实战演练 导数中构造函数的妙用（4大常考点归纳）-2025年高考数学专项复习（新高考卷）解析版

实战演练05导数中构造函数的妙用

①构造函数比较大小

②构造函数解不等式

③构造函数求最值(范围)

④构造函数证明不等式-

必备知识速记

一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数

1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用X=Ine\xeR),x=elnX%>0)将要比较的三个数化为结构相同

的式子，再将其看作同一个函数的三个值，用常值换元构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式，或者含两个变量，且结构相似的等式，比较相关的两个变量

间的大小问题时，思考的逻辑路径为先分离变量，再将等式通过合理变形，放缩成结构相同的不等式，然后利用

同构函数思想，转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小，最后利用函数f(x)的单调性,转化为

比较自变量g(x)与h(x)的大小，实现将超越函数普通化的目的，达到事半功倍的效果。

3.常见的构造函数有

U)与e'和Inx相关的常见同构模型

①ae"W61nboe"lne"bln6,构造函数/⑺=xlnx或g(x)=xe"；

②苴构造函数〃x)=弓-或g(无)=土；

a\nbIne\nbInxx

③e"±a>b±ln6=e"±lne">6土ln6,构造函数/("=x±lnx或g(x)=e，土x.

二、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

(1)把不等式转化为/

(2)判断函数/(x)的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式

(组)，但要注意函数奇偶性的区别.

三、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于/'(X)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.对于不等式/'(x)〉左(左W0),构造函数g(x)=/(x)-丘+江

模型3.对于不等式/'(x)+/(x)〉0,构造函数g(x)=e"(x)

拓展：对于不等式/'(x)+4f(x)〉0,构造函数8卜)=//(；0

模型4.对于不等式/,(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=」学

e

模型5.对于不等式;/(》)+/(x)>0,构造函数g(x)=3(x)

拓展：对于不等式；vf'(x)+h'(》)〉0，构造函数g(x)=x"(x)

模型6.对于不等式V"(x)-/(x)>0,构造函数g(x)=应(x中0)

X

拓展：对于不等式可"'(x)-裾'(x)〉0,构造函数g(x)=Z^

X

f(x)

模型7.对于三士〉0,分类讨论：(1)若/(x)〉0,则构造〃(x)=ln/(x);

/(x)

(2)若/(x)<0,则构造〃(x)=ln[—/(x)]

模型8.对于/'(x)+Inaf(x)>0(<0),构造h(x)=axf(x).

模型9.对于/'(x)Inx+幺^>0(<0),构造/z(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)对于f\x)>/(x)tan%(如'(％)</(x)tanx),即f\x)cosx-/(x)sinx>0(<0),

构造h(x)=/(x)cosx.

(2)对于/'(%)cos%+/(%)sinx〉0(<0),构造h(x)=)(").

cosx

模型11.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[f(x)sinx\(2)/⑴s'n“⑴

sinxsinx

名校模拟探源

I①构造函数比较天不

一、单选题

1.(23-24高二下•广东佛山•阶段练习)若。=里，6，。="则()

3e2

A.c<b<aB.b<c<a

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】结合a,6,c的特征，构造函数/(元)=叱，利用其单调性即可比较大小.

X

【详解】构造函数/(尤)=史，xe(0,+8),则广(好=匕”，

XX

令_f(x)>0解得0<x<e；令/'(x)<0,解得x>e；

可得了(X)在(O,e)上单调递增，在[e,+8)上单调递减，

In2In4.1Ine

•/c=——=——,b=-=——,且ne<3<4,

24ee

.-./(e)>/(3)>/(4),即0="<半=°<g=6,就是c<a<6.

43e

故选：C.

2.(2024・四川•模拟预测)已知〃=ln,,b=],c=e-2,则。也c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】利用当x>0时，lnx4x-l判断。>6,通过函数>在是减函数判断6>c.

X

【详解】当x>0时，设/(x)=lnx-x+l,则=

当0<x<l时，/(x)>0,/⑴单调递增，当x>l时，r(x)<0,单调递减，

所以/(x)W/(l)=0,

也就是说当x>0时，lux<x-1,

用工代替X,可得111工《工-1,即山士1-,，

XXXX

321

所以—即a>6.

又知:■二e一之，所以6〉c,所以

故选：A

3.(23-24高三上•云南昆明•阶段练习)设a=!,b=毕，0=^+%设°,b,c的大小关系为()

e3

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=由导数判断单调性后比较.

【详解】解：构造函数小)=5，则小)=宏,

当X>1时，r(X)<0,函数〃X)=/在［1,+8)上为减函数,

m«=-=/(l),6=孚=塔=>(ln3),c=e-2+h2=4=/(2),又l<ln3<2,

e3ee

所以/⑴>/(山3)>〃2),即

故选:A

120237।12024,12025

4.(2024高三・全国・专题练习)已知6z=ln--------F,b=In------+-------c=In--------1-----则---a，

202420242025202520262026

b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=lnx+l-x,利用导数说明它在(0,1)内单调递增即可得解.

11—Y

【详解】构造函数〃x)=lnx+l-x,r(x)=--l=^,

XX

当0<x<l时，/(x)>0,/(x)单调递增,

所以/―1—〕>――1—1"一M，a>b>c.

(2024)(2025)(2026)

故选：A.

971

97

5.(2024•陕西安康,模拟预测)已知Q=—,b=cos—,c=e,贝！J()

987

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】构造函数/(x)=cosx-，。，和g(x)=ef+l),(x>0),利用导数求解函数的单调

性，即可求解.

【详解】令〃x)=cosx-]l-m，xe(o,:，则/(x)=x-siiw,

令夕(x)=x-sinx,xe(0,3，则”(x)=1-cosx>0,0(x)即尸(x)单调递增，所以/'(x)>/⑼=0,故/(x)

为增函数，所以/佶]>〃0)=0,可得cos(>襄，故”6.

\'J79o

令g(x)=e，-(x+l),(x>0),贝！|g<x)=e-l>0,故g(x)为增函数，所以>g(0)=0,即

±02_±Q7

e97——>0.所以e97V一，故c<a,所以c<a<b

9798

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤

(1)作差或变形；

⑵构造新的函数〃(工)；

(3)利用导数研究”x)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

高三上•江苏南京•阶段练习)已知20242023贝！。，的大小

6.(23-24a=20232°23,B=2Q23,c=2O24,1b,c

关系为()

A.b>a>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】通过指数函数、募函数的单调性得。<6,a<c,再构造函数以外=小，通过导数判断单调性即

x

可得6>c.

【详解】由题意，令/(x)=2023，,则洋x)=2023，在R上单调递增,

所以a<6,

令g(x)=*3,则8⑶=x2023在(0,+功上单调递增，

所以a<c,

In2023

ln6=20241n2023

U73Inc2023In2024In2024'

2024

人，/、Inx,,,、1-lnx

令/z(x)=-----,贝！]〃(x)=­j—,

XX

令〃(x)>0,贝!]0<x<e,以x)单调递增；

令"(x)<0,则x>e,〃(x)单调递减；

所以B常>1然j‘则2024In2023>2023In2024=In2O232024>In2O242023,

故6=2O232024>c=20242期,

综上所述，即6>c>a.

故选：C.

i11i1

7.(2024・安徽芜湖•三模)设Q=—,b=ln—,c=—•e11,则()

101011

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】先构造函数/(x)=e、7-1,利用导数证明训>(+1,贝!)

c==yx1+1,再构造函数g(x)=ln(x+l)_21W+lJ(xe(O,l)),利用

To+1lio+1J

导数求出其单调区间，即可比较6,c,构造函数〃(》)=户-xe，(O<x<l),利用导数求出其单调区间，即

可比较出。，即可得解.

【详解】令〃x)=e-x7,则/''(x)=e-l,

令/'(x)>0,则x>0,

所以函数在(0,+功上单调递增,

所以出>/(/0)\=0,即川—>。1+1,

1'1、

1-1乎-+1

所以c=H©i>lx1+110„

1111

—+1—+1

10110

而6=lnU=lnp\-+l],

10U100)

令g(x)=ln(x+l)-

2

则"占一1XX-X

—+1

x+l)2x+\X+1)3(川广

当0<x<l时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在(0』)上单调递减,

所以g1<g(O)=O,

1f1、

再+1>in+

即U4所以c>b,

—+1—+1

110

107

1

1

Q=--11

10

Y

令/z(x)=-----xex(0<x<1),

1-x

32x

则”(x)=711-x-x-x)e

7V-(x+l)ex=—

(I)(if

令=x3-x2-x(0<x<l),贝1]=3x2-2x-1=(3x+l)(x—l),

当Ovxvl时，"'(x)<0,

所以函数e(x)在(0,1)上单调递减，

所以。(x)<0(0)=0,

l-(x3-x2—x)e'

即当0<x<l时，=一^^>0,

(I)

所以函数”(x)在(0,1)上单调递增，

所以八5卜〃(°)=°，

1

1

即」r>!七五，所以0>C,

1-—11

11

综上所述，b<c<a.

故选：A.

【点睛】关键点点睛:构造g(x)=ln(x+l)-/1T+l](xe(°』))和4%)=--无以0<

7<1)两个函数,

X+l'X+1y1—X

是解决本题的关键.

8.(2024•福建南平•模拟预测)设。=©°1,6=51110.1+850.1,0=2.2-5山0.1-850.1,则(

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】B

【分析】根据数据结构特征可通过12cosx和x>sinx比较c和b的大小，再通过构造函数

g(x)=e，+siiu+cosx_2x_2(x>0),研究函数的单调性可求解判断a和c,进而得解.

【详解】设函数/(X)=XTilU(X>0),又1之COSX,

所以当x>0时，/f(x)=1-COSX>0,

所以/⑺在区间(0,+。)内单调递增，又/(O)=O-sinO=O,

所以当x>0时，/(x)>0恒成立，即x>sinx,

所以当x>0时，x+1>sinx+cosx,即2x+2>2sinx+2cosx,

所以2x0.1+2〉2sin0.1+2cos0.1,

所以2.2-5也0.1-©050.1>51110.1+(；050.1.BPc>Z?；

设g(x)=e"+sinx+cosx-2x-2(x>0),

而g(0)=。,g'(%)=e"+cosx-sinx-2,

设=g'(x)=ex+cosx-sinx-2,则"(x)=ex-sinx-cosx>ex-x-1=m(x),

当x>0时，加'(x)=加(x)单调递增，所以加(x)〉加(0)=0,

所以当x>0时，A,(x)=er-sinx-cosx>0,即当x〉0时g'(x)单调递增，

所以g'(x)>g'(O)=O,故当％>0时，g(x)单调递增，所以g(x)〉g⑼=0,

即e"+sinx+cosx-2x-2>0,所以e01+sinO.l+cosO.1-2x0.l-2>0,

即e01>2,2-sinO.l-cosO.l,即Q>c.

综上，a>c>b,

故选:B.

【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单

调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系.

I②构造函数解不等式

一、单选题

1.(23-24高三上・江苏扬州•期末)已知函数的导数为/''(x)，对任意实数x,都有/(x)-/'(x)>0,

且〃1)=1，则/3>尸的解集为()

A.(-co,l)B.(1,+动C.(-1,1)D.(-co,-l)u(l,+oo)

【答案】A

【分析】构造g(无)=9并判断单调性，利用单调性解不等式求解集.

ex

【详解】由〃x)>e，T,可得3>」=幽，

eee

令g(x)="，结合“X)-7''(x)>。，则gG)=/'(x)：〃x)<0,

ee

所以g(x)在R上递减，故g(x)>g(l)nx<l,

则原不等式解集为(-吟1).

故选：A

2.(2024・湖南邵阳•二模)已知函数/(x)的定义域为RJ'(x)为〃x)的导函数.若〃l)=e,且

r(x)+e，<〃x)在R上恒成立，则不等式〃x)<(2-x)e”的解集为()

A.B.(2,+co)

C.(-oo,l)D.(1,+»)

【答案】D

【分析】设g(x)=§+x,利用导数求得g(x)在R上单调递减，把不等式转化为g(x)<g(l),即可求解.

【详解】设函数g(x)=42+x,可得g，(x)=1⑺』,⑺,e''.⑺一<⑺+e*<0,

eee

所以函数g(x)在R上单调递减，

由f(x)<(2r)e',可得〃x)+xe'<2e)即小)+尤<2=犯+1,

exe

可得g(x)<g⑴,所以X>1,即不等式f(x)<(2-x)e，的解集为(1,+式).

故选：D.

3.(2024・吉林・二模)已知函数/(x)的定义域为(-叫0),其导函数/'(x)满足#'(无)-2/(x)>0,则不等

式〃x+2024)-(x+2024)2〃T)<0的解集为()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,0)

C.(-8,-2024)D.(-oo,-2025)

【答案】A

f(\/、，、/(x+2024)/(-I)

【分析】令g(x)=「x，求导可得g(x)在(-8,。)上单调递减，由已知可得(1+2024)2'可得

g(x+2024)<g(-l),可得不等式的解集.

【详解】由题意知，当xe(-8,0)时，/(x)-2〃x)>0,

令g(x)=W，则6⑴=x?r(”2#(x)=")：2/(x)<0,

所以g(x)在(-。,0)上单调递减，

/(x+2024)/(-1)

不等式/(X+2024)-(X+2024)7(-1)<。等价于/<7V，

(x+2024)(T)

/\/\fx+2024>—1

即为g(x+2024)<g(-1),所以，解得-2025<x<-2024.

IX+2U24<U

故选：A.

4.(2024高三・全国•专题练习)已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(1)=0,且当x>。时，xf\x)>f(x),

则使得〃x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-℃,-1)B.(1,+8)

C.(-1,0)。(1，+⑹D.(-8,-1)50」)

【答案】C

【分析】

构造函数g(x)=△到，对g(x)求导并判断函数g(x)的单调性与奇偶性，分x>0与x<0两种情况求出不等

式的解集，综合即可得答案.

【详解】

根据题意，设函数g(x)=/®,

则其导数g'(x)=M'a)："x),

X

又由当x>0时，琰(x)>/(x),则有g，(x)=/(x)；/(x)>0,

X

即当X>。时，函数g(x)为增函数，

又由g(f)==△2=g(X),则函数g(x)为偶函数，

-XX

由当x>。时，函数g(x)为增函数，则x<0时，函数g(x)是减函数，

因为"1)=0,所以名⑴=半=0=g(T),

故尤>0时，由/(乃>0,得：dx)>J1),解得：x>l,

x<0时，由f(x)>0,得：g(x)<g(-l),解得：-l<x<0,则

>0成立的x的取值范围是：(-1,0)口(1,+◎.

故选：C.

5.(2024•山东聊城•三模)设函数〃x)的定义域为R,导数为了'(X),若当x20时，/'(x)>2x-l,且对

于任意的实数x,〃-x)=〃x)+2x,则不等式〃2X一1)一〃》)<3/-5了+2的解集为()

A.(-«,1)B.C.D.(一

【答案】B

【分析】设g(x)="X)--+x,根据题意,可证g(x)为R上的偶函数，且g(x)在(0,+。)上单调递增，在(-。,0)

上单调递减，又由〃2X_1)_〃X)<3/_5X+2转化为〃2X_1)_(2X_1)2+(2X_1)</(X)-X2+X,即

g(2x-l)<g(x),即可得解.

【详解】因为〃f)=〃x)+2x,

设g(x)=/(x)_x2+X,

贝！Ig(-x)=/(-x)-f-x=/(x)+2x---x=g(x),

即g(x)为R上的偶函数，

又当xNO时，r(x)>2x-l,

贝!lg'(x)=/'(x)-2x+l>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，

因为<3x2-5x+2,

所以/(2x—l)-(2x—1)2+(2x-l)</(x)-x2+x,

即g(2x-l)<g(x),所以BP(2X-1)2<X2,

解得

故选:B

【点睛】关键点点睛：根据题意，设g(x)=/(x)f2+x,研究函数g(x)的奇偶性和单调性，从而求解不式.

二、填空题

6.(23-24高三上•山东荷泽•阶段练习)若定义在R上的函数〃尤)满足/''(x)+2/(x)>0,且/⑼=1,则

不等式/(x)>±的解集为

【答案】(0，+动

【分析】构造尸(x)=〃x)d、，利用导数得尸(x)在R上单调递增，把转化为尸(x)>P(0),利

用单调性解不等式即可.

【详解】构造尸3=〃》)卷',

所以尸(x)=/(x)•e?x+/(力2e?x=e?"[_f(x)+2〃尤)>o]>0,

所以尸(x)在R上单调递增，且尸(0)=〃0"°=1,

不等式〃x)>*可化为/(x)e2jl,即/(x)>尸(0),所以x>0,

所以原不等式的解集为(0,+8).

故答案为：(0,+。)

7.(2024・四川成都・模拟预测)己知定义在(0,+句上的函数丁=/(x)的导函数为y=/'(x),当x>0时，

M〈x)+〃x)<0,且〃2)=3,则不等式〃了一1)>二的解集为.

【答案】(1,3)

【分析】根据题设条件，构造函数g(x)=^(x),判断其单调性，将所求不等式整理成g(x-l)>g(2),利

用g("的单调性即可解得.

【详解】令g(x)=令(尤),则g[x)=v(x)+/(x)

因为当x>0时，M'(x)+〃x)<0,即g'(x)<0

所以当x>0时，g(x)=V(x)单调递减，

由不等式〃1)>三可得]…小-…/⑵,

即g(xT)>g(2),故有0cx-1<2,解得：l<x<3,

即不等式-1)>二的解集为(1,3).

故答案为：(1,3).

8.(23-24高三下•上海•阶段练习)已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为了'(X),且当x<0

时，2/(x)+xf'(x)<0,贝lj不等式(x-2023)2〃x-2023)-y(-l)>0的解集为.

【答案】(2022,2024)

【分析】构造函数尸(x)=x"(x),由已知得出尸(x)为偶函数，且在(-双0)上是增函数，在(0,+8)上为减

函数，将(x-2023『巾_2023)-/(-I)>0转化为F(x-2023)>尸(-1)求解即可.

【详解】令尸(x)=x2/(x),贝！|/(工)=2"(》)+工斤(幻=工[2/(》)+矿(切，

当x<0时，2〃x)+矿(x)<0,

所以当x<0时，F'(x)=x[2/(x)+xf\x)\>0,

即尸(x)在(-叫0)上是增函数，由题意/(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(-x)=/(x),又尸(-X)=(-x)"(-x)=x2f(x)=F(x),

所以尸(X)是偶函数，所以尸(X)在(0,+8)上递减，

所以F(x-2023)=(x-2023)2f{x-2023),F(-1)=(-1)2/(-1)=/(-I)，

即不等式等价为尸(x-2023)>尸(-1),

所以卜-2023|<1,所以2022Vx<2024.

故答案为：(2022,2024).

|③构造函数求最值(范围)

一、单选题

1.(23-24高二下•湖北•阶段练习)若存在正实数加满足：-机e'+/(/+l”0,则小的最大值为

12

A.-B.-C.1D.e

ee

【答案】A

【分析】构造同构函数利用/(x)=e、-(x+1)的单调性求解参数加的最大值.

【详解】正实数%,加满足心+f(?+l)>0,贝!jin(竺]-'e'+/+1>0,

所以ln[m[+，+lN^e'=ln^y^+/+l>e'J,令+f=x,贝!Jx+lNe*,

设/(x)=e*-(x+1),/r(x)=ev-1,/'(x)=0=x=0,

易知y(x)在上(-8,o)单调递减，在(o,+“)上单调递增，故y(x"/⑼=o,

所以e'Zx+l,BPelnW+Z>ln^+/+l,又因为In[:]+/+12/〔力"

故1qm+/+1=6咕)=1,所以ln11+f=0,

则]=e\则加=《，令g(/)=:，g'«)=，Ag，(0=O^>z=1»

所以In

易知g⑺在上(一叫1)单调递增，在(1,+。)上单调递减，所以g⑺V」故加的最小值为L

ee

故选：A

2.(23-24高二下•江苏淮安•期末)函数/(x)=g-lnx,g(x)=et-x,若存在正数为，々，使得

y(xj=g(x2),则金的最小值为()

1,

A.-B.eC.1D.ee-1

e

【答案】B

【分析】分析可知/(xj=/(ef),结合/(x)的单调性可得项=产，土=0，构建Mx)=h,x>0,利用

工2工2X

导数求其单调性和最值，即可得结果.

【详解】因为玉>0户2>0,则e'2>0,

11一

2

由题意可得：---ln%=e-x2,

再

整理可得：-1口斗=*_山小，即/(芯)=/(j)，

又因为y=1/=-lnx在(0,+功内单调递减，则〃X)在(0,+功内单调递减，

X

一rrtMe2

可得Xi=e",则一=—,

x2x2

构建/Z（X）=£,X>O,可得〃@）=@；）.，

当0<x<l时，"（x）<0；当x>l时，”（x）〉0；

可知“X）在（0,1）内单调递减，在（1,+8）内单调递增，

则打⑺2Ml）=e,所以?的最小值为e.

故选:B.

3.（23-24高二下•四川自贡・期中）V西,尤26口,叫不#尤2），均有型三硬工成立，则a的取值范围为

X2一国

（）

A.（-℃,0]B.[1,+<»）C.[0,1]D.[0,+oo）

【答案】B

【分析】首先不等式转化为'再构造函数/（x）=@*,转化为函数在区间[l,e]上恒成

X2XiX

立，利用参变分离，转化为最值问题，求。的取值范围.

【详解】不妨设iVxLzWe,

,x]\wc?-x?liix1,I,

由-----------<a,得再In/一吃山<〃马一ax\，

X2―玉

,、\.,Inx?+。lnX[+a

即玉（lnx2+Q）<'2（lnXi+〃），两边同时除A以西吃，得—---<----，

令〃尤）=生产，即〃声）</同），所以函数“X）在区间[l,e]上单调递减，

/'（町=1-（1；*%0,即1-lnx-aVO恒成立，

所以aNl-lnx,xe[l,e]上恒成立，函数>=l-lnx在区间[l,e]上单调递减，

所以y=l-lnx的最大值为1,

所以a21.

故选：B

4.Q3-24高二下•湖南长沙•开学考试）已知函数〃x）=e1,g（无）=5+1115,若/（加）=g（〃）成立，则”机

的最小值为（）

A.In2-1B.In2C.-l-ln2D.l+ln2

【答案】A

【分析】令/=〃")=g(〃)，得到加，〃关于f的函数式，进而可得〃-机关于f的函数式，构造函数利用导

数研究单调性并确定最值，即可求n-m的最小值.

【详解】令/=〃")=g⑺，则e"3=r,1+=G

:.m=3+]nt,n=2e^>所以"-加=2e'”_3-ln，

1t-l1

若〃⑺=2e"5-3—ln〃则'。)=2e2--(t>0),

h'(t)=o,有才=5，

当0</<；时，"(/)<0,万⑺单调递减，

当。g时，W)>0,咐)单调递增，，〃(0min=//g)=ln2-l,

即〃-加的最小值为ln2-l.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：令f=/(M=g(〃)确定"-加关于/的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.

5.(2024・陕西商洛•三模)已知彳>0,对任意的x>l,不等式-020恒成立，则彳的取值范围为

2Z

()

A.[2e,+oo)B.(#00]C.[e,+=o)D.

【答案】B

【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.

lm

【详解】由题意2>0,不等式即2加2公>11K,进而转化为22疣2八>lnxe,

令g(x)=xe)则g[x)=(x+l)e”,

当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+功上单调递增.

则不等式等价于g(2疝)>g(Inx)恒成立.

因为4>0,x〉l,所以2Ax>0,lux>0,

所以对任意x>l恒成立，即242上InV恒成立.

x

设项=?。>1),可得加=3黑，

当1<耳约〃(。)0,力(。单调递增，当t>e,h'(t)<0,〃⑺单调递减.

所以t=e,/()有最大值％(e)=L于是2八L解得人?.

ee2e

故选：B

【点睛】方法点睛：将已知条件转化为22泥2〃Nlnxe^,通过构造函数g(x)=xe，，进而利用导数得到

22>—,进而计算求得结果.

X

6.(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(x)=a靖+ln，-2,若〃x)>0恒成立，则正实数。的取值

x+2

范围是()

A.0<a<eB.a>e2C.«>eD.a>2e

【答案】C

【分析】不等式整理为(尤+111")+产瓜"+>111仁+2)+冽*+2),构造函数g(x)=x+e)利用单调性得到

Ina>ln(x+2)-x,再构造A(x)=ln(x+2)-x,进而得到Ina>左⑴1mx=1,从而4>e.

【详解】/(x)=aet+ln---2>0,Ael+ha+Ina>ln(x+2)+2,且。>0,

x+2

两边加上x得，e"ina+(x+ina)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln^+2^,

设g(x)=x+e)贝!|g，(x)=l+3>0,所以g(x)单调递增，

x+lntz>In(x+2),即Ina>In(x+2)-x,

令左(x)=ln(x+2)—x,贝(]N(x)=------1=------,

x+2x+2

•••/(x)的定义域是(-2,+8),

.,.当xe(-2,-l)时，r(x)>0,左(%)单调递增，当xe(-1,+8)时,k'(x)<0,k(x)单调递减,

・••当L1时,左⑺取得极大值即为最大值，M%x=l(T)=l，

故选：C.

【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将e'山"+lna>ln(x+2)+2

v+lna+2)1

整理为(x+Ina)+e-+>ln(x+2)+6^,从而构造函数g(x)=x+e求解.

|④构造函数证明不等式

一、解答题

1.(23-24高二下•四川宜宾•期末)已知函数〃x)=xJhu(aeR).

⑴当a=1时，求“X)的单调区间；

⑵当x>l时，/(x)<x-l,求”的取值范围.

【答案】(1)/(X)的单调递减区间为1o,：]；单调递增区间为g,+8

⑵-C0,2-

【分析】(1)利用导数即可判断函数的单调区间；

(2)转化为恒成立问题，构造函数夕3=/欣-、+1(无>1),求导

(x)=axa-'\nx+xa-'-1=xa-l(alru+1)-l(x>1),对。分类讨论，研究夕'(x)正负判断研x)的单调性，即可

求解.

【详解】(1)当°=1时，f{x)=x\nx,//(x)=lnx+l(x>0)

当xef0,—j时,

/，(x)<0,当时，f[x}>0.

所以〃x)的单调递减区间为10,j；单调递增区间为+e

(2)因为对任意x>l,x"lnx-x+l<0恒成立.设。(工)=£1标一工+10〉1).

所以。'(％)=ax^lwc+xa~l-1=xa~x(alnx+l)-l(x>1).

分类：①当心1时，d(x)〉o,知。(x)在(1,+。)单调递增，

所以Vx〉l#(x)>°⑴=0,不成立.

②当〃《0时，知9(/在(L+8)单调递减,所以网>1，9(%)<夕⑴=0成立.

③当0<。<]时,令(x)=(x)=xa~x(tzlnx+1)-l(x>1).

所以夕'(x)=x"—2[("2_Q)1nx+(2Q—1)](X〉1,0<Q<1).

(i)若2a-lW0即0<a«g时，〃(x)<0,知p(x)在(1,+s)单调递减，所以p(x)<p(l)=0,

所以"(x)<0,所以夕(x)在(1,+动单调递减，所以对任意xe(l,+s)时，"(x)<0⑴=0成立.

[(1-2。、

(ii)若20-1>0即时，由"'(x)=0可得x=e罢>1，所以当工已l，e"一时，p'(x)>0,

(l-2aA(1-2a\

于是，2(x)在1,一二单调递增，所以对任意xel,e"时，p(x)>p⑴=0,所以"(x)>0,

\7\7

(l-2a\Cl-2aA

所以o(x)在1,/二单调递增，所以对任意l,e^时，e(x)>9⑴=0恒成立.

\7\7

综上所述：。的取值范围是1-84

2.(2024・广西•三模)已知函数/(x)=e'-x.

⑴求函数/(x)的极值；

(2)若对任意x>0,/(x)>|ax2+l,求。的取值范围.

【答案】(1)/(力的极小值为1,无极大值.

(2)«<1

【分析】(1)求导函数/'(X)的零点，即为〃x)的极值点，然后解不等式/'(x)>0,确定极

大值和极小值；

(2)构造函数，将恒成立问题转化为最值问题，在求最值过程中，注意对参数a的分类讨论.

【详解】(1)/'(x)=e^-l=O,得x=0,

当x<0时，r(x)<0,函数/(x)在(-8,0)单调递减，

当x>0时，r(x)>o,函数在(0,+8)单调递增，

所以的极小值为〃0)=1,无极大值.

(2)意x>0,/(x)>+1,即e*-x-/ax~-1>0,

设g(x)=e"一1-万尔-l,x>0,gf(x)=ex-1-ax,x>0,

①当a«0时,g'(x)在(0,+8)单调递增，g1O)=O,g，(x)>O,g(x)单调递增,

g(x)>g(O)=O,成立；

②当0<。VI时，令"(。=8,0〃(彳)=、-。>0便卜)在(0,+00)单调递增,

g'(O)=0,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)单调递增,

g(x)>g(O)=O,成立；

③当0>1时，当0<x<lna时，=e*-a<O,g[x)单调递减，

g，(O)=O,g")<O,g(x)单调递减,

g(x)<g(O)=O,不成立.

综上可知

3.(2024•河北•模拟预测)已知函数/(x)=alnx-x.

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，-1.

【答案】⑴答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对。进行和。>0的分类讨论导数正负即

可得单调性.

（2）证-lo/（x）max一1，故问题转化成证alna-a4（巴）-l（a>0）

oln]£|-+1<0,接着构造函数8（苫）=111一+1口>0）研究其单调性和最值即可得证.

【详解】（1）由题函数定义域为（0,+功，/岸）=q-1=",

XX

故当a<0时，/'（“<0恒成立，所以函数/（x）在（0,+8）上单调递减；

当a>0时，/'（X）在（0,+<»）上单调递减，令—（x）=0nx="，

则xe（0,a）时,/,（x）>0；xe（a,+8）时，/,（x）<0,

所以函数〃x）在（0,a）上单调递增，在（见+动上单调递减，

综上，当aWO时，函数〃x）在（0,+功上单调递减；当a>0时，函数〃x）在（0,。）上单调递增，在（凡+⑹

上单调递减.

（2）由（1）当a>0时，函数/