苏州九年级数学期末模拟卷【测试范围：苏科版九年级上册+下册】含答案及解析

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷

（苏州专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：130分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：苏科版九年级上册+下册。

5.难度系数：0.8o

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知的直径为4,04=4,则点/在（）

A.OO内B.上C.OO外D.无法确定

2.关于x的一元二次方程/+履-1=0的根的情况是（）

A.无实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

3.为了解甲，乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进试验，得到的各试验

田每公顷的产量绘制统计图如图，下列判断正确的是（）

A.甲种甜玉米平均产量大B.乙种甜玉米平均产量大

C.甲种甜玉米产量波动大D.乙种甜玉米产量波动大

4.对于二次函数>=3（工-1）2+3的性质，下列描述正确的是（）

A.开口向下

B.对称轴是直线x=-l

C.顶点坐标是（3,1）

D.>=3（》-1）2+3的图象可由〉=3工2+3的图象向右平移1个单位得到

5.如图，四边形是。。的内接四边形，ZAOC=142°,则24BC的度数是（）

A.109°B.142°C.45°D.19°

6.如图，ZUBC中，44cB=90。，25=30°,将△4BC绕点C按逆时针方向旋转，得到△/®C,若点A

的对应点H恰好落在边4B上，连接贝han/3'/C的值为（）

B

7.如图，四边形4BCD中，AD=CD=4,AB=BC,ZADC=120°,/4BC=90。，点。为/C的中点,

分别以A、C为圆心NO为半径作圆得扇形NE尸与扇形CHG（NEAF、N77CG为圆心角），则图中阴

影部分的面积为（）

FQH

A.16-4^3-5^B.12—4百—4%

C.12+4V3-57TD.24+84一5万

8.如图，矩形45。各边中点分别是E、F、G、H,AB=2^3,BC=2,/为2B上一动点，过点M作

直线若点〃从点A开始沿着48方向移动到点3即停（直线/随点”移动），直线/扫过矩形内

部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设/M=x,则S关于x的函数图象大致是（）

第II卷

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如表：若对演

讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5、3、2,则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是.

演讲内容演讲能力演讲效果

分数908085

10.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域

的概率是

11.已知抛物线”加+bx+c经过4（1,加），B（3,机）两点，贝！|-3的值为

2a

12.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点/、8、C都在格点（网格线的交点）上，圆M经过

点/、B、C、D,贝iJtanZBDC的值为

13.如图，正五边形/8CDE的边力B,4E与。。分别相切于点M,N,点P在疝上，连接PM,PN,

则的度数为

14.如图，在△N8C中，ZC=90°,。。是△4BC的内切圆,切点分别为。、E、F,若NC=3,BC=4,

则。。的半径为

15.如图，在及A45C中，/C=90。，ZABC=30°,4C=2,点尸是边力B上一动点（不与A、3重合）,

以4尸为直径的0。交ZC于点。，连接DB交0。于点E,连接CE,当点尸在边4B上移动时，则CE的

最小值为.

16.定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这

个三角形的“等底”如图，己知4〃/2，4与4之间的距离为3.“等高底”△NBC是钝角三角形，且

43c>90。，△N8C的“等底”5。在直线4上，点A在直线3△N2C有一边的长是8c的6倍.将

△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△/'3'C,HC所在直线交4于。，贝UCD=.

三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（6分）计算：2023。-6cos30。+,1

18.（6分）解方程：（x-2）2+龙（x-2）=0.

19.（6分）已知关于x的方程/-"+°-1=0的根为X,、x2.

⑴当〃=4时,求％1+%2+再，％2的值;

⑵若方程的一个根再=6,求。的值与另一个根乙.

20.（6分）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从/到2的电路为通路状态时，系统

正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为;，当某元件不能

正常工作时，该元件在电路中将形成断路.

4・_—・B4・-E>]~~[Ml~・B

图1图2

（1）如图1,只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为；

⑵如图2,用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率.（用画树状图或列表方

法求解）

21.（6分）如图，在A/BC中，乙4=30。"=45。凤=36.

⑴求/C的值.

⑵求△4BC的面积（结果保留根号）.

22.(8分)1963年3月5日，毛泽东主席亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一

代又一代中国人.今年3月5号，某校团委组织全校师生开展“学习雷锋精神，志愿做义工活动”，活动

结束后学校随机调查了部分同学的义工活动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中

信息回答下列问题：

(1)将条形统计图补充完整;

(2)扇形图中“1.5小时”部分圆心角是一度，活动时间的众数是小时,中位数是小时；

(3)若该学校共有900名学生参与义工活动，请你估计工作时长一小时以上(不包括一小时)的学生人

数.

23.(8分)如图，P是。。外一点，尸/是。。的切线，A是切点，5是。。上一点，且融=PB,延长30

分别与切线尸4相交于C、。两点.

⑴求证：依是。。的切线；

(2)”为依边上的中线，若4。=4,CQ=2,求纱的值.

24.（8分）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知斜屋面的倾斜角

为25。，长度为2米的真空管也与水平线出的夹角为45。，安装热水器的铁架水平管8c长0.2米，求:

图1

（1）/。的长度（结果精确到0.1米）.

⑵铁架垂直管CE的长度（结果精确到0」米）.(>/2®1,41,sin25°«0.42,

cos25°~0.91tan25°=0.47）

25.（8分）某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批玩具进行销售，并将所得利润捐给慈善机

构.根据市场调查，这种玩具一段时间内的销售量，（个）与销售单价x（元/个）之间的关系为：

y=-30x+600,这种玩具的进价为6元/个.

（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

（2）若这种玩具的进货成本不超过1080元，要想获得最大的利润，试确定这种玩具的销售单价，并求出

此时的最大利润.

26.(10分)综合与探究：

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=«x2-2x+c与x轴交于点/(TO)和点C,与丁轴交于点B

(0,3),点P是抛物线上点A与点。之间的动点(不包括点A,点C).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,动点P在抛物线上，且在直线4B上方，求A/AP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,过原点。作直线/交抛物线于M、N两点，点X的横坐标为加，点N的横坐标为〃.求证:

加〃是一个定值.

27.(10分)定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为加(机为正整数)的点，则称该点为这个

函数图象的“加系关联点例如，点。,0)是函数＞=3》-3的图象的“1系关联点”。

⑴在函数①k-x+3.②y=③歹=%2+级+1的图象上存在“2系关联点”的函数是；(填序号)

(2)若函数”士的图象的“3系关联点”与函数歹=2x+b的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等

x

腰三角形，求6的值；

(3)若函数y=、2+加x+2的图象存在唯一的“加系关联点”，当，+1时，函数y=/+加x+2的最小

值为T,求，的值.

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷

（苏州专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：130分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：苏科版九年级上册+下册。

5.难度系数：0.8o

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知的直径为4,04=4,则点/在（）

A.OO内B.上C.OO外D.无法确定

【答案】C

【详解】解：的直径为4,

二的半径为2,

,：OA=4>2,

•••点A与的位置关系是点在圆外，

故选：C.

2.关于x的一元二次方程/+h-1=0的根的情况是（）

A.无实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】D

【详解】解：：Y+日-1=0,

••6Z—1,b—k,c——1,

A-b2-4ac-k2-4xlx(-1)=A:2+4>0.

.••方程/+辰一i=o有两个不相等的实数根.

故选：D.

3.为了解甲，乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进试验，得到的各试验

田每公顷的产量绘制统计图如图，下列判断正确的是（）

甲种甜E米的产量乙种甜长米的产年

A.甲种甜玉米平均产量大B.乙种甜玉米平均产量大

C.甲种甜玉米产量波动大D.乙种甜玉米产量波动大

【答案】C

【详解】从图中看到，甲，乙两种甜玉米平均产量相近，甲种甜玉米产量的波动比乙的波动大.

故选：C.

4.对于二次函数》=3（x-ir+3的性质，下列描述正确的是（）

A.开口向下

B.对称轴是直线x=-l

C.顶点坐标是（3,1）

D.y=3（x-iy+3的图象可由y=3/+3的图象向右平移1个单位得到

【答案】D

【详解】解：A、；二次函数y=3（x-l>+3中,a=3>0,

.♦•该二次函数图象的开口向上，故该选项错误，不符合题意；

B、该二次函数图象的对称轴为直线x=l,故该选项错误，不符合题意；

C、该二次函数图象的顶点坐标为。,3）,故该选项错误，不符合题意；

D、y=3（x-ir+3的图象可由y=3x?+3的图象向右平移1个单位得到，该选项正确，符合题意,

故选：D.

5.如图，四边形4BCD是OO的内接四边形，ZAOC=142°,则-4BC的度数是（）

A.109°B.142°C.45°D.19°

【答案】A

【详解】解：；NO=；4OC='x142。=71。，而/B+ZD=180。，

22

4=180。-71°=109°.

故选：A.

6.如图，ZUBC中，ZACB=90°,/B=30。,将△4BC绕点C按逆时针方向旋转，得到△/®C,若点A

的对应点H恰好落在边48上，连接贝han/B'/C的值为（）

V3

D,

52

【答案】C

【详解】解：如图：设49，交BC于点、D,E,

在△4BC中，ZACB=90°,

---ZB=30°,

/.ABAC=60°,

由旋转可知：AC=A,C,

：AACA是等边三角形，

ZACA=60°,

.•.〃。'=90。-60。=30。，

由旋转可知：ZB,A,C=ZBAC=60°,

NCDA'=30°+60°=90°,

AfC=AC=2ArD,

设A'D=x,CE=y,

:.AC=2ArD=2x,

DC=垂＞AD=y/3x，

：.DE=CD-CE=y/3x-y,

ArBr=AB=2AC=4x,

B'D=AB'-A'D=3x,

•「ZBDAr=ZBCA=90°,

・・.AD//AC、

ADB'E=AB1AC,

/.tanADB'E=tanNB'AC,

.DE_CE

••~—，

B'DAC

.y/3x-yy

••-----------=—,

3x2x

.2A/3X

••y=-------，

5

.,R4「2A/3X1V3

..tan/BA.C=-----x—=—.

52x5

故选：c.

7.如图，四边形4BCD中，AD=CD=4,AB=BC,ZADC=120°,ZABC=9Q°,点。为4c的中点,

分别以A、C为圆心NO为半径作圆得扇形/E尸与扇形CHG（NEAF、N8CG为圆心角），则图中阴影

部分的面积为（）

A.16-473-5^B.12-46-4%

C.12+473-5^-D.24+873-5^-

【答案】C

【详解】解：如图：连接D。，

•.­AD=CD=4,N4DC=120。，点。为/C的中点，

ADAC=ZDCA=30°,AO=OC,DOIAC,

DO=^AD=2,AO=V16-4=2G,4c=4A/3，

则=g/CxDO=；x46x2=4石，

•；AB=BC,//BC=90。，点。为/C的中点，

ABAC=NBCA=45°,

AB=BC=276,

贝US/BC=；/8X8C=；X2&X2C=12，

:分别以A、C为圆心NO为半径作圆得扇形/E尸与扇形C//G（ZEAF.NHCG为圆心角）,

AEAF=AHCG=30。+45。=75。,S扇形四=S扇形CGH=菽*（2⑹万=2.5万，

^AADC+S—Bc—2s扇形"£尸=4拒+12-5n,

则图中阴影部分的面积为12+4石-5万.

故选：C.

8.如图，矩形/BCD各边中点分别是E、F、G、H,AB=20BC=2,X为力B上一动点，过点M作

直线/1/3,若点/从点A开始沿着2B方向移动到点8即停（直线/随点/移动），直线/扫过矩形内部

和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设/V=x,则S关于x的函数图象大致是（）

【详解】解：如下图所示，当初点的运动过程在/E段

贝U由题意可知$=$△HAE+黑GHD-S/^EOM-S&GPS

•・,四边形/8CQ是矩形，直线H、E、F、G为AD、AB、BC、C。的中点

••SAHAE-S4GHD，S4E0M-S丛GPS

S—2sAi1AE~2s4EOM

S.„=-AE-AH,AH=-AD=-BC=\,AE=-AB=4i

AHAAEF2222

•・,直线/_L/B

：.ZOME=ZA=90°

：.MAESQME

AHOM

AE~ME

h

：.OM=—ME

3

又•；ME=AE—AM=6—x

/.OM=—ME=

3

同理当在BE段时S=S.HAE+§△GHD+SeEO、M\+S4GP、S\

即S=2sAHAE+2sAEOM

同理可以得到=—M,E

113

MxE=AMi-AE=x-^

.•.aM=9ME=9（x-石）

S=2'加上+2S,E°M=石+9（x一百『

综上所述当M点的运动过程在北段时S=2S.E-2S，EO.=百-苧（G-xJ,二次函数开口向下；当河

点的运动过程在班段时$=若+*1-有/，二次函数开口向上；

故选：D.

第II卷

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如表：若对演

讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5、3、2,则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是.

演讲内容演讲能力演讲效果

分数908085

【答案】86

90x5+80x3+85x2”

【详解】解:---------------------------------------------二86（分）

5+3+2

小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是86分.

故答案为：86.

10.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域

的概率是.

【答案】|

【详解】解：•••由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖,

・♦.黑色方砖在整个地板中所占的比值|3=1

•••小球最终停留在黑色区域的概率是g,

故答案为：—.

11.已知抛物线＞=办2+乐+＜：经过/（1,加），3（3,%）两点，则-二的值为________.

2a

【答案】2

【详解】解：依题意，因为抛物线夕=依2+法+。经过/（I,m）,3（3,加）两点，且/（I,m）,2（3,机）两

点的纵坐标相等

所以/（1,町与8（3,相）关于对称轴x=对称，

2a

b1+3_

n即rr----=----=2,

2a2

故答案为：2.

12.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点/、B、。都在格点（网格线的交点）上，圆M经过

点4、B、C、D,则tan/BOC的值为

【详解】解：连接/3，AC,BC,如图所示:

•.•点A,B,C都在格点（网格线的交点）上，经过点A,B,C,D,

:.NBDC=NBAC,BC=3,BA=2,

,：Z.ABC=90°,

tanZBDC=tanABAC==—,

BA2

_,3

故答案为：—.

13.如图，正五边形的边AB,NE与。。分别相切于点”，N,点尸在加上，连接PM,PN,

则ZMPN的度数为.

【答案】144°

【详解】解：如图，连接＜W,ON,在优弧4B上取一点。，连接。“，QN,

A

Q

•••五边形48CDE是正五边形，

（5-2）x180°

——』--------=108°

5

・•,正五边形/3CDE的边力B,/E与0。分别相切于点M,N,

ZOMA=ZONA=90°,

AMON=360°-90°-90°-108°=72°,

ZMQN=；AMON=36°,

••・四边形PMQV是圆内接四边形，

ZMPN+ZMQN=180°,

r./MPN=180°-36°=144°.

故答案为：144。.

14.如图，在△4BC中，ZC=90°,是△4BC的内切圆，切点分别为。、E、F,若/C=3,BC=4,

则。。的半径为.

【答案】1

【详解】解：连接斤，贝lj8=OE=O尸,

A

设OD=r,

在RtA^SC中，AB=JAC?+BC。=5，

・JOO是△ABC的内切圆，切点分别为。、E、F,

：.OD1AB,OE1BC,OF1AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF,

又：ZC=90°,

二四边形OECF为正方形，

CE=CF=r,

'：BE=4-r,AF=3—尸,

.・.AB=BD+AD=BE+AF=A-r+3-r=l-2r,

而=5,

7-2r=5,

：.r=l,即。。的半径为1

故答案为：1.

15.如图，在比A4BC中，/C=90。，ABC=3Q°,/C=2,点尸是边4B上一动点（不与A、6重合），

以4斤为直径的。。交/C于点。，连接DB交0。于点E,连接CE,当点尸在边力B上移动时，贝UCE的最小

【答案】2H4

【详解】解：在△4BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

AB=2AC=4,BC=AB1-AC2=A/42-22=273>^SAC=60°,

连DF,AE,EF,

尸为的直径，

/ADF=ZAEF=90°,

ZAFD=ZAED=90°-ZBAC=90°-60°=30°,

ZAEB=180。-30。=150。为定角，

E在以4B为弦所对圆心角为60。的圆弧上运动，

设该圆圆心为N,连NE,CN,AN,BN,则//A«=60。，AN=BN,

.a/BN为等边三角形，

AB=BN=AN=4,/ABN=60°,

NCBN=90°,

:.CN=^BC2+BN2=712+16=2A/7，

又EN=BN=4.

由两点之间线段最短知：CE+NE>CN,

:.CE>CN-EN=2y/7-4,

二当C、E、N在一直线时.CE有最小值为：2V7-4.

故答案为：2b-4.

16.定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这

个三角形的“等底”如图，已知4〃右，4与72之间的距离为3.“等高底”△/8C是钝角三角形，且

NABC>90°,沙蛇的“等底”2C在直线4上，点A在直线aMBC有一边的长是BC的6倍.将zX/BC

绕点C按顺时针方向旋转45。得到△48'C,HC所在直线交乙于。，则CQ=.

Ar

【详解】解：分别过点A作在，3c于点£,点。作。F//C于点/，如图所示:

由题意可得：BC=AE=\AACA'=A5°,

ADFC是等腰直角三角形,

,/4//12,

：.ZDAF=NACE,

VAELBC,DF1AC,

：.ZAEC=ADFA=4DFC=90°,

/.AAECS^DFA,

①当48=岛。=3行时，则在RtzX48E中，由勾股定理得：BE=^AB2-AE2=6>

：.EC=BC+BE=9,

.•.在Rtz^/EC中，由勾股定理得：AC=^EC2+AE2=35/10>

,/LAECsADFA,

AE]_

BP—=—

DFAFAFEC3

ADFC是等腰直角三角形,

AFC=DF=^AF,CD=®CF,

/.AF+FC=4FC=AC=3710,

/.CF=，

4

・3厢历_3加

••CD-------XV2-,

42

②当4C=属。=3指时，则在Rt^/EC中，由勾股定理得：EC7AC?-AE2=6=2BC，

AAECS^DFA,

AEECnnDFAE1

..岳=7F'即行=正=5'

,/△DFC是等腰直角三角形，

Z.FC=DF=^AF,CD=gCF，

：.AF+FC=3FC=AC=3y[5,

/.CF=y[5,

/.CD=V5xV2=Vw：

综上所述：CD二处或屈;

2

故答案为逃或所；

2

三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(6分)计算：20230-gcos3()o+|&-l|.

【详解】解：原式=1-6亚T

2

=1--+V2-1

2

=V2--1.................................................................6分

18.(6分)解方程：(x-2y+x(x-2)=0.

【详解】解：(x-2y+x(x-2)=0

(x-2)(2x-2)=0

.,.x-2=0或21-2=0

解得：玉=2,%2=1.............................................................6分

19.(6分)已知关于x的方程—+Q_1=O的根为、x2.

(1)当〃=4时，求再+%2+项,％2的值;

（2）若方程的一个根再=6,求。的值与另一个根£.

【详解】（1）•.,当。=4时，方程为F-4x+3=0,

xt+x2=4,xtx2=3,

X]+x2+再,x2=4+3=7；..............................3分

（2）•.•方程x2-ax+a-l=0的根为X]、声，

又占=6

xx+x2=a,xxx2=a—\,

16+X,=Q

即Ar

fa=7

解得：，，...............................6分

乂=1

20.（6分）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从/到3的电路为通路状态时，系统

正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为:，当某元件不能正常

工作时，该元件在电路中将形成断路.

_・B/•~~EMI[Ml~・B

图1图2

（1）如图1,只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为；

（2）如图2,用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率.（用画树状图或列表方法求

解）

【详解】（1）解：只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为:；

故答案为：1；..............................3分

（2）解：每个元件正常工作分别记为：%,4,每个元件不能正常工作分别记为：至，

用2个电子元件①，②组成一个电路系统，所有情况如下表：

（凡出）（凡，喝

R（凡此）（R,瓦）

•.•从A到5的电路共4种等可能结果，其中该电路为正常状态的有1种,

，该电路为正常状态的概率为;...............................6分

21.（6分）如图，在ZX/BC中，=30°,ZS=45°,5C=372.

⑴求/C的值.

（2）求△NBC的面积（结果保留根号）.

【详解】（1）解：如图，过点。作CDL/8于点Z）.

在Rtz\5CD中，ZS=45°,BC=3叵,

S£>=SC-cos45°=3V2x—=3,

2

CD=BD=3,

在Rt^/CD中，

■.■ZA=30°,

AC=6；..............................3分

（2）解：由（1）知：在中，AC=6,CD=3,

AD=^62-32=3-\/3，

・•.AB=AD+BD=3也+3

­•-S•=；xABxCD3r................................................................6分

22.（8分）1963年3月5日，毛泽东主席亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一

代又一代中国人.今年3月5号，某校团委组织全校师生开展“学习雷锋精神，志愿做义工活动”，活动结束

后学校随机调查了部分同学的义工活动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答

下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；

（2）扇形图中“1.5小时”部分圆心角是一度，活动时间的众数是小时,中位数是小时；

（3）若该学校共有900名学生参与义工活动，请你估计工作时长一小时以上（不包括一小时）的学生人数.

【详解】（1）解：工作时间为1小时的有30人，占调查人数的30%,

.••此次调查的人数为：30+30%=100（人）

二工作时间为1.5小时的人数有：100-12-30-18=40（人），

补全统计如图所示：

（2）解：扇形图中“1.5小时”部分圆心角为：

40

360°x=144°,

100

活动时间出现次数最多的是1.5小时，出现40次,

.♦•众数为：1.5小时,

将loo个学生的活动时间从小到大排序后处在第50、51位的都是L5小时，

.♦•中位数为：至）=1.5（小时），

2

故答案为：144,1.5,1.5；.............................................................6分

（3）解：900乂当萨=522（人），

估计工作时长一小时以上（不包括一小时）的学生人数是522人.............................6分

23.（8分）如图，P是。。外一点，尸/是。。的切线，A是切点，3是OO上一点，且P4=PB,延长30

分别与。。、切线PN相交于C、。两点.

⑴求证：网是G)o的切线；

⑵3为依边上的中线，若工。=4,CQ=2,求0。的值.

【详解】(1)证明：连接。4,

^OBP^OAP(SSS),

NOBP=NOAP,

丁尸力是O。的切线，A是切点，

C.OAVPA,

：./CUP=90。，

ZOBP=90°,

：.OBVBP,

〈OB是半径，

・・・05是O。的切线；..............................4分

(2)解：连接/C,设。4=/，则00=2+小

Q

VAQ=4,CQ=2fZOA2=180°-ZOAP=90°,

OA2+AQ2=OQ2即r2+42=(r+2)2,

解得，尸=3,

OA=3,BC=6,

设BP=x,则=

•・•尸3是圆。的切线，

NPBQ=90°,

・•・BQ2+BP2=PQ\X2+(6+2)2=(x+4『，

解得，%=6,

BP=6,

为我边上的中线，

BD=3,

：•QD=J(6+2>+32=V73.............................................................8分

24.（8分）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知斜屋面的倾斜角

为25。，长度为2米的真空管AB与水平线ND的夹角为45。，安装热水器的铁架水平管2C长0.2米，求:

图1图2

（1）40的长度（结果精确到0.1米）.

（2）铁架垂直管CE的长度（结果精确到0.1米）.（及21.41,sin25°«0.42,cos25°«0.91tan25°=0.47）

【详解】（1）解：如图，过点3作即，于尸,

图2

则四边形3FDC为矩形，

Z.。尸=8C=0.2米，

在RM4B尸中，9=2米，ZBAF=45°,

贝！|力歹=4B-cosZR4尸=2x（米），

2

AD=AF+DF=\A\+0.2~\.6（米），

答：40的长度约为1.6米；..............................4分

（2）解：在RtA/8尸中，居=2米，ZBAF=45°,

历

贝IjB尸=/B-sinNB/F=2xJQ1.41（米），

2

在RM/DE中，血）=1.61米，ZEAD=25°,

贝l]OE=NO-tanZ&4O°1.61x0.4710.76（米），

：.CE=CD-DE=1.41-0.16^0.1（米），

答：铁架垂直管CE的长度约为0.7米................................8分

25.（8分）某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批玩具进行销售，并将所得利润捐给慈善机

构.根据市场调查，这种玩具一段时间内的销售量V（个）与销售单价x（元/个）之间的关系为：y=-30x+600,

这种玩具的进价为6元/个.

（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

（2）若这种玩具的进货成本不超过1080元，要想获得最大的利润，试确定这种玩具的销售单价，并求出此时

的最大利润.

【详解】（1）解：由题意得

w=（x-6）y

=（x-6）（-30x+600）

=—30%2+780x—3600，

/.w=-30x2+780%-3600；.............................................................4分

（2）解：由题意得

（-30x+600）x6<1080,

解得：x>14,

W=-30X2+780X-3600

=-30（X-13）2+1470

*/-30<0,

.,.当x>13时，w随着x的增大而减小，

而14>13

.,.当x=14时，w取得最大值为^=-30x(14-13)2+1470=1440(元)，

故此时的销售单价为14元/个时，最大利润为1440元................................8分

26.(10分)综合与探究：

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线尸ax?-2x+c与x轴交于点/(-3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3),

点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A,点C).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,动点P在抛物线上，且在直线N3上方，求ANAP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,过原点。作直线/交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为相，点N的横坐标为〃.求证：mn

是一个定值.

【详解】(1)解：把点2(-3,0)和点B(0,3)的坐标代入y=ax2-2x+c,

9。+6+c=0

得到:

c=3

U=-1

解得:

c=3

..・抛物线的解析式为歹=-一―2X+3；............................................................3分

(2)解：如下图所示，过点P作尸“IIP轴，交AB于点H,

设直线的解析式为y=kx+b,

把点/(-3,0)和点8(0,3)的坐标代入y=kx+b,

—3左+6=0

可得:

6=3

k=\

解得:

b=3

・・•直线48的解析式为y='+3,

设点尸的横坐标为》,则点尸的纵坐标为-2X+3,

.二点〃的横坐标为％,点H的纵坐标为x+3,

PH=-——2x+3-(x+3)=_12—3x,

x2X,

S.APB-S“PH+S&BPH-2*[。一(一3)](-12-3x^=~~~2

整理得:=-|x2-|X=-|(^2+3x)=-|^X+|^+y,

327

.•・可知当x=-彳时，△/%的面积有最大值，最大值是?，

28

当x=_g时，y=_J_2x+3=—1―_2*[_：]+3=?,

此时点尸的坐标为卜■!，