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PAGE1-第2讲集合、复数、常用逻辑用语一、选择题1.(2024·高考全国卷Ⅱ)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)解析:选A.A∩B={x|x2-5x+6>0}∩{x|x-1<0}={x|x<2或x>3}∩{x|x<1}={x|x<1}.故选A.2.命题“∀x>0,lnx≥1-eq\f(1,x)”的否定是()A.∃x0≤0,lnx0≥1-eq\f(1,x0)B.∃x0≤0,lnx0<1-eq\f(1,x0)C.∃x0>0,lnx0≥1-eq\f(1,x0)D.∃x0>0,lnx0<1-eq\f(1,x0)解析:选D.若命题为∀x∈M,p(x),则其否定为∃x0∈M,﹁p(x0).所以“∀x>0,lnx≥1-eq\f(1,x)”的否定是∃x0>0,lnx0<1-eq\f(1,x0),故选D.3.(2024·郑州市第一次质量预料)设全集U=R,集合A={x|-3<x<1},B={x|x+1≥0},则∁U(A∪B)=()A.{x|x≤-3或x≥1}B.{x|x<-1或x≥3}C.{x|x≤3}D.{x|x≤-3}解析:选D.因为B={x|x≥-1},A={x|-3<x<1},所以A∪B={x|x>-3},所以∁U(A∪B)={x|x≤-3}.故选D.4.(2024·沈阳市质量监测(一))已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为()A.{3} B.{7}C.{3,7} D.{1,3,5}解析:选B.由图可知,阴影区域为∁U(A∪B),由并集的概念知,A∪B={1,3,5},又U={1,3,5,7},于是∁U(A∪B)={7},故选B.5.若i是虚数单位,则复数eq\f(2+3i,1+i)的实部与虚部之积为()A.-eq\f(5,4) B.eq\f(5,4)C.eq\f(5,4)i D.-eq\f(5,4)i解析:选B.因为eq\f(2+3i,1+i)=eq\f((2+3i)(1-i),(1+i)(1-i))=eq\f(5,2)+eq\f(1,2)i,所以其实部为eq\f(5,2),虚部为eq\f(1,2),实部与虚部之积为eq\f(5,4).故选B.6.已知(1+i)·z=eq\r(3)i(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析:选A.因为(1+i)·z=eq\r(3)i,所以z=eq\f(\r(3)i,1+i)=eq\f(\r(3)i(1-i),(1+i)(1-i))=eq\f(\r(3)+\r(3)i,2),则复数z在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(\r(3),2))),所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.7.(2024·高考北京卷)设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C.因为f(x)=cosx+bsinx为偶函数,所以对随意的x∈R都有f(-x)=f(x),即cos(-x)+bsin(-x)=cosx+bsinx,所以2bsinx=0.由x的随意性,得b=0.故f(x)为偶函数⇒b=0.必要性成立.反过来,若b=0,则f(x)=cosx是偶函数.充分性成立.所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.8.下列命题错误的是()A.“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件B.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1”C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件解析:选C.若eq\f(1,a)<1,则a>1或a<0,则“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件,故A正确;依据特称命题的否定为全称命题,得“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1”,故B正确;当x≥2且y≥2时,x2+y2≥4,当x2+y2≥4时却不肯定有x≥2且y≥2,如x=5,y=0,因此“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;因为“ab=0”是“a=0”的必要不充分条件,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.9.(2024·贵阳市第一学期监测)命题p:若x>y,则x2>y2,命题q:若x<y,则-x>-y.在命题①p∧q;②p∨q;③p∨(﹁q);④(﹁p)∧q中,真命题是()A.①③ B.①④C.②③ D.②④解析:选D.命题p:当x=0,y=-2时,x2<y2,所以为假命题;命题q为真命题,所以①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∨(﹁q)为假命题;④(﹁p)∧q为真命题,所以真命题是②④.10.(2024·福州模拟)给出下列命题:①“x=eq\f(π,4)”是“tanx=1”的充分不必要条件;②定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2+(a+5)x+b的最大值为30;③命题“∃x0∈R,x0+eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R,x+eq\f(1,x)>2”.其中正确命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.3解析:选C.由x=eq\f(π,4),得tanx=1,但由tanx=1推不出x=eq\f(π,4),所以“x=eq\f(π,4)”是“tanx=1”的充分不必要条件,所以命题①是正确的;若定义在[a,b]上的函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a+5=0,a+b=0)),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-5,b=5)),则f(x)=x2+5在[-5,5]上的最大值为30,所以命题②是正确的;命题“∃x0∈R,x0+eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R,x+eq\f(1,x)<2”,所以命题③是错误的.故正确命题的个数为2,故选C.11.已知命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+eq\f(1,4)≤0”是假命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0) B.[0,4]C.[4,+∞) D.(0,4)解析:选D.因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+eq\f(1,4)≤0”是假命题,所以其否定“∀x∈R,4x2+(a-2)x+eq\f(1,4)>0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×4×eq\f(1,4)=a2-4a<0,解得0<a<4,故选D.12.(2024·南昌市第一次模拟测试)已知r>0,x,y∈R,p:“|x|+eq\f(|y|,2)≤1”,q:“x2+y2≤r2”,若p是q的必要不充分条件,则实数r的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(2\r(5),5))) B.(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5),+∞)) D.[2,+∞)解析:选A.由题意,命题p对应的是菱形及其内部,当x>0,y>0时,可得菱形的一边所在的直线方程为x+eq\f(y,2)=1,即2x+y-2=0,由p是q的必要不充分条件,可得圆x2+y2=r2的圆心到直线2x+y-2=0的距离d=eq\f(2,\r(4+1))=eq\f(2\r(5),5)≥r,又r>0,所以实数r的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(2\r(5),5))),故选A.二、填空题13.已知复数z满意z(1-i)2=1+i(i为虚数单位),则|z|=________.解析:因为z=-eq\f(1+i,2i)=eq\f(-1+i,2),所以|z|=eq\f(\r(2),2).答案:eq\f(\r(2),2)14.以下四个说法中,正确的是________(填序号).①双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x;②命题p:∀x>0,x3>0,那么﹁p:∃x0>0,xeq\o\al(3,0)≤0;③已知x,y∈R,若x2+y2≠0,则x,y不全为0;④△ABC中,若AB>AC,则sinC>sin B.解析:①是正确的;对于②,命题p:∀x>0,x3>0,﹁p:∃x0>0,xeq\o\al(3,0)≤0,所以②是正确的;对于③,若x,y同时为0,则x2+y2=0,与已知冲突,故x,y不全为0;③正确;对于④,在△ABC中,大边对大角,所以④正确.答案:①②③④15.(一题多解)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q中元素的个数为________.解析:法一(列举法):当b=0时,无论a取何值,z=ab=1;当a=1时,无论b取何值,ab=1;当a=2,b=-1时,z=2-1=eq\f(1,2);当a=2,b=1时,z=21=2.故P*Q=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2),2)),该集合中共有3个元素.法二(列表法):因为a∈P,b∈Q,所以a的取值只能为1,2;b的取值只能为-1,0,1.z=ab的不同运算结果如下表所示:ba-10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2),2)),明显该集合中共有3个元素.答案:316.已知命题p:∀x∈[0,1],a≥2x;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题“p∨q”是真命题,“﹁p∧q”是假命题,则实数a的取值范围为________.解析:命题p为真,则a≥2x(x∈[0,1])恒成立,因为y=2x在[0,1]上单调递增,所以2x≤21=2,故a≥2,即命题p为真时,实数a的取值集合为P={a|a≥2}.
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