平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单）原卷版-2024-2025学年北师大版八年级数学上册

平行线的证明知识归纳与题型突破

（九类题型）

01思维导图

02知识速记

一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.

要点：

(1)每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是己知事项，结论是由己知事项推出的事项.

(2)正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

(3)公认的真命题叫做公理.

(4)经过证明的真命题称为定理.

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.

要点：

(1)实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论.

(2)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事

实、定理等.

(3)判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可.

二、平行线的判定与性质

1.平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.

判定方法2：内错角相等，两直线平行.

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.

要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

(1)平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点(不相交)，那么两直线平行.

(2)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行(平行线的传递性).

(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

(4)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点.

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直.

三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.

推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

要点：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

四、三角形外角的性质

三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

03题型归纳

题型一命题与证明

例题

1.下列语句是命题的是（）

A.在线段N8上取点CB.作直线48的垂线

C.垂线段最短吗？D.相等的角是对顶角

巩固训练

2.下列命题中，是真命题的是（）

A.互补的两个角是邻补角B.邻补角一定互为补角

C.两角相等，一定是对顶角D.无理数都是开方不尽的数

3.下列命题是假命题的是（）

A.对顶角相等B.直角三角形的两个锐角互余

C.全等三角形的周长相等D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

4.老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程:

,：c.La,

Z2=90°,

Z1=Z2,

/.b//c.

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A.在同一平面内，若6，。，且则B.在同一平面内，若bIIC,且贝Ijcl。

C.两直线平行，同位角不相等D.两直线平行，同位角相等

题型二同位角、内错角与同旁内角

例题

5.下列所示的四个图形中，N1和N2是同位角的是（）

巩固训练

6.如图，下列说法正确的是（）

①N1和N3是同位角；②N1和N5是同位角；③/I和/2是同旁内角；④N1和N4是内错角

C.①③D.②④

7.如图，下列是内错角的一组为（）.

C.N1与N3D.N3与N5

8.如图，下列结论正确的是（）

A.N5与N2是对顶角B.N1与N4是同位角

C./2与N3是同旁内角D.N1与N5是内错角

9.如图所示，直线48与被直线4。所截得的内错角是；直线。E与/C被直线所截得

的内错角是;Z4的内错角是.

题型三平行线的判定

例题

10.如图所示，不能证明N8//CD的是（）

A.乙BAC=4CDB.UBC=3CE

C.乙DAC—BCAD./-ABC+/-DCB=\%Q°

巩固训练

11.下列说法错误的是（）

A.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线

B.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

C.经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行

D.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线

12.下列说法正确的是（）

A.在同一平面内，两条线段不相交就平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.两条射线或线段平行是指它们所在直线平行D.两条不相交的直线是平行线

13.如图，若N1=N2,则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定。〃6的是)

14.如图，下列条件不能判定的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Zl+Z2=180°D.Z1=Z5

15.在同一平面内，若bA.c,则。与c的位置关系是.

16.如图，Zl=108°,Z2=30°,若使6〃c,则可将直线6绕点/逆时针旋转度.

17.如图，对于下列给出的四个条件：①N1=N3；②/2=/3；③N4=N5；④N2+N4=180。中，能

判定4〃4的有.（填写正确条件的序号）

18.如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线.这样画

的依据是.

19.如图，下列错误的是（填序号）.

①如果4=那么。£〃2C；②如果/=那么。E〃2C；

③如果//DE=/C,那么OE〃台C；④如果NDEB=/C,那么。尸〃EC；

⑤如果ZD必=ZAED,那么AB//CD.

20.已知：如图，直线N3与CD被"所截，Zl=Z2.求证：AB//CD.

E,

A----------------------B

c——D

21.如图，直线4B,CD被直线4E所截,,CF平分/DCE,Zl=110°,Z2=55°.求证：AB//CD.

/c

BD/、F

题型四平行线的性质

例题

22.如图，已知直线。、6被直线c所截.若alib,Z2=60°,则N1的度数为（）

A.50°B.60°C.120°D.130°

巩固训练

23.如图，AB//CD,BC平分NABD,/I=65。，则/2的度数是（）

\/

AB

A.35°B.45°C.50°D.60°

24.如图，a||b,Zl=110°,Z3=40°,则/2等于（）

c.70°D.80°

25.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若/1=65。，则/2的度数为（）

20°C.25°D.35°

26.如图所示，下列推理及所注理由错误的是（）

A.因为N1=N3,所以22〃CD（内错角相等，两直线平行）

B.因为所以/2=/4（两直线平行，内错角相等）

C.因为所以-2=24（两直线平行，内错角相等）

D.因为22=/4,所以ND〃3c（内错角相等，两直线平行）

27.如图，若8||3尸，则下列结论正确的是（）

A.ZACD=ZFB.ZEDC=ZFBCC./BCD=NEDCD.NCDB=NFBD

题型五平行线的判定与性质综合

例题

28.如图，下列推理正确的是（)

A.•.21=42,：.AC^BDB.-：ABIICD,."=NC

C.■•-Z3=ZJB,：.AC^BDD."ABIICD,.-.z4=z5

巩固训练

29.已知：如图，BC//EF,BC=EF,AF=DC,判断线段AB和线段OE有怎样的关系？请说明理由.

30.如图，B,C,£三点在同一直线上，NB4C=/D,NDAE=NE,CD平分/4CE.

AD

（2）若NE=ND,ZB=50°,求—E的度数.

题型六三角形的内角和

例题

31.在△NBC中，ZA:ZB:ZC=2:3:4,则22的度数为（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

巩固训练

32.如图，在A8/C中，/A4c=80。，ZB=30°,CD是，NC8的平分线，则/BOC的大小为（）

A

n

BN------------------------------

A.115°B.105°C.100°D.110°

33.如图，点。是△4BC中8c边上一点，ZB=ZC,且BD=FC,BE=DC,ZEDF=80°.则//的度

数是（）

A.20°B.50°C.80°D.100°

34.如图所示，在△4BC中，CDVAB,垂足为点。，DE//AC,交BC于点E.若NN=50。，则NCDE

的度数是（）

A.25°B.40°C.45°D.50°

35.如图所示，A/BGACDE均为直角三角形，且48=45。，ZD=30°,过点C作C尸平分/DCE交于

点尸.

BCE

（1）求证：CF//AB-

（2）求/。尸C的度数.

题型七三角形的外角性质

例题

36.如图，△ABC中，xNB=55。，ZC=40°,则三角形/8C的外角44C等于（）

-A.100°Bc.95°C.85°D.75°

巩固训练

37.将一副三角板按如图所示摆放，若4=95°,则/2的度数是（）

2^45^

A.110°B.100°C.95°D.80°

38.如图，若LOAD咨/\OBC,NO=65。，ND=20。，则N5瓦）的度数为（）

o

DAC

A.75°B.85°C.60°D.55°

39.如图所示，ZA,Zl,22的大小关系是_

A

Bn

题型八三角形的内角和与外角性质综合

例题

40.如图，在△4BC中，N4CB=90。,沿C。折叠△C8。，使点3恰好落在NC边上的点£处.若

44=30°,则ZWE=°.

巩固训练

41.已知乙43。=40。，点C为射线BD上一动点，BP平分NABD交AC于点、P,若ZUBC为直角三角形,

贝1]44PB=.

42.如图，4C平分/DC2,CB=CD,ZM的延长线交2c于点区如果N£2C=48。，则NA4E为.

题型九解答综合题

例题

43.如图，4D是△Z3C的角平分线，^ADC=80°,ABAC=70°.

巩固训练

44.把下面的说理过程补充完整.

已知：如图，DE//BC,ZADE=ZEFC,说明：Zl=Z2.

A

解：vDE//BC(已知),

:.ZADE=_,

:./ADE=NEFC(已知),

->•_=_(_)j

(_)

Z1=Z2(_)

(1)判断与8是否平行，并说明理由；

⑵若40=40。,/瓦I屈=80。，求N/E尸的大小.

46.如图，已知△4