2024-2025学年沪科版初中数学八年级下册课件 19.2 平行四边形

第19章四边形义务教育沪科版数学八年级下册19.2平行四边形回顾复习

活动1：如果将一个三角形的两边分别按如图的方式平移，会得到什么图形？

思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？活动2：观察图形，说出下列图形的对边有什么位置特征.两组对边都不平行一组对边平行，一组对边不平行两组对边分别平行平行四边形概念学习1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

几何语言：

∵AB∥CD，AD∥BC，∴

四边形

ABCD是平行四边形.2.记作：

ABCD；读作：平行四边形

ABCD.3.平行四边形中不相邻的两个顶点连成的线段叫它的

对角线.如图中的

AC.平行四边形边和角的性质观察平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢?已知：如图19－11，四边形ABCD

中，AB∥DC，AD∥BC.求证：(1)AB

＝DC，AD

＝BC；(2)∠DAB

＝

∠DCB，

∠B

＝

∠D.(1)AB

＝DC，AD

＝BC；证明连接AC.∵AB∥DC，AD∥BC.∴∠BAC

＝

∠DCA，∠BCA

＝∠DAC.在△ABC

和△CDA

中，∠BCA

＝

∠DAC，AC＝

CA，∠BAC

＝

∠DCA，(1)AB

＝DC，AD

＝BC；∴△ABC

≌△CDA.(ASA)∴AB

＝DC，AD

＝BC.(2)∠DAB＝∠DCB，∠B

＝∠D.解由(1)知△ABC≌△CDA.∴AB

＝DC，AD

＝BC，∠B

＝∠D.∠DAB

＝

∠BAC

＋∠DAC＝

∠DCA

＋

∠BCA＝∠DCB.由此得到平行四边形的下列性质：平行四边形的对边相等.性质1性质2平行四边形的对角相等.例题例1已知：如图19－12，ABCD

中BE平分∠ABC交AD

于点E.(1)如果AE

＝2，求CD的长；(2)如果∠AEB

＝40°，

求∠C的度数.(1)如果AE

＝2，求CD的长；解∵BE平分∠ABC，

并且AD∥BC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB.∴AB

＝AE

＝2.又∵CD

＝AB

，∴CD

＝2.(2)如果∠AEB

＝40°，

求∠C的度数.解由(1)知：∠AEB

＝

∠ABE

＝40°，∴∠A

＝180°－(40°＋40°)＝100°又∵∠C

＝

∠A

，∴∠C

＝100°.如图19－13，直线l1∥直线l2，AB，CD是夹在直线ll，l2之间的两条平行线段.由上面性质1，可得如下结论：夹在两条平行线之间的平行线段相等.由上述结论可知:如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.因此，可以用点到直线的距离来定义两条平行线间的距离.两条平行线之间的距离处处相等.如图19－13中AE

＝

CF.例题例2已知：如图19－14，ABCD

中，AB＝4，AD

＝5，∠B

＝45°求直线AD

和直线BC

之间的距离，直线AB

和直线DC之间的距离.解过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F，∴线段AE，AF的长分别为点A

到直线BC和直线CD的距离.EF∴线段AE

的长为直线AD

和直线BC之间的距离，

线段AF的长为直线AB

和直线CD之间的距离.EF∵在Rt△ABE

中，∠AEB

＝90°，

∠B

＝45°AB

＝4，∴∠B

＝

∠BAE.∴BE

＝

AE.又∵AE2

＋

BE2

＝AB2，∴2AE2

＝

16.

EF

例3已知：如图19－15，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A′B′C′.求证：△ABC的顶点分别是△A'B'C'三边的中点.分析：如图19－15，要证明点A是B′C′的中点，只要证明AB′＝AC′.证明∵AB∥B′C，BC∥AB′.∴AB′＝

BC.同理：AC′＝

BC.∴AB′＝

AC′.同理：BC′＝BA′，CA′＝CB′.所以△ABC

的顶点分别是△A′BC三边的中点.练习1.在ABCD中，已知∠A＝60°，求∠B，∠C，∠D的度数.在

ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝60°∴∠B＝180°－60°＝120°，∠C＝∠B＝60°。∴∠D＝∠B＝120°.2.在ABCD

中，已知AB

＝

a，BC

＝

b，求这个平行

四边形的周长.∴CD＝AB＝a，DA＝BC＝b.∴周长为：AB＋BC＋CD＋DA

＝a＋b＋a＋b

＝2a＋2b.∵在

ABCD中，AB＝a，BC＝b，3.在ABCD中，BC

＝2AB，点E为边BC的中点.

求证：AE⊥ED证明：∵

四边形ABCD是平行四边形，∴

AB＝CD，AB∥CD，∴

∠B＋∠C＝180°，∵

点E为边BC的中点，∴

BC＝2BE＝2CE，

探究如图19－16，ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O.图中共有几对全等三角形?有哪些线段相等?你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗?在ABCD中，∵AB∥DC.∴∠OAB

＝

∠OCD，

∠OBA

＝

∠ODC.又AB

＝

DC，∴△OAB≌△OCD.(为什么?)∴OB＝OD，OA＝OC.性质3平行四边形对角线互相平分.例题例4已知：如图19－17，ABCD

中对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB

＝3，AD

＝5，求BD的长.3535解∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC

＝AD

＝5.∵AB

⊥AC，∴△ABC

是直角三角形，∴AC

＝BC2－AB2

＝52

－32

＝4.

35

练习1.

ABCD中，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝28cm，若对角线AC与BD的交点为点O，求△OBC

周长.如图所示：

∵在

ABCD中，对角线AC和BD交于点O，2.

ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形的邻边有什么关系，为什么?这个四边形的邻边相等，理由如下：

∵

ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，∴

AB＝BC＝CD＝AD，即这个四边形的邻边相等.∴

ABCD是菱形，平行四边形的判定思考将线段AB

按图19－18中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接点A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′.你能说出它一定是平行四边形吗?为什么?ABA′B′已知：如图19－19，四边形ABCD

中，AB∥DC，且AB＝

DC.求证：四边形ABCD为平行四边形.证明连接AC.∵AB∥DC.∴∠BAC＝∠DCA.又AB＝CD，AC＝CA∴△ABC≌△CDA.∴∠ACB≌∠CAD.∴AD∥BC.因此，四边形ABCD是平行四边形.由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法有：定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.常用符号“”表示“平行且相等”“AB

CD”读作“AB平行且等于CD”.＝

＝

思考1.如图19－20，过点A

画两条线段AB，AD，以点B为圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，ABDC连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD

的两组对边分别相等，它是平行四边形吗?为什么?ABDC2.如图19－21，作两条直线l1，l2相交于点O，在直线l1上截取OA

＝OC，在直线12上截取OB

＝OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗?为什么?l1l2O由此可知，判定四边形为平行四边形的方法还有：定理2定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.例题例5已知：如图19－22，点EF是ABCD的对角线AC上两点且AE

＝CF.

求证：四边形BEDF

是平行四边形.证明连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO

＝CO，BO＝DO.∵

AE

＝

CF.∴

OE＝AO－AE＝CO－CF＝OF.∴四边形BEDF

是平行四边形.例6已知，直线l1，l2，l3；互相平行(图19－23)，直线AC

和直线A1C1

分别交直线l1，l2，l3；

于点A，B，C

和点A1，B1，C1，且AB

＝

BC.

求证：A1B1＝

B1C1.证明过点B1作EF//AC，分别交直线l1，l3于点E，F.∴四边形ABB1E，BCFB1，都是平行四边形.∴

EB1＝

AB，B1F

＝

BC.∵AB

＝BC，∴EB1＝B1F.又∵∠A1EB1

＝

∠B1FC1，∠A1B1E＝

∠C1B1F，∴△A1B1E≌△C1B1F.∴A1B1＝B1C1.由此得到如下结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.作为上述结论的特例，应有如下推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.在图19－23中直线A1C1向左平移，使得点A1和点A重合，则可得到上面推论.

证明过点D作DE′∥BC，DE′交AC于点E′.根据例6

得到的结论，点E′应与点E重合.∴DE∥BC.同理，过点D作DF//AC，DF交BC

于点F，则点F为BC

的中点.∴四边形DFCE

为平行四边形.

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.由此得到：三角形中位线定理

三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.你能通过添加不同的辅助线来证明三角形中位线定理吗?练习1.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝

∠D.试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明

理由，

2.画ABCD，使AB

＝2cm，BC

＝3cm，AC

＝4cm.3.已知三角形各边长分别为6cm，9cm，10cm，求连

接各边中点所组成三角形的周长.

4.证明平行四边形判定定理2，3.①已知四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD

，

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：连接AC，∵AD

＝BC，AB

＝CD，AC

＝CA，∴△ABC≌△CDA

，∴∠ACB

＝∠DAC，∠BAC

＝∠DCA，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.②已知：四边形ABCD中，AC与BD相交于O，

OA

＝

OC、OB

＝OD

，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵OA

＝OC，OB

＝OD，∠AOB

＝∠COD，

∴△OAB≌△OCD.∴∠OAB

＝

∠OCD，∴AB∥CD，同理：AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.阅读与思考三角形的重心1.三角形重心的力学证明.重心是一个物理概念.重力在物体上的作用点，叫做重心.一根质量分布均匀的细棒，用针尖顶住它的什么地方，它在空中就能保持平衡呢?这一点显然是该棒的中点.细棒的中点就是它的重心.一块质量均匀的三角形薄板沿底边画平行线把它分成许多平行狭条(图19－25).当这些狭条分得很细时，每条的重心就在它的中点.所有这些狭条的重心就构成三角形薄板底边上的中线，三角形薄板的重心必定在这条中线上.同样道理，这个三角形薄板的重心也在另外两条中线上.由此可见：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心.(以上关于三角形重心的力学证明内容摘自吴文俊教授所著的《力学在几何中的一些应用》)类似地，一块质量均匀的平行四边形薄板的重心一定在一组对边中点的连线上(图19－26)，也在另一组对边中点的连线上，因而平行四边形的重心就是上述两条线的交点，也就是这个平行四边形的对角线的交点.矩形、菱形、正方形的重心在什么地方呢?2.三角形重心的几何证明.本节中例7以平行四边形性质为基础，推导了三角形的一个性质.下面，再利用平行四边形性质，推导三角形的另一个性质.已知：如图19－27，AD，BE和CF是△ABC的三条中线.

证明

中线BE和CF

必定相交，设它们的交点为O.取OB的中点G和OC的中点H，连接GH，HE，EF和FG.∵GH是△OBC的中位线，FE是△ABC的中位线，

∴

GH//FE，CH＝FE.∴四边形EFGH是一个平行四边形.∴

GO

＝

OE、HO

＝

OF.

∴AD和BE

的交点也就是O.∴AD，BE和CF相交于一点O，并且

三角形三条中线的交点就是三角形的重心.这个性质，可叙述为：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一.上述三角形重心的性质，九年级时用相似形知识证明更为简单.习题19.21.填空：(1)在ABCD中，∠A－∠B＝60°，则∠A

＝_________，∠B

＝_______；(2)在ABCD中，∠A＋∠C

＝120°，则∠A

＝_________，∠B＝________；(3)如果ABCD的周长为35cm，AB∶BC

＝3∶4，

那么AB＝_______cm，BC＝_______cm.120°60°60°120°

102.如图，如果直线l1∥l2

，那么△ABC

与△A1BC

面积

相等吗?为什么?相等；∵l1∥l2，∴l1，l2之间的距离是固定的，∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等。∴△ABC和△A′BC的面积相等.3.求证：平行四边形对角线交点到一组对边的距离相等.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于O，过O作OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E、F，求证：OE＝OF.∠AEO＝∠CFO

∠DAC＝∠BCA，OA＝OC∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.求证：OE＝OF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠DAC

＝

∠BCA，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°在△AOE和△COF中，4.以不在同一直线上的三点为三个顶点作平行四边形，

能作几个?如图，以不在同一直线上的A，B，C

三点为其中的三个顶点，能作三个平行四边形：ABCD，

ABFC，AEBC.5.已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以哪

两条为对角线，其余一条为边，可以画出平行四边形?分三种情况讨论：①由22cm，16cm的两条线段为对角线，18cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是11cm和8cm，由11＋8＞18，故能构成平行四边形；②由16cm，18cm的两条线段为对角线，22cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是8cm和9cm，由8+9<22，故不能构成平行四边形；③由22cm，18cm的两条线段为对角线，16cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是11cm和9cm，由11+9>16，故能构成平行四边形；综上所述，可以画出形状不同的平行四边形个数为2个.6.已知：如图，在ABCD

中，EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F；GH∥AB，分别交AD，BC于点G，H；EF，GH的交点P在BD

上.问图中面积相等的平行四

边形有哪几对?为什么?图中S□AEPG＝S□CFPH，S□ABHG

＝S□BCFE，S□ADFE＝S□CDGH，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD∵EF∥BC，GH∥AB∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC∴

四边形EBHP，四边形GPFD，四边形ABHG，四边形AEPG，四边形EBCF，四边形CFPH，四边形CDGH，

四边形ADFE都是平行四边形.∴S△ABD

＝S△BCD，S△EBP

＝

S△HBP，

S△GPD

＝

S△FPD.∴S△ABD

－S△EBP

－

S△GPD

＝

S△BCD－

S△HBP

－

S△FPD∴S□AEPG＝

S□CFPH∴S□AEPG＋S□BEPH＝

S□CFPH＋S□BEPH，

S□AEPG＋

S□GPFD＝

S□CFPH＋

S□GPFD，∴S□ABHG

＝S□BCFE，

S□ADFE＝S□CDGH.∴图中面积相等的平行四边形有S□AEPG＝S□CFPH，S□ABHG

＝S□BCFE，S□ADFE＝S□CDGH共3对.7.如图，在ABCD的边BC

上任取一点P，过点P作对

角线BD

的平行线与CD交于点

Q，连接PA，PD，QA，QB，则与△ABP

面积相等的三角形有几个?写出它们，

并说明理由.与△ABP面积相等的三角形有2个，分别为△PBD，△BDQ，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴S△BDP＝S△ABP，∵PQ∥BD，∴S△BDQ＝S△PBD，∴S△PBD＝S△ABP，∴与△ABP面积相等的三角

形有2个，分别为△PBD，

△BDQ.8.判断下列说法是否正确：(1)一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行

四边形.()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.()(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行

四边形.()✔✔✘(4)对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形.()(5)一组对角相等、一组邻角互补的四边形是平行四

边形.()(6)相邻两角都互补的四边形是平行四边形.()✔✔✘9.已知：如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，

∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE

是平行四边形.

1234又∵∠3＝∠CFB.∴∠2＝

∠CFB，∴AE∥CF，又∵CE∥AF∴

四边形AFCE是平行四边形.123410.已知：如图，在ABCD

中，BE

＝

DF.求证：四边形AE