人教B版高中数学必修二同步讲义：幂函数（学生版+解析）

第06讲塞函数

BI学习目标

课程标准学习目标

1.了解累函数的概念.

1.通过幕函数概念的学习，体现数学抽象等核心素养.

2.结合函数yx,yx2,yx3,yx~\y=«的

2.借助幕函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻

图象，了解他们的变化情况.

辑推理等核心素养.

3.掌握五种累函数的性质并会应用.

镐思维导图

/1.鬲函数的概念

/2.求幕函数的解析式

L3.定义域问题

幕函数的概念.L4.值域问题

_______________飞_L5.募函数的图像

常见幕函数的图像与性质—।零函数一题型-J-6.图像过定点问题

『数的特,正|、7.利用单调性解不等式

、8.比较大小问题

19.奇偶性问题

j10.鬲函数性质的综合应用

'11.新定义问题

B!知识清单

知识点01幕函数的定义

一般地，函数讨叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数.

【即学即练1】（2024・高一・上海•随堂练习）下列函数是塞函数的是（）

D.y=

知识点02常见幕函数的图象与性质

3

塞函数四yx2yxyx1

定义域RRR「0,+8)(一8,0)U(0,+8)

值域R[0,+°°)R[0,+°0){小©R,且尸0}

奇偶性直偶查非奇非偶直

xe[0,+8),增；元£(0,+°°),减;

单调性增增增

%G(—8,0],遮%E(—oo,0),城

公共点都经过点（1,1）

【即学即练2】已知哥函数/（尤）的图象过（2,4）,那么〃尤）在［0,e］上的最大值为.

知识点03幕函数的特征

幕函数随着。的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

（1）所有的嘉函数在（0,+◎都有定义，并且图象都过点（口）；

（2）a>0时，熹函数的图象通过原点，并且在区间［0,y）上是增函数.特别地，当1>1时，塞函数

的图象下凸；当0<夕<1时，幕函数的图象上凸；

（3）。<0时，塞函数的图象在区间（0,+oo）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图

象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近无轴正半轴.

题型精讲

题型01塞函数的概念

【典例1］现有下列函数:③>=4号@y=x5+l；⑤y=(x-l)2；⑥丁二壬⑦

y=a\a>X）,其中嘉函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1］（2024•高一・河北沧州•期末）下列函数是新函数的是（）

A.y=2x2B.y=~7

x

C.y=--D.y=2x

【变式2】（2024.高一.陕西•期中）下列函数是募函数的是（）

A.y=--B.y=x+lc.y=GD.y=2x2

x

【变式3】函数/（x）=（/-根-1）/是幕函数，则实数机的值为.

【变式4］（2024.高一.云南德宏.期末）下列函数既是新函数又是奇函数的是（）

A.y=l［xB.y=与C.y=2x2D.y=x+—

xx

题型02求幕函数的解析式

【典例2】（2024.高一.江苏南通・期中）己知事函数/（尤）为偶函数在（0,+8）上单调递减，则/（无）的解析式

可以为.（写一个即可）

【变式1】若累函数了（无）过（2,3）点，则此函数的解析式为.

【变式2】已知事函数/（尤）=（病-机-1）/的图象关于y轴对称，则/（M=

【变式3］（23-24高一上•安徽淮北•期中）已知募函数/（尤）的图象经过点（3,；］,求〃-3）=

【变式4】（2024.高一.安徽马鞍山•期中）已知累函数/（x）满足①函数图象不经过原点;②

Yxge（0,+s）,〃网）一〃无2）＜o,写出符合上述条件的一个函数解析式__________.

xx—x2

题型03定义域问题

【典例3】（2。24高一福建龙岩,期末）若塞函数-的图象过点（4,2）,则户售修的定义域是（

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

754212

【变式1】（2024•高一•上海•课后作业）在函数①y=J；©y=x6；®y=xi-,@y=x5；©y=x3；©y^x3

中，定义域是R的有个.

【变式2】（2024・高一•黑龙江绥化・期末）函数/（无）=（尤-1）4+*「匚的定义域为（）

Vx+2

A.（1,+8）B.（-2,4-00）C.（-2,l）u（l,+e）D.R

【变式3】（2024.高一.湖北•期中）函数/3=（1-尤,+3-1）°的定义域是（）

A.（-oo,l]B.1C.（-co,-l）D.

题型04值域问题

2

【典例4】（2024.高一.辽宁.阶段练习）函数>=/,-14苫40的值域为.

【变式11若累函数/（x）的图象过点（4,上],则/⑺的值域为

x,0<x<1,

【变式2】函数〃引=1的值域为______.

一,%21.

21

【变式3】（2024•高一.全国•课后作业）函数>=/+2户+4,其中x…-8,则其值域为.

2

【变式4】（2024•高一•全国•课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出/的图象，并注明定义域.

（2）求函数力（力=W-2声-3的值域•

【变式5】（2024・高一•全国・单元测试）已知幕函数/（》）=伏2一"14次©R）,且在区间（0,+8）内函数图

象是上升的.

（1）求实数上的值；

（2）若存在实数历。使得函数尤）在区间团，切上的值域为伍，b],求实数a,b的值.

题型05募函数的图像

【典例5】幕函数城，2,一，/一1在第一象限内的图象依次是图中的曲线（）

C.。3，。2，Cl,C4D.ClfC4,C2,C3

4

【变式1］（2024.高一.上海.课堂例题）函数y=户的图象是（）

【变式3】已知函数〃尤）的图象如图所示，则“力的解析式可能是（）

A..B.y=x^C.y=xD.,=户

-2八

JQX＜0

【变式4】（2024.高一.山东济南.期末）己知函数/（x）=J'则y=-〃x）的图象大致为（）

x^,x＞0,

【变式5】已知事函数〃力=（后-+呀3,其图像与坐标轴无交点，则实数根的值为

【变式6】已知幕函数yjCZ且PM互质）的图象关于y轴对称，如图所示，贝。（）

A.p,q均为奇数,且

Q

B.q为偶数,p为奇数，且/＜。

C.q为奇数，p为偶数，且‘＞。

q

D.q为奇数,p为偶数,且/＜。

题型06图像过定点问题

【典例6】（2024.高一.福建莆田.期中）已知函数〉=J的图象恒过定点A,若点A在一次函数丫=〃眈+〃的

图象上，其中机＞0,n＞0,则'的最小值为.

mn

【变式1】（2024・高一•上海徐汇・期末）当aeR时，函数了=丁-2的图象恒过定点4则点A的坐标为

【变式2］（2024・高一・上海静安•期中）不论实数。取何值，函数y=（x-l）“+2恒过的定点坐标是

【变式3］（2024.高一.上海静安•期中）不论实数。取何值，函数、=（尤-1）"+2恒过的定点坐标是

题型07利用单调性解不等式

【典例7】（2024・高一・天津•期中）若塞函数'=/2-?时3（加©1＜）的图象关于y轴对称，且在（。,内）上单调递

减，则满足（。+1）一机＞（3-2a）-"的a的取值范围为.

【变式1】（2024•高一•广西百色・开学考试）已知幕函数〃同=小*满足条件/（3-《）＞〃《）,则实数。的

取值范围是.

33

【变式2】（2024•高一•全国•期中）若（根+2A＜（4-3根户，则实数冽的取值范围为.

【变式3］（2024•高一・广东梅州•期末）已知幕函数f（x）=x"的图象过点（2,；］,若/（2m+1）＜/（3）,则加

的取值范围是.

【变式4】（2024•高一・重庆永川•期中）已知幕函数f（x）=（/+3加-9）产|在（0,+向上是减函数，meR.

若（2-a向＞（2a-1向，则实数。的取值范围为

题型08比较大小问题

【典例8】（2024・高一・云南昆明•期中）已知幕函数〃%）=%，且。则下列选项中正确的是（）

A./)B.卜弓卜/伊)</2)

C"/）</&）<心）<心）D.扑小卜0八町

221

【变式11（2024•高一.广东佛山•阶段练习）若°）=［］，c=］。：，则a、。、。的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

422

【变式2］（2024・高一•重庆•期中）已知°=23/=43,0=33，贝1J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【变式3］（2024.高三.黑龙江牡丹江.阶段练习）已知塞函数/（x）的图象过点

尸是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）

A.芯/（石）>尤2〃无2）B.石〃龙2）<X2，（石）

XX

p/（%））/（%2）nf（l）f（2）

x2石5x2

【变式4】函数=（疗--7-1）/+*是幕函数,对任意看,X2c（o,y）,且占#%,满足"6"~）>0,

玉一马

若a,6eR,且a+>>0,ab<0,则f（a）+〃6）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

题型09奇偶性问题

【典例9】已知幕函数y=〃x）的图象过点（2,0）,则下列关于〃尤）的说法正确的是（）

A.〃尤）是奇函数B.〃尤）是偶函数

C.“X）的定义域为（0,+8）D.“X）在（0,+8）上单调递增

【变式1】已知哥函数/（%）=汇/+2"-3（meZ）在区间（0,+8）上是单调增函数，且y=的图象关于y轴

对称，则m的值为（）.

A.-1B.0C.1D.2

【变式2】函数/(%)=/+)(%£©,^/(m+l)+/(2+m-m2)>0,则实数加的范围是

【变式3】已知暴函数"切=乂«戊6/?)的图象经过点且f(a+l)</(3),贝M的取值范围为()

A.(—8,2)B.(2,+oo)

C.(-oo,-4)52,+8)D.JU)

题型10幕函数性质的综合运用

【典例10】(2024・高一・陕西西安・期末)已知事函数〃耳=9/一3弘+3卜源为偶函数，g(x)=f(x)+x+2.

⑴求y=的解析式；

⑵若g(x)2辰对于x目1,2］恒不成立，求上的取值范围.

【变式1】(2024•高一•广西河池•期末)已知事函数“X)的图象过点(g,：).

⑴求函数/(x)的解析式；

⑵设函数g(x)=2/(x)-8x-。+2,若g(x)>0对任意xe［-3,2］恒不成立，求实数。的取值范围.

【变式2】(2024.高一.江苏淮安・期末)已知“尤)是定义在R上的函数，满足：〃-尤)+〃尤)=0,

/(-%)=/(2+x),且当xe［0,l］时，/(x)=%2+x.

⑴求的值；

⑵当xw［-l,0］时，求的表达式；

⑶若函数”力在区间［。,可(a<b)上的值域为［2°,2可，求a+6的值.

【变式3】(2024•高一•陕西商洛•期中)已知幕函数〃力=无一'"2的+3(_2<机<2,机€2)满足：

①/(X)在(0,+8)上为增函数，

②对VxeR,都有f(-x)-f(x)=0,

求同时满足①②的嘉函数“力的解析式，并求出相［1，4］时，/(x)的值域.

题型11与嘉函数有关的新定义问题

【典例11］（2024•高一•广西钦州•开学考试）若函数G在〃74尤4〃（〃，<〃）上的最大值记为Nmax，最小值记为

ymin，且满足Vmax-Nmin=1，则称函数G是在7〃<X上的“美好函数”.

⑴函数①>=x+l；②y=|2x|；③>=/，哪个函数是在1W2上的“美好函数”，并说明理由；

（2）己知函数G:y—cvC-2or-3a（aW0）.

①函数G是在14尤42上的“美好函数”，求。的值；

②当。=1时，函数G是在yW1上的“美好函数”，求f的值.

【变式1］（2024•高一・贵州六盘水•期末）对于定义域为O的函数y=〃x）,如果存在区间卜%"］=，同时

满足:①“X）在卜72,〃］上是单调函数；②当时，/（x）e［m,n］,则称卜是该函数的“优美区间”.

⑴求证：［0,3］是函数=的一个“优美区间”；

⑵求证：函数g（x）=l-g不存在“优美区间”；

⑶已知函数4尤）=（aeR,aw0）有“优美区间''［私司，当…取得最大值时求«的值.

强化训练

一、单选题

1.（23-24高一•上海•课堂例题）下列命题中，正确的是（）

A.当九=0时，函数y=x"的图象是一条直线；

B.幕函数y=x"的图象都经过（0,0）和（U）两个点；

C.若塞函数、=/的图象关于原点成中心对称，则>=/在区间（-»,0）上是严格增函数;

D.基函数的图象不可能在第四象限.

2.（23-24高一上•内蒙古巴彦淖尔•期末）已知2（司=（9—2）/是募函数,则〃2）=（）

A.1B.2C.4D.8

233

3.（23-24高一上•福建福州•期中）已知“=（3丫，［邛，)

b=bJc=>则。，b,c的大小关系是（

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

4.(23-24高一上•江苏宿迁•阶段练习)已知函数/(x)=6-J匚三，贝U()

A./(x)的最大值为&B./(x)的最大值为1

C./(x)的最小值为1D.7(x)的最小值为0

5.(23-24高一上•北京海淀•期末)在同一个坐标系中，函数〃x)=log“x,g(x)=L,=的图象可

取值范围是()

7.(23-24高一上•吉林延边•期末)已知幕函数〃x)=(l-5m+5)x%2是R上的偶函数，且函数

g(x)=〃x)-(2a-6户在区间[1,3]上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(3,4)B.(-oo,4]C.[6,+oo)D.(^»,4][6,+co)

8.(23-24高一上•山东青岛•阶段练习)已知函数=二图象与函数g(尤)=(尤-1)3图象有三个交点,

分别为(为,%),(%,%)，(工3，%)，则%+必+%+%+尤3+%=()

A.1B.3C.6D.9

二、多选题

9.(24-25高一上•河南郑州•阶段练习)下列函数中，既是奇函数，又在(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=B.f(x)=x\x\

C./(x)=-——-D.f(x)=x3

x-\

10.(22-23高一上•广东佛山•阶段练习)己知函数F(x)=x“图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若x>l,则〃x)>l

D.若0<为<々，则

11.（23-24高一上,云南昆明,期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x,恒有f（x）+f（r）=O；

②对于定义域上的任意看,马,当％时，恒有二⑷＜0,则称函数/（x）为“理想函数下列四个

函数中能被称为“理想函数"的是（）

A.=-xB./（x）=x2C./（x）=-x3D.f（x）=l-x

三、填空题

12.（23-24高一上・安徽亳州•期末）已知幕函数的图象经过点（243,；],那么的解析式为.

13.（23-24高三上•上海静安•期中）函数y=（3x-2产的定义域为.

14.（23-24高一下•北京•开学考试）若函数"X）在定义域内的某区间M上是增函数，且」也在〃上是减函

X

数，则称函数/（X）在M上是“弱增函数"，则下列说法正确的是—

①若/（无）=/,则存在区间M使7'⑺为"弱增函数"

②若〃无）=尤+，,则存在区间〃使/（X）为"弱增函数"

③若/（X）=X+尤3,则/（X）为R上的“弱增函数”

④若/（x）=f+（4-耽+.在区间（0,2]上是“弱增函数"，则q=4

四、解答题

15.（24-25高一上•上海•随堂练习）己知幕函数的图像经过点A（2,应）.

⑴求暴函数解析式；

⑵求证：幕函数在区间（0,+8）上是严格增函数.

16.（23-24高一下上海•期中）已知幕函数〃%）=/2-2%3（相€2）为奇函数，且在区间（0,+动上是严格减函

数.

⑴求函数y=的表达式；

（2）对任意实数xe；』，不等式〃x）＜r+4,恒不成立，求实数r的取值范围.

17.（23-24高一下•山东滨州•开学考试）己知幕函数/■（x）=x。的图象过点

⑴解不等式：/（3x+2）＞y（l-2x）；

⑵设g（x）=2F（x）-8x+2-。，若存在实数xe[-3,3],使得。（久）＜0不成立，求实数。的取值范围.

18.（23-24高一下河北石家庄,开学考试）已知事函数=（/-+4）-f2在（―⑼上单调递减.

（1）求函数的解析式；

(2)若/(I—2x)</(x+2),求x的取值范围；

⑶若对任意xe[L2],都存在ae[1,2],使得/(x)T+a+1不成立，求实数f的取值范围.

19.(22-23高一上•山东聊城•期末)若在函数“X)的定义域内存在区间[0,可，使得“X)在[“，可上单调,

且函数值的取值范围是[〃肛〃咧(机是常数)，则称函数〃尤)具有性质

(1)当加=；时，函数/'(尤)=«否具有性质M?若具有，求出。，b；若不具有，说明理由；

4

⑵若定义在(0,2)上的函数〃x)=x+-5具有性质“，求机的取值范围.

第06讲塞函数

01学习目标

课程标准学习目标

2.了解塞函数的概念.

1.通过幕函数概念的学习，体现数学抽象等核心素养.

2.结合函数yx,yx2,城，yx-1,y=«的

2.借助幕函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻

图象，了解他们的变化情况.

辑推理等核心素养.

3.掌握五种事函数的性质并会应用.

1.鬲函数的概念

2.求皋函数的解析式

3.定义域问题

4.值域问题

5.鬲函数的图像

6.图像过定点问题

7.利用单调性解不等式

8.比较大小问题

9.奇偶性问题

10.靠函数性质的综合应用

11.新定义问题

03知识清单

知识点01幕函数的定义

一般地，函数W叫做塞函数，其中%是自变量，a是常数.

【即学即练1】（2024.高一.上海.随堂练习）下列函数是塞函数的是（）

A.y=2xB.y=2x-l

C.y=(x+l)2D.y=疗

【答案】A

【解析】根据暴函数的定义，A、B、C均不是幕函数，只有D选项y==形如y=x。(a为常数),

是暴函数，所以D正确

知识点02常见幕函数的图象与性质

3

募函数川yr2yxyx~l

定义域RRR「0,+8)(-8,0)U(0,+8)

值域R[0,4-°°)R[0,+°0){ylydR,且尸0}

奇偶性直偶非奇非偶直

%£[0,+8),增；%£(0,+°°),减;

单调性增增增

8,0],减%E(—oo,0),减

公共点都经过点(1,1)

【即学即练2】已知嘉函数/(x)的图象过(2,4),那么了。)在［0,e］上的最大值为.

【答案】?

【分析】先求事函数解析式，再根据幕函数单调性求最值.

【解析】设/(%)=",因为析劝的图象过(2,4),

.•.2。=4，解得a=2,

/(x)=%2

/(x)在［0,e］上是单调递增的

/(X)在［0,e］上的最大值为〃e)=e2,

故答案为:e2

知识点03幕函数的特征

暴函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的嘉函数在(0,+◎都有定义，并且图象都过点(1,1);

(2)a>0时，熹函数的图象通过原点，并且在区间［0,+«)上是增函数.特别地，当1>1时，塞函数

的图象下凸；当0<cr<l时，塞函数的图象上凸；

(3)戊<0时，塞函数的图象在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图

象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近无轴正半轴.

【即学即练3】(2024.高一.全国.随堂练习)函数)=)的图象是()

【解析】片/=正，定义域为（0,+«）,排除A,B.

经过定点（U）,|>1，则第-象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.

题型精讲

题型01幕函数的概念

【典例1】现有下列函数：①片尤3;②y=；③y=4x2；©y=x5+1；⑤y=（x-l）2；@y^X.⑦

>=优（“>1）,其中塞函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据暴函数的定义逐个辨析即可

【解析】幕函数满足y=x"形式，故y=x3,y=x满足条件，共2个

【变式1]（2024・高一・河北沧州•期末）下列函数是基函数的是（）

A.y=2x2B-T

C.y=-x-1D.y=2x

【答案】c

【解析】B项可化为y=x-2,根据幕函数的概念，可知函数y=x-2是幕函数，即函数y=二是哥函数.ACD

x

均不是嘉函数.

【变式2】（2024・高一.陕西•期中）下列函数是募函数的是（）

A.y=B.y=x+lC.y=4xD.y=2xi

x

【答案】D

【解析】根据幕函数的定义：形如>=—,而>=«=£,符合幕函数的定义,正确.

ABD在形式上都不符合暴函数定义，错误.

【变式3】函数l）x”是嘉函数，则实数机的值为

【答案】-1或2

【解析】由题意加-加-1=1,解得m=2或-1

【变式4】（2024・高一•云南德宏・期末）下列函数既是塞函数又是奇函数的是（）

A.y=y/xB.y-C.y=2x2D.y=x+—

'厂x

【答案】A

【解析】对于A,由基函数的定义知/=也=/是嘉函数，由题意可知/（X）的定义域为R，

于（一x）=O=-W=T（x）,所以“X）是奇函数，符合题意；故A正确；

对于B,由幕函数的定义知y=*=x-2是幕函数，由题意可知/（X）的定义域为（F,o）（。,内）,

/（一无）=7%=3=/（彳），所以是偶函数，不符合题意;

（一无）尤故B错误;

对于C,由幕函数的定义知y=2/不是幕函数，不符合题意；故C错误;

对于D,由幕函数的定义知y=x+!不是幕函数，不符合题意；故D错误;

X

题型02求暴函数的解析式

【典例2】（2024•高一・江苏南通・期中）已知幕函数/（X）为偶函数在（0,+e）上单调递减，则/（无）的解析式

可以为.（写一个即可）

【答案】/（力=婷（答案不唯一）

【解析】因为募函数〃x）=x“在（0,+“）上单调递减，所以«<0,

又因为/（%）=%"为偶函数，

所以a=-2适合题意.

故答案为（答案不唯一）.

【变式1】若哥函数/（X）过（2,®）点，则此函数的解析式为.

【答案】了（力=尤；//（尤）=«

【分析】设代入所过点即可求得结果.

【解析】设幕函数〃X）=x。，贝厅（2）=2°=0,解得：⑺=%.

1

故答案为：〃彳）=广.

【变式2】已知事函数/（尤）=何2一〃7-1）X"，的图象关于y轴对称，则〃租）=.

【答案】4

【分析】根据幕函数的知识求得小的可能取值，根据/（力图象关于y轴对称求得，”的值，进而即得.

【解析】由于/（无）是暴函数，所以疡=解得〃2=2或机=-1.

当帆=2时，/（x）=f,图象关于，轴对称，符合题意.

当机=-1时，*尤）=/=_1_,图象关于原点对称，不符合题意.

X

所以机的值为2,

•••./。）=/，〃2）=22=4.

故答案为：4.

【变式3】（23-24高一上•安徽淮北•期中）已知募函数/（x）的图象经过点0,g）,求/（-3）=

【答案】|

【分析】设塞函数为/（x）=x“,aeR,根据题意求得戊=-2,得至代入即可求解.

【详解】设幕函数为/■（x）=xa,ceR,

因为塞函数/（x）的图象经过点[3]],可得"=3。，解得。=-2,即/。）=针，

所以/（-3）=（-3尸=，

故答案为：-

【变式4】（2024・高一•安徽马鞍山•期中）已知基函数f（x）满足①函数图象不经过原点;②

V尤“Ze（0,+8）,“6"无2）<0,写出符合上述条件的一个函数解析式__________.

xx-x2

【答案】/«=-（答案不唯一）

X

【解析】因为析X）对内，%e（0,+8）,一<0,则/（X）在（0,+8）上为减函数，

xx-x2

又因为幕函数（a为常数），当/（x）不经过原点时，aV0即可，

故可取/（无）=.「=」.

X

故答案为：/（X）=%-'=-（答案不唯一）.

X

题型03定义域问题

【典例3】（2024.高一・福建龙岩・期末）若幕函数/（幻的图象过点（4,2）,则>=%—的定义域是（）

A.（-2,0）B.（0,2]C.[0,2]D.（-2,2）

【答案】C

【解析】设"x）=x。，依题意可得¥=2,解得a=g，所以〃x）=£,

所以〃力的定义域为[0,依），值域为[0,例）,且"0）=0,

对于函数y=则『一I”。，解得0<xW2,

/（x）[x>0

即函数y='消。的定义域是（0,2].

754212

【变式1]（2024・高一•上海,课后作业）在函数①>；②,=/；③；④>=£，⑤y=£5；⑥y=Q

中，定义域是R的有个.

【答案】3

7

【解析】①y=^="的定义域为R

5、

②y=/=疗的定义域为r[0，+”）；

4

③>=炉=正的定义域为R；

_2]

@y=x5二刀十的定义域为（一8,0）5。,+8）；

yjx

1

⑤y=x3的定义域为（-8,O）U（O,+8）;

y/x

2___

⑥y==底的定义域为R

故定义域为R的有①③⑥，共3个,

故答案为：3.

【变式2】（2。24・高一•黑龙江绥化・期末）函数小）=（1）'+任的定义域为（）

A.+B.(—2,+00)C.(-2,1)u(1,+<»)D.R

【答案】C

【解析】由已知白>°解得所以向的定义域为（-2,+孙

【变式3】（2024•高一・湖北•期中）函数〃x）=（l-尤）3+（2工-1）°的定义域是（）

A.（-co,1］B.1c.（-=0,-1）D.

【答案】C

【解析】因为=（1-+（2x-l）°=-^=+（2x-l）°,

则有解得x<l且"g,因此〃尤）的定义域是1&Jug，J

题型04值域问题

2

【典例4】（2024•高一・辽宁•阶段练习）函数y=x"-l4xW0的值域为.

【答案】［0』

2

【解析】由幕函数性质可知y=/在［0,+e）上单调递增，

2

又易知y=x3,xeR为偶函数，

2

所以当-IWXWO时，可知y=#在［T,0］上单调递减，

可得04）41.

故答案为：［0,1］

【变式1】若幕函数/（x）的图象过点与］,则/（尤）的值域为

【答案】（O,E）

【分析】设/（%）=#,根据条件求出a,然后可得答案.

【解析】设/（幻=尤&,因为幕函数/（幻的图象过点（4,上］,所以4"=”=4-2

VIo/lo

所以。=一2,所以/（%）=4=《£（（）,+co）

故答案为：（0,+oo）

x,0<x<l,

【变式2】函数〃x）=1的值域为_______.

一,%之1.

【答案】［0』

【分析】根据/（尤）的解析式求得了（尤）的值域.

【解析】0Wx<l时，/（x）=xe［0,l）,

x21时，f（%）=^e（O,l］,

所以〃尤）的值域为［0』.

故答案为：［0』

21

【变式3】（2024.高一.全国•课后作业）函数y=/+2/+4,其中x…-8,则其值域为.

【答案】［3,y）

【解析】设一1，则y=』+2f+4=«+l）2+3.因为8,所以心.-2.当上一1时，=3.所以函数的值

I一人

域为［3,+8）.

故答案为：［3,+8）

2

【变式4】（2024・高一.全国•课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出〃“=声的图象，并注明定义域.

（2）求函数从同=/一2/一3的值域.

2

【解析】（1）由于〃x）=Q=疗,

则"0)=0,/(-1>/(1)=1,/(-8)=/(8)=^=4,

2

所以“x)=/过点(0,0),(—1,1),(1,1),(—8,4),(8,4)，

2?

设/=f>0,则/?（尤）==/-2/-3=—1）—4>—4,

当f=l时取等号，故Mx）的值域为［T-）.

【变式5］（2024・高一.全国•单元测试）已知累函数/（尤）=伊-左-14（左eR）,且在区间（0,+8）内函数图

象是上升的.

（1）求实数上的值；

（2）若存在实数历。使得函数/（无）在区间