辽宁省辽阳市2024-2025学年高三年级上册1月期末考试数学试卷（含答案解析）

辽宁省辽阳市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i.|i3+i2-i-i|=（）

A.0B.y/2C.272D.8

2.设集合/=3={2x+l|xe/},则（）

A.AjBB.AC\B=0

C.B=AD./U3=R

3.若向量）=（2』0823）3=（一/』0834）,^.alb，贝『=（）

A.-1B.yC.1D.2

4.若数据1,2,3,2,x,2x,4的中位数是x,则x的取值范围是（）

A.[2,2.5]B.[2,3]C.[2.5,3]D.[3,3.5]

5.如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm,杯内的底部半径为3cm,当杯子盛满水

时，杯子上端的水面直径为12cm,且杯子的容积为25271cm3,则该杯子的高度为（）

A.12cmB.13cmC.14cmD.15cm

6.若曲线y=与圆(无-3)2+(y-4)2=/(r>0)相切，贝心的值为()

A.3B.2或7C.2D.3或7

7.若V/BC外接圆的半径为叵,/NC8=&,sin/ABC=2sin/3/C,且第=7而，则

33

—=()

BD

「3

A.2B.V3C.3D.-

试卷第1页，共4页

8.定义双曲正弦函数：sin/a二三":若双曲正弦函数在区间上的值域与

/(无)=(加＞0)在区间［凡”上的值域相同，则机的取值范围是()

A.(1,2)B.：11U(1,+⑹C.&,+［D.(0,l)u(2,+«)

二、多选题

9.已知函数〃x)=sin［2x+^^,贝U()

A.f(x)的最小正周期为兀

B./(x)的图象关于点］1,o］对称

C./(x)在?上单调递减

D.将/'(力图象上的所有点向右平移£个单位长度，得到一个偶函数的图象

10.已知函数/卜)=/_辰2-3卜加，则()

A.f(x)只有1个极小值点

B.曲线＞=/(x)在点(3/(3))处的切线斜率为9

C.当/(x)有3个零点时，机的取值范围为(-3,1)

D.当/(x)只有1个零点时，机的取值范围为(-8,-3川(1,+向

11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:3f+3V一2|砂|=8就是其中之一，则下列四个

结论中正确的是()

A.曲线E关于原点对称，且关于直线N=x对称

B.曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2

C.若〃(x,y)是曲线E上的任意一点，则的最大值为后

D.已知尸(1,1),直线歹=丘(左＞0)与曲线E交于48两点，则|上4|+|尸目为定值

三、填空题

2222

12.若双曲线M:二-匕=1与双曲线——匚=1(加＞0)的焦距相等，则N的离心率

79mm+8

试卷第2页，共4页

为_________

兀3(兀八)皿.(。兀)

13.已知sin~2+aj~5,上仁卜,刀)，则sinlm+jj、.

14.已知球。是正三棱锥尸-/BC的外接球，若正三棱锥P-48c的高为应，底边AB=内,

则球心O到平面ABC的距离为.

四、解答题

15.已知S”为数列｛&｝的前〃项和，且邑=2%-6〃.

(1)求见.

(2)证明：数列｛。"+6｝是等比数列.

(3)求数歹!]｛/“+2〃+5｝的前”项和7；.

16.年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有

9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”

卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可

得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会.

(1)求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率;

(2)记小华中奖金额为X,求X的分布列及数学期望，

TT

17.如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面48。是菱形，ZDAB=-,PD,3C的中点分别

为E,F,PA=PD,AD=2,且平面尸ND_L平面48CD

⑴证明：CE7/平面B4F.

(2)若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为噜，求棱PB的长.

18.已知椭圆。:g+《=l(a>b>0)上一点P(行，坐]到两个焦点的距离之和为4.

abI2,

(1)求Q的方程；

(2)若斜率均为1的直线44分别经过。的左顶点和右焦点，4与。交于48两点，4与。交

试卷第3页，共4页

于C,。两点，求48,C,。这四点围成的四边形的面积；

⑶若过点(2。,0)的直线/与。交于两点，直线/的斜率不为0,尸为。的右焦点，证明:

△MNF的内心在定直线上.

19.设函数＞=/(x)在区间。上有定义，若对任意占户2CD,』＞%，都满足

2

f(xl)-f(x2)＞k(xl-x2),则称函数＞=/(x)在区间。上为左级速增函数.

⑴判断函数/(x)=2/+x在R上是否为1级速增函数，说明理由.

⑵若函数＞=/")在区间(0,+“)上为2级速增函数，且/⑴=1，证明：对任意〃

n＞2,/(«)＞2H-1恒成立.

⑶若/(x)=xe，在区间(0,+e)上为k级速增函数，求k的取值范围.

试卷第4页，共4页

《辽宁省辽阳市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CACBBAABABDBCD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】根据复数的乘法化简i3+i?一J1，再计算其模.

【详解】因为==_

所以“3+i2_T=、(_2j+(_2)2=26.

故选：C

2.A

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,即可求出集合B,即可判断.

【详解】由即(x+l)(x-l)<0,解得一

所以/={x|X，<1}={x|-1<X<1},

当时，-l<2x+l<3,所以8={2x+l|xe/}={x|-l<x<3},

所以Z=A^B=A,4UB=B,故正确的只有A.

故选：A

3.C

【分析】根据向量垂直的坐标表示以及对数运算即可求解.

【详解】由@_/.彼得，a-b=-2t+log,3xlog34=-2t-1-^x-^=2-2t=C,

所以=1.

故选：C.

4.B

【分析】根据中位数的概念求解.

【详解】因为数据1,2,3,2,x,2x,4的中位数是x,

所以2WxV3,即x的取值范围为[2,3].

故选：B.

5.B

答案第1页，共15页

【分析】应用圆台的体积公式列方程求水的高度，进而可得杯子的高度.

【详解】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为〃cm,则杯子的容积为

y/!（32+3x6+62）=2k/?=2527t,可得〃=12,

所以该杯子的高度为12+l=13cm.

故选：B

6.A

【分析】依题意可得曲线>="^表示以。（0,0）为圆心，2为半径的半圆（x轴及x轴上

方部分），再确定圆心坐标，从而得到，•的值.

【详解】曲线了=7^^，则了20,又/+/=4,

所以曲线昨表示以。（0,0）为圆心,2为半径的半圆（x轴及x轴上方部分），

圆（x-3）2+（了-4）2=产位>0）的圆心为M（3,4）,半径为r,

又|（W|=j32+42=5,

^\OM\=r+2,即r=3时满足曲线了二“3^与圆（厂3）2+3-4）2=产&>0）相切.

7.A

【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得在△BCD中，由余弦定理求。，从

而得解.

【详解】根据正弦定理，———=拽匚BPAB=^-sm—=47>

sinZACB333

_[j

又互2=1BD，则AD=J,

7

又sinN/BC=2sinZBAC=2sin|：ZABCj=JcosZABC-sin/ABC,

答案第2页，共15页

所以-\/3COS/ABC=2sinNABC,则tan/ABC=NABCE.fo,—

根据同角基本关系式，sinNABC='—,cosN4BC,

77

贝!Jsin/B4C=叵，

14

根据正弦定理，即3包sinNA4C=l,

3

4

在△BCD中，由余弦定理CD?=BC2+8D2-28C.8OCOS43C=

所以CD=迫,所以黑=2.

7BD

故选：A

8.B

【分析】分别分析两个函数的单调性，求出它们的值域，再根据函数的值域相同，得到一个

方程组，进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解.

【详解】因为(sin〃xj=汨二>0,所以sin人在［应句上为增函数，

所以sin/zx在［凡句上的值域为66/6.

又/(x)=加e"-冽(m>0)在［a,b］也是增函数,

所以/(x)在句上的值域为［冽e"-m,mQb-m］.

-a

e-e

=mea-m

因为两个函数的值域相同，所以〃b

e-e

=meb-m

、2

x

即方程三二=mQ-m有两个不同的解.

2

因为方程^—--=mex-m<=>----=mlex

22ex'

当e-l=0即x=0时，方程成立，即％=0是方程的一个解;

答案第3页，共15页

则当e'—lwO即xwO时，m=£±l=L+-L只有一个解，

ie2ie

因为函数〉=二在R上单调递增，且e*>0,所以函数y=1+上在R上单调递减.

22e

因为e*>0且e'力1,所以；+—T>7■且；+7~T卡>

22/222ex

所以当"?>［且加W1时，方程加=5有且只有一个非0解.

22ev

综上：且切wl.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据两个函数的值域相同，得到方程组

ea-e*a

---------=mea-m

2，进而将问题转化为方程.

V_-b=冽e"-加有两个不同的解.

eReb

--------=me-m

2

9.ABD

【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可.

2兀

【详解】函数/（%）=sin[2x+—的最小正周期故人正确;

I6.

71.(兀5兀内,）对称，故正确;

因为了=sin2x-----b——=sirm=O,所以〃%）的图象关于点0B

12(126

当xe[o，D贝l12x+.5兀571571

G

6

5兀5兀上不单调，故/'（x）在（0,||

又尸sinx在上不单调，故C错误;

T'T

将1（X）图象上的所有点向右平移2个单位长度得到

6

71571

y=sin2x十一=cos2x为偶函数，故D正确.

6=小+2

故选：ABD

10.BCD

【分析】分工»1或1、-1<%<1两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出

函数的极值点，即可判断A、B,根据零点的个数得到不等式组，即可判断C、D.

【详解】因为/3=/一82-3卜加，

当％之1或xV—1时/(x)=X3—3r+3-加,则/<%)=3X2—6x=3x(x—2),

所以当x>2或x«—1时/'(%)>0,当1«x<2时/'(%)<0,

答案第4页，共15页

所以/(X)在(-8,-1],(2,+8)上单调递增，在[1,2)上单调递减；

当时/(x)=x3+3x2-3-m,贝(j/'(x)=3x2+6x=3x(x+2),

所以当0<x<l时/*'(x)〉0,当一l<x<0时/'(x)<0,

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(TO)上单调递减；

则/(x)在％=0、x=2处取得极小值，故/(可有2个极小值点，故A错误；

因为/'(3)=3x32-6x3=9,所以曲线y=/(x)在点(3,/⑶)处的切线斜率为9,故B正确;

令83=炉-*-3],

则g(x)的图象如下所示：

其中/'("的图象是由g(x)的图象向下(加>0)或向上(加<0)平移同个单位得到；

因为/(一1)=一1一机，/(O)=-3-m,=1一机，/(2)=-l-m,

要使“X)有3个零点，则'注<o或|/(0)<o或/(T)=/⑵=0，

f1—m>0f—1—m>0

即V1八或4r或一I一加=0,解得-1<“<1或一3<冽<一1或冽=T，

[-1-m<0[-3-m<0

综上可得加的取值范围为(-3,1),故C正确；

要使/(X)只有1个零点,则/⑴<0或〃0)>0,即1-机<0或-3-加>0,

解得加>1或加<-3,即加的取值范围为3)U(l,+°°),故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，从而画出g(x)=x3-|3x2-3|

的图象，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题.

答案第5页，共15页

11.ABD

【分析】根据曲线上任意点(x,y),结合曲线方程判断(-x,-y),(y,x)是否在曲线上判断A；

令第一象限点(X/)在曲线E上，得刈=宜等*〈二丁，应用基本不等式求/+V的

范围判断B；根据题意M(x,y)位于第二象限时”-x取得最大值，令f=3y-x得

36y2-20)+3r—8=0,利用A20求t的范围判断C；设第一象限点”(羽力则/-x,-y)

且3/+3/-2肛=8,结合两点距离公式求|P4|+|P同判断D.

【详解】根据曲线方程，若点(羽力在曲线£上，易知点(-x,-y),(y,x)都满足曲线E的方程,

所以曲线£关于原点对称，且关于直线N=x对称，A正确；

令第一象限点(尤/)在曲线E上，贝13x2+3/-2肛=8,

因为孙工二1片，则£±芦*«巨卢，解得一+好(4,当且仅当时等号成立，

所以曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2,B正确；

由曲线E的对称性知，当M(x,y)位于第二象限时，3y-x取得最大值，

所以3%2+3/+2盯=8,令％=3y—x,

将工=3>—，代入3工2+3/+2盯=8,可得36/—20卯+3/一8=0,

故A=(20/)2-4x36x0/2—8,0,解得/436,即3y-x的最大值为6,C错误；

由题，知点4B关于原点对称，不妨设第一象限点/(xj),

贝!]5(—x,—y)且3x2+3>2—2盯=8,

答案第6页，共15页

卷+力4x2y240100_4xy28

99933

=%+型+®.%=16,

3333

所以|尸4|+|尸叫=4为定值,D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象

限点、基本不等式、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键.

12.2

【分析】根据焦距相等可以求得〃?，从而求得离心率.

【详解】由题意得以+机+8=7+9,所以加=4,

即双曲线N：P—《=1,

412

所以。=2,c=4,所以离心率为£=2.

a

故答案为：2.

132而-何

■10

【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解.

33

【详解】因为sin[-1^+戊=-cosa,所以cosa=不，

加，

a

cos—=

2

a71a.兀一旦M河匹2班一6

—cos—+cos—sin—=

2323525210

故答案为：'

答案第7页，共15页

14.立/收

44

【分析】根据球心与平面所截圆的圆心连线与该平面垂直定位球心，进而求解.

【详解】如图，设点P在底面N8C的投影为

则AH=—x#)xsin—=1,设OH=x，

33

所以。/=Jo斤+后=6+1,0尸=血-尤，

由。/=o尸得，7771=0_x，解得x=

4

故答案为：巫.

4

15.(1)6

(2)证明见解析

⑶2x4"”+1-8

【分析】(1)令〃=1计算可得；

(2)根据S,用-S“=a,”「作差得到.用=2%+6,结合等比数列的定义即可证明;

(3)由(2)可得见=6x2"—6,从而得至1」出“+2〃+5=6、4"+2〃-1,再利用分组求和法计

算可得.

【详解】⑴因为S“=2-6”,

当〃=1时，S1=2«]-6,解得%=6；

（2）因为S0=2a"一6",贝”用=2%+]—6（〃+1）,

所以S,+i-J=2。"+1-6（〃+1）-2。“+6〃，即a”+i=2a.+6,

所以％+6=2（%+6）,又％+6=12,所以｛。“+6｝是以12为首项，2为公比的等比数列;

（3）由（2）可知％+6=6x2",则4=6x2"-6,

所以。2"+2〃+5=6X22"+2«-1=6X4"+2n-1,

答案第8页，共15页

所以7；=6x4+1+6x42+3+…+6x4+2?-]

=(6x4+6x4?+…+6x4〃)+(l+3+…+2〃-1)

6x4'(1-4W)〃(1+21),

=--------+J-------1=2x4向+1+8.

1-42

4

16.⑴五

(2)分布列见解析，颐入)=等

【分析】(1)由古典概率模型结合组合数计算即可;

(2)先由古典概率结合组合数计算出X的所有可能取值对应的概率，列出分布列，再由期

望公式求出期望即可;

C；C；C；C；_4

【详解】(1)由题可得小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为

C；21

(2)由题可知X的所有可能取值为10,50,100.

Cxc31c45155

P(X=100)=-^=-,P(^=50)=-f=-,P(x=10)=l-^-A=|

+100x4也

2121

17.(1)证明见解析;

⑵2或学.

【分析】(1)取尸力的中点M,连接"瓦〃F,先证四边形"EC户为平行四边形，得CE//M/,

再应用线面平行的判定定理证结论;

(2)根据已知构建合适空间直角坐标系，设PH=a>Q,应用向量法求线面角的正弦值得

到方程求出参数值，进而求棱P5的长.

【详解】(1)取尸区的中点连接腔，又F,则ME//4D且=,

由底面A8C。为菱形，尸为BC的中点，则CF〃40且CF=g/Z),

所以=且ME//CF,即四边形AffiCF为平行四边形，所以CE//MF\

答案第9页，共15页

由CE<Z面尸4F,MFu面尸4F,故C£〃平面E1F.

(2)取/。的中点H,连接PH,BH,又PA=PD,所以尸H_LND,

因为面尸40_1面468，面上4Dc面4BCD=4D,PHu面PAD,

所以尸H_L面488,

jr

由底面N3C。为菱形，ADAB=-,则△48。为正三角形，所以BHJ.AD,

以"为原点，月4期,必所在直线分别为x，％z轴建立空间直角坐标系，

设PH=a>Q,贝！I/(1,0,0),尸(0,0,a),5(0,V5,0),F(-1仆,0),

所以#=(-2,道,0),后=(-1,0,a),PS=(0,V3,-«),

-n-AF=-2x+V3y=

令面P/尸的一个法向量为〃=(x,y,z),贝叫_一

n-AP=-x+az=Q

令x=拒。,则〃=(Ga,2a,百)，

।一|卜而y/iaJ30

设直线PB与平面PAF的夹角为凡则sin6=cosn,PB\=

11\n\\PBV«2+3-V7«2+3--20"

可得/=1或。=T，故PB=1a2+3=2或3

0、18+18A/^

-7-

(3)证明见详解

【分析】(1)根据条件得。=2,将点尸6,%代入椭圆方程求得6,得解；

\7

(2)根据题意，可判断四边形48CO为梯形，分别用弦长公式求出|/同,|。|,两直线间距

离公式求出高，得解；

(3)设直线/：x=7町+4,M(x3,y3),AAWF的内切圆的圆心为/(七,%),将

答案第10页，共15页

直线/与椭圆的方程联立得力+外,%居，由两点间距离公式求得1M$|人叼，结合内心的坐

标公式求得%=1,得证.

【详解】(1)由题意，2a=4,贝|a=2,所以椭圆方程为1+/=1,

(3

又点P6,三在椭圆上，贝！|22「解得〃=3,

<>4b1

22

所以椭圆。的方程为'+匕=1.

43

(2)由题，如图椭圆的左顶点为4(一2,0),则直线4：y=x+2,

右焦点为F(1,O),则直线4：y=xT，

y=x+2

将直线4与椭圆方程联立/2,化简整理得7/+16X+4=0,

——+—=1

[43

2(212、

解得石=-2,x2即点上一于7J,

24

同理，可求得|c必=亍，又48//CD,

所以四边形ABCD为梯形，梯形的高即两平行线4与4间的距离,

所以四边形/BCD的面积为S=gy+12^-l3^=18±18^

(3)如图，设直线/：X=叼+4,M(x3,y3),N(x4,y4),AACVF的内切圆的圆心为/(3,%),

则3=(1°,f),IN=(x4-x0,y4-y0),IM=(Xi-x0,y3-y0),

答案第11页，共15页

由奔驰定理可得，pwm+^^前+四|而=6,

即|MV|(l-xo,-yo)+|W|(x4-xo,j24-yo)+|A^|(x3-xo,^3-jo)=(O,O),

\MN\+X\NF+X,\MF\

可得尤o=3

|7W|+|A^F+\MF\，

x=my+4

联立'X2/化简整理得(3,>m°+4)/+24my+36=0,

------1-------=1

[43

24m36

，且公=加-4>0,

,2

+%2=J(。+31----=

34

同理，|NF|=；（4-乙），

7

X3IM]+工4=X3xg(4-%4)+%4X；(4-%3)=2(%3+14)-%3%4

=2(my3+4+my4+4)-{my3+4)(mv4+4)

=一加2%”-2:心3+乂)

36m248m212m2

---------------1--

3m2+43m2+43m2+4

X|TVF|+|A/F|=4-1(X3+X4)

=一/(%+%)

12疗

3m2+4

则=|7VF|+\MF\,即\MN\++x|A^|+\MF\,

X3\NF\+X4\MF\X3|7VF|4\MF\=\MN\+

\MN\+XNF+X\MF\

所以％=34=1,

\MN\+NF+\MF\

所以AMAR的内心在定直线X=1上.

答案第12页，共15页

【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键是由奔驰定理求得内切圆的圆心/的横坐标

\MN\+xNF+X\MF\

i4运算得证.

\MN\+NF+\MF\

19.(1)是；理由见解析

⑵证明见解析

(3)(-°0,e]

【分析】(1)结合“1级速增函数”定义，转化为证明/(再)-〃工2)-区-迎？>0,经过因式

分解、配方等运算即可证明；

(2)由定义赋值可得/(x+l)-/(x)>2,再利用累差法可证；

(3)由定义得/^+。-/(幻>《(》+人工)2=公2恒成立，分离参数转化为后<+

恒成立.先后构造函数9(》)=上?二3,x>0与函数力⑺=支,/>0,利用导函数求解最值

t