人教版九年级数学上册期末复习专练：二次函数的最值问题

二次函数的最值问题关键题型期末专题练

2024-2025学年初中数学人教版九年级上学期

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=:尤2尤-3与无轴交于A,B两点，点C为了轴正半轴

上一点，且OC=OB,O是线段AC上的动点(不与点A,C重合).

(1)写出A、B、C三点坐标;

(2)如图1,当点。关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时。点的坐标;

(3)如图2,若点E是线段A3上的动点，连接BD、CE,当CD=AE时，求比)+CE的最小值.

2.如图，抛物线经过点3。,0)、。(0,-3),交x轴于另一点A(点A在点B点的左侧),

点尸是该抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

3

(2)当点P在直线AC下方且SKAC=^$小"时，请求出点P的横坐标；

(3)在抛物线的对称轴,上是否存在点Q,使得QC+QB最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，

请说明理由；

(4)若点E在无轴上，是否存在以只A、C,E为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞+法+c与x轴交于人(-2,0),8(6,0)两点，与y轴

交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点.

y

(1)求抛物线的解析式；

⑵过点A作AD〃3c交抛物线于。，若点E为对称轴上一动点，求△BED周长的最小值及此时点E的

坐标；

(3)过点A作AD〃3C交抛物线于。，过点E为直线AD上一动点，连接CP,CE,BP,BE,求四边

形BPCE面积的最大值及此时点P的坐标.

4.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且。4=1,OB=OC=4.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若连接AC、BC.动点。从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点8做匀速运动；同

时，动点E从点8出发，在线段上以每秒挺个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终

点时，另一点随之停止运动，连接。E,设运动时间为t秒.在。、E运动的过程中，当f为何值时,

四边形ADEC的面积最小，最小值为多少？

(3)点/是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点/为直角顶点的等腰直角三

角形CW?若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

5.如图，已知抛物线丁=加+法+。(。/0)与＞轴相交于点C(0,-2),与x轴分别交于点3(3,0)和

点A,且NC4O=45。.

(1)求抛物线解析式;

(2)抛物线上是否存在一点。，使得NBA。=ZABC,若存在，请求出点。坐标，若不存在，请说明理

由；

(3)抛物线的对称轴交x轴于点。，在,轴上是否存在一个点尸，使巫尸C+尸。的值最小，若存在，

2

请求出最小值，若不存在，请说明理由.

6.在平面直角坐标系中，我们将形如(1,-1),(-21,2.1)这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之

为“互补点

⑴直线y=2x-3上的“互补点”的坐标为；

(2)直线y="+2(%w0)上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；

(3)若函数y=+("-"1"+根+k-2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，机的

最小值为左，求左的值.

7.如图，已知二次函数、=/+办+。-4的图象经过点「(-2,-2).

⑴求。的值和二次函数图象的顶点坐标.

⑵已知点。(办〃)在该二次函数图象上.

①当机=-3时，求〃的值；

②当相时，该二次函数有最小值1,请结合函数图像求出加的值.

8.【问题背景】

如图，抛物线y=尤+c与x轴交于A3两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,连接AC.

【知识技能】

(1)求此抛物线的解析式.

【构建联系】

(2)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作ND〃y轴，交AC于点交x轴于点。，当点N

的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？

(3)在＞轴上找一点Q,使得AACQ为等腰三角形，直接写出点。的坐标.

9.如图，直线y=x+2与顶点坐标为(2,0)的抛物线相交于A、B两点,其中点A在y轴上.

(2)点尸是线段A8上的一个动点，过点尸作x轴的垂线尸C,交抛物线于点Q.设线段尸。长度为L

点P的横坐标为h写出$与t之间的函数关系式.

(3”为何值时，线段尸。长度$最大？

10.如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线〉=-：/+云+°交x轴于两点，交y轴于点C,

3

其中点B(4,0),其对称轴为x=[.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)若P为第一象限内抛物线上一点，连接尸8、PC,求APBC面积的最大值，及此时点尸的坐标.

参考答案:

1.⑴A（-3,0）,矶4,0）,C（0,4）

f420

⑵一才了

⑶回

1212

y=-x——x—5

（1）根据题意得44

y=o

x=4x=-3

解得

y=0y=0

：.A（-3,0）,8（4,0）,

：.OB=4,

9：OC=OB,

：.C（0,4）.

（2）设直线AC的解析式为y=H+b,

把A（-3,0）,c（。,4）分别代入解析式，得

j-3k+b=0

［b=4

4

故直线AC的解析式为y=§x+4,

设点£＞（根■根+j,

则其对称点坐标为D［相，-g根-4）

代入抛物线解析式y=9尤2-!X-3中，得

44

121c4

—m——m—3=--m-44,

443

整理，得3疗+13加+12=0,

4

解方程，得加=-1加=-3（舍去），

、“4n.44）20

当加=—时，y=—x—F4=—,

3339

故。［一m

（3）过点。作C尸〃％轴，且使得CP=C4,连接尸丛尸。,

VA(-3,0),C(0,4),

AC=3-0)2+(0-4)2=5,

：.CP=CA=5,

AP(-5,4),

,/B(4,0),

PB=,J(-5-4)2+(4-0)2=A/97.

•；CP〃x轴，

NPCD=NCAE,

"：CP=CA,

PC=CA

•：IZPCD=ZCAE

CD=AE

：.APCD咨ACAE(SAS)

：.PD=CE,

3D+CE的最小值变成了3D+PD的最小值，

,/BD+PD>PB,

故当点P,D,8三点共线时，BD+PD取得最小值，且最小值为尸3,

.*.M+CE的最小值为质.

39

2.(1)y=—X2H—x—3

44

(2)-1或-3

(3)存在，5

(4)存在，6(-3,-3),P?~，3-,3

\7\7

（1）・..抛物线》=以2+3以+0经过点5（1,0）、C（0,-3）,

a，〃+3a+c=0

[c=—3

.3

ci——

解得J4,

。=一3

3o

，抛物线的解析式为y=^x2+^x-3；

44

39

(2)令y=0,则=—/+—工一3=0,

44

贝ljX]=~4,x2=1,

设直线AC表达式为％0=履+》，又C(0,—3),

.广女+6=0

,,[匕=-3'

3

k=__

解得，4,

b=—3

3)

%c=_/_3，

・・・A(T0),C(0,—3),

.\OA=4,OC=3f

••S4Aoe=6,

39

…当SAPAC=7S^AOC时,S^pAc=2,

作尸轴，交AC于点K,

设尸(相，:机2+(机一31，贝|jK(根,一[机一3〔

3

2

则PK=yK-yp=--m-3m,

19

则—(%-4)PK=万,rn2+4m+3=0,

/.叫=—l,m2=—3.

即点P的横坐标为-1或-3.

(3)存在，

，•,点A与点B关于对称轴I对称，

当点Q在直线AC与对称轴/交点处时QC+Q8最小,

此时QC+QB=QC+QA=AC,

由(2)知OA=4,OC=3,

.-.AC=5,所以这个最小值为5.

(4)存在,设机，1«?+：加一3],

①当点尸在x轴下方时，有《C〃A&,

yP=-3,

39

贝U―根2+_加_3=_3,

44

，叫二0（舍去），牝=-3,

./（-3,-3）

②当点尸在工轴上方时，PC与AE是平行四边形的对角线,

设矶〃,。）,力,

•••A（Y,0）,C（0,—3）,

m+0=n-4

.*.<3n9，

—m2+—m-3—3=0

[44

制-3-741-3+V41

39

X-m2+-m-3-3=0,

44

39

一根2H—加一3=3,即>p—3,

44

-3-5/41「3+而

,P

2,3,p3,3

2727

'-3+741

综上所述，存在个点:4(-3,-3),P,3

32-2

1

3.(l)y=--%92+%+3

⑵ABED的周长最小为5百+0?,E的坐标为(2,-2)

⑶四边形5PCE的面积最大为?，此时尸。,15

(1)解：•・,抛物线y=-92+云+。与％轴交于A(—2,0),5(6,0)两点,

--x4-2Z?+c=0

4

--x36+6Z?+c=0

4

解得

・・・抛物线的解析式为：y=-；f+%+3；

4

(2)解：由抛物线y=—</+x+3可得，当尤=0时，y=3,

4

1c

JC———2

••.C(0,3),对称轴为直线—2x1J-，

设直线BC的解析式为y=Ax+p,代入点B,点C的坐标得，匚7

回+p=0

左」

解得<2,

p=3

直线BC的解析式为y=~x+3,

•/AD//BC,

...可设直线AD的解析式为y=-;x+q,代入点A的坐标得，-；x(-2)+q=0,

解得“=-1,

直线AD的解析式为y=—;无一1,

--x-l

y二

联立"-%、x+3得.2

—1x2r

y二+x+3

4

尤=8x=-2

解得或

>=一5y=0

/.£)(8,-5),

..,如图，A3关于抛物线的对称轴对称,

，直线AD与对称轴的交点即为点E,此时EA=EB,

班+ED=K4+£D=AD最小，

，ABED的周长为BE+/)E+3£>=最小，

..•直线A£>的解析式为y=-3X-1,当x=2时，y=-2,

r.E的坐标为(2,-2),

：AD="-2-8)2+[0-(-5)了=5s/5,BD=^(8-6)2+(-5-0)2=A/29>

，ABED的周长最小为5百+囱；

(3)解：如图，过点尸作x轴的垂线，交直线BC于点。,

设点尸的坐标为；.+根+3],则°卜，-；机+3)其中0＜加＜6,

1(1123

PQ=——m2+m+3-——m+3=——m+—m,

4I2J42

'：AD//BC,

S△DRCF=△S力CAR「A=—x8x3=12,

%+12=一3疗+2相+12,

..S四边形BPCE=SABCE+S&BCP=5X6[-

42)42

,---＜0,

4

9

...当机=一2=3时，四边形3PCE的面积最大为?，此时尸[3,，15).

"_3

2x4

4.(l)y=-x2+3x+4

(2"=：时，四边形AOEC的面积最小，最小值为苧

2o

⑶存在，时(1+6,1+石)或加(2-2行,2应-2)

(1)解：VOB=OC=4,OA=1,则C(0,4),B(4,0),X(0,-l)

抛物线解析式为y=-(x+D(x—4)=—xl+3x+4；

⑵解：VOB=OC=4,

...△QBC是等腰直角三角形，由点的运动可知：

BE=y[it,过点E作EF_Lx轴，垂足为P,

又则AB=5,

•c_c_c

•,4ADEC-QABDE

=gx4x5-；x(5-f)xf

1/当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，

AC—"2+4。=4\/2，=5,

0<r<4,

当t时，四边形ADEC的面积最小，即为苧；

2o

(3)解：存在，MQ+&+B或MQ-26,2近-2)，

当点M在CN的右侧时，如图所示，

过点M作)轴的平行线尸。，交工轴于点。，过点。作。尸，尸。,

,「△CMN是以M为直角为直角顶点的等腰直角三角形，

：.CM=MN,ZCMN=90°,

：./PCM=90°-/PMC=ZNMQ,

又ZCPM=ZMQN=90°

&CPMm&MQN,

：.CP=MQ,

设M(m,—m2+3m+4),

—m2+3m+4=m，

解得：m=A/5+l^<m=1-A/5(舍去)

MQ+底1+非)；

当点M在CN的右侧时，同理可得-/+3瓶+4=-瓶，

解得：机=2—20或Z=2A/5+2(舍去)

・•・M(2-2衣20-2),

综上所述，MQ+区1+后或MQ-2应,2正-2).

11

5.⑴y=9一尸一2

(2)存在，点。坐标为］5,9］或(1,-2)

⑶存在，生&

4

⑴解：•.•C(0,-2),

，OC=2,

•；ZCAO^45°,

：.OC=OA,

：.OA=2,

：.A(-2,0),

将A(-2,0),3(3,0),C(0,-2)代入y=o?+法+c(a/o)得,

_1

a—

〃一3

428+c=01

9a+3b+c=0,角毕得，■一，

c=-2

c=-2

..抛物线的解析式为：y=-X2--X—2

33

(2)解：存在一点Q,使得/BAQ=/ABC,理由如下：

如图所示，过点A作AM〃3c交，轴于点M,交抛物线于点。，作M关于x轴的对称点AT,作4/

交抛物线于Q',

•/AM//BC,

：.ZQAB^ZABC,即点。是满足题意的点,

：3(3,0),C(0,-2),

_2_

，直线BC的解析式为:

设直线40的解析式为:y=—x+m,将A(—2,0)代入得：0=§x(-2)+机,

・,・m=—4,

3

24

..•直线A0的解析式为:y=—x+—

33

y=

33

直线AM与抛物线联立方程组得

y=—x2--x-2

33

九——2x=5

解得,y=0（与A重合，舍去）或，14，

y二一

3

VM.关于X轴对称,

2

・・・直线BC的解析式为：2,

ZQrAB=ZQAB=ZABC,A/4o,-|j,

•••Q'是满足题意的点,

44

设直线A。'的解析式为:y=kx--,将4—2,0)代入得：-2k--=0,

：.k=--,

3

24

•••直线的解析式为:y=——x——

33

24

y=——x—

33

直线AQ'与抛物线联立方程组得

12

V=x--x-2

-i3

\x=—2\x=l

解得，(与A重合，舍去)或,

[y=n0。=-2

•••。(1,-2),

综上所述，点Q坐标为15,弓)或(1,-2).

(3)解：在，轴上存在一个点尸，使走PC+尸。的值最小，理由如下：

2

如图所示，过点尸作PHJLAC于女，过点。作。H'LAC于，交y轴于点P,

.・抛物线的对称轴为直线w,

「A(—2,0),C(0,—2),则OA=OC=2,

•・△AOC是等腰直角三角形

\ZOCA=45°=ZOACf

•・APCH是等腰直角三角形，

PH=—PC,

2

••走PC+尸。最小即是尸最小，

2

••当尸运动到P,"和“'重合时，正PC+尸。的值最小，最小值是。T,

2

/ZOAC=45°fDHUAC,

•・△ADH'是等腰直角三角形,

0

*.DHf=—AD,

2

A(—2,0),D^—,Q

AD=-

2

,•DH*即争C+9的最小值为平.

6.⑴(1,-1)

（2）直线y=Ax+2（Z#0）上有“互补点”，点的坐标为（屐k^-\）

（3）1或3+g

（1）设直线y=2x-3上的“互补点”的坐标为（x,2x-3）,

••—x—2%—39

解得：x=l,

・,・直线V=2x—3上的“互补点”的坐标为（1,-1）,

故答案为：（1,-1）；

（2）设直线y=kx+2（kw0）上存在“互补点”&T）,

则由题意得：—t=kt+2,

解得：（左r

/C।1

直线＞="+2（左wO）上有“互补点”，点的坐标为（占，二］（左力0,心-1）；

/C।1rv।1y

（3）设“互补点”的坐标为（a,-a）,

由题意可知，方程一a=~+（〃一%—1）。+加+左一2有唯一解，

整理得：a?+4（M—左）〃+4（加+左一2）=0,

A=16（〃一女了—4x4（m+A:—2）=0.

整理得：m=n1—2kn+k2—k+2=（n——k+2.

，当〃〈女时，相随〃的增大而减小；当〃,左时，相随〃的增大而增大；当〃=左时，机取得最小函数

值—k+2.

①当-14左W2时，此时当〃=左时，加取得最小值，

由题意得-左+2=左，解得左二1；

②当上vT时，此时当〃=-1时，机取得最小值，

由题意得（一1—左）一左+2=左，

整理得：42+2=0,方程无解；

③当左＞2时，此时当〃=2时，机取得最小值，

由题意得（2-左了_左+2=左，

整理得：左2_6左+6=0,

解得勺=3+0，k2=3-(舍).

综上所述，女的值为1或3+g.

7.(1)〃=2,(-1-3)

⑵①当机=-3时，n=l；②根=7•或加=1

(1)解：将点尸(一2,—2)代入,=%2+〃1+4一4,得4-2a+a—4=-2,解得。=2.

二次函数的表达式为y=Y+2%-2.

y=犬+2%-2=(%+1尸-3,

・•・二次函数图象的顶点坐标为(-1,-3).

(2)①将犬=—3代入y=/+2x—2,

得y=9-6-2=1.

1•当加二一3时，n=l.

②由(1),可知抛物线的对称轴为直线％=-1,点(-3,1)关于直线％=-1的对称点为(1,1),如解图所

根据函数图象，若满足当小〈尤时，该二次函数有最小值1,则加+1=-3或机=1,

.•.机=-4或根=1.

8.(1)y=Y+2x-3(2)点N的坐标为，［-，)，"N有最大值，最大值为q(3)(0,0)或(0,3)或

(0,-3-3A/2)^(0,3A/2-3)

解：(1)'：OA=OC=3,

：.A(-3,0),C(0,-3),

把A(-3,0),C(0,-3)代入y=%2+fcv+c,得，

9-3b+c=0

c=-3

b=2

解得,

c=—3f

此抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

(2)设直线AC的解析式为>=丘+6,

把把人(一3,0),C(0,—3)代入>="+6,得,

j-3k+b=0

|Z?=-31

k=-l

解得

b=-3'

直线AC的解析式为y=-x-3；

设点N的坐标为(无，尤2+2x-3),贝I］点八7(x,-x-3),

DN=-(x?+2x-3)=-%2-2x+3,DM=-(-x-3)=x+3,

.•.睦V=Z)N_r)Af=_/_2彳+3_(尤+3)=f2_3x=_7+2,

24

,/-l<0,

9

有最大值，最大值为了，此时点N的坐标为

4

(3)OA=OC=3,

AC=VOC2+(M2=3A/2,

如图，

当AC为底边时，点Q的坐标为(0,0)；

当AC为腰时，点Q的坐标为(0,3)或(。,一3-30)或(0,30-3卜

综上，AACQ为等腰三角形时，点Q的坐标为(0,0)或(0,3)或(0,-3-30)或(0,3及-31

9.(l)A(0,2),8(6,8)

⑵s=-尸19