数列综合大题归类：求和放缩不等式-2025年高考数学一轮复习知识清单（原卷版）

专题17数列综合大题归类：求和，放缩不等式

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目录

题型一：分组求和：公式法........................................................................1

题型二：分组求和：奇偶分段型....................................................................2

题型三：分组求和：正负相间型....................................................................2

题型四：倒序求和型..............................................................................3

题型五：裂项相消1：函数型......................................................................4

题型六：裂项相消2：指数型......................................................................5

题型七：裂项相消3：无理根号型..................................................................6

题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型..........................................................6

题型九：裂项相消5：等差指数混合型..............................................................7

题型十：裂项相消6：正负相间裂和型..............................................................8

题型十一：裂项相消7：三角函数型................................................................9

题型十二：裂项型证明数列不等式..................................................................9

题型十三：三角函数型数列不等式证明.............................................................10

题型十四：先求和再放缩证明数列不等式...........................................................11

题型十五：先放缩再求和证明数列不等式...........................................................12

题型十六：利用导数不等式证明数列不等式.........................................................13

^突围・错;住蝗分

题型一：分组求和：公式法

指I点I迷I津

等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：

等差:前w项和公式：喀口4=血抖.

,q=1,

等比：前〃项和公式：a。-q"）与一。应

1.（23-24高三・河北唐山•模拟）己知数列｛q｝,%=%=1,an+2-5an+1+6an=0.

⑴证明：数列｛%+「3q,｝为等比数列；

⑵求数列｛4｝的通项公式；

⑶求数列｛。,｝的前〃项和S,.

2.（2024・山东•二模）已知数列｛%｝,｛么｝中，q=4,々=一2,｛%｝是公差为1的等差数歹|,数歹

是公比为2的等比数列.

⑴求数列也｝的通项公式；

（2）求数列｛〃｝的前〃项和却

3.（23-24高三•重庆九龙坡,模拟）已知等差数列｛%｝的前〃项和为工，且满足q=-2,邑=0.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设2=氏+3与求数歹UK）的前n项和T„.

4.（22-23高三・河南郑州•期中）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足S“+”=2aQeN*）.

⑴求证:数列｛q+1｝为等比数列；

⑵求数列｛6｝的前〃项和

题型二：分组求和：奇偶分段型

;指I点I迷I津

：分组求和法：

1.形如a〃=b,（等差）+C,（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减

2.形如a”=b”（等差比）+C”（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减

3.形如a“=b”+c“，（b„,C.为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减

如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：

（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和

莪7萨:耘荔丽羸6-藐尊塞砺褊市,4=i,前〃/拓石?；区j为筱而建薮苒琴正

数列，4=2,且打+邑=7,%+4=10.⑴求。“与或；

..力为奇数）（*、,.

（2）定义新数列C,满足*俚将〈，“eN,求C,前20项的和盘.

如为偶数）'/

2.（2024•山西•三模）已知等差数列｛。“｝的公差d>0,前"项和为S,,且华仁=-5,S8=-16.

⑴求数列｛«„｝的通项公式；

（2）若么=；（keN*）,求数列也｝的前2九项和匕.

3.（23-24高三下•广东•模拟）已知数列｛厮｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S,，邑=3,%，%，

网成等比数列.

⑴求的通项公式；

f+3,n=2k,

（2）若2=/।，左eN*,求数列｛%｝的前100项和九

[2"，n=ZQk；-l,

4.（23-24高三・江苏盐城•期末）已知等差数列｛%｝的首项为1,公差4=2.数列他J为公比q=2的等比数

列，且&，4+3,4成等差数列.

⑴求数列｛%｝和数列也｝的通项公式；

为奇数（、

⑵若c〃=1小便将，求数列C”的前2〃项和

也，”为偶数

题型三：分组求和：正负相间型

指I点I迷I津

正负相间求和：

1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。

2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的

奇数项通项。

1.（24-25高三•全国•练习）已知数列氏求数列｛%｝的前〃项和S”.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设〃=（Iog3%y,Cn=（-l）"/—+/—］，求数列｛与｝的前，项和T..

12+12+2）

3.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知数列｛”“｝满足弓=1,a„>0,篦是数列｛外｝的前〃项和，对任意〃eN*,

有250=2%+%-1

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）设么=（-1尸4,求｛bn｝的前100项的和.

4.（23-24高三•广东深圳•期末）已知等差数列｛4“｝的前〃项和为S“，S9=81,且/T,%+1,%+3成等

比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若“eN*,是数列他,｝的前〃项和.求心

题型四：倒序求和型

指I点I迷I津

倒序求和:

倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组

合数。

1丫

1.（2022高三・全国•模拟）设4（%,%）,8（%,为）是函数〃x）=7+log2-的图象上任意两点，且

=1（04+02）,已知点M的横坐标为

22

⑴求证：M点的纵坐标为定值；

（2）若Sn=++N'，且2求S”；

2.（20-21高三•全国•模拟）已知函数/■（无）=:/+3无，数列｛4｝的前〃项和为S“，点（〃总乂〃©二）均在函

数八”的图象上.

(1)求数列｛?｝的通项公式；

(2)若函数g(x)=1g,令b.=g］蔡，(〃eN*),求数列｛2｝的前2020项和心期.

3.(20-21高三•江苏苏州•期中)己知〃“)=4+%&++-优+，LTN)

(1)若a“=〃T，求/(〃)；

(2)若用=3"一1,求〃20)除以5的余数

4.(2324高三•四川成都•模拟)已知数列｛4｝满足：争墨+墨+…+殳=小—*),数列圾｝满足

bn=声.⑴求数列｛〃〃｝的通项公式；

⑵求2+40gz的值；

⑶求4+82+，3H-----怎的值.

题型五：裂项相消1:函数型

指I点I迷I津

函数型，指的是“型

pq

(1)f(n)=t(q-p),差型;

(2)f(n)是分离常数型；

1.(24-25高三•广东•开学考试)已知数列｛4｝的各项均为正数，4=1,5“为｛4,｝的前〃项和，且

2

(心2).

S“+Si

⑴求｛%｝的通项公式;

(2)设4=/亲,

记色｝的前“项和为北，求证：Tn<~.

2.(23-24高三•江西，模拟)已知数列｛%｝满足苑+疯+…+购=笠12.3

⑴求｛q｝的通项公式；

,2及+1,、3

(2)设/=——，记数列出｝的前〃项和为加证明：7<S„<1.

anan+l4

3.(2024•陕西西安・模拟预测)设数列｛氏｝的前凡项和为5“冯=1,且=.

⑴求数列｛。,｝的通项公式；

(2)若2=白飞，数列也｝的前〃项和为&V”eN*Z<根恒成立，求实数加的最小值.

an'an+\

4.（23-24高三•河北石家庄,模拟）已知等差数列｛/J的前〃项的和为5“,52，邑,邑-2成等差数列，且

成等比数列.

⑴求｛厮｝的通项公式；

,n+11

（2）若么=一丁，数列｛g｝的前〃项的和为北，试比较】与右的大小，并证明你的结论.

anan+\7。

题型六：裂项相消2：指数型

指I点I迷I津

指教型，类仞后教型的列项思维

1.（23-24高三•河南•模拟）已知数列｛4｝满足4=1。,。用=3。“-2.

⑴求｛q｝的通项公式；

〃一11

（2）若a=Q；2）a，记数列也｝的前〃项和为（，求证：（、＜5.

2.（23-24高三下•河南•模拟）已知数列｛4“｝满足ax=3,a„+1=3an-2/7+1.

⑴求证:｛%-科为等比数列；

（2）数列也-小的前"项和为九求数列卜飞了-1］的前”项和刀,.

LW+iJ

3.（23-24高三•云南曲靖•模拟）设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且2%-%=2,8=30.

⑴求数列｛&,｝的通项公式；

2”

b----------------

⑵若"foT70驾］，求数列也｝的前”项和小

Z—1z—1

4.（23-24高三•湖北武汉•模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称

为“三角垛三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球......，设各层球数构成一个数

列5｝

⑴求数列｛册｝的通项公式;

(2)若数列｛.｝的前〃项和S“=%,数列｛q｝满足C“=(2%_])(24_1)，求数列kJ的前〃项和1

题型七：裂项相消3：无理根号型

指I点I迷I津

无理根式型裂项：

1_sjn+k—y[n

一般情况下，无理型裂项相消满足：«+k

1.(23-24高三•四川南充•期末)已知数列｛4｝是等差数列，且％=1吗=g+2%,5“是数列｛g｝的前鼠项和.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

,1〃数列抄/的前〃项和求证:

⑵设“keN*),T,,I<L

2.(23-24高三•辽宁本溪•期末)设正项数列｛。“｝是公差为d(dwO)的等差数列，其前〃项和为S“，已知

(q+qj

%=3,S"=

2d

(1)求｛4｝的通项公式;

⑵求数列的前〃项和5.

3.(2024•湖南邵阳•三模)已知函数〃同=2，g(x)=/(x)+ar.

⑴若g(x)在尤=0处取得极值，讨论g(x)的单调性；

(2)设曲线y=〃x)在点P(私〃〃少(0＜心＜2)处的切线为/,证明：除点尸外，曲线段y=F(x)(O4x42)总

在/的下方；

1140--

⑶设、'所+G证明：沙(％)—。+九

4.(2024•福建三明•三模)已知数列｛。“｝满足q册―，册=(也),weN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛叫的前〃项和为S“，若不等式(-1)"⑸-144S：对任意的〃eN*恒成立，求实数t的取值范围；

1h—b2一匕h-/-/、丁*\

⑶记----F，求证：L0+-L++—j^＜6(neN).

log2an也g

题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型

T旨I点I迷I津

;分离常数型

分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数,

;把分子次氟降下来。

I________________________________________________________________________________________________

1.(23-24高三・浙江丽水•期中)设数列｛%｝为等差数列，前〃项和为5,,%+%=18,，。=100.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设2=——的前〃项和为证明：看<?fl+:1.

aa

„n+l24

2.(2024•河北沧州•模拟预测)设正项数列｛即｝的前〃项和为S,，已知=

⑴求数列｛即｝的通项公式；

2

(2)设么，求数列｛^｝的前«项和T“.

S-n

3.(23-24高三・安徽芜湖•模拟)设｛q｝是正项数列，且其前〃项和为S“，已知S“=：(G+2)2.

O

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)令2=[也+eN*),求凡｝的前〃项和却

2a„凡，''

32.(23-24高三•江苏盐城•期末)数列｛%｝中，卬=一(，2a„=a„_-/7-l(«>2,nN*)

1G设£=4,+&

⑴求证:数列｛a｝是等比数列;

(2)求数列｛曲｝的前〃项和，；

求不超过鸟⑼的最大的整数.

题型九：裂项相消5：等差指数混合型

指I点I迷I津

形如—心型-------g型，可以“仿写”裂差，再通过反解凑配系数(或者直接构造凑配)

(kn+b)[k(n+Y)+b]qn+l

加rn+c1_1111

如----------------------------;-r-----------------------------rJ1

(kn+b)[k(n+V)+b]q"(kn+b)q"k(n+1)+Z?q/!

,注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的

1.(2024.全国.模拟预测)己知正项数列也｝的前〃项和为S“，且满足S；-(2"-1)S"-2"=0.

⑴求数列｛%｝的通项公式.

.n+2.、

⑵记b-=/+1）］，求数列也｝的前"项和T”•

2.（2024•山西临汾•二模）已知数列｛4｝,也｝满足％=1,勿=2%,么她心=同声

⑴计算出,%,并求数列｛七｝的通项公式；

（2）设数列｛%｝满足C,=,求数列｛%｝的前〃项和T*.

an*an+l*"n

3.（2024高三•全国•模拟）已知等差数列｛。“｝的前n项和为S“，数列色｝是等比数列，a,=bx=\,S3=b3+2,

S4=b4+2.

⑴求4与。;

（2）设q=（\1泡,求数列上,｝的前〃项和刀.

4.（23-24高三•江苏连云港•期中）已知数列｛%｝的前〃项和为且满足：％=1,"a“M=2S“+〃（〃eN*）.

⑴求数列｛为｝的通项公式。,；

⑵设年=〃，求数列也｝的前几项和T,；

乙,anan+l

⑶设数列｛1｝的通项公式为c“=T；,问:是否存在正整数上使得G，令cm（m>3,meN）成等差数列？若

存在，求出方和加的值；若不存在，请说明理由.

题型十：裂项相消6：正负相间裂和型

:指I点I迷I津

正负型：等差裂和型

形如（-形".上2-型,如果£（!1）=；16"+1+2”），则可以分子裂差：

aja,,+i

（_］）”.f⑺=（_1）”/区+1出“）=（_［）“LL）

a，a

n»+ia“・a,+ia„a„+1

L_______________________________________________________________________________________

1.（23-24高三•湖北武汉•期中）已知数列｛4｝的首项4=1,且满足。向+见=3、2",数列出｝的前"项和工

1

满足s.=w（a+i9y,且a〉。.

⑴求证：｛%-2"｝是等比数列；

（2）求数列也｝的通项公式；

⑶设g=（«„-2"）辞-,求数列匕｝的前n项和却

1o

2.（2024・四川•模拟预测）已知S,为正项数列｛%｝的前〃项和，%=3且,+5向=［*「；.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若bn=(-1严添篇,求也｝的前10项和T10.

3.(23-24高三•海南省直辖县级单位•模拟)设数列｛%｝的前〃项和为S”.若对任意的正整数〃，总存在正

整数加，使得5"金，则称｛4｝是"“数列〃.

(2n=l

⑴若an=2」〃>2，判断数列｛%｝是否是"H数列"；

(2)设也｝是等差数列，其首项仇=1,公差deN*,且也｝是数列"，

①求d的值；

②设4=(T)"2为数列仁｝的前/项和，证明：或“g

4.(23-24高三湖北•期中)已知等差数列｛即｝的前〃项和为S,,且邑=4邑，生“=2a“+l(〃eN*)

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)设d=(-1)°9山，求数列｛,｝的前〃项和为

anan+\

题型十一：裂项相消7：三角函数型

1.(2024高三・全国•模拟)已知在数列｛%J中，a1=l,nan+l-(n+V)an=l.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足仇=sin(^a,i+1)+cos(7r<7„),求数列也“｝的前2024项和罩2小

2.(23-24高三下•河南•模拟)已知数列｛4｝的前w项和为S",4=1,%=3,5角+S“_=2⑸+1)(〃22)

⑴求S/

(2)若£=——-—求数列也｝的前1012项和62.

anan+\

3.(2024•福建泉州•二模)已知数列｛/J和｛%｝的各项均为正，且。3=山仇,｛%｝是公比3的等比数列.数列

｛a"的前〃项和S“满足4S”=a；+2a”.

⑴求数列｛an｝,｛与｝的通项公式；

b

⑵设C"=(h_器_丁+%8s所,求数列｛%｝的前n项和T”.

4.(2023•安徽安庆・模拟预测)已知％=：,a“10，S],tana“+i=」一("eN*).

4I2Jcos%'7

⑴求tan%,tangJan%；

(2)证明：｛tai?%,｝是等差数列，并求出tan%“；

⑶设"tan'ana,求也｝的前“项和$“•

题型十二：裂项型证明数列不等式

指I点I迷I津

裂项型证明数列不等式：

1.裂项求和。

2.求和后的函敷数到式子，具有敖缩和单调性两方面的特征。

3.一些求和后的式子，还可以通过构透新函数，求导证明

45.(23-24高三•江苏常州・模拟)已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,满足：二*=%+1,且g=3.

n

⑴求证：数列｛"“｝为等差数列，并求其通项公式；

["7)21伪奇数

(2)记2=anan+2,数列｛2｝的前2〃项和为耳，若不等式(-1))+/二<应对一切〃eN*恒成

为偶数”+

立，求4的取值范围.

2.(23-24高三•安徽•期中)已知数列｛时｝的前〃项和为S,,满足(〃一1万7-安-3)S,=24,n>2,%=1.

⑴求数列阻｝的通项公式；

(2)若数列口的前〃项和为(，证明：当,22时一、<北<吧.

,、112n+l

3.(23-24高三•山西•期中)已知数列｛g｝满足-------=——，且％=L

aa

。〃+1nn+\

⑴求数列｛%｝的通项公式；

2

(2)若数列也｝满足a=二，记数歹式2｝的前〃项和为小求证：T»<4.

an

4.(23-24高一下•上海•期中)设S,是数列｛%｝的前〃项和，且凡是S,和2的等差中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)记d=%,(%+ak+1+...+an)(l<k<n).

①求数列｛4｝。W左W〃)的前〃项和1;

r\02r\n

②设/(〃)=亍+亍+...+亍(〃eN*),是否存在常数。，使"(7Z)<c对〃©N*恒成立？若存在，求出。的最

小值；若不存在，说明理由：

题型十三：三角函数型数列不等式证明

指I点I迷I津

三角翦敷敷列不等式：

1.利用三角函数的周期型。

2.利用三角函数正余弦的数的有界性。

3.一些题型，可以借助泰勒公式等导效形式证明的结论

1.(23-24高三・湖北•期中)18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(BrookTaylor)发

现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当"X）在彳=0处的〃（〃eN*）阶导数都存在时，

〃x）=〃0）+广⑼”+…+其中，广⑺表示“X）的二阶导数，即

为广（%）的导数,*（X）523）表示/（X）的〃阶导数.

⑴根据公式估计cosg的值；（结果保留两位有效数字）

%3572n-l3

⑵由公式可得：sin¥=x---++（-1）—当%>0时，请比较sinx与x-Z的大小，

3!5!7!yZn—1y.6

.（1）

sin------

并给出证明；（3）已知“eN*,证明：寸+1.

2.（2024・甘肃张掖・模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成

无限项的多项式.当“X）在x=0处的M“GN*）阶导数都存在时，它的公式表达式如下：

〃同=〃0）+/，（0卜+工?/+/芈1++/W"x"+.注：:（。）表示函数在原点处的一阶导

数，尸（。）表示在原点处的二阶导数，以此类推，广'（。）（，后3）表示在原点处的〃阶导数.

⑴根据公式估算cosl的值，精确到小数点后两位；

丫2

（2）当％>0时，比较cosx与1——的大小，并证明；

2

111

证明：++2»—271+1

⑶设〃$N*,+一>---------

11

tan—tan一tan—2n

23n

3.(2024高三•全国模拟)已知函数/(x)=ln(%+l)—-.

⑴证明:/(九)之0;

⑵求证：sin--——Fsin--——F+sin—<in2(neN.

n+1n+22nv7

4.（23-24高三•四川成都・期中）意大利画家达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂,

那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数ch（x）=W二的图象,

类似的可定义双曲正弦函数sh（x）=《J.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

⑴类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：Sh（2x）=

（2）当x>0时，比较sh（x）与尤的大小，并说明理由；

22

shsh

⑶证明：他皿+他半\n)c4",3、

+r+H----->2n-~~;(«eN)

tanl2〃+1

tanitan-tan—

23n

题型十四：先求和再放缩证明数列不等式

1.（24-25高三•辽宁•开学考试）已知S,为数列｛4｝的前〃项和,为数列也｝的前〃项和,

2a+1,〃为奇数

氏+2=2%+1一％,勿=2.为偶数也=2=6

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵若&-邑“<2025,求”的最大值;

11〃3

⑶设Cn=证明：

,2〃一、2n/z=iq

2.（23-24jWj二,江西南昌•模拟）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，an=2-Sn,nGN*.

⑴求数列｛氏｝的通项公式；

（2）是否存在实数2,使数列［“+加+£1为等差数列？若存在，求出2的值：若不存在，请说明理由；

2一”-9m

⑶已知数列〃｝,————其前〃项和为（，求使得?w<?；<：对所有〃cN*都成立的自然

（（+1）（氏+|+1）44

数加的值.

3.（23-24高三•浙江•模拟）已知数列｛%｝满足卬=2,幺匚^=pa"+（-1）°eN）

an

（D若P=0，求数列｛3"•%｝的前w项和S”.

（2）若p=l,设数列的前w项和为4,求证：1<7；<1,

4.（23-24高三•河北承德•期末）己知正项数列｛叫满足数列抄“｝的前几项和为S“，且

的+I=2S.+2,4=：=2.

⑴求｛为｝,｛2｝的通项公式;

nU11

⑵证明：

z=l%Z

题型十五：先放缩再求和证明数列不等式

指I点I迷I津

先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以

求和，所以放缩成能求和的形式。

1.（23-24高三•天津北辰•模拟）已知数列｛%｝为等差数列，%=7,%=1