万有引力定律相关计算及与重力的关系（解析版）-2025高考物理热点模型讲义

模型17万有引力定律相关计算及与重力的关系

模型概述

1.特殊情况的万有引力定律应用：

(1)用万有引力定律的两个推论计算万有引力

推论I：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力

为零，即次=0。

推论n：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(加)受到的万有引

M'm

力等于球体内半径为r的同心球体(M)对它的引力，即b=

r

(2)填补法求解万有引力

运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现

了等效思想。

2.万有引力与重力的关系

(1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力尸助

①在赤道上：

G#=mg+ma）2R

R-

Mm

②在两极上：GW-mg.

R2

2

③一般位置：GT=mg+mcor.

R2

式中r为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自

转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GW=7"g.

R-

(2)星球上空的重力加速度g'

cMm,,GM

星球上空距离星体中心/=尺+〃处的重力加速度为9,=mg,得g'=7-----仃.所

（R+h）

g'R2

以:=（R+而，式中g为地球表面附近重力加速度•

典题攻破

1.特殊情况的万有引力定律应用

【典型题1】（2024•重庆九龙坡・模拟预测）如图1所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距

2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为4的小球

2

体（球心在OP连线上，右端位于O点），如图2所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（）

【答案】C

4

【详解】设球体的密度为p,球体的质量为M,可得”=金§兀店

4

则小球体的质量”=P.§兀

2)8

Mm

球体对该质点的万有引力大小F=G而

M'm

故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小弓除=F~G~^y

,2）

23

解得。余=石/

故选C。

2.万有引力与重力的关系

【典型题2】（2024•山西•一模）2023年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天

揽月，可下五洋捉鳖”！己知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为d（10909m）,空间站离地面的高度

为〃（400km）。假设地球质量分布均匀，半径为天，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的

引力为零，则深度为d处和高度为，处的重力加速度之比为(

A(R-d)(R+hfB(R+d)(R-hf

,R3R3

c.aD.Y

{R-h)+

【答案】A

【详解】设质量为%的物体在马里亚纳海沟底处，有=

(R—a)

又M，=(R_dY

M~A，

质量为加2的物体在空间站上，有G2=加2g2

(K丁+:n；)

解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为固L=尸

g2R

故选Ao

针对训练

一、单选题(本题共7小题。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多

选、错选均不得分)

1.(2022•新疆•一模)上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的

地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为加的小球与地球之间的万有引力为凡

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为尺，质量为万有引

力常量为G,则尸大小等于(

GMmGMm(R-d)GMmR3GMm

A,(…B.---C,下了D.『

【答案】B

【详解】将地球分为半径为(R—d)的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零

lGm,m

则厂等于半径为(R—d)的球对小球的引力，有尸=/0

yR-d)

4

设半径为(R—d)球的质量为叫，由密度公式得加=夕%二夕§万及3

所以%=(-R)3

MR3

解得，尸的大小为尸=纯华力

R3

B正确，ACD错误。

故选B。

2.(2024・江苏•模拟预测)帝企鹅是南极常见的一种动物，如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。如果

把地球看成一个均匀的球体，关于此帝企鹅与重力有关的问题，下列说法中正确的是()

A.帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心

B.帝企鹅受到的重力的方向一定偏离地心

C.帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力

D.帝企鹅受到的重力小于地球对它的吸引力

【答案】A

【详解】AB.重力的方向竖直向下，由于把地球看成一个均匀的球体，则帝企鹅受到的重力的方向一定

指向地心，故A正确，B错误；

C.帝企鹅对地面的压力的受力物体是地球，帝企鹅的重力的受力物体是企鹅，压力与重力作用在不同

物体上，因此，不能够认为帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力，故C错误；

D.由于帝企鹅处在南极极点，帝企鹅相对于地心处于静止状态，并没有随地球自转，则帝企鹅受到的

重力等于地球对它的吸引力，故D错误。

故选A。

3.(2024•贵州贵阳•三模)亚地球行星GJ367b是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径的

72%,质量为地球质量的55%。若取g=9.8m/s2,则该行星的表面重力加速度约为（）

A.6.0m/s2B.10m/s2C.8.0m/s2D.12m/s2

【答案】B

【详解】在星球表面有mg=午

„GM

贝n=

M处篇1

该行星的表面重力加速度约为g行=77支*贵g=S55x——r-xQ.Sm/s*7®10m/s-?

"地K行U.72

故选B。

4.（2023・贵州・模拟预测）已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀

的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球

球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正

确的是（）

【详解】当xVR,设地球的密度为。，距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为

43

—7ipxm

G-~~：—=mg

X

可得g-亨

当x>R,设地球的密度为0,地球半径为R,距地球球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关

多*之兀pNm

系为G、^=，，g

X

可得

3x

故选Ao

5.（2024•湖北•模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心

之间的距离为4R,它们间的万有引力大小为Fo现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为R的小球,

剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（）

73二

A.—r

81

【答案】D

【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为片，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为鸟,

小球对小球的万有引力大小为招，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为名，大球剩余部分对另

一个大球剩余部分的万有引力大小为乙。由题可知，挖掉小球的质量

'8

GM2

1

F=G整GM8万

2----=—F

1-T?162炉81

4

73

F2=F-FX=-F

尸

325R2100

719

所以—4喘尸

故选D。

6.（2024•山东泰安・模拟预测）中国将全面推进探月工程四期，计划2026年前后发射嫦娥七号。嫦娥七号

准备在月球南极着陆，主要任务是勘察月球南极月表环境、月壤水冰和挥发组分等。嫦娥七号探测器在

距离月面的高度等于月球半径处绕着月球做匀速圆周运动时，其周期为北；当探测器停在月球的南极时,

测得重力加速度的大小为g。。已知月球自转的周期为4，月球视为均匀球体，月球赤道处的重力加速度

为)

（8以一年）g。B隹乜2)g。

A.B-8.

伍2-7:2)g。

C.D.g

Tl0

【答案】A

【详解】设月球的半径为R,月球的质量为M，由题意得

心Mm4万2

G-----=m——27?

(2R)72邛\

G-^r=mg°

「Mm4万之

G~^=m^fR+mg

综合以上三式解得月球赤道处的重力加速度g=空

故选Ao

7.（2023•浙江•模拟预测）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质

量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，万有引力常量为G,则剩余部分对m

的万有引力为（)

7GMm14GMmC343GM初343GM比

A.B.-------z-D.

36R263R2•2048A2048R2

【答案】A

MTHGMm

【详解】挖去小球前球与质点的万有引力£=G（272=4R2

4,7?3

―矶一）M

挖去的球体的质量=32M

T

3

G\MmGMm

被挖部分对质点的引力为g=金[=牒

（5

IGMm

则剩余部分对质点m的万有引力尸=£-用=?记

故选Ao

二、多选题（本题共3小题。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部

选对的得全分，选对但不全的得一半分，有选错的得0分）

8.（2023•北京海淀•模拟预测）某科研小组在某深为d的矿井处测得一单摆的周期为T,先将这同一单摆移

到地面测得其周期为T0；再将这单摆移到某高山顶上测得其周期也是T,假定地球的密度均匀。已知

质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常数为G。则根据题给已知条件可以求出的物理

量正确的是（）

A.地球的半径RB.地球的质量Af

C.地球表面的重力加速gD.高山的海拔高度〃

【答案】AD

【详解】设地球密度为单摆的摆长为£，山顶到地球表面的高度为〃，在某深为d的矿井处,

Gp—<7)3m4

3L

此处单摆的周期为丁=2»

GpMR—d)

在地球表面处GMmGp丁吟n

〃塔="=Ri=Gp—7iRm

3L

此处单摆的周期为4=2"=R

Gp7iR

43

Gp—jiRm

在山顶处机m=GMm

（火+犷(R+h)2

此处的周期为7=2万巴小（1+-）-

[gVGpnT

dT2

解得R=7匚至

根据矿井处和山顶处单摆周期相等

即（R+/Z『X（R_［）=R3

在已知地球半径的情况下可求出山顶到地面的高度肌由于不知道地球的密度，所以无法求出地球的质

量，也无法求得地球表面的重力加速度。

故选ADo

9.（2020•山东济南•模拟预测）地球表面重力加速度的测量在军事及资源探测中具有重要的战略意义，已知

地球质量根地，地球半径R,引力常量G,以下说法正确的是（）

A.若地球自转角速度为

B.若地球自转角速度为。，地球两极处重力加速度的大小为堂

C.若忽略地球的自转，以地球表面/点正下方处的3点为球心，厂&<〃）为半径挖一个球形的防空洞,

则A处重力加速度变化量的大小为Ag=G需

D.若忽略地球的自转，以地球表面/点正下方/?处的5点为球心、为半径挖一个球形的防空洞,

则，处重力加速度变化量的大小为Ag=G膜点

【答案】ABC

【详解】AB.在赤道处包用=，wg赤+加。这

R

得出名赤=誓一。力

在两极处警衅=ag极

得出名极=饕

选项AB正确;

CD.若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心厂（厂＜力）为半径挖一个球形的防空洞,

，一加地43一用地3

该球形防空洞挖掉的质量"=4康工行二不，

A处重力加速度变化是由该球形防空洞引起的Ag=,Ag=

h1R3k2

选项C正确，D错误。

故选ABC=

10.（2021•黑龙江哈尔滨•模拟预测）2021年5月15日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及

其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火

星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面

的重力加速度为g,质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则（）

A.火星表面重力加速度为黄

B.火星表面重力加速度为运

a

C.火星表面正下方距表面距离为火星半径g处的重力加速度为噜

22b2

D.火星表面正下方距表面距离为火星半径g处的重力加速度为整

24b2

【答案】AC

Mm

【详解】AB.在地球表面有G=mg

aMm

在火星表面有G鬲=咽

联立解得火星表面重力加速度为g'=零

则A正确；B错误；

CD.设火星的密度为「，火星的半径为名,由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星

表面正下方距表面距离为火星半径L处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内

2

部那部分质量为河，=夕9〃［殳］=-M^=-aM

3I2J88

1”

1《M火m

火星表面正下方距表面距离为火星半径4处的重力加速度为g",则有G77V=mg，

2%

2

联立解得g"=^

所以C正确；D错误；

故选AC。

三、计算题（本题共2小题。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最

后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）

11.（2023•贵州铜仁・二模）我国航天技术水平在世界处于领先地位，对于人造卫星的发射，有人提出了利

用“地球隧道”发射人造卫星的构想：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处分别将等质量的待

发射卫星部件同时释放，部件将在通道中间位置“碰撞组装”成卫星并静止下来；另在通道的出口处由静

止释放一个大质量物体，大质量物体会在通道与待发射的卫星碰撞，只要物体质量相比卫星质量足够大，

卫星获得足够速度就会从对向通道口射出。（以下计算中，已知地球的质量为〃o,地球半径为引力

常量为G,可忽略通道AB的内径大小和地球自转影响。）