




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
二次函数的最值问题关键题型期末专题练
2024-2025学年初中数学人教版九年级上学期
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=:尤2尤-3与无轴交于A,B两点,点C为了轴正半轴
上一点,且OC=OB,O是线段AC上的动点(不与点A,C重合).
(1)写出A、B、C三点坐标;
(2)如图1,当点。关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时,求此时。点的坐标;
(3)如图2,若点E是线段A3上的动点,连接BD、CE,当CD=AE时,求比)+CE的最小值.
2.如图,抛物线经过点3。,0)、。(0,-3),交x轴于另一点A(点A在点B点的左侧),
点尸是该抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
3
(2)当点P在直线AC下方且SKAC=^$小"时,请求出点P的横坐标;
(3)在抛物线的对称轴,上是否存在点Q,使得QC+QB最小?若存在,请求出这个最小值;若不存在,
请说明理由;
(4)若点E在无轴上,是否存在以只A、C,E为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求点尸的
坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线>+法+c与x轴交于人(-2,0),8(6,0)两点,与y轴
交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点.
y
(1)求抛物线的解析式;
⑵过点A作AD〃3c交抛物线于。,若点E为对称轴上一动点,求△BED周长的最小值及此时点E的
坐标;
(3)过点A作AD〃3C交抛物线于。,过点E为直线AD上一动点,连接CP,CE,BP,BE,求四边
形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标.
4.如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且。4=1,OB=OC=4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若连接AC、BC.动点。从点A出发,在线段上以每秒1个单位长度向点8做匀速运动;同
时,动点E从点8出发,在线段上以每秒挺个单位长度向点C做匀速运动,当其中一点到达终
点时,另一点随之停止运动,连接。E,设运动时间为t秒.在。、E运动的过程中,当f为何值时,
四边形ADEC的面积最小,最小值为多少?
(3)点/是抛物线上位于x轴上方的一点,点N在x轴上,是否存在以点/为直角顶点的等腰直角三
角形CW?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
5.如图,已知抛物线丁=加+法+。(。/0)与>轴相交于点C(0,-2),与x轴分别交于点3(3,0)和
点A,且NC4O=45。.
(1)求抛物线解析式;
(2)抛物线上是否存在一点。,使得NBA。=ZABC,若存在,请求出点。坐标,若不存在,请说明理
由;
(3)抛物线的对称轴交x轴于点。,在,轴上是否存在一个点尸,使巫尸C+尸。的值最小,若存在,
2
请求出最小值,若不存在,请说明理由.
6.在平面直角坐标系中,我们将形如(1,-1),(-21,2.1)这样,纵坐标与横坐标互为相反数的点称之
为“互补点
⑴直线y=2x-3上的“互补点”的坐标为;
(2)直线y="+2(%w0)上是否有“互补点”,若有,请求出点的坐标,若没有请说明理由;
(3)若函数y=+("-"1"+根+k-2的图象上存在唯一的一个“互补点”,且当时,机的
最小值为左,求左的值.
7.如图,已知二次函数、=/+办+。-4的图象经过点「(-2,-2).
⑴求。的值和二次函数图象的顶点坐标.
⑵已知点。(办〃)在该二次函数图象上.
①当机=-3时,求〃的值;
②当相时,该二次函数有最小值1,请结合函数图像求出加的值.
8.【问题背景】
如图,抛物线y=尤+c与x轴交于A3两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,连接AC.
【知识技能】
(1)求此抛物线的解析式.
【构建联系】
(2)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作ND〃y轴,交AC于点交x轴于点。,当点N
的坐标为多少时,线段的长度最大?最大是多少?
(3)在>轴上找一点Q,使得AACQ为等腰三角形,直接写出点。的坐标.
9.如图,直线y=x+2与顶点坐标为(2,0)的抛物线相交于A、B两点,其中点A在y轴上.
(2)点尸是线段A8上的一个动点,过点尸作x轴的垂线尸C,交抛物线于点Q.设线段尸。长度为L
点P的横坐标为h写出$与t之间的函数关系式.
(3”为何值时,线段尸。长度$最大?
10.如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线〉=-:/+云+°交x轴于两点,交y轴于点C,
3
其中点B(4,0),其对称轴为x=[.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)若P为第一象限内抛物线上一点,连接尸8、PC,求APBC面积的最大值,及此时点尸的坐标.
参考答案:
1.⑴A(-3,0),矶4,0),C(0,4)
f420
⑵一才了
⑶回
1212
y=-x——x—5
(1)根据题意得44
y=o
x=4x=-3
解得
y=0y=0
:.A(-3,0),8(4,0),
:.OB=4,
9:OC=OB,
:.C(0,4).
(2)设直线AC的解析式为y=H+b,
把A(-3,0),c(。,4)分别代入解析式,得
j-3k+b=0
[b=4
4
故直线AC的解析式为y=§x+4,
设点£>(根■根+j,
则其对称点坐标为D[相,-g根-4)
代入抛物线解析式y=9尤2-!X-3中,得
44
121c4
—m——m—3=--m-44,
443
整理,得3疗+13加+12=0,
4
解方程,得加=-1加=-3(舍去),
、“4n.44)20
当加=—时,y=—x—F4=—,
3339
故。[一m
(3)过点。作C尸〃%轴,且使得CP=C4,连接尸丛尸。,
VA(-3,0),C(0,4),
AC=3-0)2+(0-4)2=5,
:.CP=CA=5,
AP(-5,4),
,/B(4,0),
PB=,J(-5-4)2+(4-0)2=A/97.
•;CP〃x轴,
NPCD=NCAE,
":CP=CA,
PC=CA
•:IZPCD=ZCAE
CD=AE
:.APCD咨ACAE(SAS)
:.PD=CE,
3D+CE的最小值变成了3D+PD的最小值,
,/BD+PD>PB,
故当点P,D,8三点共线时,BD+PD取得最小值,且最小值为尸3,
.*.M+CE的最小值为质.
39
2.(1)y=—X2H—x—3
44
(2)-1或-3
(3)存在,5
(4)存在,6(-3,-3),P?~,3-,3
\7\7
(1)・..抛物线》=以2+3以+0经过点5(1,0)、C(0,-3),
a,〃+3a+c=0
[c=—3
.3
ci——
解得J4,
。=一3
3o
,抛物线的解析式为y=^x2+^x-3;
44
39
(2)令y=0,则=—/+—工一3=0,
44
贝ljX]=~4,x2=1,
设直线AC表达式为%0=履+》,又C(0,—3),
.广女+6=0
,,[匕=-3'
3
k=__
解得,4,
b=—3
3)
%c=_/_3,
・・・A(T0),C(0,—3),
.\OA=4,OC=3f
••S4Aoe=6,
39
…当SAPAC=7S^AOC时,S^pAc=2,
作尸轴,交AC于点K,
设尸(相,:机2+(机一31,贝|jK(根,一[机一3〔
3
2
则PK=yK-yp=--m-3m,
19
则—(%-4)PK=万,rn2+4m+3=0,
/.叫=—l,m2=—3.
即点P的横坐标为-1或-3.
(3)存在,
,•,点A与点B关于对称轴I对称,
当点Q在直线AC与对称轴/交点处时QC+Q8最小,
此时QC+QB=QC+QA=AC,
由(2)知OA=4,OC=3,
.-.AC=5,所以这个最小值为5.
(4)存在,设机,1«?+:加一3],
①当点尸在x轴下方时,有《C〃A&,
yP=-3,
39
贝U―根2+_加_3=_3,
44
,叫二0(舍去),牝=-3,
./(-3,-3)
②当点尸在工轴上方时,PC与AE是平行四边形的对角线,
设矶〃,。),力,
•••A(Y,0),C(0,—3),
m+0=n-4
.*.<3n9,
—m2+—m-3—3=0
[44
制-3-741-3+V41
39
X-m2+-m-3-3=0,
44
39
一根2H—加一3=3,即>p—3,
44
-3-5/41「3+而
,P
2,3,p3,3
2727
'-3+741
综上所述,存在个点:4(-3,-3),P,3
32-2
1
3.(l)y=--%92+%+3
⑵ABED的周长最小为5百+0?,E的坐标为(2,-2)
⑶四边形5PCE的面积最大为?,此时尸。,15
(1)解:•・,抛物线y=-92+云+。与%轴交于A(—2,0),5(6,0)两点,
--x4-2Z?+c=0
4
--x36+6Z?+c=0
4
解得
・・・抛物线的解析式为:y=-;f+%+3;
4
(2)解:由抛物线y=—</+x+3可得,当尤=0时,y=3,
4
1c
JC———2
••.C(0,3),对称轴为直线—2x1J-,
设直线BC的解析式为y=Ax+p,代入点B,点C的坐标得,匚7
回+p=0
左」
解得<2,
p=3
直线BC的解析式为y=~x+3,
•/AD//BC,
...可设直线AD的解析式为y=-;x+q,代入点A的坐标得,-;x(-2)+q=0,
解得“=-1,
直线AD的解析式为y=—;无一1,
--x-l
y二
联立"-%、x+3得.2
—1x2r
y二+x+3
4
尤=8x=-2
解得或
>=一5y=0
/.£)(8,-5),
..,如图,A3关于抛物线的对称轴对称,
,直线AD与对称轴的交点即为点E,此时EA=EB,
班+ED=K4+£D=AD最小,
,ABED的周长为BE+/)E+3£>=最小,
..•直线A£>的解析式为y=-3X-1,当x=2时,y=-2,
r.E的坐标为(2,-2),
:AD="-2-8)2+[0-(-5)了=5s/5,BD=^(8-6)2+(-5-0)2=A/29>
,ABED的周长最小为5百+囱;
(3)解:如图,过点尸作x轴的垂线,交直线BC于点。,
设点尸的坐标为;.+根+3],则°卜,-;机+3)其中0<加<6,
1(1123
PQ=——m2+m+3-——m+3=——m+—m,
4I2J42
':AD//BC,
S△DRCF=△S力CAR「A=—x8x3=12,
%+12=一3疗+2相+12,
..S四边形BPCE=SABCE+S&BCP=5X6[-
42)42
,---<0,
4
9
...当机=一2=3时,四边形3PCE的面积最大为?,此时尸[3,,15).
"_3
2x4
4.(l)y=-x2+3x+4
(2"=:时,四边形AOEC的面积最小,最小值为苧
2o
⑶存在,时(1+6,1+石)或加(2-2行,2应-2)
(1)解:VOB=OC=4,OA=1,则C(0,4),B(4,0),X(0,-l)
抛物线解析式为y=-(x+D(x—4)=—xl+3x+4;
⑵解:VOB=OC=4,
...△QBC是等腰直角三角形,由点的运动可知:
BE=y[it,过点E作EF_Lx轴,垂足为P,
又则AB=5,
•c_c_c
•,4ADEC-QABDE
=gx4x5-;x(5-f)xf
1/当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,
AC—"2+4。=4\/2,=5,
0<r<4,
当t时,四边形ADEC的面积最小,即为苧;
2o
(3)解:存在,MQ+&+B或MQ-26,2近-2),
当点M在CN的右侧时,如图所示,
过点M作)轴的平行线尸。,交工轴于点。,过点。作。尸,尸。,
,「△CMN是以M为直角为直角顶点的等腰直角三角形,
:.CM=MN,ZCMN=90°,
:./PCM=90°-/PMC=ZNMQ,
又ZCPM=ZMQN=90°
&CPMm&MQN,
:.CP=MQ,
设M(m,—m2+3m+4),
—m2+3m+4=m,
解得:m=A/5+l^<m=1-A/5(舍去)
MQ+底1+非);
当点M在CN的右侧时,同理可得-/+3瓶+4=-瓶,
解得:机=2—20或Z=2A/5+2(舍去)
・•・M(2-2衣20-2),
综上所述,MQ+区1+后或MQ-2应,2正-2).
11
5.⑴y=9一尸一2
(2)存在,点。坐标为]5,9]或(1,-2)
⑶存在,生&
4
⑴解:•.•C(0,-2),
,OC=2,
•;ZCAO^45°,
:.OC=OA,
:.OA=2,
:.A(-2,0),
将A(-2,0),3(3,0),C(0,-2)代入y=o?+法+c(a/o)得,
_1
a—
〃一3
428+c=01
9a+3b+c=0,角毕得,■一,
c=-2
c=-2
..抛物线的解析式为:y=-X2--X—2
33
(2)解:存在一点Q,使得/BAQ=/ABC,理由如下:
如图所示,过点A作AM〃3c交,轴于点M,交抛物线于点。,作M关于x轴的对称点AT,作4/
交抛物线于Q',
•/AM//BC,
:.ZQAB^ZABC,即点。是满足题意的点,
:3(3,0),C(0,-2),
_2_
,直线BC的解析式为:
设直线40的解析式为:y=—x+m,将A(—2,0)代入得:0=§x(-2)+机,
・,・m=—4,
3
24
..•直线A0的解析式为:y=—x+—
33
y=
33
直线AM与抛物线联立方程组得
y=—x2--x-2
33
九——2x=5
解得,y=0(与A重合,舍去)或,14,
y二一
3
VM.关于X轴对称,
2
・・・直线BC的解析式为:2,
ZQrAB=ZQAB=ZABC,A/4o,-|j,
•••Q'是满足题意的点,
44
设直线A。'的解析式为:y=kx--,将4—2,0)代入得:-2k--=0,
:.k=--,
3
24
•••直线的解析式为:y=——x——
33
24
y=——x—
33
直线AQ'与抛物线联立方程组得
12
V=x--x-2
-i3
\x=—2\x=l
解得,(与A重合,舍去)或,
[y=n0。=-2
•••。(1,-2),
综上所述,点Q坐标为15,弓)或(1,-2).
(3)解:在,轴上存在一个点尸,使走PC+尸。的值最小,理由如下:
2
如图所示,过点尸作PHJLAC于女,过点。作。H'LAC于,交y轴于点P,
.・抛物线的对称轴为直线w,
「A(—2,0),C(0,—2),则OA=OC=2,
•・△AOC是等腰直角三角形
\ZOCA=45°=ZOACf
•・APCH是等腰直角三角形,
PH=—PC,
2
••走PC+尸。最小即是尸最小,
2
••当尸运动到P,"和“'重合时,正PC+尸。的值最小,最小值是。T,
2
/ZOAC=45°fDHUAC,
•・△ADH'是等腰直角三角形,
0
*.DHf=—AD,
2
A(—2,0),D^—,Q
AD=-
2
,•DH*即争C+9的最小值为平.
6.⑴(1,-1)
(2)直线y=Ax+2(Z#0)上有“互补点”,点的坐标为(屐k^-\)
(3)1或3+g
(1)设直线y=2x-3上的“互补点”的坐标为(x,2x-3),
••—x—2%—39
解得:x=l,
・,・直线V=2x—3上的“互补点”的坐标为(1,-1),
故答案为:(1,-1);
(2)设直线y=kx+2(kw0)上存在“互补点”&T),
则由题意得:—t=kt+2,
解得:(左r
/C।1
直线>="+2(左wO)上有“互补点”,点的坐标为(占,二](左力0,心-1);
/C।1rv।1y
(3)设“互补点”的坐标为(a,-a),
由题意可知,方程一a=~+(〃一%—1)。+加+左一2有唯一解,
整理得:a?+4(M—左)〃+4(加+左一2)=0,
A=16(〃一女了—4x4(m+A:—2)=0.
整理得:m=n1—2kn+k2—k+2=(n——k+2.
,当〃〈女时,相随〃的增大而减小;当〃,左时,相随〃的增大而增大;当〃=左时,机取得最小函数
值—k+2.
①当-14左W2时,此时当〃=左时,加取得最小值,
由题意得-左+2=左,解得左二1;
②当上vT时,此时当〃=-1时,机取得最小值,
由题意得(一1—左)一左+2=左,
整理得:42+2=0,方程无解;
③当左>2时,此时当〃=2时,机取得最小值,
由题意得(2-左了_左+2=左,
整理得:左2_6左+6=0,
解得勺=3+0,k2=3-(舍).
综上所述,女的值为1或3+g.
7.(1)〃=2,(-1-3)
⑵①当机=-3时,n=l;②根=7•或加=1
(1)解:将点尸(一2,—2)代入,=%2+〃1+4一4,得4-2a+a—4=-2,解得。=2.
二次函数的表达式为y=Y+2%-2.
y=犬+2%-2=(%+1尸-3,
・•・二次函数图象的顶点坐标为(-1,-3).
(2)①将犬=—3代入y=/+2x—2,
得y=9-6-2=1.
1•当加二一3时,n=l.
②由(1),可知抛物线的对称轴为直线%=-1,点(-3,1)关于直线%=-1的对称点为(1,1),如解图所
根据函数图象,若满足当小〈尤时,该二次函数有最小值1,则加+1=-3或机=1,
.•.机=-4或根=1.
8.(1)y=Y+2x-3(2)点N的坐标为,[-,),"N有最大值,最大值为q(3)(0,0)或(0,3)或
(0,-3-3A/2)^(0,3A/2-3)
解:(1)':OA=OC=3,
:.A(-3,0),C(0,-3),
把A(-3,0),C(0,-3)代入y=%2+fcv+c,得,
9-3b+c=0
c=-3
b=2
解得,
c=—3f
此抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)设直线AC的解析式为>=丘+6,
把把人(一3,0),C(0,—3)代入>="+6,得,
j-3k+b=0
|Z?=-31
k=-l
解得
b=-3'
直线AC的解析式为y=-x-3;
设点N的坐标为(无,尤2+2x-3),贝I]点八7(x,-x-3),
DN=-(x?+2x-3)=-%2-2x+3,DM=-(-x-3)=x+3,
.•.睦V=Z)N_r)Af=_/_2彳+3_(尤+3)=f2_3x=_7+2,
24
,/-l<0,
9
有最大值,最大值为了,此时点N的坐标为
4
(3)OA=OC=3,
AC=VOC2+(M2=3A/2,
如图,
当AC为底边时,点Q的坐标为(0,0);
当AC为腰时,点Q的坐标为(0,3)或(。,一3-30)或(0,30-3卜
综上,AACQ为等腰三角形时,点Q的坐标为(0,0)或(0,3)或(0,-3-30)或(0,3及-31
9.(l)A(0,2),8(6,8)
⑵s=-尸19
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 内蒙古鄂尔多斯市东胜区九年级化学下册 8.4 常见的盐(2)教学实录 (新版)粤教版
- 小学信息技术第一册 我的图册-用看图软件创建图册教学实录 河大版
- 22《 为中华之崛起而读书》(第二课时)(教学设计)2024-2025学年统编版语文四年级上册
- ma信号转dc信号并电阻
- 2025年阿片类中毒解毒药项目发展计划
- 电脑的整流电路
- 2025年烧伤整形科手术器械项目发展计划
- 2023六年级数学上册 四 解决问题的策略第3课时 解决问题的策略(练习课)教学实录 苏教版
- 2024年秋九年级历史上册 第4课《古代罗马》教学实录 中华书局版
- 制定数字营销转型策略计划
- 分布式文件系统
- 12K101-1 轴流通风机安装
- 新《铁路劳动安全》考试题库500题(含答案)
- 世界现代设计简史
- GA/T 1275-2015石油储罐火灾扑救行动指南
- 2023年杭州市余杭区事业单位招聘笔试题库及答案解析
- 医患沟通技巧讲义课件
- 保洁员培训考核试卷(答案)
- 《企业招聘研究文献综述(3500字)》
- 高血压病例分析-课件
- 县级危重孕产妇救治中心评审标准(产科)
评论
0/150
提交评论