三角形 知识点梳理及专项练习-2025年中考数学一轮复习

专题10三角形

1.三角形的分类

(1)三角形按角分为________三角形、________三角形、_______三角形.

(2)三角形按边分为________三角形、________三角形.

2三角形的性质

(1)三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差______第三边.

(2)三角形的内角和为外角与内角的关系：三角形的外角等于

3.三角形中的主要线段

(1)连接三角形中点的线段叫作三角形的中位线.

(2)中位线的性质：三角形的中位线________于第三边，并且_______第三边的.

(3)三角形的中线、高线、角平分线都是________.

4.等腰三角形的性质与判定

(1)等腰三角形的两底角.

⑵等腰三角形底边上的底边上的、顶角的__________互相，简称"—

，，

(3)有两个角相等的三角形是.

5.等边三角形的性质与判定

(1)等边三角形每个角都等于同样具有“”的性质.

(2)三个角相等的三角形是____________三边相等的三角形是一个角等于60。的________三角形

是等边三角形.

6.直角三角形的性质与判定

⑴直角三角形两锐角.

(2)直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的.

⑶直角三角形中，斜边的中线等于斜边的.

(4)勾股定理:_____________________________________________________________________

(5)勾股定理的逆定理J_________________________________________________________•

7.相似三角形的判定方法有：

(1)于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)两个角对应相等的两个三角形；

(3)两边对应成_____且______的两个三角形相似；

(4)三边______的两个三角形相似.

8相似三角形的性质有：⑴相似三角形的对应边__________对应角；(2)相似三角形的对应边的一

线、对应边上的的比等于比，周长之比也等于比，面积比等于.

9.全等三角形

(1)全等三角形:、的三角形叫作全等三角形.

(2)三角形全等的判定方法有:,.在证明两个三

角形全等时，选择三角形全等的五种方法中,至少有一组因此在应用时要养成先找边的习惯.如果选择找

到了一组对应边，再找第二组条件若找到一组对应边则再找这两边的用“SAS”或再找第三组用“S

SS"；若找到一组角则需找________(可能用“ASA”或“AAS")或夹这个角的另一组________用“SAS”;若是判定两个_

_______全等则优先考虑“HL”.

(3)全等三角形的性质：全等三角形的_______，全等三角形的面积周长对应高、—

_______________相等.

10.分析、证明几何题的常用方法

(1)：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理、定理的运用，逐步向前推进，直到问题解决.

⑵：从命题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直到已知条件.(3)：将分析法与综合法合并

使用，比较起来，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此在实际思考问题时，可合并使用灵活处理，以利于缩短

题设与结论之间的距离，最后达到完全沟通.

实战演练

1.如图CDLAB于点D,已知/ABC是钝角，则()

C

A.线段CD是4ABC的AC边上的高线

B.线段CD是4ABC的AB边上的高线

C.线段AD是4ABC的BC边上的高线

D.线段AD是4ABC的AC边上的高线

2.如图，在△ABC和4DEF中，点A,E,B,D在同一直线上，AC〃DF,AC=DF,只添加一个条件，能判定小ABC之ZXD

EF的是（）

A.BC=DEB.AE=DB

C.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

3.如图，在△ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为Si,△EBD的面积为S2,则华=（）

4.如图，在AABC和小ADE中,NCAB=/DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长交AC,AD

于点F,G.若BE恰好平分/ABC,则下列结论错误的是（）

A.ZADC=ZAEBB.CD//AB

C.DE=GED.BF^CFAC

5.如图，在RtAABC中,NACB=90。,NA=30。,AB=4,CD，AB于点D,E是AB的中点，则DE的长为（）

6.如图在△ABC中,/A=90。。是AB的中点.过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC

于点F,若AB=CE,HADFE的面积为1,则BC的长为（）

A.2V5B.5

C.4V5D.10

7.如图，在△ABC中,AD平分/BAC,DE_LAB.若AC=2,DE=1,贝！］SAACD=.

BDC

8.如图.在R3ABC中,/ABC=9(F,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E,/BAE=10。厕/

C的度数是一

9.如图，在RtAABC中,NC=9(F,AF=EF.若NCFE=72。,贝[]/B='

10如图,AC平分NDCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若/EAC=49°,则ZBAE的度数为

11.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,ZB=ZE.

求证:/A=/D.

12.如图，在RtAACB中,/ACB=90。,点M为边AB的中点点E在线段AM±,EF±AC于点F,连接CM,CE.

已知ZA=50°,ZACE=30°.

求证:CE=CM;

13如图点D在AB上，点E在AC上,AB=AC,/B=/C.求证:AD=AE.

A

14如图，在△ABC和4ABC中，D、D分别是AB、AB上一点，与=舞.

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

(2)当照=怒=熟时，判断△ABC与4ABC是否相似，并说明理由.

CUACDC

压轴预测

1.如图在△ABC中边AC,BC的垂直平分线交于三角形外一点P.若△ABP为等边三角形，则/ACB的度

数为

2.如图.在△ABC与ADCB中,AC与BD交于点E,且/A=/D,AE=DE.

(1)求证:△ABE^ADCE;

(2)当/A=9(r,AB=4,AE=3时，求BC的值.

3.如图，已知△ABC中,AB=AC点D是AC上一点,BD=BC.

(1)求证:△ABC^ABCD;

(2)若点D为AC中点，且AC=4,求BC的长.

A

4.已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE，AB,DF，BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是

等边三角形.

参考答案

1.(1)锐角直角钝角

⑵等腰三边都不相等的

2.⑴大于小于

(2)180°与它不相邻的两内角的和

3.⑴两边

(2)平行等于一半

⑶线段

4.⑴相等

(2)高中线角平分线重合三线合一

(3)等腰三角形

5.(1)60。三线合一

(2)等边三角形等边三角形等腰

6.(1)互余

⑵一半

⑶一半

(4)直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

(5)若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形

7.⑴平行

⑵相似

(3)比例夹角相等

(4)对应成比例

8.⑴成比例相等

⑵中高相似相似相似比的平方

9.(1)对应边相等对应角相等

(2)SSSSASASAAASHL相等的边夹角对应边另一组角对应边直角三角形

(3)对应边相等对应角相等相等相等对应中线对应角平分线

10.⑴综合法(由因导果)

(2)分析法(执果索因)

(3)两头凑法

1.B【解析】本题考查三角形的高线.•••CDLAB,.•.线段CD是4ABC的AB边上的高线.故选B.

2.B【解析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定^••AC〃DF,.•./A=ND.又AC=DF若添加AE=BD,

贝!]AE+BE=BD+BE,即AB=DE,利用“SAS”可判定△ABCgZkDEF,故选B.

3.B【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.因为D,E分别为线段BC,BA的中点，所以影=篙=案=

ACDADC

我以△EBDs^ABC,所以|=偿『=J,

故选B.

4.C【解析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形

的判定与性质.•••/DAE=NCAB,；.NDAC=NEAB.又AB=AC,AD=AE,；.Z\ADC0△AEB,；.NADC=/AEB,故

选项A正确;：/CAB=36。,且AB=AC,；./ABC=72o,：BE平分/ABC,；./ABG=/CBG=NDCA=36o,；./DCA=

NCAB,；.CD〃AB,故选项B正确；DE=GE条件不足，不能判定，故选项C错误；：NCBF=NCAB=36。,且/B

CF=/ACB,MCBFs/\CAB厕BCAC=CEB,，BC=CF.AC.：AB=AC,ZCAB=36°,AZACB=72°,AZCF

B=180°-ZACB-ZCBG=72°=ZACB,.*.BC=BF,BF^CF-AC,故选项D正确,故选C.

5.A【解析】本题考查等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质.•••/ACB=90o,/A=30°,.1.ZB=60°.VE

是AB的中点，AB=4,CE=BE=^ABX4=2,.,.ABCE为等边三角形.：CD_LAB,；.DE=BD=|B£'=|x

2=1,故选A.

6.A【解析】本题考查平行线分线段成比例、三角形的面积公式、勾股定理、平行线的判定和性质.如图，过

点A作AH_LBC于H.：点D是ABAD=BD.vDEBC,：.AE=CE,DE=^BC.-：DFEBC;ADF^AH,D

F±DE,?.BF=HF,DF=|AH.•?ADFE的面积为1,，|DEDF=1,DEDF=2,?.BCAH=2DE-2DF=4x2=8,ABA

C=8.AB=CE,：.AB=AE^CE^AC,：.AB-2AB=8解得AB=2(舍负)，.二AC=4,BC=y/AB2+AC2=2V5,

故选A.

7.1【解析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式.如图.过点D作DF1AC于点F.因为AD平分

NBAC,DE_LAB,所以DF=DE=L所以SACD=|x/ICXDF=|X2X1=1.

8.40°【解析】本题考查三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质.在RtAABE中，

ZB=90o,ZBAE=10o,.\ZAEB=80°.VDE是线段AC的垂直平分线,，AE=CE,ZC=ZCAE,.\ZAEB=ZCAE+Z

C=2ZC=80°,.\ZC=40°.

9.54【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理.：AF=EF,.\ZA=Z

AEF.^.^/CFE=NA+NAEF,.,.NCFE=2NA.又^.^NCFE=72°,.,.NA=36°,在RtAABC中,/C=90°,，NA+NB=90°,

ZB=90°-ZA=54°.

10.820【解析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理.：AC平分NDCB,

ZBCA=ZDCA.XCB=CD,AC=AC,AABC^△ADC(SAS),ZB=ZD.VZEAC=ZD+ZDCA=49°,.\

ZB+ZBCA=49°,.\ZBAE=180°-49°-49°=82°,,即/BAE的度数为82°.

11.略

证明:：BF=EC,

；.BF+CF=EC+CF,即BC=EF.

在小ABC和4DEF中产=吃斗；乙E,

IBC=cr,

.,.△ABC^ADEF,

ZA=ZD.

12.略

根据直角三角形中线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质得/CME=/CEM,即可得证.

解:证明:因为/ACB=90。,点M为AB的中点.

所以MA=MC,

所以NMCA=NA=50。，

所以NCMA=180°-NA-/MCA=80°,

因为ACEM=N4+^ACE=50°+30°=80°,

所以/CME=/CEM,所以CE=CM.

13.略

根据已知条件，结合公共角，利用“ASA”即可判定小ACD咨AABE相对应边相等，从而证明AD=AE.

Z-A="

证明:在^ACD和^ABE中\AC=AB,

{Z.C=Z-B,

:•△ACD也△ABE.

・・・AD=AE.

«“石、COACAD人A,

；

14.('1)7-C^'-D7'=-Av'C-7'=-AF'DT'NA=

(2)相似,理由略

(1)根据比例式进行代换，得三边对应成比例，得两个三角形相似后，对应角相等，将所得三边比例式和对应角

相等填入方框内；⑵分别在两个三角形中作BC边和BC边的平行线，利用所得三角形相似得比例式,再结合比

例式进行代换，得三边对应成比例，证明△DCE-AD'C'E',再利用平行线的性质，结合等角的补角相等以及两边

对应成比例证明^ABC^AA'B'C.

ACAD..,

解：⑴怒=——r;Z-A—Z-A.

A'C'ArDr，

⑵如图过点D、D分别作DE〃BC、DE〃BC,DE交AC于点E,DE交AC于点E'.

VDE^BQAAADE^AABC.

AD_DE_AE

AB~BC~AC

日工用ArDrD'E'A'E'

同理市=丽=

又AD_A,D/.DE_D'E'.DE_BC

AB~ArBr,"BC~Wcr'''DrET~Wc，

AE_A'E'

同理

AC-A'C'

••AC~A'C1"AC一A'C'

.EC_aC

"E'C'-A'Cr

CDACBC

------^_又—------

C'D'又A'C，BrCr，

.CD_DE_EC

••C'D'-D'E'-E'C"

.".△DCE^AD'C'E',

ZCED=ZC'E'D'.

VDE/7BC,.".ZCED+ZACB=180°.

同理AC'E'D'+^A'C'B'=180°.

ZACB=ZA'C'B'.

又AC=BC,；.△ABCs△AB'C.

压轴预测

1.1500【解析】本题考查线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定

理.如图，连接PC.设/APC=x,/BPC=y.^.^△ABP是等边三角形..^.x+y=60。.^.^点P是AC,BC的垂直平分线的交点,

.•.PA=PC=PB,