人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）

第十二章全等三角形（单元重点综合测试）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）

0

A（J）®"O

C.0°D,6<今

2.如图，点P是/A08平分线OC上一点，PD1OB,垂足为点。，若尸£>=2,则点尸到边0A

的距离是（）

A

。一

uDR

A.1B.2C.1.5D.4

3.如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3）,小华带第3块碎片去玻璃店，

购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（)

A.SSSB.ASAC.AASD.；SAS

4.如图，点。在AABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC.若ZBOC=120。，则2A的度

数是（）

A

A.30°B.45°C.60°D.70°

5.如图，已知ZABC=/OCB.添加一个条件后，不能证明△ABC四△DCB的是（)

AD

A.ZABD=ZDCAB.ZA=ZD

C.AB=DCD.AC=DB

6.如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则N1与N2的和为（)

B.70°C.80°D.90°

7.如图，已知△ABC丝△。所（点A、3、C的对应点分别为点。、E、尸），若ZA=25。，4=35。,

则NF的度数是（）

A.120°B.115°C.110°D.100°

8.如图，三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内

修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A.三角形三个内角的角平分线的交点

B.三角形三条边的垂直平分线的交点

C.三角形三条高的交点

D.三角形三条中线的交点

9.如图，AC平分—A4D,ZB+ZD=180°,CE上AB于点E,AD=6cm,AB=10cm,则BE的

长度为（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

10.如图，已知NABC、/£AC的角平分线3尸、AP相交于点尸，PMLBE,PNLBF,垂足分

别为M、N.现有四个结论：

①CP平分ZAC5；®ZBPC=^ZBAC；（3）ZAPC=90°-1ZABC；APM+SCPiV>SAAPC.

其中结论正确的是（填写结论的编号）（）

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，四边形ABCD四四边形A'3'C'D',若？390?,ZC=6O°,ZZ7=105。，则ZA，='

12.如图，要测量河两岸相对的两点A8的距离，先在A8的垂线砥上取两点C,D,使CD=BC,

再确定出所的垂线DE,使得点AC,E在同一条直线上，测得ED=30米，因此，的长是

米.

E

13.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线。8,且与射线04交于点C,另

一把直尺压住射线以并且与第一把直尺交于点P,连接。P,已知/PC®=40。，则ZACP的度

数是.

A.

P

OB

14.如图，在"IBC中，CO是AB边上的高线，,ABC的平分线交CO于E,当3c=4,。虑的

面积为2时，DE的长为

15.如图，8为AABC的中线，点E在。C的延长线上，连接8E,且BE=AC,过点3作5HLCD

于点“，连接A//,若CE=BH,SAAB”=18,则DH的长为.

AC=3D=6cm,点P在线段上以lcm/s的速度由点A向点3

运动，同时，点Q在线段3D上以xcm/s的速度由点B向点。运动.它们运动的时间为Ms）.当

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

17.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,A。是，C43的平分线，过点。作若山M=15,

CD=3.求AB的长.

A

18.如图，△库和ADCF的顶点C,E,E3在同一直线上，点A,点。在BC两侧，已知AB〃CD,

AE=DF,ZA=ZD.与ADCF全等吗？说明理由.

19.如图，已知AABC公△£>£»,点E在A3边上，OE与AC相交于点尸.

⑴若AE=2,BC=3,求线段DE的长；

(2)若/D=35。，ZC=50°,求ZAQ的度数.

20.如图是4x4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

\A\

L-十一十一十-…

IIIII

IIIII

IIII

|-----------------1----------------1--------------I-----------4

IIII

|IIII

|IIII

\-C-.\---\--，\-B-」

图2

⑴在图1中过点C作一条线段，使点C到A3所在直线的距离最短;

⑵在图2中过点C作一条直线，，使点A,3到直线/的距离相等.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21.如图，AABC的外角ZDAC的平分线交边的垂直平分线于P点，PZ〃钻于D,PELAC

于E,连接旅，CP.

⑴求证：BD=CE；

⑵若AB=4cm,AC=10cm,求AD的长.

22.在AABC中，ZACB=90。，AC=23C=2a,点。是AC边上一点，。尸〃3c交AB于点RAEYAB

交直线。尸于点E.

(2)如图2,若CM,短于点M,当点。运动到某一位置时恰有AF=a,则CM与DE有何数量

关系，并说明理由.

Ap

⑶连接CV,当ZACF=45。时，求隹的值.

23.如图，443C中，点。在边BC延长线上，ZACB=100°,NABC的平分线交AO于点E,过

点E作EHLBD,垂足为H,且NCE"=50。.

⑴求/ACE的度数；

(2)求证：AE平分/。4尸；

⑶求ZA£B的度数；

(4)若AC+CD=14,钻=8.5,且工皿=21,求△樨的面积.

五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

24.(1)问题发现：如图1,射线AE在/肠W的内部，点3、C分别在/M4N的边AM、AN

上，且AB=AC,若NBAC=NBFE=NCDE=90°,求证：AABF^CAD；

(2)类比探究：如图2,AB^AC,且ZBAC=NBFE=NCDE.(1)中的结论是否仍然成立，

请说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,在AASC中，AB^AC,点E在BC边上，CE=2BE,点、D、

R在线段AE上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若4BC的面积为15,DE=2AD,求△BEF与ACDE的

面积之比.

CNCN

图1图2图3

25.【发现问题】(1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1,在AABC中，筋=6,

AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长AD到E,使得DE=AD;

②连接防，通过三角形全等把48、AC、2">转化在AABE中；

③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范

围是.

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，

把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(2)如图2,AD是AABC的中线，AE是△ADC的中线，S.AC=DC,ZCAD=ZCDA,下列四

个选项中：直接写出所有正确选项的序号是.

@ZCAE=ZDAE®AB^2AE③NDAE=/DAB®AE=AD

【问题拓展】

(3)如图3,OA=OB,OC=OD,NA03与NCOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，求

证：OE=；BD.

(4)如图4,在(3)的条件下，若ZAO3=90。，延长E。交于点忆OF=2,OE=4,则AAOC

的面积是.

第十二章全等三角形（单元重点综合测试）

答案全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）

【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案.

【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意;

B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；

D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题.

2.如图，点P是/493平分线OC上一点，PDLOB,垂足为点D,若PD=2,则点尸到边OA

的距离是（）

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质直接可得.

【详解】解：如图，过点P作垂足为点G,

A

C

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG=PD=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题

的关键.

3.如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3）,小华带第3块碎片去玻璃店，

购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（）

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

【答案】B

【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带

它们去,

只有第3块有完整的两角及夹边，符合ASA,满足题目要求的条件，是符合题意的，

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判

定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS,SAS、HL.

4.如图，点。在AASC内，且到三边的距离相等，连接OBOC.若4OC=120。，则NA的度

数是（）

【答案】C

【分析】由点。在AABC内，且到三边的距离相等，可知。是角平分线的交点，则=

ZOCB=^ZACB,由NO8C+NOCB+NBOC=180。，可得ZABC+ZACS=120。，根据

ZA+ZABC+ZACB=1SO0,计算求解即可.

【详解】解：•••点。在AASC内，且到三边的距离相等，

•••。是角平分线的交点，

/.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZOBC+Z.OCB+ZBOC=180°,

/.-ZABC+-ZACB+120°=180°,即ZABC+ZACB=120°,

22

'：ZA+ZABC+ZACB=18Q°,

：.ZA=60°,

故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理.解题的关键在于明确角度之

间的数量关系.

5.如图，已知ZABC=/OCB.添加一个条件后，不能证明△ABC/△DCB的是()

A.ZABD=ZDCAB.ZA=ZD

C.AB=DCD.AC=DB

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可.

【详解】解：A、•:ZABC=NDCB,ZABD=ZDCA,

：.ZABC-ZABD=ZDCB-ZDCA,即ZACB=Z.DBC,

在AABC和ADCB中，

ZABC=ZDCB

<BC=BC,

ZACB=ZDBC

：.△ABCEDCB(ASA),故A不符合题意;

B、在AABC和△£»中，

NABC=ZDCB

<NA=ND,

BC=BC

：.AABC均DCB(AAS),故B不符合题意；

C、在AABC和△DCB中，

AB=DC

<ZABC=ZDCB,

BC=BC

：.△ABCdDCB（SAS）,故C不符合题意;

D、在AABC和中，ZABC=/DCB,AC=DB,BC=BC,SSA不能得出△ABC四△OCB,

故D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有：

SSS,SAS,ASA,AAS,HL.

6.如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则N1与N2的和为（）

A.45°B,70°C.80°D.90°

【答案】D

【分析】由全等三角形的判定与性质即可求解.

【详解】解：设正方形的边长为L如图所示：

:.NBAD=ZAEC=N1

ZBAD+Z2=90°

.-.Zl+Z2=90o

故选：D

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.掌握相关几何结论是解题关键.

7.如图，已知△ABC丝△。所（点A、3、C的对应点分别为点。、E、尸），若ZA=25。，4=35。,

则Nb的度数是（）

A.120°B.115°C.110°D.100°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和求出/ACB的度数，再利用全等三角形的性质得到/歹的度数.

【详解】解：：ZA=25。，ZB=35°,

：.ZACB=180。—ZA-=120°,

4ABC%八DEF

ZF=ZACB=120°

故选：A.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理，熟练掌握全等三角形的对应

角相等是解题的关键.

8.如图，三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内

修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）

A.三角形三个内角的角平分线的交点B.三角形三条边的垂直平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

【答案】A

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的

关键.

9.如图，AC平分—54。，ZB+ZD=180°,CE人A5于点E,4)=6cm,yW=10cm,则BE的

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】D

【分析】过C作C尸，AD交相)延长线与R先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性

质，证明RGAFC丝RQAEC和RtACFZ运RtKEB得到AF=AE,DF=BE,进而可求解.

【详解】解：过C作交AD延长线与E

平分44D,CF±AD,CE1AB,

：.ZFAC=ZEAC,ZF=ZCEB=ZCEA=90°,

ZFAC=ZEAC

在RtAAFC和RtAAEC中，＜NF=NCEA,

AC=AC

：.RSAFC丝RQAEC（A4S）,

AF^AE；

'：ZB+ZADC=1S0a,ZCDF+ZADC=180°,

/.ZCDF=ZB,

在RIACFD和RtACEB中，

NF=NCEB

<ZCDF=ZB,

CF=CE

:

RtAC/D^RtACE'B（AAS）,

/.DF=BE,

"：AD+DF=AB-BE,AD=6cm,AB=10cm,

：.6+BE^10-BE,则3E=2cm,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形

的判定与性质是解答的关键.

10.如图，已知/ABC、/E4C的角平分线BP、AP相交于点P,PM±BE,PNLBF,垂足分

别为M、N.现有四个结论：

①CP平分ZAC5；

②NBPC=；NBAC；

(3)ZAPC=90°-1ZABC；

④S^APM+$dCPN>S&APC.

其中结论正确的是(填写结论的编号)()

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

【答案】A

【分析】作PDLAC于点。，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据

角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出

>

ZMPZV=180°-ZABC,再证明Rt“!MP/RtAADP(HL),RtAC£>P^RtACA7(HL),得至I」=,

ZCPD=^ZNPD,即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论.

【详解】解：①作PDLAC于点D,

E

•・.的平分/ABC，PMA.BE,PN-LBF9

:.PM=PN

平分/E4C,PMA.BE,PD1AC

:.PM=PD,

：.PN=PD,

•••点月在ZAb的角平分线上，

.•.C尸平分/ACF,①结论正确；

②•・•族平分/ABC,CP平分ZAC尸，

.\ZABC=2ZPBC9ZACF=2/PCF,

ZACF=ZABC+ZBAC,ZPCF=ZPBC+ZBPC,

/.ZABC+ZBAC=2(/PBC+/BPC),

2ZPBC+ZBAC=2ZPBC+2ZBPC,

:.ZBAC=2ZBPC,

:.ZBPC=^ZBAC9②结论正确；

®yPM.LAB,PN1BC,

:.ZAMP=ZCNP=90°,

•.­ZABC+ZCNP-^ZMPN+ZAMP=360°,

ZMPN=360°-90°-90°-ZABC=180°-ZABC,

・・•PM=PN=PD,

在RtAAMP和RUADP中，

[AP=AP

[PM=PD9

AMP^RtAAZ)P(HL),

同理可证，RMCDPgRtKNP(HL),

/.ZAPD=ZAPM=-ZMPD,ZCPD=ZCPN=-ZNPD,

22

ZAPC=ZAPD+ZCPD=1(ZMPD+ZNPD)=|ZMPN=1(1800-ZABC)=90°-1ZABC,故③结论正确；

④RSAAffZRtAADP,RtACD叫RtAOVP

-Q—vq=q

…°AAMP-9"&CDP-°ACNP，

•*,S4AMp+SqCNP=S^ADP+S4CDP=S&APC,故④结论不正确；

综上所述，正确的结论是①②③，

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和,

全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.如图，四边形ABCD四四边形A'3'C'D',若？390?,NC=60。，ZZ>=105。，则NA，=°,

【答案】105

【分析】根据全等图形的性质，ZD=NU,再根据四边形的内角和为360。得到/A,进而求解

即可.

【详解】解：：四边形MCD四四边形AECD,

ZA=ZA',ND=/D',

*.*ZDf=105°,

/./。=105。，

VZB=90°,/C=60。，

=360°-1.5°-90°-60°=105°,

，/A'=105。，

故答案为：105.

【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键.

12.如图，要测量河两岸相对的两点A8的距离，先在A8的垂线砥上取两点C,。，使CD=3C,

再确定出所的垂线DE,使得点AC,E在同一条直线上，测得功>=30米，因此，48的长是

_________米.

【答案】30

【分析】由8尸，可得ZABC=NCDE=90。，利用ASA可以证出△ABC丝△即C,再

根据全等三角形，对应边相等可得到AB=D£.

【详解】解：VBF^AB,DE^BD,

：.ZABC=NCDE=90°,

在AABC和AEQC中

ZABC=ZEDC^90°

<CB=CD,

ZACB=ZECD

/.AABC^AEDC(ASA),

/.AB=DE,

'：E£）=30米，

/.E£）=30米，

故答案为：30.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、

ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题

的关键.

13.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线。3,且与射线04交于点C,另

一把直尺压住射线以并且与第一把直尺交于点P,连接。P,已知/PC®=40。，则ZACP的度

数是.

【答案】80。/80度

【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分203，又/POB=40。,进而可得/A05

的度数.再由长方形直尺可得CP〃3，利用平行线的性质可求解.

【详解】解：由题意，得。尸平分/A03,

/.ZAOB=2NPOB=2x40°=80°,

由长方形直尺可知：CP//OB,

：.ZACP=ZAOB=SO°,

故答案为：80°.

【点睛】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定

理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上.

14.如图，在AABC中，CD是边上的高线，,ABC的平分线交于E,当3c=4,ABCE的

面积为2时，DE的长为

【分析】过E作跖工于R根据角平分线性质得到DE=£F,根据三角形面积公式求出即

可.

【详解】解：过点E作防工3c于点R如图所示.

:郎平分/ABC,且£D_LA5,

DE=EF.

•••S^BCE=^BCEF,

即2=gx4.EF,

/.EF=\,

DE=1.

故答案为：L

【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出OE=£F是解此题的关键,

注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等.

15.如图，8为AABC的中线，点E在。C的延长线上，连接8E,且BE=AC,过点B作皿，CD

于点连接若CE=BH,S^ABH=18,则DH的长为.

【分析】过点A作4^及于点歹，证明AAPF%瓦汨(AAS),RtACAF^RtAEBW(HL),得出

BH=HD+DF=2DH,再由8为AMC的中线及3H，CD,根据S.由的面积列出关于“£＞的方程,

求解即可.

【详解】解：如图，过点A作AFLEF于点下

•.•CD为44BC的中线，BH±CD

;.AD=BD,ZAFD=ZBHD=90°

又・.ZADF二ZBDH

..△AO/也△BOH(AAS)

；.AF=BH,FD=HD

在RtACAF和RtAEBH中

(AF=BH

\AC=BE

...RtAC4F^RtA^BH(HL)

:.EH=CF

:.EH-CH=CF-CH,BPEC=HF

-,BH=EC,EC=HF=HD+DF,HD=DF

:.BH=HD+DF=2DH

・・・C£)为AABC的中线，BHLCD

X

SABHD=5LABH="18=9

又・

/、s^DRrlHUn=L2HDHB=L2HDx2HD

-HDx2HD=9

2

解得：HD=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的

面积公式，属于中档题.

16.如图，AB=8cm,ZA=NB,AC=即=6cm，点尸在线段AB上以lcm/s的速度由点A向点8

运动，同时，点。在线段8D上以xcm/s的速度由点B向点。运动.它们运动的时间为1s).当

△ACP与V8PQ全等时，x的值为.

【分析】由题意知当△ACP与VBPQ全等，分"CP丝AB尸。和△APC0ABPQ两种情况，根据

全等的性质列方程求解即可.

【详解】解：由题意知，AP^t,BP=8-t,BQ=xt,

△ACP与V8PQ全等，ZA=ZB,

・••分两种情况求解：

①当/\ACP=ABPQ时，AP=BQ,即f=w,解得x=1；

3

②当△APC-BPQ时，AP=BP,即"8-/,解得f=2,AC^BQ,即6=H,解得xg

综上所述，x的值是1或1

故答案为：1或I".

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用.解题的关键在于分情况求解.

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

17.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,AD是/C钻的平分线，过点。作DE2钻，若以勖=15,

CD=3.求AB的长.

【答案】AB=10

【分析】根据角平分线的性质定理，得小=3,再由三角形面积公式可得结论.

【详解】解：是/。8的平分线，NC=90。，DEJ.AB,

：.DE=CD=3.

又S«AB£）=15,

13

:.-ABDE=-AB=\5,

22

/.AB^IO.

【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式的应用.熟练掌握角平分线的性质定

理是解答本题的关键.

18.如图，△口£和ADCF的顶点C,E,F,B在同一直线上,点A,点。在BC两侧，已知钻〃CD,

AE=DF,ZA=ZD.AABE与△DCP全等吗？说明理由.

【答案】4ABEmADCF.理由见解析

【分析】根据AB〃CD,得到々=NC,再根据AAS证明△ABE/ADCF.

【详解】证明：

:.NB=NC,

在AABE和△■DCf'中,

ZB=ZC

ZA=ZD,

AE=DF

AABE^ADCF(AAS).

【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.

19.如图，已知AABC丝ADEB,点E在AB边上，DE与AC相交于点尸.

⑴若AE=2,BC=3,求线段OE的长；

(2)若/。=35。，ZC=50°,求ZAJ力的度数.

【答案】(1)5

(2)120°

【分析】(1)由得至U3E=3C=3,DE=AB,而AB=AE+3E,即可得至lj£>E=5；

(2)由AABC丝SEB,得到N/=NO=35。，ZDBE=ZC=50°,由三角形外角的性质得到

ZAFD=ZA+ZD+ZEBD=35o+350+50o=120。.

【详解】(1)解：•・•△MCZZXQEB,

.".BE=BC=3,DE—AB9

•・・AB=AE+BE=2+3=5,

..DE=5；

(2)解：yAABC^ADEB,

：.ZA=ZD=35°,ZDBE=/C=50。，

\-ZAFD=ZA+ZAEF,ZAEF=ZD+ZEBD9

ZA/D=ZA+ZD+ZEBD=35。+35。+50。=120。.

【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的

对应角相等，对应边相等.

20.如图是4x4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

\A\

-f—<

II

II

II

-1---------------1-

II

II

II

II

图1图2

⑴在图1中过点C作一条线段，使点C到A3所在直线的距离最短;

⑵在图2中过点C作一条直线/,使点A,3到直线/的距离相等.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）如图1,取格点E,作直线CE,作直线CE,交线段A2于点。，则线段。即为

所求做的线段；

（2）如图2,取线段AB中点。，做直线CO,则直线CO即为所求做的直线/即为所求做的直

线.

【详解】（1）解：如图1,取格点E,作直线CE,交线段于点。，则线段8即为所求做

的线段；

图1

证明：在和ACM中,

AF=CB=2

<ZAFB=ZCBE=90°,

FB=BE

：.VAFBKCBE,

/.ZBAF=ZECB,

ZAFB=90°,

：.ZBAF+ZABF^90°,

：.ZECB+ZABF=90°,

：.NCDB=90。,

即点C到AB所在直线的距离最短；

(2)解：如图2,直线/即为所求做的直线;

证明：过点A作AM，/,过点3作的V，/,垂足分别为M,N,

：.ZAMO=NBNO=90。,

由题意得，点。为线段中点，

/.OA=OB,

在AAMO和ABNO中，

ZAMO=ZBNO

<ZAOM=ZBON,

OA=OB

AAMgABNO,

：.AM=BN,

即点A,5到直线/的距离相等.

【点睛】本题考查了“垂线段最短”，点的直线的距离，全等三角形的性质与判定等知识，熟

知相关知识，并结合格点三角形的知识灵活应用是解题关键.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

21.如图，AABC的外角/R4C的平分线交BC边的垂直平分线于P点，钻于D,PELAC

于E,连接旅，CP.

DiP

1

Qc

⑴求证：BD=CE；

⑵若AB=4cm,AC=10cm,求AD的长.

【答案】(1)见解析

(2)6cm

【分析】(1)连接收、CP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得3尸=CP,

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=石尸，然后利用“小，”证明Rt力。尸和Rt^CEP

全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

(2)禾U用“HL”证明Rt~4DP和Rt△用全等，根据全等三角形对应边相等可得=AE,再根

据AB、AC的长度表示出AD、CE,然后解方程即可.

【详解】(1)证明：•・•点P在BC的垂直平分线上，

:.BP=CP,

•.•AP是/ZMC的平分线，

\DP=EP,

在RL5Q夕和RaCEP中,

[BP=CP

\DP=EP"

Rtz^DP^RtJCEP(HL),

:.BD=CE；

(2)解：在RSADP和RtA4£P中，

[AP=AP

[DP=EP'

RtAADP^RtAAEP(HL),

AD=AE9

AB=4cm9AC=10cm,

:A+AD=10-AE,

即4+AD=W-AD,

解得AD=6cm.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到

两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角

形是解题的关键.

22.在AABC中，ZACB=90。，AC=23C=2a,点。是AC边上一点，。尸〃3C交A8于点R,AE±AB

交直线D尸于点E.

图1备用图

(1)如图1,当。为AC的中点时，证明：AADE经也CA.

(2)如图2,若于点当点。运动到某一位置时恰有则CN与DE有何数量

关系，并说明理由.

(3)连接CP,当ZACF=45。时，求隹的值.

Dr

【答案】(1)见解析

Q)CM=DE,理由见解析

(3)2

【分析】(1)由题意可知4=ZACB=/EDA=90°,AD=BC=a,利用ASA即可证明

结论；

(2)先证明"BC四△EE4(ASA),再证明△E4Z闿4M(AAS),即可得OW=DE；

S-ACDF-AFh

(3)过点/作可证△DCF丝△HCF,易得DF=HF,由孑叫-------=j-----

'△BCF-BCHF-BFh

22

即可求解.

【详解】(1)证明：•.•ZAC8=90。，AE±AB,

：.ZB+ABAC=90°,ZEAC+ZBAC=Z.BAE=90°,

ZB=ZEAC,

"：DF//BC,

ZADF=ZACB=90°,贝!JZACB=N£ZM=90。，

•・•。为AC的中点时，AC=2BC=2a9

/•AC=2AD,则AD=BC=a,

在VADE与V5c4中，

ZEAC=ZB

<AD=BC,

ZEDA=ZACB

：.ZW)E^Z\BC4(ASA)；

(2)解：CM=DE,理由如下：

由(1)可知ZACB=NB4E=NEZM=90o,

DF//BC,

ZB=ZAFE9

VAC=2BC=2a9AF=a,

/•BC=AF=a,

：.△ABCHEFA(ASA),

.**AE=AC,

CM1AE,

：.ZEAD=ZCMA=90°,

又,:ZEAD=ZCAM9

：.AEAD^ACAM(AAS),

：.CM=DE；

(3)过点/作贝(JNWC=NFDC=9O。,

/.ZBCF=ZACF=45°,

XVCF=CF,

ADCF^/\HCF,

：.DF=HF,

q-ACDF-AF-h

又••JAADF_2_2

,△BCF-BCHF-BFh

22

.AF_AC_2。_2

【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键.

23.如图，443C中，点。在边8C延长线上，ZACB=100°,/ASC的平分线交AD于点E,过

点E作EHLBD,垂足为H,且NCEH=50。.

⑴求/ACE的度数；

(2)求证：AE平分NC4F；

⑶求ZAEB的度数；

(4)若AC+CD=14,AB=8.5,且山„)=21,求△樨的面积.

【答案】(1)40。

(2)见解析

(3)50°

,八51

⑷了

【分析】(1)由平角的定义可求解-ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解NES=40。,

进而可求解；

(2)过E点分别作斯于〃，ENLAC与N,根据角平分线的性质可证得EM=EN,进

而可证明结论；

(3)设=分别表示出za4c=80。-2了，ZCAE=x+50°,求出/区短=130。-了，再利用三角形

内角和定理计算；

(4)利用三角形的面积公式可求得EN的长，再利用三角形的面积公式计算可求解.

【详解】(1)解：•.•ZACB=100。，

/.ZACD=180°-100°=80°,

QEH工BD,

ZCHE=90°,

•・・NCEH=50。,

ZECH=90°-50°=40°,

/.ZACE=80°-40°=40°；

(2)证明：过£点分别作石MLB尸于EN1AC与N,

・・・3£平分/ABC,

EM=EH,

\-ZACE=ZECH=40°,

.・.CE平分NACD,

:.EN=EH,

:.EM=EN,

.•.AE平分NC4F；

(3)设ZA3£=x,•・•跖平分/ABC,

ZABC=2ZABE=2x,

ZACH=ZACE^-ZECD=SO0,

ZBAC=ZACD-ZABC=S0°-2x,

*/ZCAF=ZABC+ZACB=2x+100°,平分NC4方，

ZCAE=-ZCAF=x+50°,

2

ZBAE=ZBAC^ZCAE=80°-2x+x^-5(r=130o-x,

/.ZAEB=180°-ZBAE-ZABE=180°-(130°-x)-x=50°.

(4)VAC+CD=14,SAACD=21,EM=EN=EH,

•••SAACLSAACE+SACED=^AC-EN+^CDEH=^(AC+CD)-EM=21,

即|xl4-£M=21,

解得EM=3,

•.♦AB=8.5,

•■•^£=|AB-£M=1x8.5x3=^.

【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握

角平分线的判定与性质是解题的关键.

五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

24.(1)问题发现：如图1,射线AE在/版W的内部，点3、C分别在NWN的边417、AN

上，且AB=AC,若NBAC=NBFE=NCDE=90°,求证：^ABF^CAD；

(2)类比探究：如图2,AB^AC,且ZBAC=NBFE=NCDE.(1)中的结论是否仍然成立，

请说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,在AABC中，AB^AC,AB>BC.点E在BC边上，CE=2BE,点、D、

R在线段A£上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若zsABC的面积为15,DE=2AD,求△BEF与ACDE的

面积之比.

【答案】(1)证明见详解；(2)成立，证明见详解；(3)1:4

［分析］(1)根据ABAC=ZBFE=ZCDE=90°即可得至UNBAF+Z.CAF=90°,ZDCA+Z.CAF=90°,

从而得到NBAF=ZDC4,即可得到证明；

(2)根据Zfi4c=N3FE=NCDE得至UN5AF+/G4F=Zr)C4+NG4F,即可得至ljZBAF=ZDC4,

即可得到证明；

(3)根据AABC的面积为15,CE=2BE,即可得至5A£C=10,结合£>E=2AD可得

%仞0=不，S.ac=7,根据AB=AC,㈤。=4庄=/86得至曙48尸24。^，即可得至13△助一

即可得到答案；

【详解】(1)证明：•；ZBAC=NBFE=NCDE=90。,

：.ZBFA=ZCDA=90°,NB4F+NC4F=90。，ZDC4+ZC4F=90°,

ZBAF=ZDCA,

在△回齐与△CW中，

ZBFA=ZCDA

\・{ZBAF=ZDCA,

AB=AC

：.△ABF^ACAT)(AAS)；

(2)解：成立，理由如下，

・.•ZBAC=ZBFE=ZCDE,

：.ZBAF+ACAF=ADCA+ACAF,ZBFA=ZCDA,

：.ZBAF=ZDCA,

在AABF与AC4D中，

ZBFA=ZCDA

・.・(ZBAF=ZDCA,

AB=AC

：.AABF^ACADCAAS)；

(3)解：AABC的面积为15,CE=2BE,

••S^ABE=5,S^AEC=10,

DE=2AD9

•S-12520

••0/\ADC~c，°AEDC

*.•ZBAC=NBFE=/CDE,

：.ZBAF+ZCAF=ZDCA+ZCAF9ZBFA=ZCDA,

：.ZBAF=ZDCA,

在/与中，

ZBFA=ZCDA

\・\ZBAF=ZDCA,

AB=AC

△ABF^ACAZ