面积为9π,D正确.故选:ABD.【点评】本题主要考查复数的四则运算,复数模长的计算,复数的几何意义,属于中档题.(多选)11.设z,z1,z2为复数,z1≠z2,下列命题中正确的是()A.若zz1=zz2,则z=0 B.若z1=z2,则|zz1|=|C.若|z1﹣z2|=|z1+z2|,则z1z2=0 D.|z1+z2|≤|z1|+|z2|【考点】复数的运算;复数的模.【专题】方程思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】ABD【分析】对于A,化成z(z1﹣z2)=0,结合复数相等的知识即可求解;对于B,利用复数代数形式求解即可;对于C,举出反例即可;对于D,利用复数的向量表示作图即可判断.【解答】解:设z=a1+b1i,z1=a2+b2i,z3=a3+b3i(其中a1,b1,a2,b2,a3,b3∈R),若zz1=zz2,则z(z1﹣z2)=0,∵z1≠z2,∴z=0,A正确;对于B,因为z1=z2,所以zz1=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2﹣b1b2)+(a1b2+a2bzz|z同理:|z所以|zz1|=|zz2|,B正确;对于C,令z1=1,z2=i,|z1-z2|=|z1+z2|=对于D,设OA→,OB→分别表示复数z1由z1≠z2,若OA→,OB→不共线时,|z1+z2|=|OA→+OB→|=|OC若OA→,OB若OA→,OB综上:|z1+z2|≤|z1|+|z2|,D正确.故选:ABD.【点评】本题考查复数的运算,属于中档题.(多选)12.已知复数z,z1,z2均不为0,则下列说法正确的是()A.若复数z满足z2∈R,且z2>0,则z∈R B.若复数z满足1z∈R,则zC.若z1+z2∈R,则z1z2∈R D.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1【考点】复数的运算;虚数单位i、复数.【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】ABD【分析】由已知结合复数的四则运算及复数的概念检验各选项即可判断.【解答】解:对于A选项,令z=a+bi,a,b∈R,则z2=a2﹣b2+2abi,因为z2∈R,且z2>0,所以ab=0a2-b2>0,则b=0,a≠对于B选项,令z=a+bi(a,b∈R),则由1z=1a+bi=a-bia2对于C选项,令z1=1+i,z2=2﹣i,此时z1+z2∈R,z1z2∉R,故C错误;对于D选项,令z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1z2=(a+所以bc﹣ad=0,z1z2故选:ABD.【点评】本题主要考查了复数的四则运算及基本概念的应用,属于中档题.三.填空题(共5小题)13.已知复数z1,z2的实部和虚部都不为0,满足①|z1z2|=2;②|z1z2|=2,则z1=2+2i,z2=2【考点】复数的实部与虚部.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】z1=2【分析】设z1=a+bi,z2=c+di(abcd≠0,a,b,c,d∈R),根据复数的乘除法运算,结合复数的模的计算公式,求出a,b,c,d的关系即可.【解答】解:设z1=a+bi,z2=c+di(abcd≠0,a,b,c,d∈R),则z1z1z2=(a+bi)(c+di)=ac﹣bd+(ad+bc)i,由|z1z所以c2可取a=所以z1故答案为:z1=2+2i;z2=22+22i.(答案不唯一,只要满足a2+b【点评】本题主要考查复数模公式,以及复数的概念,属于中档题.14.i为虚数单位,若复数z1满足|z1﹣1+i|≤2,复数z2满足|z2|=|z2+1﹣i|,则|z1﹣z2|的最小值为22【考点】复数的模.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】22【分析】设z1=a1+b1i,a1,b1∈R,z2=a2+b2i,a2,b2∈R,由题设易得z1对应的点(a1,b1)的轨迹是以(1,﹣1)为圆心,以r=2为半径的圆面(包括边界)内,z2对应的点(a2,b2)是直线x﹣y+1=【解答】解:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈R,则z1﹣1+i=(a1﹣1)+(b1+1)i,因为|z所以(a即(a所以复数z1对应的点(a1,b1)的轨迹是以(1,﹣1)为圆心,以r=因为z2+1﹣i=a2+b2i+1﹣i=(a2+1)+(b2﹣1)i,且|z2|=|z2+1﹣i|,所以a2整理得a2﹣b2+1=0,则复数z2对应的点(a2,b2)是直线x﹣y+1=0上一点,又z1﹣z2=a1+b1i﹣(a2+b2i)=(a1﹣a2)+(b1﹣b2)i,所以|z1-z2|=(a1-a2)由点到直线的距离公式可得,圆心(1,﹣1)到直线x﹣y+1=0的距离为d=所以|z1﹣z2|的最小值为d-故答案为:22【点评】本题主要考查复数的有关知识,考查计算能力,属于中档题.15.已知复数z满足iz=2+i,则z的虚部为﹣2.【考点】复数的实部与虚部.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】﹣2.【分析】根据复数代数形式的除法运算化简,再判断其虚部即可.【解答】解:因为iz=2+i,所以z=所以z的虚部为﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题主要考查复数的四则运算,以及复数的概念,属于基础题.16.已知z1,z2是复数,则下列正确结论的序号是①②③.①若|z1﹣z2|=0,则z1=z2;②若③若|z1|=|z2|,则z1⋅z1=z2⋅z2;④若|z【考点】共轭复数;复数的模.【专题】对应思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】①②③.【分析】根据已知条件,结合共轭复数的定义,复数的四则运算,特殊值法,即可求解.【解答】解:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(其中a1,a2,b1,b2∈R).由|z1﹣z2|=0,可得z1=z2,则z1=z若z1=z2,则a1=a2,b1=﹣b2,则若|z1|=|z2|,则a1又z1⋅z1=a1若|z1|=|z2|,令z1=1﹣i,z2=1+i,则z12=-2i,z2故答案为:①②③.【点评】本题考查复数的基本概念及复数模的求法,是基础题.17.已知zn=(1+i)(1+i2)⋯(1+in)(n∈N*【考点】复数的运算.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】1.【分析】由已知条件先表示出z2023﹣z2004,利用复数模的性质计算|z2023﹣z2024|.【解答】解:由zn=(1+i)(1+i2得到z从而有z2023则|z故答案为:1.【点评】本题主要考查复数的运算,属于中档题.四.解答题(共5小题)18.对任意一个非零复数z,定义集合Mz(1)设a是方程x+1x=(2)若复数ω∈Mz,求证Mω⊆Mz.【考点】复数的运算;集合的包含关系判断及应用.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数.【答案】见试题解答内容【分析】(1)求解方程x+1x=2得a1=22(1+i),a2=22(1-i),再由有理指数幂及i(2)由ω∈MZ,可知存在m∈N,使得ω=z2m﹣1,则对任意n∈N,有ω2n﹣1=z(2m﹣1)(2n﹣1),结合(2m﹣1)(2n﹣1)是正奇数,得ω2n﹣1∈Mz,即Mω⊆MZ.【解答】(1)解:由x+1x∴a1=2当a1=22(1+∴Ma1={ia1,当a2=2∴Ma2={-∴Ma={22(1+(2)证明:∵ω∈MZ,∴存在m∈N,使得ω=z2m﹣1.于是对任意n∈N,ω2n﹣1=z(2m﹣1)(2n﹣1),由于(2m﹣1)(2n﹣1)是正奇数,ω2n﹣1∈Mz,∴Mω⊆MZ.【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知复数z1=1+i,z2=x+yi,其中x,y为非零实数.(1)若z1•z2是实数,求xy(2)若z2=z1,复数【考点】复数的除法运算.【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)﹣1;(2)m=2.【分析】(1)运用复数乘法及若z=a+bi为实数则b=0,计算可得结果.(2)运用共轭复数及复数除法及若z=a+bi为纯虚数则a=0【解答】解:(1)∵z1•z2=(1+i)(x+yi)=x﹣y+(x+y)i为实数,∴x+y=0,又∵x,y为非零实数,∴xy(2)∵z2∴z1∴z=∴m2∴m的值为2.【点评】本题主要考查复数的四则运算,考查转化能力,属于中档题.20.在复平面内,点A,B对应的复数分别是2+3i,1+2i(其中i是虚数单位),设向量BA→对应的复数为z(1)求复数z;(2)求|z(3)若z1=m+i,且z1z是纯虚数,求实数【考点】由复平面中的点确定复数.【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)z=1+i;(2)22;(3)m=﹣1.【分析】(1)根据复数与点的对应及向量的坐标运算得解;(2)根据复数的乘法运算、乘法运算及模的运算得解;(3)根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解.【解答】解:(1)因为点A,B对应的复数分别是2+3i,1+2i,所以A(2,3),B(1,2),所以BA→=(1,1),故z(2)因为z=1+i,所以|z2+z(3)因为z1=m+i,所以z1由z1z是纯虚数,可知解得m=﹣1.【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用,考查了数学运算的核心素养,属于中档题.21.设复数z1和z2满足关系式z1z2+A(1)z1(2)|z(3)z1【考点】复数的除法运算.【专题】计算题;转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,由共轭复数的定义求解即可证明;(2)因为|z|=|z|,故|z1+A||z2+A|=|z1+A||z2+(3)利用复数的除法运算的算法和(2)中的结论可证.【解答】证明:(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,z1=a﹣bi,z2=c﹣di,z1+z2=(a+c)+(b+z1+z2=(a+c)﹣(b+d)i,z1+z2=(即z1(2)∵|z1z2+Az1+Az2+AA|=|A所以|z1+A||z2+A|=|A|2;(3)∵A≠0,由此得z1+A≠0,z2+A≠0,z1+Az【点评】本题考查复数的运算、复数的模等知识,是中档题.22.(1)在复数范围内解方程x3=1;(2)设z1∈C,z2∈C且z2≠0,证明:|z(3)设复数数列{zn}满足:|z1|=1,且对任意正整数n,均有4zn+12+2【考点】复数的乘法及乘方运算.【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;逻辑思维;运算求解.【答案】(1)x1=1,x2=-1+3i2【分析】(1)将方程因式分解,借助求根公式即可求;(2)设复数的代数形式,计算即可;(3)将已知化简可得zn+1zn=-【解答】解:(1)由x3=1得x3﹣1=0,即(x﹣1)(x2+x+1)=0,由x﹣1=0解得x=1,由x2+x+1=0,利用二次方程求根公式得x=-1±∴x3=1的根为x1=1,x2=-(2)证明:由z1∈C,z2∈C,可设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,(a1,b1,a2,b2∈R).∴|=(|z故|z(3)证明:由于|z1|=1,且对任意正整数n,均有4zn+12+2znzn+1+整理得4(解得zn∴|zn进而由|z|zn∵m为偶数,|z1+z2+…+zm|=|(z1+z2)+(z3+z4)+…+(zm﹣1+zm)|,又|(z1+z2)+(z3+z4)+…+(zm﹣1+zm)|≤|z1+z2|+|z3+z4|+…+|zm﹣1+zm|,利用①得|z1+z2|+|z3+z4|+…+|zm﹣1+zm|,=3∴对任意正偶数m,均有|z【点评】本题考查复的运算法则、等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
考点卡片1.集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念:1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集;A⊆B;如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,即A⊂B;2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,即A=B.【解题方法点拨】1.按照子集包含元素个数从少到多排列.2.注意观察两个集合的公共元素,以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.4.有时借助数轴,平面直角坐标系,韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】通常命题的方式是小题,直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系,可以与函数的定义域,三角函数的解集,子集的个数,简易逻辑等知识相结合命题.2.三角形五心【知识点的认识】三角形五心包括:(1)重心(2)外心(3)内心(4)垂心(5)旁心.3.虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位,i2=﹣1,所以i是﹣1的平方根.我们把a+bi的数叫做复数,把a=0且b≠0的数叫做纯虚数,a≠0,且b=0叫做实数.复数的模为a2+b2.形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中4.复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位,i2=﹣1,所以i是﹣1的平方根.我们把a+bi的数叫做复数,把a=0且b≠0的数叫做纯虚数,a≠0,且b=0叫做实数.复数的模为a2+b2.形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中【解题方法点拨】﹣分解复数:通过给定的复数表达式,提取实部和虚部.﹣应用:在复数运算中,分开处理实部和虚部,简化计算过程.【命题方向】﹣实部与虚部的提取:考查如何从复数表达式中提取实部和虚部.﹣实部虚部的运算:如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题.若复数z=a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a=_____.解:若复数z=a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数,则a2﹣3+2a=0,解得:a=﹣3或a=1,故答案为:﹣3或1.5.复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0),对应复数0.即复数z=a+bi→复平面内的点z(a,b)→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意:(1)|z|=|z﹣0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a;(2)|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.【解题方法点拨】﹣点的表示:将复数a+bi作为复平面上的点(a,b)进行图示.﹣几何运算:利用复平面上的点进行几何运算和分析.【命题方向】﹣复平面的几何表示:考查复数在复平面中的点表示及其几何意义.﹣复数的几何应用:如何在复平面中使用复数解决几何问题.6.由复平面中的点确定复数【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0),对应复数0.即复数z=a+bi→复平面内的点z(a,b)→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意:(1)|z|=|z﹣0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a;(2)|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.【解题方法点拨】﹣从点到复数:通过点的坐标(x,y),直接确定复数x+yi.﹣几何解释:理解复数的几何意义并应用于实际问题中.【命题方向】﹣点与复数的关系:考查如何根据复平面上的点确定对应的复数.﹣复数的几何应用:如何利用复平面中的点解决实际问题.7.共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数,叫做互为共轭复数.如2+3i与2﹣3i互为共轭复数,用数学语言来表示即:复数Z=a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有:|Z|=|Z|;|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度不大,多为低档题,要求能够掌握共轭复数的性质,并
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