2024-2025学年沪科版初中数学九年级下册课件 24.2 第4课时 圆的确定

第4课时圆的确定24.2圆的基本性质第24章圆情境引入

一位考古学家发掘出一块圆形瓷器碎片，你能帮他画出这个碎片所在的整圆，以便进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?过不共线的三点作圆问题1

如何过一个点A作一个圆？过点A可以作出多少个圆？

思考·····以不与

A点重合的任意一点为圆心，以这个点到

A点的距离为半径画圆即可；可作出无数个圆.A问题2

如何过两点

A、B作一个圆？过两点可以作出多少个圆？

····AB作线段

AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点

A（或点

B）的距离为半径画圆即可；可作出无数个圆.问题3

过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGFO经过

B，C

两点的圆的圆心在线段

BC的垂直平分线上.◑

经过

A，B，C

三点的圆的圆心在这两条垂直平分线的交点

O

的位置.经过

A，B

两点的圆的圆心在线段

AB

的垂直平分线上.这个圆的圆心需要满足什么条件？作法：1.连接

AB，AC；2.分别作线段

AB，AC的垂直平分线，设它们交于点

O；3.以点

O为圆心、OB的长为半径

作圆.

则⊙O即为所作.OABC定理：

不在同一直线上的三个点确定一个圆.有且只有位置关系归纳总结OABC问题4现在你知道怎样将如图所示的破损圆盘复原了吗？方法：1.在圆弧上任取三点

A，

B，C，连接AB，BC；2.作线段

AB、BC的垂直平分线，交于点

O；3.以点

O为圆心，OC的

长为半径作圆.则⊙O即为所求.ABCO

某市在一块空地上新建了

A、B、C

三个居民小区，且三个小区不在同一直线上．现要规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等，请问这所中学应建在哪个位置？怎么确定这个位置呢？●●●BAC练一练

根据前面所学的知识，若已知△ABC，我们可以用直尺与圆规作出过△ABC三个顶点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心概念学习

这个三角形叫做圆的内接三角形.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，

外接圆的圆心叫做三角形的外心.●OABC三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.判断正误：(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.

()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.

()(3)经过三点一定可以确定一个圆.

()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.

()√××√练一练画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于处斜边的中点处；钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O例1如图，△ABC的外心坐标是

．典例精析解析：由图可知△ABC的外心在BC

的垂直平分线，即直线y=－1上；也在线段AB

的垂直平分线，即直线y=x＋1上．将上面两个解析式联立，解得x=－2，y=－1，故两直线的交点坐标，即

△ABC的外心坐标为

(－2，－1)．(－2，－1)例2

如图，在△ABC中，O是它的外心，BC=24cm，O到

BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接

OB，过点

O作

OD⊥BC，如图.D则

OD=5cm，在Rt△OBD中，即△ABC的外接圆的半径为13cm.经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？反证法观察与思考ABCl

如图，假设经过直线

l

上的三点

A、B、C

可以作圆，设这个圆的圆心为

P，那么点

P

既在线段

AB

的垂直平分线

l1

上，又在线段

BC

的垂直平分线

l2

上.

这样，经过点

P便有两条直线

l1，l2

同时垂直于直线

l，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一基本事实相矛盾．

所以过同一条直线上的三点不能作圆．l1l2ABCPl

上面的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法．①反设：假设命题的结论不成立（或其反面成立）；②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.知识要点反证法的一般步骤例3

已知：如图，直线

AB∥CD，直线

EF分别交

AB，CD于点

O1，O2.求证：∠EO1B=∠EO2D.ABCDEFO1O2证明：假设∠EO1B≠∠EO2D，过点

O1作直线

A'B'，使∠EO1B'=∠EO2D，则

A'B'∥CD.这样，过点

O1就有两条直线

AB，A′B′平行于直线

CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，故假设不成立.∴∠EO1B=∠EO2D.A'B'1.判断对错：（1）经过三点一定可以作圆.（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.（）（3）三角形的外心到三边的距离相等.（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内.（）√×××练习

2.按图填空：（1）△ABC是圆O的

三角形.

（2）圆O是△ABC的

圆；

（3）点O是△ABC的

心.

（4）OA、OB、OC三条线段的长度有关系：

.

外接外内接OA=OB=OC3.经过4个点，是否能作一个圆，为什么？任意四个点不一定可以作一个圆.理由：（1）若四点在同一条直线上，则一定不能作圆；（2）若其中三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，一定不能作圆；（3）四点中任意三点不在同一条直线上时，因为不在同一直线上的任意三点可以确定一个圆，但第四点可能在圆上，也可能在圆外或圆内，所以可能作圆，也可能作不出一个圆.所以，经过四个点不一定可以作一个圆.4.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（

）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块B5.如图，在

5×5

的正方形网格中，一条圆弧经过

A，B，

C

三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）MRQABCPA．点

P B．点

QC．点

RD．点

MB6.如图，△ABC

的外接圆的圆心坐标为

．(6，2)O6.在Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

6，BC

=

8，则它的外接圆半径为

.

57.如图，在△ABC中，点

O在边

AB上，且点

O为

△ABC的外心，求∠ACB的度数．解：∵点

O为△ABC的外心，∴OA=OB=OC.∴∠OAC=∠OCA，

∠OCB=∠OBC.∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC=180°，∴∠OCA＋∠OCB=90°，

即∠ACB=90°.8.用反证法证明：一个圆只有一个圆心．证明：假设⊙O

有两个圆心

O

及

O′，在圆内任作一弦