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文档简介

第06讲塞函数

BI学习目标

课程标准学习目标

1.了解累函数的概念.

1.通过幕函数概念的学习,体现数学抽象等核心素养.

2.结合函数yx,yx2,yx3,yx~\y=«的

2.借助幕函数图象与性质的探究,培养直观想象、逻

图象,了解他们的变化情况.

辑推理等核心素养.

3.掌握五种累函数的性质并会应用.

镐思维导图

/1.鬲函数的概念

/2.求幕函数的解析式

L3.定义域问题

幕函数的概念.L4.值域问题

_______________飞_L5.募函数的图像

常见幕函数的图像与性质—।零函数一题型-J-6.图像过定点问题

『数的特,正|、7.利用单调性解不等式

、8.比较大小问题

19.奇偶性问题

j10.鬲函数性质的综合应用

'11.新定义问题

B!知识清单

知识点01幕函数的定义

一般地,函数讨叫做幕函数,其中x是自变量,a是常数.

【即学即练1】(2024・高一・上海•随堂练习)下列函数是塞函数的是()

D.y=

知识点02常见幕函数的图象与性质

3

塞函数四yx2yxyx1

定义域RRR「0,+8)(一8,0)U(0,+8)

值域R[0,+°°)R[0,+°0){小©R,且尸0}

奇偶性直偶查非奇非偶直

xe[0,+8),增;元£(0,+°°),减;

单调性增增增

%G(—8,0],遮%E(—oo,0),城

公共点都经过点(1,1)

【即学即练2】已知哥函数/(尤)的图象过(2,4),那么〃尤)在[0,e]上的最大值为.

知识点03幕函数的特征

幕函数随着。的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:

(1)所有的嘉函数在(0,+◎都有定义,并且图象都过点(口);

(2)a>0时,熹函数的图象通过原点,并且在区间[0,y)上是增函数.特别地,当1>1时,塞函数

的图象下凸;当0<夕<1时,幕函数的图象上凸;

(3)。<0时,塞函数的图象在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图

象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+8时,图象在x轴上方无限地逼近无轴正半轴.

题型精讲

题型01塞函数的概念

【典例1]现有下列函数:③>=4号@y=x5+l;⑤y=(x-l)2;⑥丁二壬⑦

y=a\a>X),其中嘉函数的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式1](2024•高一・河北沧州•期末)下列函数是新函数的是()

A.y=2x2B.y=~7

x

C.y=--D.y=2x

【变式2】(2024.高一.陕西•期中)下列函数是募函数的是()

A.y=--B.y=x+lc.y=GD.y=2x2

x

【变式3】函数/(x)=(/-根-1)/是幕函数,则实数机的值为.

【变式4](2024.高一.云南德宏.期末)下列函数既是新函数又是奇函数的是()

A.y=l[xB.y=与C.y=2x2D.y=x+—

xx

题型02求幕函数的解析式

【典例2】(2024.高一.江苏南通・期中)己知事函数/(尤)为偶函数在(0,+8)上单调递减,则/(无)的解析式

可以为.(写一个即可)

【变式1】若累函数了(无)过(2,3)点,则此函数的解析式为.

【变式2】已知事函数/(尤)=(病-机-1)/的图象关于y轴对称,则/(M=

【变式3](23-24高一上•安徽淮北•期中)已知募函数/(尤)的图象经过点(3,;],求〃-3)=

【变式4】(2024.高一.安徽马鞍山•期中)已知累函数/(x)满足①函数图象不经过原点;②

Yxge(0,+s),〃网)一〃无2)<o,写出符合上述条件的一个函数解析式__________.

xx—x2

题型03定义域问题

【典例3】(2。24高一福建龙岩,期末)若塞函数-的图象过点(4,2),则户售修的定义域是(

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

754212

【变式1】(2024•高一•上海•课后作业)在函数①y=J;©y=x6;®y=xi-,@y=x5;©y=x3;©y^x3

中,定义域是R的有个.

【变式2】(2024・高一•黑龙江绥化・期末)函数/(无)=(尤-1)4+*「匚的定义域为()

Vx+2

A.(1,+8)B.(-2,4-00)C.(-2,l)u(l,+e)D.R

【变式3】(2024.高一.湖北•期中)函数/3=(1-尤,+3-1)°的定义域是()

A.(-oo,l]B.1C.(-co,-l)D.

题型04值域问题

2

【典例4】(2024.高一.辽宁.阶段练习)函数>=/,-14苫40的值域为.

【变式11若累函数/(x)的图象过点(4,上],则/⑺的值域为

x,0<x<1,

【变式2】函数〃引=1的值域为______.

一,%21.

21

【变式3】(2024•高一.全国•课后作业)函数>=/+2户+4,其中x…-8,则其值域为.

2

【变式4】(2024•高一•全国•课后作业)(1)使用五点作图法,在图中画出/的图象,并注明定义域.

(2)求函数力(力=W-2声-3的值域•

【变式5】(2024・高一•全国・单元测试)已知幕函数/(》)=伏2一"14次©R),且在区间(0,+8)内函数图

象是上升的.

(1)求实数上的值;

(2)若存在实数历。使得函数尤)在区间团,切上的值域为伍,b],求实数a,b的值.

题型05募函数的图像

【典例5】幕函数城,2,一,/一1在第一象限内的图象依次是图中的曲线()

C.。3,。2,Cl,C4D.ClfC4,C2,C3

4

【变式1](2024.高一.上海.课堂例题)函数y=户的图象是()

【变式3】已知函数〃尤)的图象如图所示,则“力的解析式可能是()

A..B.y=x^C.y=xD.,=户

-2八

JQX<0

【变式4】(2024.高一.山东济南.期末)己知函数/(x)=J'则y=-〃x)的图象大致为()

x^,x>0,

【变式5】已知事函数〃力=(后-+呀3,其图像与坐标轴无交点,则实数根的值为

【变式6】已知幕函数yjCZ且PM互质)的图象关于y轴对称,如图所示,贝。()

A.p,q均为奇数,且

Q

B.q为偶数,p为奇数,且/<。

C.q为奇数,p为偶数,且‘>。

q

D.q为奇数,p为偶数,且/<。

题型06图像过定点问题

【典例6】(2024.高一.福建莆田.期中)已知函数〉=J的图象恒过定点A,若点A在一次函数丫=〃眈+〃的

图象上,其中机>0,n>0,则'的最小值为.

mn

【变式1】(2024・高一•上海徐汇・期末)当aeR时,函数了=丁-2的图象恒过定点4则点A的坐标为

【变式2](2024・高一・上海静安•期中)不论实数。取何值,函数y=(x-l)“+2恒过的定点坐标是

【变式3](2024.高一.上海静安•期中)不论实数。取何值,函数、=(尤-1)"+2恒过的定点坐标是

题型07利用单调性解不等式

【典例7】(2024・高一・天津•期中)若塞函数'=/2-?时3(加©1<)的图象关于y轴对称,且在(。,内)上单调递

减,则满足(。+1)一机>(3-2a)-"的a的取值范围为.

【变式1】(2024•高一•广西百色・开学考试)已知幕函数〃同=小*满足条件/(3-《)>〃《),则实数。的

取值范围是.

33

【变式2】(2024•高一•全国•期中)若(根+2A<(4-3根户,则实数冽的取值范围为.

【变式3](2024•高一・广东梅州•期末)已知幕函数f(x)=x"的图象过点(2,;],若/(2m+1)</(3),则加

的取值范围是.

【变式4】(2024•高一・重庆永川•期中)已知幕函数f(x)=(/+3加-9)产|在(0,+向上是减函数,meR.

若(2-a向>(2a-1向,则实数。的取值范围为

题型08比较大小问题

【典例8】(2024・高一・云南昆明•期中)已知幕函数〃%)=%,且。则下列选项中正确的是()

A./)B.卜弓卜/伊)</2)

C"/)</&)<心)<心)D.扑小卜0八町

221

【变式11(2024•高一.广东佛山•阶段练习)若°)=[],c=]。:,则a、。、。的大小关系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

422

【变式2](2024・高一•重庆•期中)已知°=23/=43,0=33,贝1J()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【变式3](2024.高三.黑龙江牡丹江.阶段练习)已知塞函数/(x)的图象过点

尸是函数图象上的任意不同两点,则下列结论中正确的是()

A.芯/(石)>尤2〃无2)B.石〃龙2)<X2,(石)

XX

p/(%))/(%2)nf(l)f(2)

x2石5x2

【变式4】函数=(疗--7-1)/+*是幕函数,对任意看,X2c(o,y),且占#%,满足"6"~)>0,

玉一马

若a,6eR,且a+>>0,ab<0,则f(a)+〃6)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

题型09奇偶性问题

【典例9】已知幕函数y=〃x)的图象过点(2,0),则下列关于〃尤)的说法正确的是()

A.〃尤)是奇函数B.〃尤)是偶函数

C.“X)的定义域为(0,+8)D.“X)在(0,+8)上单调递增

【变式1】已知哥函数/(%)=汇/+2"-3(meZ)在区间(0,+8)上是单调增函数,且y=的图象关于y轴

对称,则m的值为().

A.-1B.0C.1D.2

【变式2】函数/(%)=/+)(%£©,^/(m+l)+/(2+m-m2)>0,则实数加的范围是

【变式3】已知暴函数"切=乂«戊6/?)的图象经过点且f(a+l)</(3),贝M的取值范围为()

A.(—8,2)B.(2,+oo)

C.(-oo,-4)52,+8)D.JU)

题型10幕函数性质的综合运用

【典例10】(2024・高一・陕西西安・期末)已知事函数〃耳=9/一3弘+3卜源为偶函数,g(x)=f(x)+x+2.

⑴求y=的解析式;

⑵若g(x)2辰对于x目1,2]恒不成立,求上的取值范围.

【变式1】(2024•高一•广西河池•期末)已知事函数“X)的图象过点(g,:).

⑴求函数/(x)的解析式;

⑵设函数g(x)=2/(x)-8x-。+2,若g(x)>0对任意xe[-3,2]恒不成立,求实数。的取值范围.

【变式2】(2024.高一.江苏淮安・期末)已知“尤)是定义在R上的函数,满足:〃-尤)+〃尤)=0,

/(-%)=/(2+x),且当xe[0,l]时,/(x)=%2+x.

⑴求的值;

⑵当xw[-l,0]时,求的表达式;

⑶若函数”力在区间[。,可(a<b)上的值域为[2°,2可,求a+6的值.

【变式3】(2024•高一•陕西商洛•期中)已知幕函数〃力=无一'"2的+3(_2<机<2,机€2)满足:

①/(X)在(0,+8)上为增函数,

②对VxeR,都有f(-x)-f(x)=0,

求同时满足①②的嘉函数“力的解析式,并求出相[1,4]时,/(x)的值域.

题型11与嘉函数有关的新定义问题

【典例11](2024•高一•广西钦州•开学考试)若函数G在〃74尤4〃(〃,<〃)上的最大值记为Nmax,最小值记为

ymin,且满足Vmax-Nmin=1,则称函数G是在7〃<X上的“美好函数”.

⑴函数①>=x+l;②y=|2x|;③>=/,哪个函数是在1W2上的“美好函数”,并说明理由;

(2)己知函数G:y—cvC-2or-3a(aW0).

①函数G是在14尤42上的“美好函数”,求。的值;

②当。=1时,函数G是在yW1上的“美好函数”,求f的值.

【变式1](2024•高一・贵州六盘水•期末)对于定义域为O的函数y=〃x),如果存在区间卜%"]=,同时

满足:①“X)在卜72,〃]上是单调函数;②当时,/(x)e[m,n],则称卜是该函数的“优美区间”.

⑴求证:[0,3]是函数=的一个“优美区间”;

⑵求证:函数g(x)=l-g不存在“优美区间”;

⑶已知函数4尤)=(aeR,aw0)有“优美区间''[私司,当…取得最大值时求«的值.

强化训练

一、单选题

1.(23-24高一•上海•课堂例题)下列命题中,正确的是()

A.当九=0时,函数y=x"的图象是一条直线;

B.幕函数y=x"的图象都经过(0,0)和(U)两个点;

C.若塞函数、=/的图象关于原点成中心对称,则>=/在区间(-»,0)上是严格增函数;

D.基函数的图象不可能在第四象限.

2.(23-24高一上•内蒙古巴彦淖尔•期末)已知2(司=(9—2)/是募函数,则〃2)=()

A.1B.2C.4D.8

233

3.(23-24高一上•福建福州•期中)已知“=(3丫,[邛,)

b=bJc=>则。,b,c的大小关系是(

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

4.(23-24高一上•江苏宿迁•阶段练习)已知函数/(x)=6-J匚三,贝U()

A./(x)的最大值为&B./(x)的最大值为1

C./(x)的最小值为1D.7(x)的最小值为0

5.(23-24高一上•北京海淀•期末)在同一个坐标系中,函数〃x)=log“x,g(x)=L,=的图象可

取值范围是()

7.(23-24高一上•吉林延边•期末)已知幕函数〃x)=(l-5m+5)x%2是R上的偶函数,且函数

g(x)=〃x)-(2a-6户在区间[1,3]上单调递减,则实数。的取值范围是()

A.(3,4)B.(-oo,4]C.[6,+oo)D.(^»,4][6,+co)

8.(23-24高一上•山东青岛•阶段练习)已知函数=二图象与函数g(尤)=(尤-1)3图象有三个交点,

分别为(为,%),(%,%),(工3,%),则%+必+%+%+尤3+%=()

A.1B.3C.6D.9

二、多选题

9.(24-25高一上•河南郑州•阶段练习)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=B.f(x)=x\x\

C./(x)=-——-D.f(x)=x3

x-\

10.(22-23高一上•广东佛山•阶段练习)己知函数F(x)=x“图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若x>l,则〃x)>l

D.若0<为<々,则

11.(23-24高一上,云南昆明,期末)若函数同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(r)=O;

②对于定义域上的任意看,马,当%时,恒有二⑷<0,则称函数/(x)为“理想函数下列四个

函数中能被称为“理想函数"的是()

A.=-xB./(x)=x2C./(x)=-x3D.f(x)=l-x

三、填空题

12.(23-24高一上・安徽亳州•期末)已知幕函数的图象经过点(243,;],那么的解析式为.

13.(23-24高三上•上海静安•期中)函数y=(3x-2产的定义域为.

14.(23-24高一下•北京•开学考试)若函数"X)在定义域内的某区间M上是增函数,且」也在〃上是减函

X

数,则称函数/(X)在M上是“弱增函数",则下列说法正确的是—

①若/(无)=/,则存在区间M使7'⑺为"弱增函数"

②若〃无)=尤+,,则存在区间〃使/(X)为"弱增函数"

③若/(X)=X+尤3,则/(X)为R上的“弱增函数”

④若/(x)=f+(4-耽+.在区间(0,2]上是“弱增函数",则q=4

四、解答题

15.(24-25高一上•上海•随堂练习)己知幕函数的图像经过点A(2,应).

⑴求暴函数解析式;

⑵求证:幕函数在区间(0,+8)上是严格增函数.

16.(23-24高一下上海•期中)已知幕函数〃%)=/2-2%3(相€2)为奇函数,且在区间(0,+动上是严格减函

数.

⑴求函数y=的表达式;

(2)对任意实数xe;』,不等式〃x)<r+4,恒不成立,求实数r的取值范围.

17.(23-24高一下•山东滨州•开学考试)己知幕函数/■(x)=x。的图象过点

⑴解不等式:/(3x+2)>y(l-2x);

⑵设g(x)=2F(x)-8x+2-。,若存在实数xe[-3,3],使得。(久)<0不成立,求实数。的取值范围.

18.(23-24高一下河北石家庄,开学考试)已知事函数=(/-+4)-f2在(―⑼上单调递减.

(1)求函数的解析式;

(2)若/(I—2x)</(x+2),求x的取值范围;

⑶若对任意xe[L2],都存在ae[1,2],使得/(x)T+a+1不成立,求实数f的取值范围.

19.(22-23高一上•山东聊城•期末)若在函数“X)的定义域内存在区间[0,可,使得“X)在[“,可上单调,

且函数值的取值范围是[〃肛〃咧(机是常数),则称函数〃尤)具有性质

(1)当加=;时,函数/'(尤)=«否具有性质M?若具有,求出。,b;若不具有,说明理由;

4

⑵若定义在(0,2)上的函数〃x)=x+-5具有性质“,求机的取值范围.

第06讲塞函数

01学习目标

课程标准学习目标

2.了解塞函数的概念.

1.通过幕函数概念的学习,体现数学抽象等核心素养.

2.结合函数yx,yx2,城,yx-1,y=«的

2.借助幕函数图象与性质的探究,培养直观想象、逻

图象,了解他们的变化情况.

辑推理等核心素养.

3.掌握五种事函数的性质并会应用.

1.鬲函数的概念

2.求皋函数的解析式

3.定义域问题

4.值域问题

5.鬲函数的图像

6.图像过定点问题

7.利用单调性解不等式

8.比较大小问题

9.奇偶性问题

10.靠函数性质的综合应用

11.新定义问题

03知识清单

知识点01幕函数的定义

一般地,函数W叫做塞函数,其中%是自变量,a是常数.

【即学即练1】(2024.高一.上海.随堂练习)下列函数是塞函数的是()

A.y=2xB.y=2x-l

C.y=(x+l)2D.y=疗

【答案】A

【解析】根据暴函数的定义,A、B、C均不是幕函数,只有D选项y==形如y=x。(a为常数),

是暴函数,所以D正确

知识点02常见幕函数的图象与性质

3

募函数川yr2yxyx~l

定义域RRR「0,+8)(-8,0)U(0,+8)

值域R[0,4-°°)R[0,+°0){ylydR,且尸0}

奇偶性直偶非奇非偶直

%£[0,+8),增;%£(0,+°°),减;

单调性增增增

8,0],减%E(—oo,0),减

公共点都经过点(1,1)

【即学即练2】已知嘉函数/(x)的图象过(2,4),那么了。)在[0,e]上的最大值为.

【答案】?

【分析】先求事函数解析式,再根据幕函数单调性求最值.

【解析】设/(%)=",因为析劝的图象过(2,4),

.•.2。=4,解得a=2,

/(x)=%2

/(x)在[0,e]上是单调递增的

/(X)在[0,e]上的最大值为〃e)=e2,

故答案为:e2

知识点03幕函数的特征

暴函数随着a的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:

(1)所有的嘉函数在(0,+◎都有定义,并且图象都过点(1,1);

(2)a>0时,熹函数的图象通过原点,并且在区间[0,+«)上是增函数.特别地,当1>1时,塞函数

的图象下凸;当0<cr<l时,塞函数的图象上凸;

(3)戊<0时,塞函数的图象在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图

象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+8时,图象在x轴上方无限地逼近无轴正半轴.

【即学即练3】(2024.高一.全国.随堂练习)函数)=)的图象是()

【解析】片/=正,定义域为(0,+«),排除A,B.

经过定点(U),|>1,则第-象限图象是单调递增,且增长率逐步变快.

题型精讲

题型01幕函数的概念

【典例1】现有下列函数:①片尤3;②y=;③y=4x2;©y=x5+1;⑤y=(x-l)2;@y^X.⑦

>=优(“>1),其中塞函数的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据暴函数的定义逐个辨析即可

【解析】幕函数满足y=x"形式,故y=x3,y=x满足条件,共2个

【变式1](2024・高一・河北沧州•期末)下列函数是基函数的是()

A.y=2x2B-T

C.y=-x-1D.y=2x

【答案】c

【解析】B项可化为y=x-2,根据幕函数的概念,可知函数y=x-2是幕函数,即函数y=二是哥函数.ACD

x

均不是嘉函数.

【变式2】(2024・高一.陕西•期中)下列函数是募函数的是()

A.y=B.y=x+lC.y=4xD.y=2xi

x

【答案】D

【解析】根据幕函数的定义:形如>=—,而>=«=£,符合幕函数的定义,正确.

ABD在形式上都不符合暴函数定义,错误.

【变式3】函数l)x”是嘉函数,则实数机的值为

【答案】-1或2

【解析】由题意加-加-1=1,解得m=2或-1

【变式4】(2024・高一•云南德宏・期末)下列函数既是塞函数又是奇函数的是()

A.y=y/xB.y-C.y=2x2D.y=x+—

'厂x

【答案】A

【解析】对于A,由基函数的定义知/=也=/是嘉函数,由题意可知/(X)的定义域为R,

于(一x)=O=-W=T(x),所以“X)是奇函数,符合题意;故A正确;

对于B,由幕函数的定义知y=*=x-2是幕函数,由题意可知/(X)的定义域为(F,o)(。,内),

/(一无)=7%=3=/(彳),所以是偶函数,不符合题意;

(一无)尤故B错误;

对于C,由幕函数的定义知y=2/不是幕函数,不符合题意;故C错误;

对于D,由幕函数的定义知y=x+!不是幕函数,不符合题意;故D错误;

X

题型02求暴函数的解析式

【典例2】(2024•高一・江苏南通・期中)已知幕函数/(X)为偶函数在(0,+e)上单调递减,则/(无)的解析式

可以为.(写一个即可)

【答案】/(力=婷(答案不唯一)

【解析】因为募函数〃x)=x“在(0,+“)上单调递减,所以«<0,

又因为/(%)=%"为偶函数,

所以a=-2适合题意.

故答案为(答案不唯一).

【变式1】若哥函数/(X)过(2,®)点,则此函数的解析式为.

【答案】了(力=尤;//(尤)=«

【分析】设代入所过点即可求得结果.

【解析】设幕函数〃X)=x。,贝厅(2)=2°=0,解得:⑺=%.

1

故答案为:〃彳)=广.

【变式2】已知事函数/(尤)=何2一〃7-1)X",的图象关于y轴对称,则〃租)=.

【答案】4

【分析】根据幕函数的知识求得小的可能取值,根据/(力图象关于y轴对称求得,”的值,进而即得.

【解析】由于/(无)是暴函数,所以疡=解得〃2=2或机=-1.

当帆=2时,/(x)=f,图象关于,轴对称,符合题意.

当机=-1时,*尤)=/=_1_,图象关于原点对称,不符合题意.

X

所以机的值为2,

•••./。)=/,〃2)=22=4.

故答案为:4.

【变式3】(23-24高一上•安徽淮北•期中)已知募函数/(x)的图象经过点0,g),求/(-3)=

【答案】|

【分析】设塞函数为/(x)=x“,aeR,根据题意求得戊=-2,得至代入即可求解.

【详解】设幕函数为/■(x)=xa,ceR,

因为塞函数/(x)的图象经过点[3]],可得"=3。,解得。=-2,即/。)=针,

所以/(-3)=(-3尸=,

故答案为:-

【变式4】(2024・高一•安徽马鞍山•期中)已知基函数f(x)满足①函数图象不经过原点;②

V尤“Ze(0,+8),“6"无2)<0,写出符合上述条件的一个函数解析式__________.

xx-x2

【答案】/«=-(答案不唯一)

X

【解析】因为析X)对内,%e(0,+8),一<0,则/(X)在(0,+8)上为减函数,

xx-x2

又因为幕函数(a为常数),当/(x)不经过原点时,aV0即可,

故可取/(无)=.「=」.

X

故答案为:/(X)=%-'=-(答案不唯一).

X

题型03定义域问题

【典例3】(2024.高一・福建龙岩・期末)若幕函数/(幻的图象过点(4,2),则>=%—的定义域是()

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【答案】C

【解析】设"x)=x。,依题意可得¥=2,解得a=g,所以〃x)=£,

所以〃力的定义域为[0,依),值域为[0,例),且"0)=0,

对于函数y=则『一I”。,解得0<xW2,

/(x)[x>0

即函数y='消。的定义域是(0,2].

754212

【变式1](2024・高一•上海,课后作业)在函数①>;②,=/;③;④>=£,⑤y=£5;⑥y=Q

中,定义域是R的有个.

【答案】3

7

【解析】①y=^="的定义域为R

5、

②y=/=疗的定义域为r[0,+”);

4

③>=炉=正的定义域为R;

_2]

@y=x5二刀十的定义域为(一8,0)5。,+8);

yjx

1

⑤y=x3的定义域为(-8,O)U(O,+8);

y/x

2___

⑥y==底的定义域为R

故定义域为R的有①③⑥,共3个,

故答案为:3.

【变式2】(2。24・高一•黑龙江绥化・期末)函数小)=(1)'+任的定义域为()

A.+B.(—2,+00)C.(-2,1)u(1,+<»)D.R

【答案】C

【解析】由已知白>°解得所以向的定义域为(-2,+孙

【变式3】(2024•高一・湖北•期中)函数〃x)=(l-尤)3+(2工-1)°的定义域是()

A.(-co,1]B.1c.(-=0,-1)D.

【答案】C

【解析】因为=(1-+(2x-l)°=-^=+(2x-l)°,

则有解得x<l且"g,因此〃尤)的定义域是1&Jug,J

题型04值域问题

2

【典例4】(2024•高一・辽宁•阶段练习)函数y=x"-l4xW0的值域为.

【答案】[0』

2

【解析】由幕函数性质可知y=/在[0,+e)上单调递增,

2

又易知y=x3,xeR为偶函数,

2

所以当-IWXWO时,可知y=#在[T,0]上单调递减,

可得04)41.

故答案为:[0,1]

【变式1】若幕函数/(x)的图象过点与],则/(尤)的值域为

【答案】(O,E)

【分析】设/(%)=#,根据条件求出a,然后可得答案.

【解析】设/(幻=尤&,因为幕函数/(幻的图象过点(4,上],所以4"=”=4-2

VIo/lo

所以。=一2,所以/(%)=4=《£((),+co)

故答案为:(0,+oo)

x,0<x<l,

【变式2】函数〃x)=1的值域为_______.

一,%之1.

【答案】[0』

【分析】根据/(尤)的解析式求得了(尤)的值域.

【解析】0Wx<l时,/(x)=xe[0,l),

x21时,f(%)=^e(O,l],

所以〃尤)的值域为[0』.

故答案为:[0』

21

【变式3】(2024.高一.全国•课后作业)函数y=/+2/+4,其中x…-8,则其值域为.

【答案】[3,y)

【解析】设一1,则y=』+2f+4=«+l)2+3.因为8,所以心.-2.当上一1时,=3.所以函数的值

I一人

域为[3,+8).

故答案为:[3,+8)

2

【变式4】(2024・高一.全国•课后作业)(1)使用五点作图法,在图中画出〃“=声的图象,并注明定义域.

(2)求函数从同=/一2/一3的值域.

2

【解析】(1)由于〃x)=Q=疗,

则"0)=0,/(-1>/(1)=1,/(-8)=/(8)=^=4,

2

所以“x)=/过点(0,0),(—1,1),(1,1),(—8,4),(8,4),

2?

设/=f>0,则/?(尤)==/-2/-3=—1)—4>—4,

当f=l时取等号,故Mx)的值域为[T-).

【变式5](2024・高一.全国•单元测试)已知累函数/(尤)=伊-左-14(左eR),且在区间(0,+8)内函数图

象是上升的.

(1)求实数上的值;

(2)若存在实数历。使得函数/(无)在区间

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