三角函数的图像与性质八大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总

dan

题型1正余弦平移问题...............................................................1

题型2识图问题......................................................................3

题型3恒等变换与平移...............................................................6

题型4已知对称轴问题...............................................................7

题型5已知对称中心问题.............................................................8

题型6周期问题......................................................................9

题型7平移与重合问题..............................................................11

题型8sinx,cosx和差积与最值......................................................12

题型1正余弦平移问题

函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin（cox+（p）（A>0,co>⑺的图象的两种途径

步

骤

㈣出厂sin%的图象J*画出产sin%的图象]

向左（右）平移卬个单位长度横坐标变为原来吗倍

得到尸sinQ+卬）的图象J*得到尸sin0）%的图象1

横坐标变为原来的白倍向左（右）平移居|个单位长度

得到尸sin（6）1+（p）的图象》,得到尸sin®；+（p）的图豪

〔纵坐标变为原来的倍

纵坐标变为原来的A倍步4

得到y=4sin（W%+<p）的图象卜骤心导到y=4sin（6）1+0）的图豪j

4

注意：/.两种变换的区别

①先相位变换再周期变换（伸缩变换L平移的量是⑼个单位长度；②先周期变换，申缩变换）

再相位变换，平移的量热（。>0）个单位长度.

co

2.变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量“发生多大

变化，而不是看角"COX+（P”的变化.

【例题1】（2023秋・湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数f（x）=sin

（2久+以的图象，可以将函数9（X）=疝（2"+"）的图象（）

A.向左平移方个单位B.向左平移区单位

C.向右平移衿单位D.向右平移晟个单位

【变式1-1]1.（2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试）把函数y=f（x）图象上所有点的

横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移衿单位长度，得到函数

y=cos（%+£）的图象，则/（吗=（）

A.cos（2x—割B.cosG+患）C.cos（2x+哥D.cos^|—

【变式1-1】2.（2023•甘肃陇南•统考一模）将函数y=sin⑵+乎图像上各点的横坐标缩

短到原来的！纵坐标不变，再将图像向右平移段个单位长度，得到函数y=f（x）的图像，以

下方程是函数y=/（X）图像的对称轴方程的是（）

A.%=—?B.久=一等C.刀=字D.x=?

【变式1-1】3.侈选）（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知函娄好（x）

=sin（久+9）（0<（p<2n）,gQ）=sin（3久+>0）,若把/'（x）的图象上每个点的横坐标缩

短为原来的貂后，再将图象向右平移弥单位，可以得到g（x）,则下列说法正确的是（）

A.0=豕

B.g（x）的周期为TT

C.g⑶的一个单调递增区间为给，芝）

D.g（x）=T在区间（a,b）上有5个不同的解，贝必—a的取值范围为（2n,3m

【变式1-1】4.（2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习）将函数以久）=sin3x（3>0）的

图象向左平移长0<（p<n）个单位长度得到函数f0）的图象，f（0）=（（久）为了（久）的导函

数，且（（0）<0,若当乂€[0,田时，/⑶的取值范围为[―1,J贝必的取值范围为（）

22

A.-<a）<1B.-<0）<1

C.|<D.|<w<1

【变式1-1】5.（2023・河南开封•统考模拟预测）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移段个

单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的去3>1）,得到函数仪久）的图象,

若在区间［0爪）内有5个零点，贝必的取值范围是（）

A23,29c23,29

A-记W3（运B,适逐

尸29,35—29,35

C—V（JI）V—D—<6t）v—

12-1212-12

题型2识图问题

、I，5^^<

f.丰•、、、

给出y=/sin（0x+°）的图象的一部分，确定/,a>,夕的方法

（1）逐一定参法：如果从图象可直接确定/和o,则选取“五点法"中的''第一零点”的数：

据代入“ox+9=0”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得夕或选取最值点代入公式

cwx+^9=A7r+—,左GZ,求夕.

（2）待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数/,（o,夕.这里需要注:

意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.

（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式>=/sinox,再根据图象平:

移、伸缩规律确定相关的参数.

【例题2】（2023•全国•高三专题练习）已知函数f（x）=4sin（3久+乡）

（A>0,3>0,-n<⑴<—2的部分图象如图所示，把函数f（比）图象上所有点的横坐标伸长

为原来的弗告得到函数y=9（久）的图象，则下列说法正确的是（）

A.g（x+或为偶函数

B.g(x)的最小正周期是n

C.g(x)的图象关于直线％=与对称

D.g⑶在区间给,TI)上单调递减

【变式2-1】1.(2023・全国•高三专题练习)函数f(x)=4sin(3久+0)+从切的图象

如图,则f(x)的解析式和S=/(0)+/(1)+/(2)+•••+f(2020)+/(2021)+/(2022)+f

(2023)的值分别为()

11

B./(x)=-sin2nx+1,S=2023-

C./(%)=|sin-y+1,S=2024|

D./(吗=星喳+1,S=2024

【变式2-1】2.(2023秋•天津滨海新•高三校考期末)函数/(%)=2sin

(3X+9)(3>0,0<W<兀)的图象如图,把函数/(x)的图象上所有的点向右平移看个单位长度,

可得到函数y=9(%)的图象，下列结论中：

①<P苫;②函数g(x)的最小正周期为兀；

③函数g(x)在区间［冶，引上单调递增；④函数g(x)关于点(-黑)中心对称

其中正确结论的个数是().

A.4B.3C.2D.1

【变式2-1】3.(2022秋・广东广州•高三广州市第十六中学校考阶段练习)如图是函数

f(x)=Asin(cox+9)(4>0,3>0,0<cp<5)的图象的一部分，则要得到该函数的图象,

只需要将函数g(x)=1-243sinxcosx-2s讥2%的图象()

A.向左平移泠单位长度B.向右平移泠单位长度

C.向左平移汾单位长度D.向右平移汾单位长度

【变式2-1】4.(多选)(2022秋・福建宁德•高三福建省福安市第一中学校考阶段练习)函

数/'(x)=V2sin(wx+9)(3>0,\(p\<］的部分图像如图所示，则下列说法中，正确的有

()

A.f(x)的最小正周期7为兀

B./(久)向左平鳄个单位后得到的新函数是偶函数

C.若方程/（%）=1在（0即）上共有6个根，则这6个根的和为等

D./⑴（x"o,到图像上的动点M到直线2x—y+4=0的距离最小时，M的横坐标为今

题型3恒等变换与平移

【例题3]（2020春•四川成都•高三树德中学校考阶段练习）设函数f（x）=asinwx+bcoscox

3>0）在区间监为上单调，且跪）=/停）=—/©当久=器t,/㈤取到最大值4,若将

函数久久）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g（x）的图象，则函数y=g（x）—

口|零点的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式3-1]1.（2022•全国•高三专题练习）已知把函娄好（%）=sin（%+£）cosx—争勺图象

向右平移三个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数。（久）的图象，

若9。1）,g（%2）=；，若久1，x2G[-n,n]，则%1-％2的最大值为（）

A.ITB.C.yD.2n

【变式3-1】2.（多选）（2023秋・江苏扬州•高三扬州市新华中学校考期末）已知（。）是/⑶

的导函数，/（x）=asinx-bcosx{ab0）,则下列结论正确的是（）

A.将广⑺图象上所有的点向右平移汾单位长度可得f（x）的图象

B.f（久）与广⑶的图象关于直线"与对称

C./（%）+/（%）与/（%）—/'（%）有相同的最大值

D.当a=6时，/（%）+/Q）与/（X）—r（口都在区间（0,乡上单调递增

【变式3-1]3.（多选）（2022秋湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）已知/（久）=2

cB9+"）—1,（3>0,卬«0,3）,具有下面三个性质：①将/（久）的图象右移兀个单位得到

的图象与原图象重合；②VxeR,10厅卜偿）|;③/⑶在无«0噌）时存在两个零点，给

出下列判断，其中正确的是（）

A./（久）在xe（o,9时单调递减

B-0+0=1

C.将f（x）的图象左移合个单位长度后得到的图象关于原点对称

D.若g（x）与/（久）图象关于光岩对称，则当x啸,郛寸，趴久）的值域为[—词

【变式3-1】4.（2020•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知f⑶=4sinx+3cos

X,/（x）向右平移a（0<a<兀）个单位后为奇函数，贝（jtana=,若方程/（x）-根=0

在口扪上恰有两个不等的根，则m的取值范围是-

题型4已知对称轴问题

【例题4]（2023•全国•高三专题练习）将函数/（X）=sin（3x+Q®>0）的图像向左平移段

个单位长度后,得到的图像关于y轴对称，且函娄好（%）在为上单调递增,则少的取值是（）

A.~B.2C.-|D.1

【变式4-1]1.（2023秋•浙江绍兴•高三浙江省上虞中学校考开学考试）将函数y=2sinax

⑷>0）的图象向左平移长。<（p<TT）个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到/（%）的图

象，已知函数了（%）的一个零点是久=或且直线％=-段是y=/（x）的图象的一条对称轴，则当“

取最小值时，。的值是（）

A-B红C—D—

18，18J18/18

【变式4-1】2.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）把函数/（%）=sin

（%+8）（。<0<Ti）的图象向右平移衿单位长度可以得到9（%）的图象，若9（%）为偶函数，贝口

需在黑司上的取值范围为（）

A.惇，阕B.[1,V2]C.[V2,2]D.[1,2]

【变式4-1】3.（2023・全国•高三专题练习）将函数y=cos（2x+m的图像向左平移。个单

位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则网的最小值为

【变式4-1]4.（2023秋•山西运城・高三统考阶段练习）已知函数八久）=2sin3xcos2售-

7）-siM3久0>0）,现将该函数图象向右平移令;个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）

在区间8咨）上单调递增，则3的取值范围为.

题型5已知对称中心问题

【例题5】（2023秋・湖北•高三校联考阶段练习）将函数了"）=5皿尤+於85久的图像向左平

移03>0）个单位长度后，所得函数是奇函数，贝如的最小值为L

【变式5-1]1.（2023秋湖南•高三临澧县第一中学校联考开学考试）若将函数f（x）=sin

（2x+9）（0<（p<TI）的图象向右平移三个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则

9=.

【变式5-1]2.（2023秋•山东德州•高三德州市第一中学校考开学考试）将函数f（x）=2sin

（2久+9）（0<a<。的图像向左平移段个单位，得到偶函数9。）的图像，下列结论中：①g（x）

的图像关于点go）对称；②f（x）在[-段用上的值域为[一1,7对；③/（尤）的图像关于直线

x=誓对称；④/（x）在区间忸可上单调递减.其中正确的结论有.

【变式5-1]3.（2023・福建福州•福州三中校考模拟预测）将函数人久）=2sin（3x+隼）

（|9降?的图象向右平鳄个单位长度，得到的函数9。）的图象关于点（-巳11,0）对称，目

9（吗在区间9上单调递增，贝切=，实数m的取值范围是.

【变式5-1]4.(2021•黑龙江大庆・大庆实验中学校考模拟预测)已知8G监？号,2兀｝,现

将函数/'CO=COS4%-sin》的图象向右平移。个单位后得到函数g(久)的图象，若两函数g(x)

与丫=tan3x(a)>0)图象的对称中心完全相同，则满足题意的。的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

题型6周期问题

【例题6】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期

为4,则f(x)的解析式可能为()

A.sin(")B.cos(")

C.sing%)D.cosgx)

【变式6-1】1.(多选)(2020•全国•校联考模拟预测)已知函数f(x)=sin(x+e)+cos

(2x+20),则下列结论正确的是()

A.兀是函数人久)的一个周期

B.存在依使得函数是偶函数

C.当9=?时，函数人工)在[0T上的最大值为日

D.当8=77■时，函数了（久）的图象关于点（2兀,0）中心对称

【变式6-1］2.（2023・北京•高三专题练习）函娄好（久）是定义域为R的奇函数，满足/9-久

=府+支），且当乂6［0,兀）时，人切=套曝，给出下列四个结论：

①/（兀）=0；

②兀是函数/'（X）的周期；

③函数”久）在区间（—1,1）上单调递增；

④函数g（x）=/（x）-sini（xe［-10,10］）所有零点之和为3兀

其中，正确结论的序号是

【变式6-1］3.（多选）（2023秋•山东荷泽・高三校考阶段练习）已知函数人⑶=Sinnx+

cosnx”N*）,下列命题正确的有（）

A.%（2x）在区间［0,汨上有3个零点

B.要得到外（2%）的图象，可将函数y=«cos2久图象上的所有点向右平移段个单位长度

C.九（久）的周期为以最大值为1

D.%（久）的值域为［―2,2］

【变式6-1】4.（多选）（2022•广东中山・中山纪念中学校考模拟预测）已知函数/（久）=

卜1吗%|+卜。s^H，龙CR,则下列说法正确的有（）

A./O）是周期函数，且n是它的一个周期B./（%）的图象关于直线x=2n对称

C./（久）的最大值为2D.久久）在区间（某2n）上单调递减

【变式6-1】5.（多选）（2021•全国•高三专题练习）关于函数/0）=4卜也6%+段）|+4

|cos（ix+j）|,有下述四个结论正确的有（）

A.f（x）的一个周期为会B.f（x）在日印上单调递增；

（2..9（%）=4卜皿［$+4卜05：久|的值域与1:（*）相同D.f（x）的值域为［4,4立］

【变式6-116.（多选）（2022•河北唐山•统考三模）已知函数八>）=8sinx—tanx,则下

列说法正确的有（）

A./（久）的周期为兀B.f（x）关于点（兀,0）对称

C.所）在（0,斗上的最大值为3疗D.y=/（x）-含在（卡学上的所有零点之和为6兀

【变式6-1】7.（2022・全国•高三专题练习）法国数学家傅里叶（JeanBaptisteJoseph

Fourier,1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=Asin

3X（a,3H0）之和，若某一乐声的数学表达式为f（x）=1sinx+isin3x,则关于函数/（久）有下

列四个结论：

①人吗的一个周期为2n；

②/⑴的最小值为-辛；

③f（x）图像的一个对称中心为育，0）;

④/⑶在区间杳，苧）内为增函数.

其中所有正确结论的编号为（）

A.①③B.①②C.②③D.①②④

题型7平移与重合问题

【例题7]（2022秋・河南南阳•高三统考期中）若将函数f⑶=2sin（3久+呢,3>0的图像向

右平秩个周期后，与函数9（久）=28$（2乂+卬）的图像重合，贝W的一个可能取值为（）

A.IB.-fC.-^D.

【变式7-1】1.（2020・内蒙古•校联考一模）已知函数八支）=鱼sins—鱼Coss

（3<0）,若y=f（久+3的图象与y=/（久一3的图象重合，记出的最大值为30,函数

g（x）=COS30%-今的单调递增区间为

A.[—f+y.—+y]（kEZ）B.[—++y]（kWZ）

7TTCTCT[

C.[—§+2/c7i,—+2/CTT]（kEZ）D.[—~\~2.kT[,—q+2/c7r]（kEZ）

【变式7-1]2.（2023・陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）将/⑶=sin（3x+?

@>0）的图象向左平移矜单位长度后与函数g。）=COS3X的图象重合，则3的最小值为

（）

A.：B.gC.D.1

【变式7-1】3.（2022秋•山西长治・高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函

数/'（X）=2sin（wx+乎）（3>0,|租|<5）的图象过点B（0,l）,且在痣马上单调，同时/'（x）的图

象向左平移兀个单位之后与原来的图象重合,当町/2€（-署，-着）且中功时,/01）=f3

）,则/■（久1+久2）=（）

A.—V3B.—1C.1D.—2

【变式7-1】4.（2022・上海•高三专题练习）某作图软件的工作原理如下：给定be

（0,0.01）,对于函数y=f（久），用直线段链接各点（皿/（哂）（—合nwQez）,所得图形

作为y=/（X）的图象.因而，该软件所绘y=sin（2001x）与y=sinx的图象完全重合.若其所绘

y=85（3幻与；/=cosx的图象也重合，贝！]口不可能等于（）

A.1999B,1001C.999D.101

贝!J。的取值范围是.

【变式8-1】2.已知函数/(%)=—gcos2%—a(sin%—cos%),且对于任意的％i,%2E(—8,+8),

当/丰冷时都有喏詈2<1成立，则实数a的取值范围是()

A.中B.[—争当C.[―*,当D,[-1,1]

【变式8-113.已知x6(。，初ye(。㈤，黑黑=丹，则

_TC_7T_TC7T

A.x+y=~B.x+y=~C.x+2y=-D.2x+y=~

【变式8-1]4.若函数/(久)=sin(2x—§与g(x)=cosx—sin久都在区间(a,6)(0<a<b<n)

上单调递减，贝必—a的最大值为()

A.IB.IC.5D.瑞

【变式8-1】5.设max{m,n}表示m,n中最大值，则关于函数/(%)=max

{sinx+cosx,sinx—cosx}的命题中，真命题的个数是()

①函娄好(%)的周期7=2兀

②函娄好(%)的值域为[—1,或]

③函娄好(%)是偶函数

④函娄好(%)图象与直线x=2y有3个交点

A.1B.2C.3D.4

【变式8-1]6,若函数/(久)=|cos2x+3a(sin久-COS%)+(4a-在[三,可上单调递增，

则实数a的取值范围为()

A.L,l]B.[-1C.(-8,—u[1,+8)D.[l,+oo)

【变式8-1】7.已知函数/(x)在定义域R上的导函数为f'(x),若函数y=f'(x)没有零点，

且〃⑶―201罚=2019,当g(x)=sinx—cos久——在[―别]上与f(x)在R上的单调性

相同时，则实数k的取值范围是()

A.(―8,—1]B.(—8,2]C.[—1,V2]D.[V2,+oo)

1.（2021・天津滨海新•校联考一模）将函娄好（久）=cosx的图象先向右平移|兀个单位长度，再

把所得函数图象的横坐标变为原来的巳3>0）倍，纵坐标不变，得到函数g㈤的图象，若函

数以久）在（,当上没有零点，则3的取值范围是（）

A（。闾昨图B,（0,|]

C（。总印,1]D.（0,1]

2.（2023安徽•芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f（x）=cos|x|-2|sinx],以下结论正确

的是（）

A.TT是f（x）的一个周期B.函数在[0,削单调递减

C.函数f。）的值域为[—而,1]D.函数/（%）在[―2TT,2TT]内有6个零点

3.（2023・上海杨浦•复旦附中校考模拟预测）设关于%、y的表达式FQ,y）=cos2%+cos2y-

cos（xy）,当x、y取遍所有实数时，F（x,y）（）

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

4.（2023•广西桂林•校考模拟预测）已知函数f（x）=asinx-2板cosx的一条对称轴为

X=-f,/（%1）+/（%2）=0,且函娄好（久）在01，冷）上具有单调性，贝!1|%1+久2|的最小值为

A.B.f7D.V

35b3

5.（多选）（2023•湖南郴州校联考模拟预测）已知函娄好㈤=7^也3%+9）（3>0）的最

小