2024-2025学年沪科版初中数学九年级下册课件 24.2 第2课时 垂径分弦

第2课时垂径分弦24.2

圆的基本性质第24章圆视频引入点击视频开始播放→

赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为

37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为

7.2m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？垂径定理及其推论合作探究问题1

在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将

⊙O折叠，你发现了什么？O圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.

问题2

已知：如图，在⊙O

中，CD

是直径，AB

是弦，且

CD⊥AB，垂足为

E.求证：AE

=EB，

，.证明：连接

OA，OB，则

OA

=OB.∵CD⊥AB，∴OE⊥AB.∴

OE

平分

AB，即

CD

垂直平分

AB．∴点

A

与点

B

关于直线

CD

对称.·OABDEC分析：只要能说明⊙O

关于直线CD对称，那么所有结论都能得证.同理，如果点

P

是⊙O

上任意一点，过点

P

作直线

CD

的垂线，与⊙O

相交于另一点

Q，则点

P

与点

Q

也关于直线

CD

对称．∴⊙O

关于直线

CD

对称.∴

AE

=EB，，.P·OABDECQ垂径定理·OABCDE

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是

⊙O

的直径，CD⊥AB，推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如.归纳总结∴AE=BE，

，想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么.是不是，因为没有垂直是不是，因为

AB，CD都不是直径OABCABOEABDCOEABOCDE垂径定理的几种基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC归纳总结

如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径

CD，使

AE=BE.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)

与

相等吗？

与

相等吗？为什么？·OABCDE解：(1)CD⊥AB，理由如下：连接

AO，BO，如图，则

AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，即

CD⊥AB.(2)由垂径定理可得

=

，

=.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD归纳总结特别提醒1.“垂直于弦的直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.例

1

如图，⊙O的半径为

5cm，弦

AB为6cm，求圆心O到弦

AB的距离.·OABE解：连接

OA，过

O作OE⊥AB于

E，则又∵OA

=

5

cm，∴在

Rt△OEA

中，垂径定理及其推论的计算典例精析答：圆心到弦

AB的距离是4cm.圆心到弦的距离叫做弦心距【变式题】如图，OE⊥AB于

E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则

AB=

cm.·OABE解析：连接

OA，如图.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16∴例2

如图，⊙O的弦

AB=8cm，直径

CE⊥AB于

D，DC=2cm，求半径

OC的长.·OABECD解：连接

OA．∵

CE⊥AB于

D，∴设OC=xcm，则

OD=(x－2)cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径

OC的长为5cm.x2=42+(x－2)2，例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求证：=..MCDABON证明：作直径MN⊥AB，如图.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.则=，=.（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）∴－=－.∴=.

解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结例4

赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.垂径定理的实际应用由垂径定理，得

AD=AB=18.7m，设⊙O的半径为

R.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解得R≈27.9.即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.∴R2=(R

-

7.2)2

+18.72，解：如图，过桥拱所在圆的圆心

O作

AB的垂线，交

于点

C，交

AB于点

D，则

CD=7.2m.练一练：如图

a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为

7cm，则弓形的高为＿___＿＿____.C

DCBOADOAB图a图b2cm或

12cm

在圆中解决有关弦长

a，半径

r，弦心距

d(圆心到弦的距离)，弓形高

h的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.垂径定理中常见辅助线的添法弦长

a，弦心距

d，弓形高

h，半径

r之间的关系：弓形中的重要数量关系d+h=r

OABC·归纳总结ABCDOhrd1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圆心到

AB

的距离为

3cm，则此圆的半径为

cm.52.已知⊙O的直径

AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC=

cm.

3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为

10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，则弦

MN和

EF之间的距离为

cm.14或2练习4.判断正误：（1）垂直于弦的直径平分这条弦。（）（2）平分弦的直径垂直于这条弦。（）（3）弦的垂直平分弦必过圆心。（）（4）平分弦所对弧的直径垂直于这条弦。（）√练习√√√5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求证：四边形

ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵∴四边形

ADOE为矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四边形

ADOE为正方形.∴

6.如图，在以

O

为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB

交小圆于

C，D

两点.你认为

AC和

BD

相等吗？为什么？解：AC=BD.理由如下：

过点

O作

OE⊥AB，垂足为

E.则

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径．解：连接

OC，如图.

●

OCDEF┗根据勾股定理，得7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的

，点

O是

的圆心)，其中

CD=600m，E为

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.设这段弯路的半径为

Rm，则

OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).

●

OCDEF┗解得

R=545.∴这段弯路的半径约为

545m.∴8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的

，点

O是

的圆心)，其中

CD=600m，E为

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.拓展提升：9.如图，⊙O的直径为

10，弦

AB=8，P为

AB上