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文档简介
专题10三角形
1.三角形的分类
(1)三角形按角分为________三角形、________三角形、_______三角形.
(2)三角形按边分为________三角形、________三角形.
2三角形的性质
(1)三角形中任意两边之和第三边,任意两边之差______第三边.
(2)三角形的内角和为外角与内角的关系:三角形的外角等于
3.三角形中的主要线段
(1)连接三角形中点的线段叫作三角形的中位线.
(2)中位线的性质:三角形的中位线________于第三边,并且_______第三边的.
(3)三角形的中线、高线、角平分线都是________.
4.等腰三角形的性质与判定
(1)等腰三角形的两底角.
⑵等腰三角形底边上的底边上的、顶角的__________互相,简称"—
,,
(3)有两个角相等的三角形是.
5.等边三角形的性质与判定
(1)等边三角形每个角都等于同样具有“”的性质.
(2)三个角相等的三角形是____________三边相等的三角形是一个角等于60。的________三角形
是等边三角形.
6.直角三角形的性质与判定
⑴直角三角形两锐角.
(2)直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的.
⑶直角三角形中,斜边的中线等于斜边的.
(4)勾股定理:_____________________________________________________________________
(5)勾股定理的逆定理J_________________________________________________________•
7.相似三角形的判定方法有:
(1)于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(2)两个角对应相等的两个三角形;
(3)两边对应成_____且______的两个三角形相似;
(4)三边______的两个三角形相似.
8相似三角形的性质有:⑴相似三角形的对应边__________对应角;(2)相似三角形的对应边的一
线、对应边上的的比等于比,周长之比也等于比,面积比等于.
9.全等三角形
(1)全等三角形:、的三角形叫作全等三角形.
(2)三角形全等的判定方法有:,.在证明两个三
角形全等时,选择三角形全等的五种方法中,至少有一组因此在应用时要养成先找边的习惯.如果选择找
到了一组对应边,再找第二组条件若找到一组对应边则再找这两边的用“SAS”或再找第三组用“S
SS";若找到一组角则需找________(可能用“ASA”或“AAS")或夹这个角的另一组________用“SAS”;若是判定两个_
_______全等则优先考虑“HL”.
(3)全等三角形的性质:全等三角形的_______,全等三角形的面积周长对应高、—
_______________相等.
10.分析、证明几何题的常用方法
(1):从命题的题设出发,通过一系列的有关定义、公理、定理的运用,逐步向前推进,直到问题解决.
⑵:从命题的结论出发,不断寻找使结论成立的条件,直到已知条件.(3):将分析法与综合法合并
使用,比较起来,分析法利于思考,综合法宜于表达,因此在实际思考问题时,可合并使用灵活处理,以利于缩短
题设与结论之间的距离,最后达到完全沟通.
实战演练
1.如图CDLAB于点D,已知/ABC是钝角,则()
C
A.线段CD是4ABC的AC边上的高线
B.线段CD是4ABC的AB边上的高线
C.线段AD是4ABC的BC边上的高线
D.线段AD是4ABC的AC边上的高线
2.如图,在△ABC和4DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC〃DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定小ABC之ZXD
EF的是()
A.BC=DEB.AE=DB
C.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD
3.如图,在△ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点,设△ABC的面积为Si,△EBD的面积为S2,则华=()
4.如图,在AABC和小ADE中,NCAB=/DAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延长交AC,AD
于点F,G.若BE恰好平分/ABC,则下列结论错误的是()
A.ZADC=ZAEBB.CD//AB
C.DE=GED.BF^CFAC
5.如图,在RtAABC中,NACB=90。,NA=30。,AB=4,CD,AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为()
6.如图在△ABC中,/A=90。。是AB的中点.过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC
于点F,若AB=CE,HADFE的面积为1,则BC的长为()
A.2V5B.5
C.4V5D.10
7.如图,在△ABC中,AD平分/BAC,DE_LAB.若AC=2,DE=1,贝!]SAACD=.
BDC
8.如图.在R3ABC中,/ABC=9(F,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,/BAE=10。厕/
C的度数是一
9.如图,在RtAABC中,NC=9(F,AF=EF.若NCFE=72。,贝[]/B='
10如图,AC平分NDCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若/EAC=49°,则ZBAE的度数为
11.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,ZB=ZE.
求证:/A=/D.
12.如图,在RtAACB中,/ACB=90。,点M为边AB的中点点E在线段AM±,EF±AC于点F,连接CM,CE.
已知ZA=50°,ZACE=30°.
求证:CE=CM;
13如图点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,/B=/C.求证:AD=AE.
A
14如图,在△ABC和4ABC中,D、D分别是AB、AB上一点,与=舞.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
(2)当照=怒=熟时,判断△ABC与4ABC是否相似,并说明理由.
CUACDC
压轴预测
1.如图在△ABC中边AC,BC的垂直平分线交于三角形外一点P.若△ABP为等边三角形,则/ACB的度
数为
2.如图.在△ABC与ADCB中,AC与BD交于点E,且/A=/D,AE=DE.
(1)求证:△ABE^ADCE;
(2)当/A=9(r,AB=4,AE=3时,求BC的值.
3.如图,已知△ABC中,AB=AC点D是AC上一点,BD=BC.
(1)求证:△ABC^ABCD;
(2)若点D为AC中点,且AC=4,求BC的长.
A
4.已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE,AB,DF,BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是
等边三角形.
参考答案
1.(1)锐角直角钝角
⑵等腰三边都不相等的
2.⑴大于小于
(2)180°与它不相邻的两内角的和
3.⑴两边
(2)平行等于一半
⑶线段
4.⑴相等
(2)高中线角平分线重合三线合一
(3)等腰三角形
5.(1)60。三线合一
(2)等边三角形等边三角形等腰
6.(1)互余
⑵一半
⑶一半
(4)直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方
(5)若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形
7.⑴平行
⑵相似
(3)比例夹角相等
(4)对应成比例
8.⑴成比例相等
⑵中高相似相似相似比的平方
9.(1)对应边相等对应角相等
(2)SSSSASASAAASHL相等的边夹角对应边另一组角对应边直角三角形
(3)对应边相等对应角相等相等相等对应中线对应角平分线
10.⑴综合法(由因导果)
(2)分析法(执果索因)
(3)两头凑法
1.B【解析】本题考查三角形的高线.•••CDLAB,.•.线段CD是4ABC的AB边上的高线.故选B.
2.B【解析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定^••AC〃DF,.•./A=ND.又AC=DF若添加AE=BD,
贝!]AE+BE=BD+BE,即AB=DE,利用“SAS”可判定△ABCgZkDEF,故选B.
3.B【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.因为D,E分别为线段BC,BA的中点,所以影=篙=案=
ACDADC
我以△EBDs^ABC,所以|=偿『=J,
故选B.
4.C【解析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形
的判定与性质.•••/DAE=NCAB,;.NDAC=NEAB.又AB=AC,AD=AE,;.Z\ADC0△AEB,;.NADC=/AEB,故
选项A正确;:/CAB=36。,且AB=AC,;./ABC=72o,:BE平分/ABC,;./ABG=/CBG=NDCA=36o,;./DCA=
NCAB,;.CD〃AB,故选项B正确;DE=GE条件不足,不能判定,故选项C错误;:NCBF=NCAB=36。,且/B
CF=/ACB,MCBFs/\CAB厕BCAC=CEB,,BC=CF.AC.:AB=AC,ZCAB=36°,AZACB=72°,AZCF
B=180°-ZACB-ZCBG=72°=ZACB,.*.BC=BF,BF^CF-AC,故选项D正确,故选C.
5.A【解析】本题考查等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质.•••/ACB=90o,/A=30°,.1.ZB=60°.VE
是AB的中点,AB=4,CE=BE=^ABX4=2,.,.ABCE为等边三角形.:CD_LAB,;.DE=BD=|B£'=|x
2=1,故选A.
6.A【解析】本题考查平行线分线段成比例、三角形的面积公式、勾股定理、平行线的判定和性质.如图,过
点A作AH_LBC于H.:点D是ABAD=BD.vDEBC,:.AE=CE,DE=^BC.-:DFEBC;ADF^AH,D
F±DE,?.BF=HF,DF=|AH.•?ADFE的面积为1,,|DEDF=1,DEDF=2,?.BCAH=2DE-2DF=4x2=8,ABA
C=8.AB=CE,:.AB=AE^CE^AC,:.AB-2AB=8解得AB=2(舍负),.二AC=4,BC=y/AB2+AC2=2V5,
故选A.
7.1【解析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式.如图.过点D作DF1AC于点F.因为AD平分
NBAC,DE_LAB,所以DF=DE=L所以SACD=|x/ICXDF=|X2X1=1.
8.40°【解析】本题考查三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质.在RtAABE中,
ZB=90o,ZBAE=10o,.\ZAEB=80°.VDE是线段AC的垂直平分线,,AE=CE,ZC=ZCAE,.\ZAEB=ZCAE+Z
C=2ZC=80°,.\ZC=40°.
9.54【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理.:AF=EF,.\ZA=Z
AEF.^.^/CFE=NA+NAEF,.,.NCFE=2NA.又^.^NCFE=72°,.,.NA=36°,在RtAABC中,/C=90°,,NA+NB=90°,
ZB=90°-ZA=54°.
10.820【解析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理.:AC平分NDCB,
ZBCA=ZDCA.XCB=CD,AC=AC,AABC^△ADC(SAS),ZB=ZD.VZEAC=ZD+ZDCA=49°,.\
ZB+ZBCA=49°,.\ZBAE=180°-49°-49°=82°,,即/BAE的度数为82°.
11.略
证明::BF=EC,
;.BF+CF=EC+CF,即BC=EF.
在小ABC和4DEF中产=吃斗;乙E,
IBC=cr,
.,.△ABC^ADEF,
ZA=ZD.
12.略
根据直角三角形中线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质得/CME=/CEM,即可得证.
解:证明:因为/ACB=90。,点M为AB的中点.
所以MA=MC,
所以NMCA=NA=50。,
所以NCMA=180°-NA-/MCA=80°,
因为ACEM=N4+^ACE=50°+30°=80°,
所以/CME=/CEM,所以CE=CM.
13.略
根据已知条件,结合公共角,利用“ASA”即可判定小ACD咨AABE相对应边相等,从而证明AD=AE.
Z-A="
证明:在^ACD和^ABE中\AC=AB,
{Z.C=Z-B,
:•△ACD也△ABE.
・・・AD=AE.
«“石、COACAD人A,
;
14.('1)7-C^'-D7'=-Av'C-7'=-AF'DT'NA=
(2)相似,理由略
(1)根据比例式进行代换,得三边对应成比例,得两个三角形相似后,对应角相等,将所得三边比例式和对应角
相等填入方框内;⑵分别在两个三角形中作BC边和BC边的平行线,利用所得三角形相似得比例式,再结合比
例式进行代换,得三边对应成比例,证明△DCE-AD'C'E',再利用平行线的性质,结合等角的补角相等以及两边
对应成比例证明^ABC^AA'B'C.
ACAD..,
解:⑴怒=——r;Z-A—Z-A.
A'C'ArDr,
⑵如图过点D、D分别作DE〃BC、DE〃BC,DE交AC于点E,DE交AC于点E'.
VDE^BQAAADE^AABC.
AD_DE_AE
AB~BC~AC
日工用ArDrD'E'A'E'
同理市=丽=
又AD_A,D/.DE_D'E'.DE_BC
AB~ArBr,"BC~Wcr'''DrET~Wc,
AE_A'E'
同理
AC-A'C'
••AC~A'C1"AC一A'C'
.EC_aC
"E'C'-A'Cr
CDACBC
------^_又—------
C'D'又A'C,BrCr,
.CD_DE_EC
••C'D'-D'E'-E'C"
.".△DCE^AD'C'E',
ZCED=ZC'E'D'.
VDE/7BC,.".ZCED+ZACB=180°.
同理AC'E'D'+^A'C'B'=180°.
ZACB=ZA'C'B'.
又AC=BC,;.△ABCs△AB'C.
压轴预测
1.1500【解析】本题考查线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定
理.如图,连接PC.设/APC=x,/BPC=y.^.^△ABP是等边三角形..^.x+y=60。.^.^点P是AC,BC的垂直平分线的交点,
.•.PA=PC=PB,
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