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文档简介
重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总
dan
题型1正余弦平移问题...............................................................1
题型2识图问题......................................................................3
题型3恒等变换与平移...............................................................6
题型4已知对称轴问题...............................................................7
题型5已知对称中心问题.............................................................8
题型6周期问题......................................................................9
题型7平移与重合问题..............................................................11
题型8sinx,cosx和差积与最值......................................................12
题型1正余弦平移问题
函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(cox+(p)(A>0,co>⑺的图象的两种途径
步
骤
㈣出厂sin%的图象J*画出产sin%的图象]
向左(右)平移卬个单位长度横坐标变为原来吗倍
得到尸sinQ+卬)的图象J*得到尸sin0)%的图象1
横坐标变为原来的白倍向左(右)平移居|个单位长度
得到尸sin(6)1+(p)的图象》,得到尸sin®;+(p)的图豪
〔纵坐标变为原来的倍
纵坐标变为原来的A倍步4
得到y=4sin(W%+<p)的图象卜骤心导到y=4sin(6)1+0)的图豪j
4
注意:/.两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换L平移的量是⑼个单位长度;②先周期变换,申缩变换)
再相位变换,平移的量热(。>0)个单位长度.
co
2.变换的注意点
无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量“发生多大
变化,而不是看角"COX+(P”的变化.
【例题1】(2023秋・湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习)要得到函数f(x)=sin
(2久+以的图象,可以将函数9(X)=疝(2"+")的图象()
A.向左平移方个单位B.向左平移区单位
C.向右平移衿单位D.向右平移晟个单位
【变式1-1]1.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)把函数y=f(x)图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移衿单位长度,得到函数
y=cos(%+£)的图象,则/(吗=()
A.cos(2x—割B.cosG+患)C.cos(2x+哥D.cos^|—
【变式1-1】2.(2023•甘肃陇南•统考一模)将函数y=sin⑵+乎图像上各点的横坐标缩
短到原来的!纵坐标不变,再将图像向右平移段个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,以
下方程是函数y=/(X)图像的对称轴方程的是()
A.%=—?B.久=一等C.刀=字D.x=?
【变式1-1】3.侈选)(2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习)已知函娄好(x)
=sin(久+9)(0<(p<2n),gQ)=sin(3久+>0),若把/'(x)的图象上每个点的横坐标缩
短为原来的貂后,再将图象向右平移弥单位,可以得到g(x),则下列说法正确的是()
A.0=豕
B.g(x)的周期为TT
C.g⑶的一个单调递增区间为给,芝)
D.g(x)=T在区间(a,b)上有5个不同的解,贝必—a的取值范围为(2n,3m
【变式1-1】4.(2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习)将函数以久)=sin3x(3>0)的
图象向左平移长0<(p<n)个单位长度得到函数f0)的图象,f(0)=((久)为了(久)的导函
数,且((0)<0,若当乂€[0,田时,/⑶的取值范围为[―1,J贝必的取值范围为()
22
A.-<a)<1B.-<0)<1
C.|<D.|<w<1
【变式1-1】5.(2023・河南开封•统考模拟预测)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移段个
单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的去3>1),得到函数仪久)的图象,
若在区间[0爪)内有5个零点,贝必的取值范围是()
A23,29c23,29
A-记W3(运B,适逐
尸29,35—29,35
C—V(JI)V—D—<6t)v—
12-1212-12
题型2识图问题
、I,5^^<
f.丰•、、、
给出y=/sin(0x+°)的图象的一部分,确定/,a>,夕的方法
(1)逐一定参法:如果从图象可直接确定/和o,则选取“五点法"中的''第一零点”的数:
据代入“ox+9=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得夕或选取最值点代入公式
cwx+^9=A7r+—,左GZ,求夕.
(2)待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数/,(o,夕.这里需要注:
意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式>=/sinox,再根据图象平:
移、伸缩规律确定相关的参数.
【例题2】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=4sin(3久+乡)
(A>0,3>0,-n<⑴<—2的部分图象如图所示,把函数f(比)图象上所有点的横坐标伸长
为原来的弗告得到函数y=9(久)的图象,则下列说法正确的是()
A.g(x+或为偶函数
B.g(x)的最小正周期是n
C.g(x)的图象关于直线%=与对称
D.g⑶在区间给,TI)上单调递减
【变式2-1】1.(2023・全国•高三专题练习)函数f(x)=4sin(3久+0)+从切的图象
如图,则f(x)的解析式和S=/(0)+/(1)+/(2)+•••+f(2020)+/(2021)+/(2022)+f
(2023)的值分别为()
11
B./(x)=-sin2nx+1,S=2023-
C./(%)=|sin-y+1,S=2024|
D./(吗=星喳+1,S=2024
【变式2-1】2.(2023秋•天津滨海新•高三校考期末)函数/(%)=2sin
(3X+9)(3>0,0<W<兀)的图象如图,把函数/(x)的图象上所有的点向右平移看个单位长度,
可得到函数y=9(%)的图象,下列结论中:
①<P苫;②函数g(x)的最小正周期为兀;
③函数g(x)在区间[冶,引上单调递增;④函数g(x)关于点(-黑)中心对称
其中正确结论的个数是().
A.4B.3C.2D.1
【变式2-1】3.(2022秋・广东广州•高三广州市第十六中学校考阶段练习)如图是函数
f(x)=Asin(cox+9)(4>0,3>0,0<cp<5)的图象的一部分,则要得到该函数的图象,
只需要将函数g(x)=1-243sinxcosx-2s讥2%的图象()
A.向左平移泠单位长度B.向右平移泠单位长度
C.向左平移汾单位长度D.向右平移汾单位长度
【变式2-1】4.(多选)(2022秋・福建宁德•高三福建省福安市第一中学校考阶段练习)函
数/'(x)=V2sin(wx+9)(3>0,\(p\<]的部分图像如图所示,则下列说法中,正确的有
()
A.f(x)的最小正周期7为兀
B./(久)向左平鳄个单位后得到的新函数是偶函数
C.若方程/(%)=1在(0即)上共有6个根,则这6个根的和为等
D./⑴(x"o,到图像上的动点M到直线2x—y+4=0的距离最小时,M的横坐标为今
题型3恒等变换与平移
【例题3](2020春•四川成都•高三树德中学校考阶段练习)设函数f(x)=asinwx+bcoscox
3>0)在区间监为上单调,且跪)=/停)=—/©当久=器t,/㈤取到最大值4,若将
函数久久)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则函数y=g(x)—
口|零点的个数为()
A.4B.5C.6D.7
【变式3-1]1.(2022•全国•高三专题练习)已知把函娄好(%)=sin(%+£)cosx—争勺图象
向右平移三个单位长度,再把横坐标缩小到原来一半,纵坐标不变,得到函数。(久)的图象,
若9。1),g(%2)=;,若久1,x2G[-n,n],则%1-%2的最大值为()
A.ITB.C.yD.2n
【变式3-1】2.(多选)(2023秋・江苏扬州•高三扬州市新华中学校考期末)已知(。)是/⑶
的导函数,/(x)=asinx-bcosx{ab0),则下列结论正确的是()
A.将广⑺图象上所有的点向右平移汾单位长度可得f(x)的图象
B.f(久)与广⑶的图象关于直线"与对称
C./(%)+/(%)与/(%)—/'(%)有相同的最大值
D.当a=6时,/(%)+/Q)与/(X)—r(口都在区间(0,乡上单调递增
【变式3-1]3.(多选)(2022秋湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)已知/(久)=2
cB9+")—1,(3>0,卬«0,3),具有下面三个性质:①将/(久)的图象右移兀个单位得到
的图象与原图象重合;②VxeR,10厅卜偿)|;③/⑶在无«0噌)时存在两个零点,给
出下列判断,其中正确的是()
A./(久)在xe(o,9时单调递减
B-0+0=1
C.将f(x)的图象左移合个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若g(x)与/(久)图象关于光岩对称,则当x啸,郛寸,趴久)的值域为[—词
【变式3-1】4.(2020•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测)已知f⑶=4sinx+3cos
X,/(x)向右平移a(0<a<兀)个单位后为奇函数,贝(jtana=,若方程/(x)-根=0
在口扪上恰有两个不等的根,则m的取值范围是-
题型4已知对称轴问题
【例题4](2023•全国•高三专题练习)将函数/(X)=sin(3x+Q®>0)的图像向左平移段
个单位长度后,得到的图像关于y轴对称,且函娄好(%)在为上单调递增,则少的取值是()
A.~B.2C.-|D.1
【变式4-1]1.(2023秋•浙江绍兴•高三浙江省上虞中学校考开学考试)将函数y=2sinax
⑷>0)的图象向左平移长。<(p<TT)个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到/(%)的图
象,已知函数了(%)的一个零点是久=或且直线%=-段是y=/(x)的图象的一条对称轴,则当“
取最小值时,。的值是()
A-B红C—D—
18,18J18/18
【变式4-1】2.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)把函数/(%)=sin
(%+8)(。<0<Ti)的图象向右平移衿单位长度可以得到9(%)的图象,若9(%)为偶函数,贝口
需在黑司上的取值范围为()
A.惇,阕B.[1,V2]C.[V2,2]D.[1,2]
【变式4-1】3.(2023・全国•高三专题练习)将函数y=cos(2x+m的图像向左平移。个单
位长度后,得到的函数图像关于y轴对称,则网的最小值为
【变式4-1]4.(2023秋•山西运城・高三统考阶段练习)已知函数八久)=2sin3xcos2售-
7)-siM3久0>0),现将该函数图象向右平移令;个单位长度,得到函数g(x)的图象,且g(x)
在区间8咨)上单调递增,则3的取值范围为.
题型5已知对称中心问题
【例题5】(2023秋・湖北•高三校联考阶段练习)将函数了")=5皿尤+於85久的图像向左平
移03>0)个单位长度后,所得函数是奇函数,贝如的最小值为L
【变式5-1]1.(2023秋湖南•高三临澧县第一中学校联考开学考试)若将函数f(x)=sin
(2x+9)(0<(p<TI)的图象向右平移三个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数,则
9=.
【变式5-1]2.(2023秋•山东德州•高三德州市第一中学校考开学考试)将函数f(x)=2sin
(2久+9)(0<a<。的图像向左平移段个单位,得到偶函数9。)的图像,下列结论中:①g(x)
的图像关于点go)对称;②f(x)在[-段用上的值域为[一1,7对;③/(尤)的图像关于直线
x=誓对称;④/(x)在区间忸可上单调递减.其中正确的结论有.
【变式5-1]3.(2023・福建福州•福州三中校考模拟预测)将函数人久)=2sin(3x+隼)
(|9降?的图象向右平鳄个单位长度,得到的函数9。)的图象关于点(-巳11,0)对称,目
9(吗在区间9上单调递增,贝切=,实数m的取值范围是.
【变式5-1]4.(2021•黑龙江大庆・大庆实验中学校考模拟预测)已知8G监?号,2兀},现
将函数/'CO=COS4%-sin》的图象向右平移。个单位后得到函数g(久)的图象,若两函数g(x)
与丫=tan3x(a)>0)图象的对称中心完全相同,则满足题意的。的个数为()
A.1B.2
C.3D.4
题型6周期问题
【例题6】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期
为4,则f(x)的解析式可能为()
A.sin(")B.cos(")
C.sing%)D.cosgx)
【变式6-1】1.(多选)(2020•全国•校联考模拟预测)已知函数f(x)=sin(x+e)+cos
(2x+20),则下列结论正确的是()
A.兀是函数人久)的一个周期
B.存在依使得函数是偶函数
C.当9=?时,函数人工)在[0T上的最大值为日
D.当8=77■时,函数了(久)的图象关于点(2兀,0)中心对称
【变式6-1]2.(2023・北京•高三专题练习)函娄好(久)是定义域为R的奇函数,满足/9-久
=府+支),且当乂6[0,兀)时,人切=套曝,给出下列四个结论:
①/(兀)=0;
②兀是函数/'(X)的周期;
③函数”久)在区间(—1,1)上单调递增;
④函数g(x)=/(x)-sini(xe[-10,10])所有零点之和为3兀
其中,正确结论的序号是
【变式6-1]3.(多选)(2023秋•山东荷泽・高三校考阶段练习)已知函数人⑶=Sinnx+
cosnx”N*),下列命题正确的有()
A.%(2x)在区间[0,汨上有3个零点
B.要得到外(2%)的图象,可将函数y=«cos2久图象上的所有点向右平移段个单位长度
C.九(久)的周期为以最大值为1
D.%(久)的值域为[―2,2]
【变式6-1】4.(多选)(2022•广东中山・中山纪念中学校考模拟预测)已知函数/(久)=
卜1吗%|+卜。s^H,龙CR,则下列说法正确的有()
A./O)是周期函数,且n是它的一个周期B./(%)的图象关于直线x=2n对称
C./(久)的最大值为2D.久久)在区间(某2n)上单调递减
【变式6-1】5.(多选)(2021•全国•高三专题练习)关于函数/0)=4卜也6%+段)|+4
|cos(ix+j)|,有下述四个结论正确的有()
A.f(x)的一个周期为会B.f(x)在日印上单调递增;
(2..9(%)=4卜皿[$+4卜05:久|的值域与1:(*)相同D.f(x)的值域为[4,4立]
【变式6-116.(多选)(2022•河北唐山•统考三模)已知函数八>)=8sinx—tanx,则下
列说法正确的有()
A./(久)的周期为兀B.f(x)关于点(兀,0)对称
C.所)在(0,斗上的最大值为3疗D.y=/(x)-含在(卡学上的所有零点之和为6兀
【变式6-1】7.(2022・全国•高三专题练习)法国数学家傅里叶(JeanBaptisteJoseph
Fourier,1768—1830)证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=Asin
3X(a,3H0)之和,若某一乐声的数学表达式为f(x)=1sinx+isin3x,则关于函数/(久)有下
列四个结论:
①人吗的一个周期为2n;
②/⑴的最小值为-辛;
③f(x)图像的一个对称中心为育,0);
④/⑶在区间杳,苧)内为增函数.
其中所有正确结论的编号为()
A.①③B.①②C.②③D.①②④
题型7平移与重合问题
【例题7](2022秋・河南南阳•高三统考期中)若将函数f⑶=2sin(3久+呢,3>0的图像向
右平秩个周期后,与函数9(久)=28$(2乂+卬)的图像重合,贝W的一个可能取值为()
A.IB.-fC.-^D.
【变式7-1】1.(2020・内蒙古•校联考一模)已知函数八支)=鱼sins—鱼Coss
(3<0),若y=f(久+3的图象与y=/(久一3的图象重合,记出的最大值为30,函数
g(x)=COS30%-今的单调递增区间为
A.[—f+y.—+y](kEZ)B.[—++y](kWZ)
7TTCTCT[
C.[—§+2/c7i,—+2/CTT](kEZ)D.[—~\~2.kT[,—q+2/c7r](kEZ)
【变式7-1]2.(2023・陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)将/⑶=sin(3x+?
@>0)的图象向左平移矜单位长度后与函数g。)=COS3X的图象重合,则3的最小值为
()
A.:B.gC.D.1
【变式7-1】3.(2022秋•山西长治・高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函
数/'(X)=2sin(wx+乎)(3>0,|租|<5)的图象过点B(0,l),且在痣马上单调,同时/'(x)的图
象向左平移兀个单位之后与原来的图象重合,当町/2€(-署,-着)且中功时,/01)=f3
),则/■(久1+久2)=()
A.—V3B.—1C.1D.—2
【变式7-1】4.(2022・上海•高三专题练习)某作图软件的工作原理如下:给定be
(0,0.01),对于函数y=f(久),用直线段链接各点(皿/(哂)(—合nwQez),所得图形
作为y=/(X)的图象.因而,该软件所绘y=sin(2001x)与y=sinx的图象完全重合.若其所绘
y=85(3幻与;/=cosx的图象也重合,贝!]口不可能等于()
A.1999B,1001C.999D.101
贝!J。的取值范围是.
【变式8-1】2.已知函数/(%)=—gcos2%—a(sin%—cos%),且对于任意的%i,%2E(—8,+8),
当/丰冷时都有喏詈2<1成立,则实数a的取值范围是()
A.中B.[—争当C.[―*,当D,[-1,1]
【变式8-113.已知x6(。,初ye(。㈤,黑黑=丹,则
_TC_7T_TC7T
A.x+y=~B.x+y=~C.x+2y=-D.2x+y=~
【变式8-1]4.若函数/(久)=sin(2x—§与g(x)=cosx—sin久都在区间(a,6)(0<a<b<n)
上单调递减,贝必—a的最大值为()
A.IB.IC.5D.瑞
【变式8-1】5.设max{m,n}表示m,n中最大值,则关于函数/(%)=max
{sinx+cosx,sinx—cosx}的命题中,真命题的个数是()
①函娄好(%)的周期7=2兀
②函娄好(%)的值域为[—1,或]
③函娄好(%)是偶函数
④函娄好(%)图象与直线x=2y有3个交点
A.1B.2C.3D.4
【变式8-1]6,若函数/(久)=|cos2x+3a(sin久-COS%)+(4a-在[三,可上单调递增,
则实数a的取值范围为()
A.L,l]B.[-1C.(-8,—u[1,+8)D.[l,+oo)
【变式8-1】7.已知函数/(x)在定义域R上的导函数为f'(x),若函数y=f'(x)没有零点,
且〃⑶―201罚=2019,当g(x)=sinx—cos久——在[―别]上与f(x)在R上的单调性
相同时,则实数k的取值范围是()
A.(―8,—1]B.(—8,2]C.[—1,V2]D.[V2,+oo)
1.(2021・天津滨海新•校联考一模)将函娄好(久)=cosx的图象先向右平移|兀个单位长度,再
把所得函数图象的横坐标变为原来的巳3>0)倍,纵坐标不变,得到函数g㈤的图象,若函
数以久)在(,当上没有零点,则3的取值范围是()
A(。闾昨图B,(0,|]
C(。总印,1]D.(0,1]
2.(2023安徽•芜湖一中校联考模拟预测)已知函数f(x)=cos|x|-2|sinx],以下结论正确
的是()
A.TT是f(x)的一个周期B.函数在[0,削单调递减
C.函数f。)的值域为[—而,1]D.函数/(%)在[―2TT,2TT]内有6个零点
3.(2023・上海杨浦•复旦附中校考模拟预测)设关于%、y的表达式FQ,y)=cos2%+cos2y-
cos(xy),当x、y取遍所有实数时,F(x,y)()
A.既有最大值,也有最小值B.有最大值,无最小值
C.无最大值,有最小值D.既无最大值,也无最小值
4.(2023•广西桂林•校考模拟预测)已知函数f(x)=asinx-2板cosx的一条对称轴为
X=-f,/(%1)+/(%2)=0,且函娄好(久)在01,冷)上具有单调性,贝!1|%1+久2|的最小值为
A.B.f7D.V
35b3
5.(多选)(2023•湖南郴州校联考模拟预测)已知函娄好㈤=7^也3%+9)(3>0)的最
小
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