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文档简介
实战演练05导数中构造函数的妙用
①构造函数比较大小
②构造函数解不等式
③构造函数求最值(范围)
④构造函数证明不等式-
必备知识速记
一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用X=Ine\xeR),x=elnX%>0)将要比较的三个数化为结构相同
的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量
间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用
同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为
比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
U)与e'和Inx相关的常见同构模型
①ae"W61nboe"lne"bln6,构造函数/⑺=xlnx或g(x)=xe";
②苴构造函数〃x)=弓-或g(无)=土;
a\nbIne\nbInxx
③e"±a>b±ln6=e"±lne">6土ln6,构造函数/("=x±lnx或g(x)=e,土x.
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是:
(1)把不等式转化为/
(2)判断函数/(x)的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉,得到具体的不等式
(组),但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,下面是常见函数的变形
模型1.对于/'(X)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x)
模型2.对于不等式/'(x)〉左(左W0),构造函数g(x)=/(x)-丘+江
模型3.对于不等式/'(x)+/(x)〉0,构造函数g(x)=e"(x)
拓展:对于不等式/'(x)+4f(x)〉0,构造函数8卜)=//(;0
模型4.对于不等式/,(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=」学
e
模型5.对于不等式;/(》)+/(x)>0,构造函数g(x)=3(x)
拓展:对于不等式;vf'(x)+h'(》)〉0,构造函数g(x)=x"(x)
模型6.对于不等式V"(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=应(x中0)
X
拓展:对于不等式可"'(x)-裾'(x)〉0,构造函数g(x)=Z^
X
f(x)
模型7.对于三士〉0,分类讨论:(1)若/(x)〉0,则构造〃(x)=ln/(x);
/(x)
(2)若/(x)<0,则构造〃(x)=ln[—/(x)]
模型8.对于/'(x)+Inaf(x)>0(<0),构造h(x)=axf(x).
模型9.对于/'(x)Inx+幺^>0(<0),构造/z(x)=/(x)lnx.
X
模型10.(1)对于f\x)>/(x)tan%(如'(%)</(x)tanx),即f\x)cosx-/(x)sinx>0(<0),
构造h(x)=/(x)cosx.
(2)对于/'(%)cos%+/(%)sinx〉0(<0),构造h(x)=)(").
cosx
模型11.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[f(x)sinx\(2)/⑴s'n“⑴
sinxsinx
名校模拟探源
I①构造函数比较天不
一、单选题
1.(23-24高二下•广东佛山•阶段练习)若。=里,6,。="则()
3e2
A.c<b<aB.b<c<a
C.c<a<bD.b<a<c
【答案】C
【分析】结合a,6,c的特征,构造函数/(元)=叱,利用其单调性即可比较大小.
X
【详解】构造函数/(尤)=史,xe(0,+8),则广(好=匕”,
XX
令_f(x)>0解得0<x<e;令/'(x)<0,解得x>e;
可得了(X)在(O,e)上单调递增,在[e,+8)上单调递减,
In2In4.1Ine
•/c=——=——,b=-=——,且ne<3<4,
24ee
.-./(e)>/(3)>/(4),即0="<半=°<g=6,就是c<a<6.
43e
故选:C.
2.(2024・四川•模拟预测)已知〃=ln,,b=],c=e-2,则。也c的大小关系为()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
【答案】A
【分析】利用当x>0时,lnx4x-l判断。>6,通过函数>在是减函数判断6>c.
X
【详解】当x>0时,设/(x)=lnx-x+l,则=
当0<x<l时,/(x)>0,/⑴单调递增,当x>l时,r(x)<0,单调递减,
所以/(x)W/(l)=0,
也就是说当x>0时,lux<x-1,
用工代替X,可得111工《工-1,即山士1-,,
XXXX
321
所以—即a>6.
又知:■二e一之,所以6〉c,所以
故选:A
3.(23-24高三上•云南昆明•阶段练习)设a=!,b=毕,0=^+%设°,b,c的大小关系为()
e3
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a
【答案】A
【分析】构造函数/(x)=由导数判断单调性后比较.
【详解】解:构造函数小)=5,则小)=宏,
当X>1时,r(X)<0,函数〃X)=/在[1,+8)上为减函数,
m«=-=/(l),6=孚=塔=>(ln3),c=e-2+h2=4=/(2),又l<ln3<2,
e3ee
所以/⑴>/(山3)>〃2),即
故选:A
120237।12024,12025
4.(2024高三・全国・专题练习)已知6z=ln--------F,b=In------+-------c=In--------1-----则---a,
202420242025202520262026
b,c的大小关系是()
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>b>aD.c>a>b
【答案】A
【分析】构造函数/(x)=lnx+l-x,利用导数说明它在(0,1)内单调递增即可得解.
11—Y
【详解】构造函数〃x)=lnx+l-x,r(x)=--l=^,
XX
当0<x<l时,/(x)>0,/(x)单调递增,
所以/―1—〕>――1—1"一M,a>b>c.
(2024)(2025)(2026)
故选:A.
971
97
5.(2024•陕西安康,模拟预测)已知Q=—,b=cos—,c=e,贝!J()
987
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>a>bD.c>b>a
【答案】B
【分析】构造函数/(x)=cosx-,。,和g(x)=ef+l),(x>0),利用导数求解函数的单调
性,即可求解.
【详解】令〃x)=cosx-]l-m,xe(o,:,则/(x)=x-siiw,
令夕(x)=x-sinx,xe(0,3,则”(x)=1-cosx>0,0(x)即尸(x)单调递增,所以/'(x)>/⑼=0,故/(x)
为增函数,所以/佶]>〃0)=0,可得cos(>襄,故”6.
\'J79o
令g(x)=e,-(x+l),(x>0),贝!|g<x)=e-l>0,故g(x)为增函数,所以>g(0)=0,即
±02_±Q7
e97——>0.所以e97V一,故c<a,所以c<a<b
9798
故选:B.
【点睛】方法点睛:利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形;
⑵构造新的函数〃(工);
(3)利用导数研究”x)的单调性或最值;
(4)根据单调性及最值,得到所证不等式.
高三上•江苏南京•阶段练习)已知20242023贝!。,的大小
6.(23-24a=20232°23,B=2Q23,c=2O24,1b,c
关系为()
A.b>a>cB.a>c>b
C.b>c>aD.c>a>b
【答案】c
【分析】通过指数函数、募函数的单调性得。<6,a<c,再构造函数以外=小,通过导数判断单调性即
x
可得6>c.
【详解】由题意,令/(x)=2023,,则洋x)=2023,在R上单调递增,
所以a<6,
令g(x)=*3,则8⑶=x2023在(0,+功上单调递增,
所以a<c,
In2023
ln6=20241n2023
U73Inc2023In2024In2024'
2024
人,/、Inx,,,、1-lnx
令/z(x)=-----,贝!]〃(x)=j—,
XX
令〃(x)>0,贝!]0<x<e,以x)单调递增;
令"(x)<0,则x>e,〃(x)单调递减;
所以B常>1然j‘则2024In2023>2023In2024=In2O232024>In2O242023,
故6=2O232024>c=20242期,
综上所述,即6>c>a.
故选:C.
i11i1
7.(2024・安徽芜湖•三模)设Q=—,b=ln—,c=—•e11,则()
101011
A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a
【答案】A
【分析】先构造函数/(x)=e、7-1,利用导数证明训>(+1,贝!)
c==yx1+1,再构造函数g(x)=ln(x+l)_21W+lJ(xe(O,l)),利用
To+1lio+1J
导数求出其单调区间,即可比较6,c,构造函数〃(》)=户-xe,(O<x<l),利用导数求出其单调区间,即
可比较出。,即可得解.
【详解】令〃x)=e-x7,则/''(x)=e-l,
令/'(x)>0,则x>0,
所以函数在(0,+功上单调递增,
所以出>/(/0)\=0,即川—>。1+1,
1'1、
1-1乎-+1
所以c=H©i>lx1+110„
1111
—+1—+1
10110
而6=lnU=lnp\-+l],
10U100)
令g(x)=ln(x+l)-
2
则"占一1XX-X
—+1
x+l)2x+\X+1)3(川广
当0<x<l时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在(0』)上单调递减,
所以g1<g(O)=O,
1f1、
再+1>in+
即U4所以c>b,
—+1—+1
110
107
1
1
Q=--11
10
Y
令/z(x)=-----xex(0<x<1),
1-x
32x
则”(x)=711-x-x-x)e
7V-(x+l)ex=—
(I)(if
令=x3-x2-x(0<x<l),贝1]=3x2-2x-1=(3x+l)(x—l),
当Ovxvl时,"'(x)<0,
所以函数e(x)在(0,1)上单调递减,
所以。(x)<0(0)=0,
l-(x3-x2—x)e'
即当0<x<l时,=一^^>0,
(I)
所以函数”(x)在(0,1)上单调递增,
所以八5卜〃(°)=°,
1
1
即」r>!七五,所以0>C,
1-—11
11
综上所述,b<c<a.
故选:A.
【点睛】关键点点睛:构造g(x)=ln(x+l)-/1T+l](xe(°』))和4%)=--无以0<
7<1)两个函数,
X+l'X+1y1—X
是解决本题的关键.
8.(2024•福建南平•模拟预测)设。=©°1,6=51110.1+850.1,0=2.2-5山0.1-850.1,则(
A.a<b<cB.b<c<a
C.b<a<cD.c<b<a
【答案】B
【分析】根据数据结构特征可通过12cosx和x>sinx比较c和b的大小,再通过构造函数
g(x)=e,+siiu+cosx_2x_2(x>0),研究函数的单调性可求解判断a和c,进而得解.
【详解】设函数/(X)=XTilU(X>0),又1之COSX,
所以当x>0时,/f(x)=1-COSX>0,
所以/⑺在区间(0,+。)内单调递增,又/(O)=O-sinO=O,
所以当x>0时,/(x)>0恒成立,即x>sinx,
所以当x>0时,x+1>sinx+cosx,即2x+2>2sinx+2cosx,
所以2x0.1+2〉2sin0.1+2cos0.1,
所以2.2-5也0.1-©050.1>51110.1+(;050.1.BPc>Z?;
设g(x)=e"+sinx+cosx-2x-2(x>0),
而g(0)=。,g'(%)=e"+cosx-sinx-2,
设=g'(x)=ex+cosx-sinx-2,则"(x)=ex-sinx-cosx>ex-x-1=m(x),
当x>0时,加'(x)=加(x)单调递增,所以加(x)〉加(0)=0,
所以当x>0时,A,(x)=er-sinx-cosx>0,即当x〉0时g'(x)单调递增,
所以g'(x)>g'(O)=O,故当%>0时,g(x)单调递增,所以g(x)〉g⑼=0,
即e"+sinx+cosx-2x-2>0,所以e01+sinO.l+cosO.1-2x0.l-2>0,
即e01>2,2-sinO.l-cosO.l,即Q>c.
综上,a>c>b,
故选:B.
【点睛】思路点睛:比较具有共性的复杂的数的大小,通常根据数据共性联系构造函数,通过研究函数单
调性得函数的正负情况,从而比较得出数的大小关系.
I②构造函数解不等式
一、单选题
1.(23-24高三上・江苏扬州•期末)已知函数的导数为/''(x),对任意实数x,都有/(x)-/'(x)>0,
且〃1)=1,则/3>尸的解集为()
A.(-co,l)B.(1,+动C.(-1,1)D.(-co,-l)u(l,+oo)
【答案】A
【分析】构造g(无)=9并判断单调性,利用单调性解不等式求解集.
ex
【详解】由〃x)>e,T,可得3>」=幽,
eee
令g(x)=",结合“X)-7''(x)>。,则gG)=/'(x):〃x)<0,
ee
所以g(x)在R上递减,故g(x)>g(l)nx<l,
则原不等式解集为(-吟1).
故选:A
2.(2024・湖南邵阳•二模)已知函数/(x)的定义域为RJ'(x)为〃x)的导函数.若〃l)=e,且
r(x)+e,<〃x)在R上恒成立,则不等式〃x)<(2-x)e”的解集为()
A.B.(2,+co)
C.(-oo,l)D.(1,+»)
【答案】D
【分析】设g(x)=§+x,利用导数求得g(x)在R上单调递减,把不等式转化为g(x)<g(l),即可求解.
【详解】设函数g(x)=42+x,可得g,(x)=1⑺』,⑺,e''.⑺一<⑺+e*<0,
eee
所以函数g(x)在R上单调递减,
由f(x)<(2r)e',可得〃x)+xe'<2e)即小)+尤<2=犯+1,
exe
可得g(x)<g⑴,所以X>1,即不等式f(x)<(2-x)e,的解集为(1,+式).
故选:D.
3.(2024・吉林・二模)已知函数/(x)的定义域为(-叫0),其导函数/'(x)满足#'(无)-2/(x)>0,则不等
式〃x+2024)-(x+2024)2〃T)<0的解集为()
A.(-2025,-2024)B.(-2024,0)
C.(-8,-2024)D.(-oo,-2025)
【答案】A
f(\/、,、/(x+2024)/(-I)
【分析】令g(x)=「x,求导可得g(x)在(-8,。)上单调递减,由已知可得(1+2024)2'可得
g(x+2024)<g(-l),可得不等式的解集.
【详解】由题意知,当xe(-8,0)时,/(x)-2〃x)>0,
令g(x)=W,则6⑴=x?r(”2#(x)="):2/(x)<0,
所以g(x)在(-。,0)上单调递减,
/(x+2024)/(-1)
不等式/(X+2024)-(X+2024)7(-1)<。等价于/<7V,
(x+2024)(T)
/\/\fx+2024>—1
即为g(x+2024)<g(-1),所以,解得-2025<x<-2024.
IX+2U24<U
故选:A.
4.(2024高三・全国•专题练习)已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(1)=0,且当x>。时,xf\x)>f(x),
则使得〃x)>0成立的x的取值范围是()
A.(-℃,-1)B.(1,+8)
C.(-1,0)。(1,+⑹D.(-8,-1)50」)
【答案】C
【分析】
构造函数g(x)=△到,对g(x)求导并判断函数g(x)的单调性与奇偶性,分x>0与x<0两种情况求出不等
式的解集,综合即可得答案.
【详解】
根据题意,设函数g(x)=/®,
则其导数g'(x)=M'a):"x),
X
又由当x>0时,琰(x)>/(x),则有g,(x)=/(x);/(x)>0,
X
即当X>。时,函数g(x)为增函数,
又由g(f)==△2=g(X),则函数g(x)为偶函数,
-XX
由当x>。时,函数g(x)为增函数,则x<0时,函数g(x)是减函数,
因为"1)=0,所以名⑴=半=0=g(T),
故尤>0时,由/(乃>0,得:dx)>J1),解得:x>l,
x<0时,由f(x)>0,得:g(x)<g(-l),解得:-l<x<0,则
>0成立的x的取值范围是:(-1,0)口(1,+◎.
故选:C.
5.(2024•山东聊城•三模)设函数〃x)的定义域为R,导数为了'(X),若当x20时,/'(x)>2x-l,且对
于任意的实数x,〃-x)=〃x)+2x,则不等式〃2X一1)一〃》)<3/-5了+2的解集为()
A.(-«,1)B.C.D.(一
【答案】B
【分析】设g(x)="X)--+x,根据题意,可证g(x)为R上的偶函数,且g(x)在(0,+。)上单调递增,在(-。,0)
上单调递减,又由〃2X_1)_〃X)<3/_5X+2转化为〃2X_1)_(2X_1)2+(2X_1)</(X)-X2+X,即
g(2x-l)<g(x),即可得解.
【详解】因为〃f)=〃x)+2x,
设g(x)=/(x)_x2+X,
贝!Ig(-x)=/(-x)-f-x=/(x)+2x---x=g(x),
即g(x)为R上的偶函数,
又当xNO时,r(x)>2x-l,
贝!lg'(x)=/'(x)-2x+l>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增,在(-8,0)上单调递减,
因为<3x2-5x+2,
所以/(2x—l)-(2x—1)2+(2x-l)</(x)-x2+x,
即g(2x-l)<g(x),所以BP(2X-1)2<X2,
解得
故选:B
【点睛】关键点点睛:根据题意,设g(x)=/(x)f2+x,研究函数g(x)的奇偶性和单调性,从而求解不式.
二、填空题
6.(23-24高三上•山东荷泽•阶段练习)若定义在R上的函数〃尤)满足/''(x)+2/(x)>0,且/⑼=1,则
不等式/(x)>±的解集为
【答案】(0,+动
【分析】构造尸(x)=〃x)d、,利用导数得尸(x)在R上单调递增,把转化为尸(x)>P(0),利
用单调性解不等式即可.
【详解】构造尸3=〃》)卷',
所以尸(x)=/(x)•e?x+/(力2e?x=e?"[_f(x)+2〃尤)>o]>0,
所以尸(x)在R上单调递增,且尸(0)=〃0"°=1,
不等式〃x)>*可化为/(x)e2jl,即/(x)>尸(0),所以x>0,
所以原不等式的解集为(0,+8).
故答案为:(0,+。)
7.(2024・四川成都・模拟预测)己知定义在(0,+句上的函数丁=/(x)的导函数为y=/'(x),当x>0时,
M〈x)+〃x)<0,且〃2)=3,则不等式〃了一1)>二的解集为.
【答案】(1,3)
【分析】根据题设条件,构造函数g(x)=^(x),判断其单调性,将所求不等式整理成g(x-l)>g(2),利
用g("的单调性即可解得.
【详解】令g(x)=令(尤),则g[x)=v(x)+/(x)
因为当x>0时,M'(x)+〃x)<0,即g'(x)<0
所以当x>0时,g(x)=V(x)单调递减,
由不等式〃1)>三可得]…小-…/⑵,
即g(xT)>g(2),故有0cx-1<2,解得:l<x<3,
即不等式-1)>二的解集为(1,3).
故答案为:(1,3).
8.(23-24高三下•上海•阶段练习)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为了'(X),且当x<0
时,2/(x)+xf'(x)<0,贝lj不等式(x-2023)2〃x-2023)-y(-l)>0的解集为.
【答案】(2022,2024)
【分析】构造函数尸(x)=x"(x),由已知得出尸(x)为偶函数,且在(-双0)上是增函数,在(0,+8)上为减
函数,将(x-2023『巾_2023)-/(-I)>0转化为F(x-2023)>尸(-1)求解即可.
【详解】令尸(x)=x2/(x),贝!|/(工)=2"(》)+工斤(幻=工[2/(》)+矿(切,
当x<0时,2〃x)+矿(x)<0,
所以当x<0时,F'(x)=x[2/(x)+xf\x)\>0,
即尸(x)在(-叫0)上是增函数,由题意/(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x)=/(x),又尸(-X)=(-x)"(-x)=x2f(x)=F(x),
所以尸(X)是偶函数,所以尸(X)在(0,+8)上递减,
所以F(x-2023)=(x-2023)2f{x-2023),F(-1)=(-1)2/(-1)=/(-I),
即不等式等价为尸(x-2023)>尸(-1),
所以卜-2023|<1,所以2022Vx<2024.
故答案为:(2022,2024).
|③构造函数求最值(范围)
一、单选题
1.(23-24高二下•湖北•阶段练习)若存在正实数加满足:-机e'+/(/+l”0,则小的最大值为
12
A.-B.-C.1D.e
ee
【答案】A
【分析】构造同构函数利用/(x)=e、-(x+1)的单调性求解参数加的最大值.
【详解】正实数%,加满足心+f(?+l)>0,贝!jin(竺]-'e'+/+1>0,
所以ln[m[+,+lN^e'=ln^y^+/+l>e'J,令+f=x,贝!Jx+lNe*,
设/(x)=e*-(x+1),/r(x)=ev-1,/'(x)=0=x=0,
易知y(x)在上(-8,o)单调递减,在(o,+“)上单调递增,故y(x"/⑼=o,
所以e'Zx+l,BPelnW+Z>ln^+/+l,又因为In[:]+/+12/〔力"
故1qm+/+1=6咕)=1,所以ln11+f=0,
则]=e\则加=《,令g(/)=:,g'«)=,Ag,(0=O^>z=1»
所以In
易知g⑺在上(一叫1)单调递增,在(1,+。)上单调递减,所以g⑺V」故加的最小值为L
ee
故选:A
2.(23-24高二下•江苏淮安•期末)函数/(x)=g-lnx,g(x)=et-x,若存在正数为,々,使得
y(xj=g(x2),则金的最小值为()
1,
A.-B.eC.1D.ee-1
e
【答案】B
【分析】分析可知/(xj=/(ef),结合/(x)的单调性可得项=产,土=0,构建Mx)=h,x>0,利用
工2工2X
导数求其单调性和最值,即可得结果.
【详解】因为玉>0户2>0,则e'2>0,
11一
2
由题意可得:---ln%=e-x2,
再
整理可得:-1口斗=*_山小,即/(芯)=/(j),
又因为y=1/=-lnx在(0,+功内单调递减,则〃X)在(0,+功内单调递减,
X
一rrtMe2
可得Xi=e",则一=—,
x2x2
构建/Z(X)=£,X>O,可得〃@)=@;).,
当0<x<l时,"(x)<0;当x>l时,”(x)〉0;
可知“X)在(0,1)内单调递减,在(1,+8)内单调递增,
则打⑺2Ml)=e,所以?的最小值为e.
故选:B.
3.(23-24高二下•四川自贡・期中)V西,尤26口,叫不#尤2),均有型三硬工成立,则a的取值范围为
X2一国
()
A.(-℃,0]B.[1,+<»)C.[0,1]D.[0,+oo)
【答案】B
【分析】首先不等式转化为'再构造函数/(x)=@*,转化为函数在区间[l,e]上恒成
X2XiX
立,利用参变分离,转化为最值问题,求。的取值范围.
【详解】不妨设iVxLzWe,
,x]\wc?-x?liix1,I,
由-----------<a,得再In/一吃山<〃马一ax\,
X2―玉
,、\.,Inx?+。lnX[+a
即玉(lnx2+Q)<'2(lnXi+〃),两边同时除A以西吃,得—---<----,
令〃尤)=生产,即〃声)</同),所以函数“X)在区间[l,e]上单调递减,
/'(町=1-(1;*%0,即1-lnx-aVO恒成立,
所以aNl-lnx,xe[l,e]上恒成立,函数>=l-lnx在区间[l,e]上单调递减,
所以y=l-lnx的最大值为1,
所以a21.
故选:B
4.Q3-24高二下•湖南长沙•开学考试)已知函数〃x)=e1,g(无)=5+1115,若/(加)=g(〃)成立,则”机
的最小值为()
A.In2-1B.In2C.-l-ln2D.l+ln2
【答案】A
【分析】令/=〃")=g(〃),得到加,〃关于f的函数式,进而可得〃-机关于f的函数式,构造函数利用导
数研究单调性并确定最值,即可求n-m的最小值.
【详解】令/=〃")=g⑺,则e"3=r,1+=G
:.m=3+]nt,n=2e^>所以"-加=2e'”_3-ln,
1t-l1
若〃⑺=2e"5-3—ln〃则'。)=2e2--(t>0),
h'(t)=o,有才=5,
当0</<;时,"(/)<0,万⑺单调递减,
当。g时,W)>0,咐)单调递增,,〃(0min=//g)=ln2-l,
即〃-加的最小值为ln2-l.
故选:A.
【点睛】关键点点睛:令f=/(M=g(〃)确定"-加关于/的函数式,构造函数并利用导数求函数的最小值.
5.(2024・陕西商洛•三模)已知彳>0,对任意的x>l,不等式-020恒成立,则彳的取值范围为
2Z
()
A.[2e,+oo)B.(#00]C.[e,+=o)D.
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形,通过构造函数法,利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
lm
【详解】由题意2>0,不等式即2加2公>11K,进而转化为22疣2八>lnxe,
令g(x)=xe)则g[x)=(x+l)e”,
当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+功上单调递增.
则不等式等价于g(2疝)>g(Inx)恒成立.
因为4>0,x〉l,所以2Ax>0,lux>0,
所以对任意x>l恒成立,即242上InV恒成立.
x
设项=?。>1),可得加=3黑,
当1<耳约〃(。)0,力(。单调递增,当t>e,h'(t)<0,〃⑺单调递减.
所以t=e,/()有最大值%(e)=L于是2八L解得人?.
ee2e
故选:B
【点睛】方法点睛:将已知条件转化为22泥2〃Nlnxe^,通过构造函数g(x)=xe,,进而利用导数得到
22>—,进而计算求得结果.
X
6.(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(x)=a靖+ln,-2,若〃x)>0恒成立,则正实数。的取值
x+2
范围是()
A.0<a<eB.a>e2C.«>eD.a>2e
【答案】C
【分析】不等式整理为(尤+111")+产瓜"+>111仁+2)+冽*+2),构造函数g(x)=x+e)利用单调性得到
Ina>ln(x+2)-x,再构造A(x)=ln(x+2)-x,进而得到Ina>左⑴1mx=1,从而4>e.
【详解】/(x)=aet+ln---2>0,Ael+ha+Ina>ln(x+2)+2,且。>0,
x+2
两边加上x得,e"ina+(x+ina)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln^+2^,
设g(x)=x+e)贝!|g,(x)=l+3>0,所以g(x)单调递增,
x+lntz>In(x+2),即Ina>In(x+2)-x,
令左(x)=ln(x+2)—x,贝(]N(x)=------1=------,
x+2x+2
•••/(x)的定义域是(-2,+8),
.,.当xe(-2,-l)时,r(x)>0,左(%)单调递增,当xe(-1,+8)时,k'(x)<0,k(x)单调递减,
・••当L1时,左⑺取得极大值即为最大值,M%x=l(T)=l,
故选:C.
【点睛】方法点睛:将等式两边整理为结构相同的形式,由此构造新函数,本题中将e'山"+lna>ln(x+2)+2
v+lna+2)1
整理为(x+Ina)+e-+>ln(x+2)+6^,从而构造函数g(x)=x+e求解.
|④构造函数证明不等式
一、解答题
1.(23-24高二下•四川宜宾•期末)已知函数〃x)=xJhu(aeR).
⑴当a=1时,求“X)的单调区间;
⑵当x>l时,/(x)<x-l,求”的取值范围.
【答案】(1)/(X)的单调递减区间为1o,:];单调递增区间为g,+8
⑵-C0,2-
【分析】(1)利用导数即可判断函数的单调区间;
(2)转化为恒成立问题,构造函数夕3=/欣-、+1(无>1),求导
(x)=axa-'\nx+xa-'-1=xa-l(alru+1)-l(x>1),对。分类讨论,研究夕'(x)正负判断研x)的单调性,即可
求解.
【详解】(1)当°=1时,f{x)=x\nx,//(x)=lnx+l(x>0)
当xef0,—j时,
/,(x)<0,当时,f[x}>0.
所以〃x)的单调递减区间为10,j;单调递增区间为+e
(2)因为对任意x>l,x"lnx-x+l<0恒成立.设。(工)=£1标一工+10〉1).
所以。'(%)=ax^lwc+xa~l-1=xa~x(alnx+l)-l(x>1).
分类:①当心1时,d(x)〉o,知。(x)在(1,+。)单调递增,
所以Vx〉l#(x)>°⑴=0,不成立.
②当〃《0时,知9(/在(L+8)单调递减,所以网>1,9(%)<夕⑴=0成立.
③当0<。<]时,令(x)=(x)=xa~x(tzlnx+1)-l(x>1).
所以夕'(x)=x"—2[("2_Q)1nx+(2Q—1)](X〉1,0<Q<1).
(i)若2a-lW0即0<a«g时,〃(x)<0,知p(x)在(1,+s)单调递减,所以p(x)<p(l)=0,
所以"(x)<0,所以夕(x)在(1,+动单调递减,所以对任意xe(l,+s)时,"(x)<0⑴=0成立.
[(1-2。、
(ii)若20-1>0即时,由"'(x)=0可得x=e罢>1,所以当工已l,e"一时,p'(x)>0,
(l-2aA(1-2a\
于是,2(x)在1,一二单调递增,所以对任意xel,e"时,p(x)>p⑴=0,所以"(x)>0,
\7\7
(l-2a\Cl-2aA
所以o(x)在1,/二单调递增,所以对任意l,e^时,e(x)>9⑴=0恒成立.
\7\7
综上所述:。的取值范围是1-84
2.(2024・广西•三模)已知函数/(x)=e'-x.
⑴求函数/(x)的极值;
(2)若对任意x>0,/(x)>|ax2+l,求。的取值范围.
【答案】(1)/(力的极小值为1,无极大值.
(2)«<1
【分析】(1)求导函数/'(X)的零点,即为〃x)的极值点,然后解不等式/'(x)>0,确定极
大值和极小值;
(2)构造函数,将恒成立问题转化为最值问题,在求最值过程中,注意对参数a的分类讨论.
【详解】(1)/'(x)=e^-l=O,得x=0,
当x<0时,r(x)<0,函数/(x)在(-8,0)单调递减,
当x>0时,r(x)>o,函数在(0,+8)单调递增,
所以的极小值为〃0)=1,无极大值.
(2)意x>0,/(x)>+1,即e*-x-/ax~-1>0,
设g(x)=e"一1-万尔-l,x>0,gf(x)=ex-1-ax,x>0,
①当a«0时,g'(x)在(0,+8)单调递增,g1O)=O,g,(x)>O,g(x)单调递增,
g(x)>g(O)=O,成立;
②当0<。VI时,令"(。=8,0〃(彳)=、-。>0便卜)在(0,+00)单调递增,
g'(O)=0,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)单调递增,
g(x)>g(O)=O,成立;
③当0>1时,当0<x<lna时,=e*-a<O,g[x)单调递减,
g,(O)=O,g")<O,g(x)单调递减,
g(x)<g(O)=O,不成立.
综上可知
3.(2024•河北•模拟预测)已知函数/(x)=alnx-x.
⑴讨论〃x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,-1.
【答案】⑴答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)先明确函数定义域和求导,根据导数结构特征对。进行和。>0的分类讨论导数正负即
可得单调性.
(2)证-lo/(x)max一1,故问题转化成证alna-a4(巴)-l(a>0)
oln]£|-+1<0,接着构造函数8(苫)=111一+1口>0)研究其单调性和最值即可得证.
【详解】(1)由题函数定义域为(0,+功,/岸)=q-1=",
XX
故当a<0时,/'(“<0恒成立,所以函数/(x)在(0,+8)上单调递减;
当a>0时,/'(X)在(0,+<»)上单调递减,令—(x)=0nx=",
则xe(0,a)时,/,(x)>0;xe(a,+8)时,/,(x)<0,
所以函数〃x)在(0,a)上单调递增,在(见+动上单调递减,
综上,当aWO时,函数〃x)在(0,+功上单调递减;当a>0时,函数〃x)在(0,。)上单调递增,在(凡+⑹
上单调递减.
(2)由(1)当a>0时,函数/
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