苏科版八年级数学上册题型专训：一次函数与三角形面积问题（解析版）（重点突围）

专题22专项题型专训：一次函数与三角形面积问题

聚焦考点

考点一由一次函数图象求面积考点二由面积求一次函数表达式

考点三一次函数中动点类面积问题考点四一次函数中与面积有关的存在性问题

:典型例题:

考点一由一次函数图象求面积

例题：(2022•吉林长春•八年级期末)已知：如图，直线y=?+4与无轴、y轴分别交于点A和点8.

(1)点A坐标是，点B的坐标是.

⑵求AOB的面积.

【答案】⑴(一8,0),(0,4)

⑵16

【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征求A点和8点坐标;

(2)根据三角形面积公式求解；

(1)

解：当y=o时，g尤+4=0,解得x=—8,

当x=0时，y=4,

团A(-8,0),5(0,4),

故答案为：(-8,0),(0,4)；

(2)

13A(-8,0),3(0,4),

团OA=8,OB=4,

团SAOK=—%xOB=—x8x4=16.

AOB22

【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关

键.

【变式训练】

1.(2021•山东枣庄•八年级期中)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，若直线y=-5x+5与x轴、y轴

分别交于点A,B,则0A08的面积为.

【答案】2.5

【分析】先分别求解y=-5x+5与x轴、y轴的交点A,8的坐标，再利用面积公式求解三角形的面积即可.

【详解】解：回当尤=0时，y=-5x+5=5,

当y=0时，-5x+5=0,解得x=l,

0A(1,0),B(0,5),

0AO=1,BO=5,

因为朋02是直角三角形，

回^AOxBO=|xlx5=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关

键.

2.(2021•山东德州.八年级期末)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，若直线y=gx+5与X轴、y轴分

别交于点A,B,则AAO8的面积为.

【答案】5

【分析】分别令x=0和＞=0,求出A、8两点坐标，进而求出A。、3。的长即可求出A03的面积.

【详解】解：如图：•••当X=0时,y=|x+5=5,

当y=°时，|-x+5=0,解得x=-2,

，A(-2,0),B(0.5),

AO=2,BO=5,

因为A03是直角三角形，.

SAACR=—AOxBO=—x2x5=5,

M0B22

故答案为：5.

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，会求一次函数图象与了轴、y轴的交点坐标是解题关键.

3.(2021•全国•八年级课时练习)直线y=2x-3与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标；

图像经过象限，y随x的增大而,图像与坐标轴所围成的三角形的面积是.

【答案】(|可(0,-3)一、三、四增大!

【分析】根据一次函数解析式，分别令y=。，x=0即可求得其与苍'轴的交点的坐标，根据一次项系数和

常数项即可确定经过的象限，进而确定函数的增减性，根据与坐标轴的交点坐标作出函数图像进而求得与

坐标轴围成的三角形的面积.

【详解】由直线y=2x-3

33

令y=0解得冗=3，则与X轴交点坐标为(不,。)

令x=0解得、=-3,与y轴交点坐标为(0,-3)

k=2>0,b=-3,

二.直线y=2x-3,经过一、三、四象限，y随x的增大而增大，

根据已知条件作出函数图像，如图：

3

则A（2,0）,5Q-3）

则坐标轴围成的三角形的面积为：j1x|3x3=^Q

故答案为：（0'一3），一、三、四，增大，|

【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点以及围成的三角形面积，掌握一次函数的

性质是解题的关键.

4.（2022・湖北•武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）已知y-3与x-2成正比例，且当x=-1时，y=2.

⑴求y与x的函数关系式；

（2）若（1）中函数的图象分别交无轴，y轴于A、8两点，求0AQB的面积.

_17

【答案】⑴

49

⑵不

【分析】（1）设y与x的关系式为丁-3=左（无-2）,把x=-l,y=2代入求出上值即可得出y与尤的关系式;

（2）求出一次函数与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积.

（1）

解：设y与x的关系式为y-3=Hx-2）,

把工=一1,y=2代解析式得2—3=左（一1一2）,

解得人=;.

117

[3y—3——（%—2）,即>=§%+1

,,17

故函数解析式为y——.X+—；

（2）

17

当y=0,则y=§%+]=。，

解得：x=—7,

114（-7,0）,Q4=7

7

当x=0,则y=§,

鲂OB=；

11749

团S八=—xOAxOB=—x7x—=—.

△A°B2236

【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点.根据题意设出关系式是解题的关键.

5.(2022•广东佛山市顺德区东逸湾实验学校八年级期中)已知一次函数％=-2了+。与％=工+6的图象都经

过4(2,0),且与y轴分别交于B,C两点.

(1)求Q6的值；

⑵在同一直角坐标系中画出一次函数%=-2尤+。与%=x+b的图象；

(3)求ABC的面积.

［答案］⑴a=4,6=-2

(2)见解析

(3)6

【分析】(1)将点4(2,0),分别代入％=-2x+a与％=尤+6，即可求解；

(2)根据(1)中解析式，分别求得与y轴的交点，进而根据两点画出一次函数的图象；

(3)根据A8,C的坐标，根据5枷=*数*。4即可求解.

【详解】(1)解：点4(2,0),分别代入％=-2x+a与%=尤+方，得

0=—4+a,0=2+6,

解得“=4/=-2；

(2)国一次函数％=-2X+4,%=了一2与y轴分另ij交于氏C两点.

对于X=-2X+4,令X=0,得y=4,

对于%=尤-2,令x=0,,=-2,

EB(0,4),C(0,-2),

如图所示，

(3)回。4=2,3。=4-(-2)=6,

x

团SARC---BCxOA=—x6x2=6.

ABC22

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数，求一次函数与坐标轴的交点，数形结合

是解题的关键.

6.(2022•安徽•蚌埠第六中学八年级阶段练习)已知一次函数的图象经过点40,-4)，5(1,-2)两点.

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-1.012345x

-1

-2

-3

-4

-5

⑴求这个一次函数的解析式；

(2)画出这个一次函数的图象；

⑶求一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.

【答案】⑴这个一次函数的解析式为y=2无-4；

(2)见解析

⑶一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4.

【分析】(D利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)连接A(0,-4),8(1,-2)两点的直线即可；

(3)先求一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】(1)解：设这个一次函数的解析式为：y=kx+b(k^0).

将点40，-4),8(1,-2)代入上式

[b=-4[k=2

得：-c，解得,一

\k+b=-2[b=—4

回这个一次函数的解析式为：y=2x-4；

(2)解：一次函数的图象如图所示：

(3)解：回>=2尤-4,

国当y=0时，2x-4-0,贝!|x=2,

回图象与x轴交于点C(2,0),

回一次函数的图象与y轴交于点A(0，-4),

0SAnr=—OA-OC=—x4x2=4.

.AOC22

【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式；先求出函数图象与坐标轴的交点坐标是求三角形面

积的关键.

7.(2022•安徽,天长市炳辉中学八年级阶段练习)已知一次函数>=2尤+4.

⑴画出该函数的图像；

⑵若该一次函数的图像与x轴交于点4与y轴交于点8,求.。出的面积；

(3)结合图像，写出-2VyV6时x的取值范围.

【答案】⑴见解析

⑵4

(3)-3<%<1

【分析】(1)分别求得一次函数与x轴和y轴的交点坐标，连线即可画出函数的图象；

(2)利用A、B两点坐标求得。4与03,利用三角形的面积公式即可求解；

(3)分别画出直线y=-2和直线y=6与直线y=2x+4的交点坐标，结合一次函数的增减性即可求解.

（1）

解：对于一次函数y=2x+4,

令x=0,贝!Jy=4,

团8的坐标为（0,4）；

令y=0,则》=-2,

回A的坐标为（-2,0）,

在平面直角坐标系中描出点A的坐标为（-2,0）,8的坐标为（0,4）,连线即可得到直线

y=2x+4的图象，如图所示：

（2）

由（1）可知A的坐标为（-2,0）,3的坐标为（0,4）,

团OA=2,OB=4,

0S.=-OA.OB=-x2x4=4；

/A\AUODR22

（3）

解：如图所示，直线丫=-2与直线y=2x+4的交点坐标为（-3,-2）；

直线y=6与直线y=2x+4的交点坐标为（1,6）,且一次函数y=2x+4,＞随x的增大而增大，

回一2VyV6时x的取值范围为一3VXV1.

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，正确地画出一次函数的图象是解题的关键.

8.（2022•浙江•八年级专题练习）如图，一次函数%=履+》的图象与坐标轴交于A,B两点，与正比例函数

%=-2x交于点C（m,4）,OA=6.

⑴求一次函数的表达式；

⑵求3OC的面积；

(3)在线段AB上是否存在点P,使是以04为底的等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】⑴％=-》+3

(2)3

⑶存在，(3,1|

【分析】(1)求出A、C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；

(2)AB0C的面积=gxOBxM|;

(3)作0A的垂直平分线交x轴于点£>,与直线的交点即为点P,再求尸点坐标即可.

【详解】(1)解：由题意，点A的坐标为(6,0)

将CCm,4)代入％=-2x,得4=一2祖，解得机=-2

回点C坐标为(-2,4)

回一次函数％=丘+人的图象过A(6,0),C(-2,4)

f6k+b=0

回4

[—2k+b=4

解得，k=_；,b=3

回一次函数的表达式为乂尤+3.

(2)令x=0,贝U%=3

回点8的坐标为(0,3),OB=3

03BOC的面积=^-OB-|xc|=Jx3x2=3.

(3)存在

作OA的垂直平分线交x轴于点D,与直线AB的交点即为点P

回OD=goA=3

即巧,=3

1cc3

回力=--x3+3=—

3

回点尸的坐标为（3,-）.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的

关键.

考点二由面积求一次函数表达式

例题：（2022•全国•八年级）直线/经过点4（2,2）,且与y轴交于点B,若0AoB的面积为1,则直线/的

解析式为.

13

【答案”亍+1或

【分析】过A作/⑦四轴于O,求出A。，根据三角形的面积公式求出OB,得出2的坐标，代入一次函数

解析式得出方程组，求出即可（注意有两个解）.

【详解】解：如图，过A作ADffly轴于

团点A的坐标为（2,2）,

EAD=2,

EEAOB的面积为1,

0^OBxAD=l,

*02x2=1,

OB=\,

OB点的坐标是(0,1)或(0,-1),

[2=2k+b

①当8(0,1)时，把4、B的坐标代入丁=丘+6得：，，,

\l=b

解得：k=5,b=l,

(2=2k+b

②当3(0,-1)时，把A、5的坐标代入》=履+。得：＜17

[_]=力

3

解得：k=—,b=-l.

2

团直线I的解析式为尸或y=T

故答案为y=；x+l或y=-1.

z2

【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是能

求出符合条件的所有情况.

【变式训练】

I.(2022,河南•清丰巩营乡二中八年级期末)已知一次函数、=丘+优左片0)的图象经过点A(3,0),与＞轴交

于点B,O为坐标原点.若0AOB的面积为6,则该一次函数的解析式为.

44

【答案】y=-§尤-4或y=§x+4

【分析】分两种情况：当点2在y轴正半轴时，当点3在〉轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可

解答.

【详解】解：一点43,0),

/.OA=3,

AAO3的面积为6,

・••-OAOB=6,

2

—x3-OB=6,

2

..OB=4,

.项0,4)或(0,-4),

将A(3,0),5(0,4)代入y=履+6(kwO)得:

3k+b=0

,解得:

0=4

Z?=4

4

1•一次函数的解析式为：y=--x+4,

将A(3,0),3(0,-4)代入>="+双左。0)得:

3k+b=0

b=Y'解得：3,

/?=-4

4

••・一次函数的解析式为：y=-x-4,

...........44

综上所述：一次函数的解析式为：y=-§x+4或y=§x-4,

44

故答案为：y=_§x+4或y=§尤-4.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分

两种情况讨论是解题的关键.

2.（2022,广东•广州市第二中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形,

直线/：y=依将这16个正方形分成面积相等的两部分，则上的值是.

【答案】-

【分析】设直线/：y=质与正方形的上边缘交点为A,作/轴于2,再利用三角形的面积求解A的坐标,

再利用待定系数法求解函数解析式即可.

【详解】解：设直线/：y=近与正方形的上边缘交点为A,作轴于B,

016个边长为1的正方形面积为16,

mAOB的面积为8-4+1=5,

团08=4,

5

0A3=5x2+4=一,

2

SA（-,4）,

2

即4=—k,

2

Q

解得左=£,

Q

故答案为：—.

【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的

关键.

3.（2022•安徽•定远县第一初级中学八年级阶段练习）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数'=〃箕+〃

与＞=加+机称为一组对称函数，例如＞=-2尤+3与y=3x—2是一组对称函数.请完成下列问题：

（1）一次函数＞=-6x+4的对称函数在〉轴上的截距为_；

（2）若一次函数y=-履+6（左＞0）的对称函数与x轴交于点A,与＞轴交于点B,且三角形的面积为12,

则k的值为

【答案】-612

【分析】（1）先根据对称函数的定义写出一次函数y=-6x+4的对称函数的解析式，再令x=o,求出对应

的y值即可；

（2）先求出y=-辰+6（左＞0）的对称函数，再求出04,03的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求

解.

【详解】解：（1）根据对称函数的定义，

可知一次函数y=-6x+4的对称函数是y=4x-6,

当x=0时，y=-6,

・•・一次函数y=4x-6在y轴上的截距为—6,

故答案为：-6；

（2）根据对称函数的定义，

可知一次函数y=-丘+6（左＞0）的对称函数为y=6%-左,

当％=0时，y=-k,

.••点5坐标为Q-幻,

左＞0,

OB=k,

k

当y=0时，X=-,

6

•・•点A坐标为0

°A=I

；三角形AQB的面积为12,

解得上=12或Z=—12（舍）,

故答案为：12.

【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念.

4.（2022•上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）已知一次函数的图像与直线y=2x+l平行，且它的

图像与x轴、y轴所围成的三角形面积为9,求一次函数的解析式.

【答案】y=2x+6或y=2x-6.

【分析】根据一次函数的图象与直线y=2x+l平行，设一次函数的解析式为产2%+匕，结合题意，利用三角形

面积为9列出方程求解即可.

【详解】解：回一次函数的图象与直线y=2x+l平行

回设一次函数的解析式为y=2x+b,

当x=0时，y=b；

b

当y=0时，x=--；

__b

团与坐标轴的父点坐标分别为（0,。），（-万，0）

回函数图象与X轴、y轴所围成的三角形面积为9,

回gx|b|x=9,

解得b=6或b=-6,

团一次函数的解析式为y=2x+6或y=2x-6.

【点睛】题目主要考查一次函数的综合问题及利用平方根解方程，理解题意，熟练掌握运用一次函数的性

质是解题关键.

5.(2022•河北•石家庄市第二十二中学八年级阶段练习)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数

y=Tx+8的图象分别与x、y轴交于点A、B,点尸在无轴的负半轴上，4AB尸的面积为12.若一次函数尸质+》

的图象经过点P和点3求这个一次函数>=辰+6表达式.

【答案】y=8x+8

【分析】对于一次函数V=-4x+8,分别令y与x为0求出x与y的值，确定出A与B坐标，根据三角形皿

面积求出AP的长，确定出P坐标，将尸与8坐标代入求出左与6的值，即可确定出一次函数解析式.

【详解】解：对于一次函数y=Tx+8,

令y=0,得x=2,r.A点坐标为(2,0)

令x=0,得y=8,点坐标为(0,8),

^&APB=12,

|.AP-8=12,即AP=3,

点的坐标分别为4(T，0)或2(5,。)，

,.点尸在无轴的负半轴上，

P(T0),

一次函数y=^+6的图象经过点尸和点B,

-k+b=O

.••将P与8坐标代入得:

b=8

•••这个一次函数y=kx+b的表达式为y=8%+8.

【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

6.(2022・广东广州•八年级期末)如图，过点A(1,0)的两条直线4，4分别交y轴于点8，C,其中点8

在原点上方，点C在原点下方，已知ABuJTS'.

⑴求点B的坐标；

⑵若0ABe的面积是3,求直线的解析式.

【答案】⑴(0,3)

⑵产3L3

【分析】(1)先根据勾股定理求得线段8。的长，再写出点2的坐标；

(2)先根据0ABC的面积为3,求得线段CO的长，再根据点4、C的坐标，用待定系数法求得直线L的解

析式.

(1)

解：回点A坐标为(1,0),

0AO=1,

又朋3=&5,

团3。=-JAB2-AO2=3,

团点3在原点上方，

回点2的坐标为(0,3)；

(2)

解：团0ABe的面积为3,

团;BCgAO=3,

0—BCxl=3,即3c=6,

2

回2。=3,

0CO=3,

团点C坐标为（0,—3）,

设h的解析式为y-kx+b（k^Q）,

6=-3

则

k+b=Q'

k=3

解得

b=-3J

回直线h的解析式为y=3x—3.

【点睛】本题主要考查了勾股定理求点的坐标和待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是利用勾股定

理和三角形面积公式求出点的坐标及待定系数法.

7.（2022.福建省福州格致中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点。的坐标为（8,0）,直

线/与x轴，y轴分别交于A（10,0）,B（0,10）两点，点尸（x,y）是第一象限直线/上的动点.

⑴求直线/的解析式;

⑵设AP。。的面积为S,求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;

⑶当AP。。的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C,使国CPO=22.5。，若存在，请求点C的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-x+10

(2)5=-4x+40(0<x<10)

(3)存在，点C的坐标为(0,10-50)

【分析】⑴设直线的解析式为方履+6,把A(10,0),B(0,10)两点代入解方程组即可.

(2)根据题意点P(x,y)可变形为P(尤，-x+10),根据5=；。。•%计算即可.

(3)过点尸作PL也轴，垂足为作尸C平分SDPO,交y轴于点C,作过点C作CE3OP,垂足为利

用勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可.

⑴

设直线的解析式为y=fcc+6,把A(10,0),B(0,10)两点代入，得

110左+6=0

|Z?=10

回直线/的解析式为y=f+io.

⑵

回点尸是直线y=-x+io的点，

0P(x,-X+1O),

0S=；OQ»yp=；x8x(-x+10)=-4A+40(0<X<10).

(3)

团s=-4x+40=20,

解得m5,y=5,

故点P(5,5),

回过点P作尸。也轴，垂足为。，

贝1」尸。=。。=5,EDPO=EDOP=45O,PO=^52+52=542-

作尸C平分回QPO,交y轴于点C,

则EICPO=22.5°,

回过点C作C£0OP,垂足为E,

则DC=CE,由PC=PC,得△POCEEPEC,

0PD=PE=5,

EE£>OP=45°,C£0OP,

SCE=OE=PO-PE=5-\/2—5，

0CO=V2CE=72（572-5）=10-572,

故点C的坐标为（0,10-5五）.

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性质，熟练

掌握待定系数法，灵活运用勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键.

考点三一次函数中动点类面积问题

例题：（2022•安徽・淮北一中八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB=3,BCM,动点尸从点A开

始按A35fCfO的方向以每秒1个单位的速度运动到点。.设动点P运动的时间为/秒，三角形APD的

面积为S.（当点尸与点A或。重合时，v=0）

B

⑴写出S与r之间的函数表达式;

（2）在图2中画出此函数的图象;

S

5

4

3

2

1

~O1234567891011t

⑶根据图象，点P运动多少时间三角形APD的面积为4?

2r(O<r<3)

【答案】（1）S=6（3<f<7）

-2r+20(7<r<10)

⑵见解析

（3）由图象知点尸运动时间为2秒或8秒，的面积为4.

【分析】（1）分点P在AB上，点尸在BC上，点尸在OC上三种情况，根据三角形面积公式表示即可;

(2)先列表，再画出三段图象即可;

(3)代入关系式计算即可.

(1)

当0W/<3时，点尸在A3上.

S=-ADxAP=-x4t=2.t；

22

当33<7肘，点尸在8C上，

S=-ADxAB=-x4x3=6■

22

当74f<10时，点P在。C上.

S=^ADxDP=^x4x(10-t)=-2t+20.

2/(0<f<3)

所以S与1之时的函数表达式为5=6(3<?<7)

-2什20(74/410)

描点、连线得到如图所示的函数图象

(3)

当S=4时，2f=4,

解得Z=2；

-2z+20=4,

解得r=8.

所以点P运动时间为2秒或8秒，△APD的面积为4.

【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画分段函数图像等，分情况讨论是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・全国•八年级课时练习）如图，直线丫="-3与x轴、y轴分别交于点8与点A,OB=~OA,点C

是直线AB上的一点，且位于第二象限，当回OBC的面积为3时，点C的坐标为.

V

【答案】（一3,6）

【分析】过点C作CHW轴于点”，由题意易得05=1,04=3,然后根据回03c的面积可得点C的纵坐标,

进而问题可求解.

【详解】解:过点C作CHHx轴于点H,如图所示：

团直线了=履-3与x轴、y轴分别交于点3与点A,

回令x=0时，则有y=-3,即。4=3,

SOB=-OA,

3

团08=1,即3（-1,0）,代入直线解析式得：0=-后-3,解得：上=一3；

13直线AB的解析式为y=-3x-3,

回回。BC的面积为3,

^-OBCH=3,

2

旦CH=6,即点C的纵坐标为6,

回―3x—3=6,解得：x=—3,

0C(-3,6).

故答案为(-3,6).

【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键.

2.(2022•河南•三门峡市实验中学八年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴

分别交于A,B两点，点C(2,㈤为直线y=x+2上一点，直线y=-x+〃过点C.

⑴求加和6的值；

(2)直线y=-x+b与x轴交于点。，动点尸从点。开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动(点尸不与

点。，点A重合).设点尸的运动时间为r秒.

①若点尸在线段D4上，且AACP的面积为10,求r的值；

②是否存在/的值，使AACP为等腰三角形？若存在，直接写出r的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴"2=4,b-6

⑵①7=3；②存在，的值，使AACP为等腰三角形，「的值为8-40或8+40或4

【分析】(1)将点C(2,㈤代入y=x+2,求出机的值，再将确定的点C代入y=r+b中，即可求6的值；

(2)①由题意可知尸点的坐标为(6t,0),则AP=8T,再由%s=；x(8T)x4=l。，求出/的值即可；

②由①分别求出AC=4"AP=|8-/|,CP=J(4T)2+16,再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建

立方程，求出f的值即可.

【详解】(1)解：将点。(2,㈤代入y=x+2,

0m=4,

团直线y=r过点C,

团—2+Z?=4,

角军得b=6；

(2)解：①勖=6,

El直线解析式为y=-x+6,

00(6,0),

直线y=x+2与x轴交点A为(-2,0),与y轴交点夙0,2),

由题意可知P点的坐标为(6-，0),

回AP=6—f+2=8—t,

团^&ACP=万x(8—1)x4=10,

解得r=3；

②存在/的值，使AACP为等腰三角形，理由如下：

她(-2,0),C(2,4),尸(6一,0),

EIAC=4仓AP^8-t\,CP=&4-疔+16,

当AC=AP时，40=|87|,

解得1=8-4后或/=8+4>/^;

当AC=CP时，472=7(4-f)2+16,

解得f=0(舍)或f=8(舍)；

当CP=AP时，18Tz(I)?+16，

解得r=4；

综上所述：/的值为8-4夜或8+4应或4.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨

论是解题的关键.

3.(2022•河北•原竞秀学校七年级期中)已知：如图1,线段AB=14aw,346的顶点P从点A出发沿折

线403运动时，346的面积随着点尸运动路程的变化，发生了变化.图2表示这种变化规律.

⑴在尸点运动5cm时，△RW的面积为cm2；当P点运动路程为的时，ARAB的面积最大为

cm2；

(2)求图1中线段AO、OB的长，以及。到AB的距离；

⑶直接写出a的值为.

【答案】⑴28,15,84

⑵。4=15的，0B=13cm,点。到AB的距离为12cm

(3)21.5

【分析】(1)根据图2所示即可得出.

(2)根据三角形面积公式求解即可.

(3)求出一次函数解析式，进而即可求解.

(1)

当在尸点运动5。"时，根据图2可得回物B的面积为28c疗，当P点运动路程为150”时，SB4B的面积最

大为84c疗；

故答案为：28,15,84；

(2)

由题意得，AO=15cm,08=28-15=13"：,

设。到AB的距离为贝U；*14〃=84,解得〃=12,

00到AB的距离为12cm；

(3)

解：设一次函数为y=Ax+Zb

把(15,84),(28,0)代入一次函数函数可得，

J15左+b=84

|28上+6=0

一

13

解得＜

2352

b=

13

842352

团y二-—x+------

1313

当产42时,解得:a=21.5

【点睛】此题考查了动点与函数图像，一次函数的性质，解题的关键是把图看懂，得出需要的信息，求出

一次函数解析式.

4.(2022•山东济宁•八年级期末)将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数

的坐标三角形(也称为直线的坐标三角形).如图，一次函数"依-7的图像与x、y轴分别交于点A、B,那

么：ABO为此一次函数的坐标三角形(也称为直线AB的坐标三角形).

⑴如果点C在x轴上，将二ABC沿着直线AB翻折，使点C落在点2(0,18)上，求直线8C的坐标三角形的

面积；

(2)如果一次函数广履-7的坐标三角形的周长是21,求左值；

(3)在(1)(2)条件下，如果点E的坐标是(0,8),直线上有一点P,使得周长最小，求此时

的面积.

【答案】(1)84；

4

(2)^=--;

(3)112.

【分析】(1)先求出点B坐标，继而可得03,由翻折性质可得：BC=BD=25,根据勾股定理可得OC的长，

根据三角形面积公式即可求解；

21

(2)设。4=x,AB=14-x,在用AAOB中，由勾股定理可得。4的长，从而得到点A坐标，将点A(,

4

0)代入户区-7可得人的值；

(3)连接CE交43于点P,由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，ADPE的周长最小，将

直线A3和直线CE的解析式联立可得点尸，继而利用分割法求出PBC的面积.

(1)

团将x=0代入V=后一7,得：y=-7,

田点B(0,-7),

回。3=7,

又回点。(0,18),即0。=18,

回BD=03+0/)=7+18=25,

由翻折的性质可得：BC=BD=25,

在R他30C中，由勾股定理可得：oc=1BC。-08?=侬2-72=24，

回直线BC的坐标三角形的面积为：10C.0B=1x24x7=84；

(2)

设Q4=x,AB=14-x,

El在RtZXAOB中，由勾股定理可得：AB2=O^+OB2,BP(14-x)2=x2+72,

21

解得：x=下，

4

21

团点A(一--,0),

4

2121

团将点A0)代入丁二履一7,得：—二%—7=0,

44

4

回左7二—；

3

(3)

如图，连接CE交A3于点尸，

团点。与点。关于直线AB对称,

⑦PC=PD,

”C+PE=PD+PE,

团当点P、。、石在一条直线上时，PC+尸石有最小值,

又现汨的长度不变,

团当点尸、C、石在一条直线上时，△。心的周长最小,

设直线CE的解析式，=丘+),

0=-24k+b

将点C(-24,0)、E(0,8)代入上式，得:

8=。

k=—

解得：3,

b=8

回直线CE的解析式y=；x+8,

y=-x+8

3x=-9

联立解得:

4-

y=——x-7,y=5

3

回点尸(-9,5),

八

0SArPrRilC,=S/\<C>Rf>FP.—/\PirRirF,=-x15x24—x15x9=112.

【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与

交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点尸、C、£在一条直线上

时，AOPE的周长最小.

考点四一次函数中与面积有关的存在性问题

例题：（2021•重庆八中八年级期中）如图，直线，J=X+4与x轴交于点3,与y轴交于点A,直线4与天轴

交于点C,与y轴交于点。，与直线（交于点£（—2,2）,AO=2OD.

（1）求直线CD的解析式；

3

（2）直线上是否存在点Q,使得SMCLASMCE?若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-2x-2；（2）Q（l,5）或Q（-5,-1）

【分析】（D先求出A点坐标，利用AO=2O。求出。点坐标，结合E点坐标求出解析式即可;

3

（2）设。（m,m+4）,求出&QC。和S/CE再由入℃。=万3禄口求出机的值即可；

【详解】解：（1）4：y=x+4,

当x=0时，y=4,

财(0,4)

回OA=4,

MO=20。

国0。二2

回。(0,-2)

设直线CD的解析式为y=ax+b

将£(一2,2),D(0,-2)代入得:

2=-2a+b

-2=b

[a=—2

回

\b=-2

团直线CD的解析式为y=-2x-2

(2).直线CO的解析式为y=-2x-2

2

令y=。，解得4-1,则左=-1

设Q(m,m+4),

+4

过。作尸。〃龙轴交4于点尸，贝1

m+4+lx2=||3m+6|

LQCr>=gXB_尤/X仅J=：Xm-\---------

2

SzBC£=1-x|xB-xc|x|y£|=lx|-4-(-l)|x2=3

3

团S^QCD=万S^BCE

I3Q

团一|3m+6|=.x3=_

212122

回3加+6=9或3m+6=—9

0m=1或m=-5

团。(1,5)或0(-5,-1)

【点睛】本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角

形的面积等知识.

【变式训练】

3

1.(2022,广东•佛山市顺德区北洛镇碧江中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数＞尤+12

4

与两坐标轴分别交于A,B两点，OM^AB,垂足为点M.

⑴求点A,B的坐标；

⑵求的长；

⑶存在直线48上的点N,使得S^OAN,请求出所有符合条件的点N的坐标.

【答案】⑴A(16,0),5(0,12)；

(2)OM=9.6；

(3)N(8,6)或(24,-6).

【分析】(1)利用坐标轴上点的特点直接得出点43坐标;

(2)利用三角形的面积的计算即可求出OM；

(3)设出点N的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可.

【详解】(1)解:令x=0,

团y=12,

蛇(0」2),

令y=0,

3

团——x+12=0,

4

0x=16,

SA(16,0)；

(2)解：由(1)知，A(16,0),B(0,12),

回。4=16,05=12,

=-OAxOB=96,AB=V162+122=20,

△UAo2

^\OM±AB9

0S.=—ABxOM=—x20xOM=96,

ZACnZA/1DR22

团ON=9.6；

(3)解：由(2)知，S^0AB=96,ft4=16,

团直线AB上的点N,

3

团设N(m,——m+12),

4

团S小OAN=2S40AB,

团S^OAN=耳OAx.|yN|=-x16x|yN|=8x|yN|=-x96=48,

3

08x|一一机+12|=48,

4

团根=8或机=24,

回N(8,6)或(24,-6).

【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，

列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目.

2.(2021•河南安阳•八年级期末)直线AB：y=-x+b分别与x,y轴交于A,8两点，已知点A(6,0),过

点3的直线交x轴负半轴于点C,且。氏OC=3：1.

(1)求直线BC的解析式；

(2)在直线BC上是否存在点。(点。不与点C重合)，使得若存在，求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)>=3尤+6；(2)存在，D(2,12).

【分析】(1)把A(6,0)代入y=-x+6中即可求解，然后求出2的坐标，根据OB：OC得到C点坐标,

然后用待定系数法求出BC的解析式；

(2)根据两个三角形同高，因此只需要令两个三角形的面积就相等，然后根据2为CZ)的中点，

即可求出。的坐标.

【详解】解：(1)把A(6,0)代入y=-x+b得到0=-6+b,

勖=6,

团直线A3的解析式是：y=-x+6,

团3(0,6),

团05=6,

国OB：OC=3：1,

团OC=2,

团。(-2,0),

设8。的解析式是y=〃x+6,把C(-2,0)代入得a=3,

回直线BC的解析式是：y=3x+6.

(2)存在，理由是：

设D(m,3m+6),

此A2D=S4ABC,

SBC=BD,

as为co的中点

E1C(-2,0),B(0,6),

丽=2,

团0(2,12).

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两点之间中点的坐标公式，三角形面积，解题的

关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3.(2022・上海•八年级开学考试)如图，在平面直角坐标系中，点C(T,0),点分别在x轴，y轴的正半

轴上，且满足08=2,04=1.

(1)求点A8的坐标及直线AB的解析式；

(2)在x轴上是否存在点。，使以点3、C、。为顶点的三角形的面积5.8=：5却^?若存在，请写出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)A(1,0),8(0,2),y=-2x+2.(2)存在，1|，°［或［-£，(

【分析】(1)由。5=2,。4=1,可得到点A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式;

(2)先求得0ABe的面积，然后根据SABC»=TSAABC得到关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得。的

坐标.

【详解】解：(1)08=2,04=1,

A的坐标为(1,0),8的坐标为(0,2),

设的解析式为>=履+2,

将A坐标代入得0=k+2,

/.k=—2,

y——2JV+2；

(2)存在，

设点D坐标为(无,0),

A的坐标为(1,0),B的坐标为(0,2),点C(T0),

AC=5,

SAABC=-X5X2=5,

53京皿

；.S…\cD.OB=[,Spl|x-(-4)|x2=|,

・小+4|=T,

3

二。的坐标为，。或

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积公式以及一元

一次方程的应用，解题的关键是根据三角形面积公式列出方程.

4.(2021・广东•深圳市高级中学八年级期中)已知直线心y=mx-3m(m^O)与％轴、y轴分别交于A、B

(2)在(1)的条件下，直线上是否存在点尸使得SA.B=S若存在，求出点尸坐标；若不存在，说

明理由.

(3)当相为何值时，AABC为等腰三角形？请直接写出机的值.

3Q41

【答案】(1)A(3,0)、B(0,-4)；(2)存在，点尸坐标为(5,2