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文档简介
广东省广州三中2025年下学期期中考试高三数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.32.设复数满足,则()A. B. C. D.3.若各项均为正数的等比数列满足,则公比()A.1 B.2 C.3 D.44.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.5.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.76.已知命题p:“”是“”的充要条件;,,则()A.为真命题 B.为真命题C.为真命题 D.为假命题7.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是()A. B. C. D.8.椭圆是日常生活中常见的图形,在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米,底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯,且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计),在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出),杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则()A. B. C. D.10.已知向量满足,且与的夹角为,则()A. B. C. D.11.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列12.复数满足,则复数等于()A. B. C.2 D.-2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在矩形中,为边的中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为.14.圆关于直线的对称圆的方程为_____.15.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为____16.在的展开式中,的系数等于__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在四棱柱中,底面为正方形,,平面.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)19.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.20.(12分)设数列是公差不为零的等差数列,其前项和为,,若,,成等比数列.(1)求及;(2)设,设数列的前项和,证明:.21.(12分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.22.(10分)在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;2.D【解析】
根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.本题考查复数的四则运算,属基础题.3.C【解析】
由正项等比数列满足,即,又,即,运算即可得解.【详解】解:因为,所以,又,所以,又,解得.故选:C.本题考查了等比数列基本量的求法,属基础题.4.B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.5.B【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.6.B【解析】
由的单调性,可判断p是真命题;分类讨论打开绝对值,可得q是假命题,依次分析即得解【详解】由函数是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当,即时,;当,即时,,由,得,无解,因此命题q是假命题.所以为假命题,A错误;为真命题,B正确;为假命题,C错误;为真命题,D错误.故选:B本题考查了命题的逻辑连接词,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.7.C【解析】由三视图可知,该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半,所以,半圆柱的体积为,上部半圆锥的体积为,所以该几何体的体积为,故应选.8.C【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大,由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率,进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为,短轴长为6,所以椭圆离心率,所以.故选:C本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用,属于基础题.9.B【解析】
由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值.【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:.故选:.如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值.10.A【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选:A.本题主要考查数量积的运算,属于基础题.11.D【解析】
由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题12.B【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算,化简求解即可.【详解】复数满足,∴,故选B.本题主要考查复数的基本运算,复数模长的概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为.考点:旋转体的组合体.14.【解析】
求出圆心关于直线的对称点,即可得解.【详解】的圆心为,关于对称点设为,则有:,解得,所以对称后的圆心为,故所求圆的方程为.故答案为:此题考查求圆关于直线的对称圆方程,关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.15.【解析】
由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.16.7【解析】
由题,得,令,即可得到本题答案.【详解】由题,得,令,得x的系数.故答案为:7本题主要考查二项式定理的应用,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)详见解析;(2).【解析】
(1)连接,设,可证得四边形为平行四边形,由此得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以为原点建立空间直角坐标系,利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】(1)连接,设,连接,在四棱柱中,分别为的中点,,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面.(2)以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,四边形为正方形,,,则,,,,,,,设为平面的法向量,为平面的法向量,由得:,令,则,,由得:,令,则,,,,,二面角为锐二面角,二面角的余弦值为.本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题;关键是能够熟练掌握二面角的向量求法,易错点是求得法向量夹角余弦值后,未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角,造成余弦值符号出现错误.18.(1)(2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】
(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程,解方程求得的值.(2)根据表格数据填写列联表,计算出的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】(1)由题意,解得.(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下:擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100,对照表格可知,,不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查列联表独立性检验,属于基础题.19.(1),;(2)米.【解析】
(1)过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】解:过点作于点则,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因为,化简得,令,,且,因为,故令即,记,当时,单调递增;当时,单调递减,又,当时,取最大值,此时,的最大值为米.本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.20.(1),;(2)证明见解析.【解析】
(1)根据题中条件求出等差数列的首项和公差,然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和;(2)根据裂项求和求出,根据的表达式即可证明.【详解】(1)设的公差为,由题意有,且,所以,;(2)因为,所以,.本题主要考查了等差数列基本量的求解,裂项求和法,属于基础题.21.(1)(2)【解析】
(1)代入计算即可.(2)设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,
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