2024-2025学年下学期高二数学第七章A卷

第33页（共33页）第七章A卷一．选择题（共8小题）1．小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为X1，X2，则E（X1+X2）＝（）注：设X，Y为两个随机变量，则有E（X+Y）＝EX+EY．A．5 B．6 C．7 D．82．已知随机变量X服从正态分布N（2.3，σ2），且P（2.3＜X≤4.2）＝0.23，则P（X＞0.4）＝（）A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.273．若随机变量X～B（5，25），则E（2X+1A．4 B．5 C．8 D．94．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.65．随机变量X的分布列如下，且E(X)=X012P0.2p1p2A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.086．已知函数f（x）＝x2﹣2ξx+3在（﹣∞，﹣1）上单调递减的概率为12，且随机变量ξ～N（μ，1），则P（1≤ξ≤2）＝（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.013417．盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（）A．310 B．37 C．38 8．口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{an}为an=-1，第n次摸到红球1，第n次摸到白球，如果Sn为数列{anA．C71×13×（23） B．C72C．C73×（13）3×（23） D．C74二．多选题（共4小题）（多选）9．已知随机变量X～N（3，σ2），P（X＞5）＝0.2，则（）A．P（X≥3）＝0.5 B．P（X≥0）≤0.8 C．P（0≤X≤5）≤0.6 D．P（1≤X≤3）＝0.3（多选）10．小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数X服从正态分布N（27，4），则（）（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）A．μ＝27 B．σ＝4 C．P（X≥33）≈0.0026 D．P（23＜X≤29）≈0.8185（多选）11．若P(A)=12，P（B|A）=23，PA．P(AB)=13 B．P(AB)=12 C．（多选）12．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若X～N（600，σ2），其中σ＞0，则（）A．P(B．P（592＜X＜598）＜P（602＜X＜606） C．P（X＜595）＝P（X＞605） D．σ越小，P（X＜598）越大三．填空题（共5小题）13．陈某喜欢打排球和踢足球，他打算在连续的三天假期中每天下午选其中一项进行体育锻炼．如果某天选排球，第二天还选排球的概率为13；如果某天选足球，第二天还选足球的概率为12．若陈某第1天随机选其中一项，则陈某第3天选排球的概率为14．甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则P（B|A1）＝，P（B）＝．15．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为．16．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），且P（ξ＜6）＝4P（ξ＜2），则P（2＜ξ＜6）＝．17．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球．若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，则P（B|A）＝．四．解答题（共5小题）18．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名．（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；（2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差．19．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球．（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论？20．某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有A，B，C三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92．已知每个流程是否优秀相互独立．（1）求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率．（2）为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对A，B，C三个流程进行赋分．当A流程优秀时，赋30分，当A流程不优秀时，赋0分；当B流程优秀时，赋40分，当B流程不优秀时，赋0分；当C流程优秀时，赋50分，当C流程不优秀时，赋0分．记甲生产线的A，B，C流程的赋分分别为X1，Y1，Z1，乙生产线的A，B，C流程的赋分分别为X2，Y2，Z2，计算E（X1）+E（Y1）+E（Z1）与E（X2）+E（Y2）+E（Z2），并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀．21．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b，求ξ，η的分布列．22．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为14，答错的概率为3（1）甲留学生随机抽取3题，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取m道题，记总得分恰为2m分的概率为Pm，求数列{Pm}的前m项和；（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为n分的概率为Qn，求数列{Qn}的通项公式．

第七章A卷参考答案与试题解析题号12345678答案CBBDCCCB一．选择题（共8小题）1．小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为X1，X2，则E（X1+X2）＝（）注：设X，Y为两个随机变量，则有E（X+Y）＝EX+EY．A．5 B．6 C．7 D．8【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】结合二项分布的期望公式，即可求解．【解答】解：种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，则X1服从二项分布B（5，0.8），EX1＝5×0.8＝4．同理，EX2＝5×0.6＝3，E（X1+X2）＝EX1+EX2＝7．故选：C．【点评】本题主要考查二项分布的期望公式，属于基础题．2．已知随机变量X服从正态分布N（2.3，σ2），且P（2.3＜X≤4.2）＝0.23，则P（X＞0.4）＝（）A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】由正态分布的对称性，可得答案．【解答】解：因为0.4+4.22P（0.4＜X≤2.3）＝P（2.3＜X≤4.2）＝0.23，故P（X＞0.4）＝P（0.4＜X≤2.3）+0.5＝0.73．故选：B．【点评】本题考查了正态分布，属于基础题．3．若随机变量X～B（5，25），则E（2X+1A．4 B．5 C．8 D．9【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据二项分布的性质即可求解．【解答】解：已知随机变量X服从二项分布B(5根据二项分布的期望公式，E(利用期望的线性性质，E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×2+1＝5．故选：B．【点评】本题考查了二项分布，属于基础题．4．已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考点】两点分布（0﹣1分布）．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据两点分布的期望即可求解．【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．故选：D．【点评】本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．5．随机变量X的分布列如下，且E(X)=X012P0.2p1p2A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据分布列的性质和期望可求p1，p2，从而可求方差．【解答】解：根据题意可得p1+所以D(1故选：C．【点评】本题主要考查离散型随机变量的方差，考查运算求解能力，属于基础题．6．已知函数f（x）＝x2﹣2ξx+3在（﹣∞，﹣1）上单调递减的概率为12，且随机变量ξ～N（μ，1），则P（1≤ξ≤2）＝（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据二次函数的单调性可求得P(ξ≥-1)=1【解答】解：根据题意f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，可得ξ≥﹣1，故P(∵ξ∼N（u，1），∴μ＝﹣1，∴P（1≤ξ≤2）＝P（﹣1≤x≤2）﹣P（﹣1≤ξ≤1）=1故选：C．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．7．盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（）A．310 B．37 C．38 【考点】全概率公式．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】结合全概率公式，即可求解．【解答】解：若第一次取到红球，第二次取到黑球的概率为：58若第一次取到黑球，第二次取到黑球的概率为：38故第二次取出的是黑球的概率是316故选：C．【点评】本题主要考查全概率公式的应用，是基础题．8．口袋内放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{an}为an=-1，第n次摸到红球1，第n次摸到白球，如果Sn为数列{anA．C71×13×（23） B．C72C．C73×（13）3×（23） D．C74【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【答案】B【分析】S7＝3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意S7＝3说明共摸球七次，只有两次摸到白球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是23，摸到白球的概率是故只有两次摸到白球的概率是C72•(1故选：B．【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，求解本题的关键是判断出本题的概率模型以及熟练掌握了此类概率模型的计算公式．根据所给的定义分析出所研究的事件是什么也很关键，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知随机变量X～N（3，σ2），P（X＞5）＝0.2，则（）A．P（X≥3）＝0.5 B．P（X≥0）≤0.8 C．P（0≤X≤5）≤0.6 D．P（1≤X≤3）＝0.3【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AD【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解．【解答】解：已知随机变量X～N（3，σ2）且P（X＞5）＝0.2，根据正态分布的对称性，P（X＜1）＝0.2，选项A：由于正态分布关于均值对称，因此P（x≥3）＝0.5；选项B：P（X≥1）＝P（1≤X＜5）+P（X≥5）＝0.6+0.2＝0.8，因为P（X≥0）≥P（X≥1），故不满足P（x≥0）≤0.8，选项C：P（0≤X≤5）＝1﹣P（X＜0）﹣P（X＞5）＞1﹣0.2﹣0.2＝0.6，不满足P（0≤X≤5）≤0.6；选项D：P(1故选：AD．【点评】本题考查了正态分布，属于基础题．（多选）10．小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数X服从正态分布N（27，4），则（）（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）A．μ＝27 B．σ＝4 C．P（X≥33）≈0.0026 D．P（23＜X≤29）≈0.8185【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AD【分析】对于A、B选项，根据变量符合正态分布，可得出μ和σ的值，对于C、D选项，根据3σ原则，可计算出P（X≥33）、P（23＜X≤29）的值．【解答】解：由题意可得，X服从正态分布N（27，4），则μ＝27，σ＝2，故A正确，B错误；P(X≥P（23＜X≤29）＝P（μ﹣2σ＜X≤μ+σ）=P(μ故选：AD．【点评】本题考查正态分布的均值、方差、概率，属于基础题．（多选）11．若P(A)=12，P（B|A）=23，PA．P(AB)=13 B．P(AB)=12 C．【考点】求解条件概率．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】对ABD选项根据条件概率公式求解；对C选项结合全概率公式，即可求解．【解答】解：因为P(所以P(AB因为P(所以P(B|A)=1-因此P(P(B)=1P(A|故选：ACD．【点评】本题主要考查全概率公式，条件概率公式，属于基础题．（多选）12．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若X～N（600，σ2），其中σ＞0，则（）A．P(B．P（592＜X＜598）＜P（602＜X＜606） C．P（X＜595）＝P（X＞605） D．σ越小，P（X＜598）越大【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据题意，利用正态分布的对称性，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，X～N（600，σ2），则μ＝600，该正态曲线关于μ＝600对称，依次分析选项：对于A：P(X＜对于B：正态曲线关于μ＝600对称，则P（592＜X＜598）＝P（602＜X＜608）＞P（602＜X＜606），故B错误；对于C：正态曲线关于μ＝600对称，则P（X＜595）＝P（X＞605），故C正确；对于D，σ越小，说明数据越集中，P（X＜598）越小，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查正态分布的性质，注意正态分布的对称性，属于基础题．三．填空题（共5小题）13．陈某喜欢打排球和踢足球，他打算在连续的三天假期中每天下午选其中一项进行体育锻炼．如果某天选排球，第二天还选排球的概率为13；如果某天选足球，第二天还选足球的概率为12．若陈某第1天随机选其中一项，则陈某第3天选排球的概率为31【考点】全概率公式．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】3172【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：三天选的是，排球，排球，排球，发生的概率为12三天选的是，排球，足球，排球，发生的概率为：12三天选的是，足球，排球，排球，发生的概率为：12三天选的是，足球，足球，排球，发生的概率为：12故陈某第3天选排球的概率为118故答案为：3172【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．14．甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则P（B|A1）＝29，P（B）＝1972【考点】条件概率．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】29；19【分析】利用古典概型的概率公式先求出P（A1），P（A2），P（A3），然后利用相互独立事件的概率公式以及条件概率的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，P（A1）=38，P（A2）=28=14，P（A1B）=3故P（B|A1）=PP(A2所以P(P(所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=3故答案为：29；19【点评】本题考查了古典概型的概率公式、相互独立事件的乘法概率公式以及条件概率的概率公式，属于基础题．15．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为34【考点】求解条件概率．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】34【分析】设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出P（A）与P（AB），再代入条件概率公式P(【解答】解：设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，则P(AB)=所以P(故答案为：34【点评】本题主要考查条件概率公式，是基础题．16．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），且P（ξ＜6）＝4P（ξ＜2），则P（2＜ξ＜6）＝35【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】35【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），则P（ξ＜6）＝P（ξ＞2），P（ξ＜6）＝4P（ξ＜2），则1﹣P（ξ＜2）＝4P（ξ＜2），解得P（ξ＜2）=1故P（2＜ξ＜6）＝1﹣2P（ξ＜2）=3故答案为：35【点评】本题主要考查正态分布的对称性，是基础题．17．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球．若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是35；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，则P（B|A）＝12【考点】求解条件概率．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】35；1【分析】结合超几何分布的概率公式，以及条件概率公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，恰有一个白球的概率是：C2当第一次摸到红球时，剩下2个白球，2个红球，第二次摸到红球的概率为24=12，即P（B|故答案为：35；1【点评】本题主要考查概率的求解，属于基础题．四．解答题（共5小题）18．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”．我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名．（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；（2）设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差．【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【专题】对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意，先得到所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式进行求解即可；（2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式和方差公式进行求解即可．【解答】解：（1）易知推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数n=在这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，记“选出的外科医生人数多于内科医生人数”为事件A，记“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”为事件B，记“恰好选出2名外科医生”为事件C，因为B，C互斥，且A＝B∪C，所以P（B）=C21C22C则选出外科医生人数多于内科医生人数的概率P＝P（B）+P（C）=1（2）易知X的所有取值为0，1，2，此时P(X=0)=C2所以E(X)=0【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．19．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球．（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论？【考点】全概率公式；样本点与样本空间；古典概型及其概率计算公式．【专题】运算求解．【答案】（1）样本空间见解析，第一次摸到红球的概率为34（2）第二次摸到红球的概率为34，第三次摸到红球的概率为3【分析】（1）根据题意，设3个红球为A、B、C，1个黄球为1，第一次摸到红球为事件E1，由列举法分析试验的样本空间和第一次摸到红球为事件包含的基本事件，由古典概型公式计算可得答案；（2）设第二次摸到红球为事件E2，第三次摸到红球为事件E3，由古典概型公式可得P（E2）、P（E3）的值，由此总结结论即可．【解答】解：（1）根据题意，设3个红球为A、B、C，1个黄球为1，则试验的样本空间Ω＝{（ABC）、（ABd）、（AC1）、（ACB）、（A1B）、（A1C）、（BAC）、（BA1）、（BCA）、（BC1）、（B1A）、（B1C）、（CAB）、（CA1）、（CB1）、（CBA）、（C1A）、（CAB）、（1AB）、（1AC）、（1BA）、（1BC）、（1CA）、（1CB）}，则n（Ω）＝24，记第一次摸到红球为事件E1，E1＝{（ABC）、（ABd）、（AC1）、（ACB）、（A1B）、（A1C）、（BAC）、（BA1）、（BCA）、（BC1）、（B1A）、（B1C）、（CAB）、（CA1）、（CB1）、（CBA）、（C1A）、（CAB）}，n（E1）＝18，则P（E1）=18（2）根据题意，设第二次摸到红球为事件E2，第三次摸到红球为事件E3，易得n（E2）＝18，则P（E2）=18n（E3）＝18，则P（E3）=18由此可得结论：每次摸到红球的概率都相等，都是34【点评】本题考查古典概型的计算，涉及试验的样本空间的列举，属于基础题．20．某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有A，B，C三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92．已知每个流程是否优秀相互独立．（1）求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率．（2）为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对A，B，C三个流程进行赋分．当A流程优秀时，赋30分，当A流程不优秀时，赋0分；当B流程优秀时，赋40分，当B流程不优秀时，赋0分；当C流程优秀时，赋50分，当C流程不优秀时，赋0分．记甲生产线的A，B，C流程的赋分分别为X1，Y1，Z1，乙生产线的A，B，C流程的赋分分别为X2，Y2，Z2，计算E（X1）+E（Y1）+E（Z1）与E（X2）+E（Y2）+E（Z2），并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）0.998；（2）乙生产线更优秀．【分析】（1）利用对立事件的概率求法及独立事件的乘法公式求目标概率；（2）应用期望的求法分别求出E（X1）+E（Y1）+E（Z1）与E（X2）+E（Y2）+E（Z2），比较大小，即可得结论．【解答】解：（1）企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有A，B，C三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，甲生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的A，B，C三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92．每个流程是否优秀相互独立．设甲生产线的A，B，C流程优秀分别记为事件E，F，G，甲生产线的三个流程中至少有一个优秀为事件H，则P（E）＝P（F）＝0.9，P（G）＝0.8，所以P(（2）由题设，易知E（X1）+E（Y1）+E（Z1）＝0.9×30+（1﹣0.9）×0+0.9×40+（1﹣0.9）×0+0.8×50+（1﹣0.8）×0＝103；E（X2）+E（Y2）+E（Z2）＝0.8×30+（1﹣0.8）×0+0.85×40+（1﹣0.85）×0+0.92×50+（1﹣0.92）×0＝104；由104＞103，即乙生产线更优秀．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为2a，0.2，a，0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3，b，b，求ξ，η的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】ξ的分布列为：ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列为：η10987P0.30.30.20.2【分析】先应用分布列性质求参，再分别写出分布列即可．【解答】解：由题意得0.2+2a+a+0.2＝1，解得a＝0.2，0.3+0.3+2b＝1，解得b＝0.2，所以ξ的分布列为：ξ10987P0.40.20.20.2η的分布列为：η10987P0.30.30.20.2【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于基础题．22．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为14，答错的概率为3（1）甲留学生随机抽取3题，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取m道题，记总得分恰为2m分的概率为Pm，求数列{Pm}的前m项和；（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为n分的概率为Qn，求数列{Qn}的通项公式．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）分布列见解析，E(（2）（ⅰ）13-1【分析】（1）依题意X的可能取值为3、4、5、6，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（2）（ⅰ）依题意可得Pm（ⅱ）首先求出Q1，Q2，当n≥3时Qn【解答】解：（1）依题意可得X的可能取值为3、4、5、6，则P(X=3)=P(X=5)=所以X的分布列为X3456P27642764964164所以E(（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取m道题，总得分恰为2m分，即m道题均答对了，所以Pm设数列{Pm}的前m项和为Sm，则Sm（ⅱ）依题意可得Q1=34，当n≥3时Qn所以Qn所以{Qn+所以Qn则Qn-45=-14所以Qn-45=-经检验当n＝1、2上式也成立，所以Qn【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．样本点与样本空间【知识点的认识】样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果成为样本点，一般地，用ω表示样本点．样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间．有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．【解题方法点拨】（1）试验不同，对应的样本空间也不同；（2）同一试验，若试验目的不同，则对应的样本空间也不同；例如对于同一试验“将一枚硬币抛掷三次”，若观察正面H、反面T出现的情况，则样本空间为S＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}，若观察出现正面的次数，则样本空间为S＝{0，1，2，3}．（3）建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．例如只包含两个样本点的样本空间S＝{H，T}，它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队和无人排队的模型等．【命题方向】样本空间和样本点是概率论中的重要概念，它们是描述随机试验的基础．在明确样本空间和概率测度后，我们可以将样本空间变成一个概率空间，从而进行概率的计算和推断．需要注意的是，样本空间和样本点的定义需要根据具体的试验来确定，并遵循相关的公理和定理．考试题型通常以选择题、填空题为主．2．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．4．相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】﹣对于相互独立事件A和B，P(【解题方法点拨】﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．【命题方向】﹣重点考察独立事件的概率计算及独立性证明．5．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P6．求解条件概率【知识点的认识】﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．﹣计算：P(A|B)=P(【解题方法点拨】﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．【命题方向】﹣主要考察条件概率的计算及其应用问题．7．全概率公式【知识点的认识】全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）=i8．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．9．离散型随机变量的均值（数学期望）【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．10．离散型随机变量的方差与标准差【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．11．两点分布（0-1分布）【知识点的认识】﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．【解题方法点拨】﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式．【命题方向】﹣主要考察0﹣1分布的性质和应用问题．12．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【知识点的认识】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）=Cnk×pk×qn-k（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p【解题方法点拨】例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是．解：由题设知C31p（1﹣p）2≤C32p2解12≤p≤故答案为：[12，1]本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．【命题方向】这个知识点非常的重要，但相对来说也比较简单，所以大家要多花点时间把它吃透．13．二项分布的均值（数学期望）与方差【知识点的认识】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（数学期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解题方法点拨】﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．【命题方向】﹣重点考察二项分布的期望和方差计算，常用于统计数据分析和预测问题．14．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6