辽宁省辽阳市2024-2025学年高二年级上册1月期末考试数学试卷（解析版）

高二考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出

发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（）

A.5种B.6种C.8种D.9种

【答案】B

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理得到答案

【详解】小青从北京到山东有3种乘坐方式，从山东到辽宁有2种乘坐方式，

所以共有3x2=6种.

故选：B

22

2.若双曲线C：1r—==1（。〉0）〉0）满足。—46=0,则。的渐近线方程为（）

A.y=±gxB.y=C.y=+2xD.y=±4x

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线渐近线的性质直接可得解.

22

【详解】由双曲线C:%—4=1（。〉0,6〉0）的渐近线方程为y=±$,

由。-46=0,得2=4,

则C的渐近线方程为y=±4x,

第1页/共19页

故选：D.

3.下表是离散型随机变量J的概率分布，则产房22）=（)

41234

aaj_工

P~2

2486

23

D.—

24

【答案】B

【解析】

【分析】根据分布列的性质可得a=2,根据对立事件运算求解.

【详解】由题意可得：—+-+-+-=1,解得a=2,

24826

211

所以「（箕2）=1-/它=1）=1-五=丘.

故选：B.

4.已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为

85%,辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（）

A.0.86B.0.87C.0.88D.0.89

【答案】B

【解析】

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为60%x85%+40%x90%=87%=0.87.

故选：B

5.已知/(2,0),5(-1,1),动点X(xj)满足6|的|=拒/码，记动点H的轨迹为曲线C,则曲线C

的方程为()

A.x~+y~+16x—4y+8=0B.x~+y~—8x+4y+8=0

C.+y"-16x+4y+8=0D.+y~+16x—4y—8=0

【答案】C

【解析】

第2页/共19页

【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可.

【详解】因为百=即3|附『=2]〃可2,

则3(x-2)2+V2=2(x+l)2+(y-l)2,整理可得/+/一i6x+4y+8=0.

故选：C.

6.元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承

担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种

数为()

A.1280B.300C.1880D.1560

【答案】D

【解析】

【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解.

【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1,1,1,3或1,1,2,2.

当各组人数为1,1,1,3时，共有63xA：=480种安排方法;

故不同安排方法有480+1080=1560种.

故选：D.

22

7.已知A,8分别为椭圆C：二+4l(a〉b〉0)的左、右顶点，。为C的上顶点，O为坐标原点，E

a2b2

为C上一点，且位于第二象限，直线ZE,3E分别与V轴交于点a,G.若。为线段OH的中点，G为

线段OD的中点，则点E到x轴的距离为()

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行关系，列出线段的比例关系式，即可求解.

AF\

【详解】过点E作所，x轴，垂足为E.由题意可得

\BF'\OH\~AO\

第3页/共19页

-b\EF\a-\OF\^两式相乘，化简得因=3

即2=a=

\EF\~a+\0F\2baa5

所以蛙1=1—因=2,则|E司=竺.

2ba55

故选：D.

8.在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制.已知甲在每局比赛中

获胜的概率均为。，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的

概率为（）

3113

A.-B.-C.-D.—

83216

【答案】A

【解析】

【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解.

【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为工义工义工=工；

2228

若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为x-x-=—；

3UJ2216

若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为C；

设甲获得冠军为事件A,比赛进行了五局为事件8,

[33]

所以甲获得冠军的概率为尸⑷=&+而+而=弓

3

比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为尸（48）=—,

3

P（AB）i73

故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为'/\'=半=%.

尸⑷18

2

第4页/共19页

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某手机商城统计的2024年5个月手机的销量丁(万部)如下表所示：

月份7月8月9月10月11月

X12345

y223m4

根据表中数据用最小二乘法得到的V关于月份编号x的回归直线方程为/=0.5x+1.3,贝ij()

A.m=3

B.y与x正相关

C.当月份编号X增加1时，销量增加0.5万部

D.预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部

【答案】AB

【解析】

【分析】根据回归直线方程过样本中心点求出m判断A,利用回归直线方程的性质和概念判断BCD.

_1_

【详解】由表中数据，计算得x=1x(l+2+3+4+5)=3,所以y=0.5x3+13=2.8,

则2+2+3+加+4=2.8x5,解得加=3,A说法正确；

由回归直线方程中尤的系数为正可知，》与尤正相关，且其相关系数r〉0,B说法正确；

当月份编号x增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误；

2025年2月份对应的月份编号x=8,y=0.5x8+13=5.3,D说法错误；

故选：AB

10.已知在三棱台Z5C—44G中，力4,平面NBC,AB1AC,AB=AC=AAX=2A,BX=4,

-------1—■

CXM=-CXC.以A为坐标原点，AB,AC,A4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如

3

图所示，则()

第5页/共19页

A.%=(-2,4,-4)

B.AMLB{C

c.异面直线与4。所成角的余弦值为巫

10

D.点8到直线4。的距离为2n

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,根据题意求出点与和。的坐标即可得配的坐标；对于B,求出而和配的坐标，计

算数量积AM-鸵即可判断；

对于C,求出函与衣的坐标，利用夹角公式即可求解；对于D,利用向量求距离的公式

/______\2

d=\Bcf-华车即可求出・

V।UMJ

【详解】根据题意可得，4（2,0,4）,C（0,4,0）,则%=（—2,4,—4）,故A正确；

力（0,0,0）,C（0,4,0）,C1（0,2,4）,CCi=（0,-2,4）,CA/=|cq=|（0,-2,4）=^0,-|,|y

HC=（O,4,O）,

则AM=AC+CM=（0,4,0）+10,-5,]]=，

_____OO

因为而•麻=§x4+1X（—4）=0,所以⑷！，々。，故B正确；

5（4,0,0）,4（0,0,4）,则函=（-2,0,4）,4^=（0,4,-4）,设异面直线5名与4c所成的角为。,

第6页/共19页

BB^A^C16V10

则cos。=cosAB],4。故C错误;

BB^CJ4+16xV16+16r

5C=(-4,4,0),则点B到直线4。的距离为

I777y

J16+16——7=2痣，故D正确.

VU16+16)

11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出.如图，叶形线C:x3+y3=aQ经过点

/|,|，点PQo，y。)在C上，则下列结论正确的是()

A.直线y=-x与C有3个公共点B.若点P在第二象限，则5+为<0

C.%+为>-1D.%+为<3

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,联立方程求解的个数即可判断，对于B,由d+/=3盯=(x+〉)[(x+y)2—3a].结

合％为<0可判断，对于C,通过点PQo，yo)在第一、第二、第四象限逐个判断即可，对于D,结合C中得

到的3町(x+y+l)=(x+y)3,再结合基本不等式得到(x+<)43]匕丁]求解即可.

x+y+1\2J

【详解】因为叶形线C:x3+V=g经过点所以q=3.

x3+y3=3xy,

联立<'%,解得x=y=o,所以直线天二—X与。只有1个公共点，A错误.

J=-X,

d+j/=3xy=(x+y)(x2-xy+/J=(x+y)(x+y^-3xy.

第7页/共19页

因为点尸在第二象限，所以％%<0，(x0+j0)"-3xojo>0,

3xj„

所以/+%)=7------「oo一<°,B正确.

(%+%)

若点P在第四象限，则%比<0,可推出/+%)<().

因为丁+)3=3盯=(x+y)12_^+y2)=(x+y)[(x+y『_3孙=(x+y)3-3xy(x+y),

所以3町(x+y+l)=(x+y)3.当点P在第二、四象限时，x0+%+1="十％)〉0,

所以/+为>—1.当点尸是原点或在第一象限时，易得%+>0>—1,

所以XO+为>—1,C正确.

由3町(x+y+l)=(x+.v)3,可得3肛=(x+<)，解得x+yW3,所以％+为<3,D正

x+y+1I2J

确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知F为抛物线C:"的焦点，A为抛物线C上一点.若以刊=H,则点/的坐标为

点A的横坐标为.

【答案】①.(2,0)②.9

【解析】

【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标，由焦半径公式可求A的横坐标.

【详解】由题意得抛物线C的焦点为尸(2,0).设/(》/),因为|AF|=X+2=11,所以X=9.

故答案为：(2,0)；9.

13.I)，的展开式中含d项的系数为.(用数字作答)

【答案】-7

【解析】

【分析】根据多项式乘法，找到(x-l)，展开式中的/项和/项即可.

第8页/共19页

【详解】卜+|j(x-l)7的展开式中含x5的项为X2-cy-(-1)4+0.(-1)I=-7X5,

故，+£|(X-1)7的展开式中含/项的系数为_7.

故答案为：-7

14.在正六棱柱—44。1。片片中，物=2必=4,M,N分别为£耳，3片的中点，则点A

到平面CMN的距离为.

【答案】4庖##3囱

77

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.

【详解】连接Z。，BF,设其交点为O.由正六棱柱的性质知，ADLBF,且05=0厂，取用片的中

点尸，连接0尸，则平面45c£>£尸.

以。为坐标原点，OB,0D,00所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

因为第=2必=4,M,N分别为Eg,AB1的中点,

所以4(0,-1,0),C(V3,2,0),M(-73,2,2),N(百,0,2卜

则*=(百,3,0),CA/=(-2V3,0,2),CW=(0,-2,2).

设平面CW的法向量为力=(x,y,z),

n-CM=-2y/3x+2z=0,

则＜-令y=1，则为=^-,1,1

n-CN=-2y+2z=0,

第9页/共19页

故点A到平面CMN的距离d=1,,1=.

同7

故答案为：皿H

7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线/：船一了一4k+6=0,直线加：x—y=0平分圆C：(x—27+(^-。2=4.

(1)若左=1,直线/与圆。交于A,8两点，求VZ8C的周长；

(2)若直线/过定点过点M作圆C的切线，求定点M的坐标及切线方程.

【答案】⑴4+20

(2)M(4,6),切线方程为x=4或3x-4y+12=0

【解析】

【分析】⑴圆心C(2#在直线机上，则27=0,解得/=2,所以圆心。的坐标为(2,2),半径为2,

由垂径定理得到弦长以用=2后，得到周长；

(2)变形求出定点M的坐标为(4,6),当切线斜率不存在时，直线x=4满足要求，当切线斜率存在时，

3

设出直线方程，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出力=—,从而求出答案.

4

【小问1详解】

当左=1时，直线/的方程为x—>+2=0,

圆心C(2,。在直线加上，则2—/=0,解得/=2,

所以圆心C的坐标为(2,2),半径为2.

|2-2+2|

圆心。到直线/的距离d==V2,

Vi+i

所以|48|=2,22—（收『=20，

所以V4BC的周长为4+2行.

【小问2详解】

直线/的方程为Ax-y-41+6=0,即(x-4)左-了+6=0,

第10页/共19页

x-4=0,[x=4

由V得《，

-y+6=0,V=6

所以定点M的坐标为(4,6).

当切线斜率不存在时，(2,2)到x=4的距离为2,

易得直线x=4为圆C的一条切线.

|2一一2—4一+6|

当切线斜率存在时，由J——/==~L=2,

■+1

3

解得左=—,

4

则直线/的方程为3x-4y+12=0.

故所求切线的方程为x=4或3x-4y+12=0.

16.为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行调查，这800名

消费者中中老年人的人数为300,青年人的人数为500,其中中老年人喜欢网上购物的人数是中老年人不喜

欢网上购物的人数的2倍，青年人喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购物的人数的2倍.

喜欢网上购物不喜欢网上购物合计

青年人

中老年人

合计

(1)请将上面2x2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年

龄有关；

(2)按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上购物方向进行

调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为X,求随机变量X的分布列和期

望.

,9n(ad-bcV

附：Z二？----丁二一77一\------n=a+b+c+d.

a=尸（力2»人）0.050.010.001

第11页/共19页

k3.8416.63510.828

【答案】(1)列联表见解析，有

Q

(2)分布列见解析，—

3

【解析】

【分析】(1)由独立性检验的知识补全2x2列联表求出卡方判断即可；

(2)从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为X,可知X服从超几何分布，计算

概率求得分布列，计算数学期望即可.

【小问1详解】

根据题意可得2x2列联表如下：

喜欢网上购物不喜欢网上购物合计

青年人400100500

中老年人200100300

合计600200800

,n(ad-bcY800(400x100-200x100?

/=7——、/'、/————?=------------------17.778>10.828，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)500x300x600x200

所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关.

【小问2详解】

根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中，4人是青年人，2人是中老年人,

再从这6人中随机抽取4人，则X的可能取值为2,3,4.

C2c22o「4

尸")=冷()年1

Pg）年|1,PX=4=

15

所以X的分布列为

Q2

即随机变量X的期望为工.

第12页/共19页

17.如图，在多面体48c中，ZE_L平面48CD,平面77c。，平面48CD,AB//CD,AB1AD,

△厂CD为等腰直角三角形，且Cb"DF,AD=CD=2AB=2AE.

（1）证明：5/〃平面/。石.

（2）求平面8M与平面DE9的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）-

9

【解析】

【分析】（1）取CD的中点O,连接03,0F,结合直角三角形性质利用面面平行的性质定理得。尸,平

面4BCD,再根据线面平行的判定定理得08〃平面,从而利用面面平行的判定定理和性质定理证

明即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

取CD的中点。，连接08,0F.

因为△尸CD为等腰直角三角形，且C尸-DF,所以。尸，CD.

又平面CDF1平面ABCD,平面CDFn平面ABCD=CD,所以OF_L平面ABCD.

因为平面48CD,u平面/BCD,所以。尸〃4E.

又。尸（/平面4DE,ZEu平面4DE,所以平面4DE.

因为8=248,所以48=。。，又0D〃AB,

所以四边形4B0D为平行四边形，则05〃AD.

因为08a平面4OE,4Du平面40£,所以08〃平面4DE.

又OBcOF=O,08,0Eu平面05厂，所以平面05厂〃平面4DE.

因为BFu平面05/，所以时〃平面4DE.

【小问2详解】

第13页/共19页

由题可知48,AD,ZE两两垂直，故以A为坐标原点，AB,AD,ZE所在直线分别为工轴、了轴、z

轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设48=1,则30,0,0),£>(0,2,0),£(0,0,1),F(1,2,1),

屁=(—1,0,1),丽=(1,2,0),DE=(O,-2,l).

设平面的法向量为/"=(%,%,zj,

BE•应=0,f-x+4=0,

则由一得二八

EF•应=0,g+2yl—0,

令％=1,得比=(一2」,—2).

设平面DEF的法向量为克=（》2，%/2），

DE-n=0,-2%+=0,

则由<得<

EF-n=0,x2+2y2=0,

令%=1,得万=(—2,1,2).

/___\m-n1

所以cos（掰，〃h丽二，则平面8即与平面DEE的夹角的余弦值为1.

9

18.小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质

量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱

苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布.

（1）若随机变量J服从正态分布N（〃,b2）,从J的所有取值中随机抽取加（掰eZ,m>2）个数据，记这加

[<T2）

个数据的平均值为X,则随机变量X服从正态分布N

Im）

（i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为V,求

第14页/共19页

p(y<4960).

(ii)若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在

(4900,5100)内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克.小法举报了该大型超市，从概率的角度

说明小法举报该大型超市的理由.

(2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果,记这100箱苹果中质量在(4900,5200)

内的箱数为Z，求Z的方差.(结果保留两位小数)

附：①若随机变量〃服从正态分布则尸(〃—土0.6827,

尸(〃一2cr<〃《〃+2cr)土0.9545,P(^ju-3a</]<//+3cr)«0.9973；②通常把发生概率小于0.05的

事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.

【答案】(1)⑴0.02275；(ii)理由见解析

(2)14.85

【解析】

【分析】(1)(i)求出吟=400=202，可得Y-TV(5000,202),根据正态分布的对称性可求P(K<4960)；

(ii)由⑴^P(K<4960)^0.02275,根据0.02275<0.05,可得小法购买的这25箱苹果质量的平均

值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论；

(2)由正态分布的对称性求出得尸(4900<K<5200)=0.8186,可得随机变量Z~5(100,0.8186),再

利用二项分布的方差公式求解即可.

【小问1详解】

(i)因为^-=400=2()2所以y〜N(5000,202).

25

因为P(〃-2cr<yw〃+2cr)®0.9545,

i_n0545

所以尸—2b)m——-——=0.02275.

因为4960=5000—2x20,

所以「(VW4960)=尸(丫W//-2(7)«0.02275.

(ii)由⑴得尸“V4960卜0.02275.

第15页/共19页

因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，4958.77<4960,0.02275<0.05，

所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，

小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由.

【小问2详解】

设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K,则K〜N(5000,10000).

由4900=5000-100,5200=5000+2x100,得

P(4900<K<5200)=P(5000-100<K<5000+200)=。・6827；0.9545=08186

根据题意易得随机变量Z〜8(100,0.8186),

£)(7)=100x0.8186x(1-0.8186)»14.85.

19.已知椭圆G：二+'=1(。〉b〉0)的长轴长为2行，且G经过点.椭圆的对称中心为

a"b"12,

原点o,焦点在x轴上，且的离心率与G的离心率相等，G的短轴长与G的长轴长相等.

(1)求椭圆G与的标准方程.

(2)若//(飞，为乂/*±收,为w±i)为上的点，过点”作G的切线，设切点分别为M,N,试问

直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

(3)若T(异于G的左、右顶点4,4)为椭圆G上的点，直线241与。2交于点E，F,直线，42与

交于点尸,Q,求|£F|+|PQ|的值.

222

【答案】⑴—+y2=l,上+匕=1

2.42

(2)是，定值为---

2

(3)6

【解析】

【分析】(1)先确定G方程，再结合离心率及长轴、短轴求。2；

(2)设切线=k(x-%),联立椭圆方程，结合韦达定理及H为椭圆上的点，即可求证；

(3)先确定得4•k%=-g,在分别设直线%的方程为了=｛》+行)，则直线以2的方程为

第16页/共19页

y=-拒），结合弦长公式即可求解；

【小问1详解】

根据题意可得a=8.

将点的坐标代入=+4=1,得3+3=1,解得〃=i，

I2J01b2a12b2

丫2

所以椭圆G的标准方程为y+/=l.

22

>