




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题17数列综合大题归类:求和,放缩不等式
更盘点•置击看考
目录
题型一:分组求和:公式法........................................................................1
题型二:分组求和:奇偶分段型....................................................................2
题型三:分组求和:正负相间型....................................................................2
题型四:倒序求和型..............................................................................3
题型五:裂项相消1:函数型......................................................................4
题型六:裂项相消2:指数型......................................................................5
题型七:裂项相消3:无理根号型..................................................................6
题型八:裂项相消4:分子分母齐次分离型..........................................................6
题型九:裂项相消5:等差指数混合型..............................................................7
题型十:裂项相消6:正负相间裂和型..............................................................8
题型十一:裂项相消7:三角函数型................................................................9
题型十二:裂项型证明数列不等式..................................................................9
题型十三:三角函数型数列不等式证明.............................................................10
题型十四:先求和再放缩证明数列不等式...........................................................11
题型十五:先放缩再求和证明数列不等式...........................................................12
题型十六:利用导数不等式证明数列不等式.........................................................13
^突围・错;住蝗分
题型一:分组求和:公式法
指I点I迷I津
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式:
等差:前w项和公式:喀口4=血抖.
,q=1,
等比:前〃项和公式:a。-q")与一。应
1.(23-24高三・河北唐山•模拟)己知数列{q},%=%=1,an+2-5an+1+6an=0.
⑴证明:数列{%+「3q,}为等比数列;
⑵求数列{4}的通项公式;
⑶求数列{。,}的前〃项和S,.
2.(2024・山东•二模)已知数列{%},{么}中,q=4,々=一2,{%}是公差为1的等差数歹|,数歹
是公比为2的等比数列.
⑴求数列也}的通项公式;
(2)求数列{〃}的前〃项和却
3.(23-24高三•重庆九龙坡,模拟)已知等差数列{%}的前〃项和为工,且满足q=-2,邑=0.
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)设2=氏+3与求数歹UK)的前n项和T„.
4.(22-23高三・河南郑州•期中)已知数列{%}的前〃项和为S“,且满足S“+”=2aQeN*).
⑴求证:数列{q+1}为等比数列;
⑵求数列{6}的前〃项和
题型二:分组求和:奇偶分段型
;指I点I迷I津
:分组求和法:
1.形如a〃=b,(等差)+C,(等比),用分组求和法,分别求和而后相加减
2.形如a”=b”(等差比)+C”(裂项),用分组求和法,分别求和而后相加减
3.形如a“=b”+c“,(b„,C.为可以求和的常见数列),用分组求和法,分别求和而后相加减
如果涉及到分段数列,则.要注意处理好奇偶数列对应的项:
(1)可构建新数列;(2)可“跳项”求和
莪7萨:耘荔丽羸6-藐尊塞砺褊市,4=i,前〃/拓石?;区j为筱而建薮苒琴正
数列,4=2,且打+邑=7,%+4=10.⑴求。“与或;
..力为奇数)(*、,.
(2)定义新数列C,满足*俚将〈,“eN,求C,前20项的和盘.
如为偶数)'/
2.(2024•山西•三模)已知等差数列{。“}的公差d>0,前"项和为S,,且华仁=-5,S8=-16.
⑴求数列{«„}的通项公式;
(2)若么=;(keN*),求数列也}的前2九项和匕.
3.(23-24高三下•广东•模拟)已知数列{厮}是公差不为0的等差数列,其前〃项和为S,,邑=3,%,%,
网成等比数列.
⑴求的通项公式;
f+3,n=2k,
(2)若2=/।,左eN*,求数列{%}的前100项和九
[2",n=ZQk;-l,
4.(23-24高三・江苏盐城•期末)已知等差数列{%}的首项为1,公差4=2.数列他J为公比q=2的等比数
列,且&,4+3,4成等差数列.
⑴求数列{%}和数列也}的通项公式;
为奇数(、
⑵若c〃=1小便将,求数列C”的前2〃项和
也,”为偶数
题型三:分组求和:正负相间型
指I点I迷I津
正负相间求和:
1.奇偶项正负相间型求和,可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶,一般情况下,先求偶,再求奇。求奇时候,直接代入偶数项公式,再加上最后的
奇数项通项。
1.(24-25高三•全国•练习)已知数列氏求数列{%}的前〃项和S”.
⑴求{%}的通项公式;
⑵设〃=(Iog3%y,Cn=(-l)"/—+/—],求数列{与}的前,项和T..
12+12+2)
3.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)已知数列{”“}满足弓=1,a„>0,篦是数列{外}的前〃项和,对任意〃eN*,
有250=2%+%-1
⑴求数列{4}的通项公式;
(2)设么=(-1尸4,求{bn}的前100项的和.
4.(23-24高三•广东深圳•期末)已知等差数列{4“}的前〃项和为S“,S9=81,且/T,%+1,%+3成等
比数列.
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)若“eN*,是数列他,}的前〃项和.求心
题型四:倒序求和型
指I点I迷I津
倒序求和:
倒序求和,多是具有中心对称的“函数型”,此类函数具有“和定”的特征,满足“和定”特征的还有组
合数。
1丫
1.(2022高三・全国•模拟)设4(%,%),8(%,为)是函数〃x)=7+log2-的图象上任意两点,且
=1(04+02),已知点M的横坐标为
22
⑴求证:M点的纵坐标为定值;
(2)若Sn=++N',且2求S”;
2.(20-21高三•全国•模拟)已知函数/■(无)=:/+3无,数列{4}的前〃项和为S“,点(〃总乂〃©二)均在函
数八”的图象上.
(1)求数列{?}的通项公式;
(2)若函数g(x)=1g,令b.=g]蔡,(〃eN*),求数列{2}的前2020项和心期.
3.(20-21高三•江苏苏州•期中)己知〃“)=4+%&++-优+,LTN)
(1)若a“=〃T,求/(〃);
(2)若用=3"一1,求〃20)除以5的余数
4.(2324高三•四川成都•模拟)已知数列{4}满足:争墨+墨+…+殳=小—*),数列圾}满足
bn=声.⑴求数列{〃〃}的通项公式;
⑵求2+40gz的值;
⑶求4+82+,3H-----怎的值.
题型五:裂项相消1:函数型
指I点I迷I津
函数型,指的是“型
pq
(1)f(n)=t(q-p),差型;
(2)f(n)是分离常数型;
1.(24-25高三•广东•开学考试)已知数列{4}的各项均为正数,4=1,5“为{4,}的前〃项和,且
2
(心2).
S“+Si
⑴求{%}的通项公式;
(2)设4=/亲,
记色}的前“项和为北,求证:Tn<~.
2.(23-24高三•江西,模拟)已知数列{%}满足苑+疯+…+购=笠12.3
⑴求{q}的通项公式;
,2及+1,、3
(2)设/=——,记数列出}的前〃项和为加证明:7<S„<1.
anan+l4
3.(2024•陕西西安・模拟预测)设数列{氏}的前凡项和为5“冯=1,且=.
⑴求数列{。,}的通项公式;
(2)若2=白飞,数列也}的前〃项和为&V”eN*Z<根恒成立,求实数加的最小值.
an'an+\
4.(23-24高三•河北石家庄,模拟)已知等差数列{/J的前〃项的和为5“,52,邑,邑-2成等差数列,且
成等比数列.
⑴求{厮}的通项公式;
,n+11
(2)若么=一丁,数列{g}的前〃项的和为北,试比较】与右的大小,并证明你的结论.
anan+\7。
题型六:裂项相消2:指数型
指I点I迷I津
指教型,类仞后教型的列项思维
1.(23-24高三•河南•模拟)已知数列{4}满足4=1。,。用=3。“-2.
⑴求{q}的通项公式;
〃一11
(2)若a=Q;2)a,记数列也}的前〃项和为(,求证:(、<5.
2.(23-24高三下•河南•模拟)已知数列{4“}满足ax=3,a„+1=3an-2/7+1.
⑴求证:{%-科为等比数列;
(2)数列也-小的前"项和为九求数列卜飞了-1]的前”项和刀,.
LW+iJ
3.(23-24高三•云南曲靖•模拟)设等差数列{%}的前〃项和为S“,且2%-%=2,8=30.
⑴求数列{&,}的通项公式;
2”
b----------------
⑵若"foT70驾],求数列也}的前”项和小
Z—1z—1
4.(23-24高三•湖北武汉•模拟)如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中,后人称
为“三角垛三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球......,设各层球数构成一个数
列5}
⑴求数列{册}的通项公式;
(2)若数列{.}的前〃项和S“=%,数列{q}满足C“=(2%_])(24_1),求数列kJ的前〃项和1
题型七:裂项相消3:无理根号型
指I点I迷I津
无理根式型裂项:
1_sjn+k—y[n
一般情况下,无理型裂项相消满足:«+k
1.(23-24高三•四川南充•期末)已知数列{4}是等差数列,且%=1吗=g+2%,5“是数列{g}的前鼠项和.
⑴求数列{%}的通项公式;
,1〃数列抄/的前〃项和求证:
⑵设“keN*),T,,I<L
2.(23-24高三•辽宁本溪•期末)设正项数列{。“}是公差为d(dwO)的等差数列,其前〃项和为S“,已知
(q+qj
%=3,S"=
2d
(1)求{4}的通项公式;
⑵求数列的前〃项和5.
3.(2024•湖南邵阳•三模)已知函数〃同=2,g(x)=/(x)+ar.
⑴若g(x)在尤=0处取得极值,讨论g(x)的单调性;
(2)设曲线y=〃x)在点P(私〃〃少(0<心<2)处的切线为/,证明:除点尸外,曲线段y=F(x)(O4x42)总
在/的下方;
1140--
⑶设、'所+G证明:沙(%)—。+九
4.(2024•福建三明•三模)已知数列{。“}满足q册―,册=(也),weN*.
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)设数列{叫的前〃项和为S“,若不等式(-1)"⑸-144S:对任意的〃eN*恒成立,求实数t的取值范围;
1h—b2一匕h-/-/、丁*\
⑶记----F,求证:L0+-L++—j^<6(neN).
log2an也g
题型八:裂项相消4:分子分母齐次分离型
T旨I点I迷I津
;分离常数型
分式型,如果分子分母都是一次,或者分子二次分母一次,如果不能裂项,可以考虑通过分离常数,
;把分子次氟降下来。
I________________________________________________________________________________________________
1.(23-24高三・浙江丽水•期中)设数列{%}为等差数列,前〃项和为5,,%+%=18,,。=100.
⑴求数列{%}的通项公式;
⑵设2=——的前〃项和为证明:看<?fl+:1.
aa
„n+l24
2.(2024•河北沧州•模拟预测)设正项数列{即}的前〃项和为S,,已知=
⑴求数列{即}的通项公式;
2
(2)设么,求数列{^}的前«项和T“.
S-n
3.(23-24高三・安徽芜湖•模拟)设{q}是正项数列,且其前〃项和为S“,已知S“=:(G+2)2.
O
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)令2=[也+eN*),求凡}的前〃项和却
2a„凡,''
32.(23-24高三•江苏盐城•期末)数列{%}中,卬=一(,2a„=a„_-/7-l(«>2,nN*)
1G设£=4,+&
⑴求证:数列{a}是等比数列;
(2)求数列{曲}的前〃项和,;
求不超过鸟⑼的最大的整数.
题型九:裂项相消5:等差指数混合型
指I点I迷I津
形如—心型-------g型,可以“仿写”裂差,再通过反解凑配系数(或者直接构造凑配)
(kn+b)[k(n+Y)+b]qn+l
加rn+c1_1111
如----------------------------;-r-----------------------------rJ1
(kn+b)[k(n+V)+b]q"(kn+b)q"k(n+1)+Z?q/!
,注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
1.(2024.全国.模拟预测)己知正项数列也}的前〃项和为S“,且满足S;-(2"-1)S"-2"=0.
⑴求数列{%}的通项公式.
.n+2.、
⑵记b-=/+1)],求数列也}的前"项和T”•
2.(2024•山西临汾•二模)已知数列{4},也}满足%=1,勿=2%,么她心=同声
⑴计算出,%,并求数列{七}的通项公式;
(2)设数列{%}满足C,=,求数列{%}的前〃项和T*.
an*an+l*"n
3.(2024高三•全国•模拟)已知等差数列{。“}的前n项和为S“,数列色}是等比数列,a,=bx=\,S3=b3+2,
S4=b4+2.
⑴求4与。;
(2)设q=(\1泡,求数列上,}的前〃项和刀.
4.(23-24高三•江苏连云港•期中)已知数列{%}的前〃项和为且满足:%=1,"a“M=2S“+〃(〃eN*).
⑴求数列{为}的通项公式。,;
⑵设年=〃,求数列也}的前几项和T,;
乙,anan+l
⑶设数列{1}的通项公式为c“=T;,问:是否存在正整数上使得G,令cm(m>3,meN)成等差数列?若
存在,求出方和加的值;若不存在,请说明理由.
题型十:裂项相消6:正负相间裂和型
:指I点I迷I津
正负型:等差裂和型
形如(-形".上2-型,如果£(!1)=;16"+1+2”),则可以分子裂差:
aja,,+i
(_])”.f⑺=(_1)”/区+1出“)=(_[)“LL)
a,a
n»+ia“・a,+ia„a„+1
L_______________________________________________________________________________________
1.(23-24高三•湖北武汉•期中)已知数列{4}的首项4=1,且满足。向+见=3、2",数列出}的前"项和工
1
满足s.=w(a+i9y,且a〉。.
⑴求证:{%-2"}是等比数列;
(2)求数列也}的通项公式;
⑶设g=(«„-2")辞-,求数列匕}的前n项和却
1o
2.(2024・四川•模拟预测)已知S,为正项数列{%}的前〃项和,%=3且,+5向=[*「;.
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)若bn=(-1严添篇,求也}的前10项和T10.
3.(23-24高三•海南省直辖县级单位•模拟)设数列{%}的前〃项和为S”.若对任意的正整数〃,总存在正
整数加,使得5"金,则称{4}是"“数列〃.
(2n=l
⑴若an=2」〃>2,判断数列{%}是否是"H数列";
(2)设也}是等差数列,其首项仇=1,公差deN*,且也}是数列",
①求d的值;
②设4=(T)"2为数列仁}的前/项和,证明:或“g
4.(23-24高三湖北•期中)已知等差数列{即}的前〃项和为S,,且邑=4邑,生“=2a“+l(〃eN*)
⑴求数列{即}的通项公式;
(2)设d=(-1)°9山,求数列{,}的前〃项和为
anan+\
题型十一:裂项相消7:三角函数型
1.(2024高三・全国•模拟)已知在数列{%J中,a1=l,nan+l-(n+V)an=l.
⑴求数列{an}的通项公式;
(2)若数列也}满足仇=sin(^a,i+1)+cos(7r<7„),求数列也“}的前2024项和罩2小
2.(23-24高三下•河南•模拟)已知数列{4}的前w项和为S",4=1,%=3,5角+S“_=2⑸+1)(〃22)
⑴求S/
(2)若£=——-—求数列也}的前1012项和62.
anan+\
3.(2024•福建泉州•二模)已知数列{/J和{%}的各项均为正,且。3=山仇,{%}是公比3的等比数列.数列
{a"的前〃项和S“满足4S”=a;+2a”.
⑴求数列{an},{与}的通项公式;
b
⑵设C"=(h_器_丁+%8s所,求数列{%}的前n项和T”.
4.(2023•安徽安庆・模拟预测)已知%=:,a“10,S],tana“+i=」一("eN*).
4I2Jcos%'7
⑴求tan%,tangJan%;
(2)证明:{tai?%,}是等差数列,并求出tan%“;
⑶设"tan'ana,求也}的前“项和$“•
题型十二:裂项型证明数列不等式
指I点I迷I津
裂项型证明数列不等式:
1.裂项求和。
2.求和后的函敷数到式子,具有敖缩和单调性两方面的特征。
3.一些求和后的式子,还可以通过构透新函数,求导证明
45.(23-24高三•江苏常州・模拟)已知数列{%}的前〃项和为S,,,满足:二*=%+1,且g=3.
n
⑴求证:数列{"“}为等差数列,并求其通项公式;
["7)21伪奇数
(2)记2=anan+2,数列{2}的前2〃项和为耳,若不等式(-1))+/二<应对一切〃eN*恒成
为偶数”+
立,求4的取值范围.
2.(23-24高三•安徽•期中)已知数列{时}的前〃项和为S,,满足(〃一1万7-安-3)S,=24,n>2,%=1.
⑴求数列阻}的通项公式;
(2)若数列口的前〃项和为(,证明:当,22时一、<北<吧.
,、112n+l
3.(23-24高三•山西•期中)已知数列{g}满足-------=——,且%=L
aa
。〃+1nn+\
⑴求数列{%}的通项公式;
2
(2)若数列也}满足a=二,记数歹式2}的前〃项和为小求证:T»<4.
an
4.(23-24高一下•上海•期中)设S,是数列{%}的前〃项和,且凡是S,和2的等差中项.
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)记d=%,(%+ak+1+...+an)(l<k<n).
①求数列{4}。W左W〃)的前〃项和1;
r\02r\n
②设/(〃)=亍+亍+...+亍(〃eN*),是否存在常数。,使"(7Z)<c对〃©N*恒成立?若存在,求出。的最
小值;若不存在,说明理由:
题型十三:三角函数型数列不等式证明
指I点I迷I津
三角翦敷敷列不等式:
1.利用三角函数的周期型。
2.利用三角函数正余弦的数的有界性。
3.一些题型,可以借助泰勒公式等导效形式证明的结论
1.(23-24高三・湖北•期中)18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(BrookTaylor)发
现的泰勒公式(又称麦克劳林公式)有如下特殊形式:当"X)在彳=0处的〃(〃eN*)阶导数都存在时,
〃x)=〃0)+广⑼”+…+其中,广⑺表示“X)的二阶导数,即
为广(%)的导数,*(X)523)表示/(X)的〃阶导数.
⑴根据公式估计cosg的值;(结果保留两位有效数字)
%3572n-l3
⑵由公式可得:sin¥=x---++(-1)—当%>0时,请比较sinx与x-Z的大小,
3!5!7!yZn—1y.6
.(1)
sin------
并给出证明;(3)已知“eN*,证明:寸+1.
2.(2024・甘肃张掖・模拟预测)泰勒公式是一个非常重要的数学定理,它可以将一个函数在某一点处展开成
无限项的多项式.当“X)在x=0处的M“GN*)阶导数都存在时,它的公式表达式如下:
〃同=〃0)+/,(0卜+工?/+/芈1++/W"x"+.注::(。)表示函数在原点处的一阶导
数,尸(。)表示在原点处的二阶导数,以此类推,广'(。)(,后3)表示在原点处的〃阶导数.
⑴根据公式估算cosl的值,精确到小数点后两位;
丫2
(2)当%>0时,比较cosx与1——的大小,并证明;
2
111
证明:++2»—271+1
⑶设〃$N*,+一>---------
11
tan—tan一tan—2n
23n
3.(2024高三•全国模拟)已知函数/(x)=ln(%+l)—-.
⑴证明:/(九)之0;
⑵求证:sin--——Fsin--——F+sin—<in2(neN.
n+1n+22nv7
4.(23-24高三•四川成都・期中)意大利画家达・芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,
那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数ch(x)=W二的图象,
类似的可定义双曲正弦函数sh(x)=《J.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
⑴类比正弦函数的二倍角公式,请写出(不证明)双曲正弦函数的一个正确的结论:Sh(2x)=
(2)当x>0时,比较sh(x)与尤的大小,并说明理由;
22
shsh
⑶证明:他皿+他半\n)c4",3、
+r+H----->2n-~~;(«eN)
tanl2〃+1
tanitan-tan—
23n
题型十四:先求和再放缩证明数列不等式
1.(24-25高三•辽宁•开学考试)已知S,为数列{4}的前〃项和,为数列也}的前〃项和,
2a+1,〃为奇数
氏+2=2%+1一%,勿=2.为偶数也=2=6
⑴求{4}的通项公式;
⑵若&-邑“<2025,求”的最大值;
11〃3
⑶设Cn=证明:
,2〃一、2n/z=iq
2.(23-24jWj二,江西南昌•模拟)已知数列{%}的前〃项和为S“,an=2-Sn,nGN*.
⑴求数列{氏}的通项公式;
(2)是否存在实数2,使数列[“+加+£1为等差数列?若存在,求出2的值:若不存在,请说明理由;
2一”-9m
⑶已知数列〃},————其前〃项和为(,求使得?w<?;<:对所有〃cN*都成立的自然
((+1)(氏+|+1)44
数加的值.
3.(23-24高三•浙江•模拟)已知数列{%}满足卬=2,幺匚^=pa"+(-1)°eN)
an
(D若P=0,求数列{3"•%}的前w项和S”.
(2)若p=l,设数列的前w项和为4,求证:1<7;<1,
4.(23-24高三•河北承德•期末)己知正项数列{叫满足数列抄“}的前几项和为S“,且
的+I=2S.+2,4=:=2.
⑴求{为},{2}的通项公式;
nU11
⑵证明:
z=l%Z
题型十五:先放缩再求和证明数列不等式
指I点I迷I津
先放缩后裂项,放缩的目的是为了“求和”,这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式,不放缩难以
求和,所以放缩成能求和的形式。
1.(23-24高三•天津北辰•模拟)已知数列{%}为等差数列,%=7,%=1
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年热固化油墨项目发展计划
- 40岁闺蜜最暖心短句
- n沟道mos管漏极接负载
- nips 李雅普诺夫函数
- muet超全作答技巧
- 《数学广角-集合》教学设计-2024-2025学年三年级上册数学人教版
- 山东省郯城县红花镇初级中学八年级生物下册 第七单元 第三章 第三节生物进化的原因教学实录 (新版)新人教版
- 《生活中的塑料:3“限塑令”有效吗》教学设计-2023-2024学年五年级下册综合实践活动沪科黔科版
- 2024-2025学年年高中政治 第三单元 发展社会主义民主政治 5.2 始终坚持以人民为中教学实录 新人教版必修2
- 班级特色课程的开发与实践计划
- 危重患者营养支持教学课件
- 《主题三 我的毕业季》说课稿-2023-2024学年六年级下册综合实践活动辽师大版
- 投行估值模型-洞察分析
- 铁死亡与脑缺血再灌注损伤
- 内镜粘膜下剥离术(ESD)
- 智能POS硬件设计
- 2025重庆交通开投集团招聘27人高频重点提升(共500题)附带答案详解
- 2024年河南省对口升学真题学前教育类语文
- 二级营销员考试题及参考答案
- 部编版道德与法治二年下册《我能行》说课稿共2课时(附教学反思)课件
- 商业秘密保护管理办法
评论
0/150
提交评论