2024-2025学年华师版初中数学九年级下册课件 26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质26.2.2二次函数y=ax2+bx+c

的图象与性质第3课时(1)

y

=

ax2；(2)

y

=

ax2

+

k；(3)

y

=

a(x

-

h)2.

1.说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO导入新课复习引入2.请说出抛物线

y

=

-2x2

的开口方向、顶点坐标、对称

轴及最值.3.把

y

=

-2x2的图象向上平移3个单位长度y=-2x2+3向左平移2个单位长度y=-2(x+2)2开口向上，顶点坐标是

(0，0)，对称轴是

y

轴，y最大值=04.请猜测一下，二次函数

y

=

-2(x

+

2)2

+

3

的图象是否可以由

y

=

-2x2

平移得到？学完本课时你就会明白.例1

画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.二次函数

y=a(x-

h)2+k的图象和性质探究归纳…………210-1-2-3-4x解：先列表；-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5再描点、连线.24x-2-4-6yO-2-4直线

x=-1开口向下；对称轴是直线

x=-1；顶点坐标是

(-1，-1).试一试

画出二次函数

y=2(x

+

1)2

-

2

的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口向上；对称轴是直线

x

=

-1；顶点坐标是

(-1，-2).-22xyO-2468-424二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的性质y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴直线

x=h直线

x=h顶点坐标（h，k）（h，k）知识要点y=a(x-h)2+ka＞0a＜0最值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k增减性当

x＜h时，y

随

x

的增大而减小；x＞h

时，y

随

x

的增大而增大.当

x＜h

时，y

随

x

的增大而增大；x＞h

时，y

随

x

的增大而减小.知识要点顶点式y=a(x–h)²+k（a≠0）h=0，k=0，y=ax2h=0，k≠0，y=ax2+kk=0，h≠0，y=a(x–h)²例1已知二次函数

y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数

y＝ax＋k的大致图象是(

)A典例精析解析：根据二次函数开口向上得

a＞0，根据

－k是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出

k＞0，故一次函数y＝ax＋k的图象经过第一、二、三象限．故选A.例2已知二次函数

y＝a(x－1)2－4

的图象经过点

(3，0).(1)

求

a

的值；(2)

若

A

(m，y1)、B

(m＋n，y2)

(n＞0)

是该函数图象上的两点，当

y1＝y2时，求

m、n

之间的数量关系.(1)将(3，0)代入二次函数解析式，得0＝4a－4，解：解得

a＝1.(2)方法一：根据题意，得

y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4.∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1).

化简，得2m＋n＝2.方法二：∵二次函数

y＝(x－1)2－4的图象的对称轴为直线

x＝1，且图象上两点

A

(m，y1)、B

(m＋n，y2)

(n＞0)

满足

y1＝y2，∴点

A，B

关于直线

x＝1对称.∴m＋n－1＝1－m.化简，得2m＋n＝2.

方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的关系式，代入即可求得相关的参数值.例3

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为

1m处达到最高，高度为

3

m，水柱落地处离池中心

3

m，水管应多长?C(3，0)B(1，3)

AxOy123123解：建立如图的平面直角坐标系，点(

1，3

)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y

=

a(x－1)2＋3(0≤x≤3).∵

这段抛物线经过点

(

3，0

)，∴

0

=

a(3－1)2＋3.解得∴

抛物线的解析式为当

x=0时，y=2.25.答：水管长应为

2.25m.a=-

.34y=(x－1)2＋3(0≤x≤3).34-例4怎样移动抛物线就可以得到抛物线

？24x-2-4yO-2-4二次函数y=a(x+h)2+k

与y=ax2(a≠0)的关系向左平移1个单位长度平移方法11个单位长度向下平移平移方法2向左平移向下平移1个单位1个单位知识要点二次函数y=ax2

与y=a(x±h)2±k的关系图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到.y=ax2y=ax2±k

y=a(x±h)2y=a(x±h)2±k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律(设

h＞0，k＞0)：简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数a不变.1.请回答抛物线

y=4(x－3)2＋7由抛物线

y=4x2怎样平移得到?向上平移

7个单位再向右平移

3个单位得到.2.如果一条抛物线的形状与

形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，试求这个函数关系式.练一练二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x＋3)2＋5向上(1，－2)向下向下(3，7)(2，－6)向上直线

x=－3直线

x

=

1直线

x

=

3直线

x=2(－3，5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格：当堂练习2.把抛物线

y

=

-3x2

先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.

4.

二次函数

y

=

-2x2

的图象如何平移得到二次函数

y

=

-2(x

+

2)2

+

3

的图象？3.抛物线

y

=

-3x2+2

的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的关系式为______________.Oxy3-2Oy3-2x5.已知一个二次函数图象的顶点为

A

(-1，3)，且它是由二次函数

y

=

5x2

平移得到，请直接写出该二次函数的关系式.y

=5(x

-1)2

+3二次函数y=a(x-

h)2+k(a≠0)的