新课标2025版高考数学二轮复习第一部分基醇点自主练透第2讲集合复数常用逻辑用语练习理新人教A版

PAGE1-第2讲集合、复数、常用逻辑用语一、选择题1．(2024·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝()A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：选A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A．2．命题“∀x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是()A．∃x0≤0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)B．∃x0≤0，lnx0<1－eq\f(1,x0)C．∃x0>0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)D．∃x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)解析：选D．若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，﹁p(x0)．所以“∀x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是∃x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)，故选D．3．(2024·郑州市第一次质量预料)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1}B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤－3}解析：选D．因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．4.(2024·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7}C．{3，7} D．{1，3，5}解析：选B．由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B．5．若i是虚数单位，则复数eq\f(2＋3i,1＋i)的实部与虚部之积为()A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i解析：选B．因为eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f((2＋3i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以其实部为eq\f(5,2)，虚部为eq\f(1,2)，实部与虚部之积为eq\f(5,4).故选B．6．已知(1＋i)·z＝eq\r(3)i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A．因为(1＋i)·z＝eq\r(3)i，所以z＝eq\f(\r(3)i,1＋i)＝eq\f(\r(3)i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(\r(3)＋\r(3)i,2)，则复数z在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．7．(2024·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．因为f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，所以对随意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，所以2bsinx＝0.由x的随意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cosx是偶函数．充分性成立．所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．8．下列命题错误的是()A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件解析：选C．若eq\f(1,a)<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件，故A正确；依据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不肯定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．9．(2024·贵阳市第一学期监测)命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x<y，则－x>－y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：选D．命题p：当x＝0，y＝－2时，x2<y2，所以为假命题；命题q为真命题，所以①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∨(﹁q)为假命题；④(﹁p)∧q为真命题，所以真命题是②④.10．(2024·福州模拟)给出下列命题：①“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件；②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30；③命题“∃x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R，x＋eq\f(1,x)>2”．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C．由x＝eq\f(π,4)，得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5＝0,a＋b＝0))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－5,b＝5))，则f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R，x＋eq\f(1,x)<2”，所以命题③是错误的．故正确命题的个数为2，故选C．11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0，4]C．[4，＋∞) D．(0，4)解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D．12．(2024·南昌市第一次模拟测试)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋eq\f(|y|,2)≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) B．(0，1]C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，＋∞)) D．[2，＋∞)解析：选A．由题意，命题p对应的是菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋eq\f(y,2)＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心到直线2x＋y－2＝0的距离d＝eq\f(2,\r(4＋1))＝eq\f(2\r(5),5)≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5)))，故选A．二、填空题13．已知复数z满意z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．解析：因为z＝－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－1＋i,2)，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)14．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．①双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x；②命题p：∀x>0，x3>0，那么﹁p：∃x0>0，xeq\o\al(3,0)≤0；③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；④△ABC中，若AB>AC，则sinC>sin B．解析：①是正确的；对于②，命题p：∀x>0，x3>0，﹁p：∃x0>0，xeq\o\al(3,0)≤0，所以②是正确的；对于③，若x，y同时为0，则x2＋y2＝0，与已知冲突，故x，y不全为0；③正确；对于④，在△ABC中，大边对大角，所以④正确．答案：①②③④15．(一题多解)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝eq\f(1,2)；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：ba－10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，明显该集合中共有3个元素．答案：316．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．解析：命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，因为y＝2x在[0，1]上单调递增，所以2x≤21＝2，故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．