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文档简介
平行线的证明知识归纳与题型突破
(九类题型)
01思维导图
02知识速记
一、定义、命题及证明
1.定义:一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题:判断一件事情的句子,叫做命题.
要点:
(1)每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是己知事项,结论是由己知事项推出的事项.
(2)正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
(3)公认的真命题叫做公理.
(4)经过证明的真命题称为定理.
3.证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这种演绎推理的过程称为证明.
要点:
(1)实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确,必须推理论证后才能得出正确的结论.
(2)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事
实、定理等.
(3)判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.
二、平行线的判定与性质
1.平行线的判定
判定方法1:同位角相等,两直线平行.
判定方法2:内错角相等,两直线平行.
判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.
要点:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:
(1)平行线的定义:在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.
(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).
(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
(4)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行线的性质
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
要点:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:
(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.
(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.
三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.
推论:(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
要点:
(1)由一个公理或定理直接推出的真命题,叫做这个公理或定理的推论.
(2)推论可以当做定理使用.
四、三角形外角的性质
三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。
03题型归纳
题型一命题与证明
例题
1.下列语句是命题的是()
A.在线段N8上取点CB.作直线48的垂线
C.垂线段最短吗?D.相等的角是对顶角
巩固训练
2.下列命题中,是真命题的是()
A.互补的两个角是邻补角B.邻补角一定互为补角
C.两角相等,一定是对顶角D.无理数都是开方不尽的数
3.下列命题是假命题的是()
A.对顶角相等B.直角三角形的两个锐角互余
C.全等三角形的周长相等D.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
4.老师布置了一项作业,对一个真命题进行证明,下面是小云给出的证明过程:
,:c.La,
Z2=90°,
Z1=Z2,
/.b//c.
已知该证明过程是正确的,则证明的真命题是()
A.在同一平面内,若6,。,且则B.在同一平面内,若bIIC,且贝Ijcl。
C.两直线平行,同位角不相等D.两直线平行,同位角相等
题型二同位角、内错角与同旁内角
例题
5.下列所示的四个图形中,N1和N2是同位角的是()
巩固训练
6.如图,下列说法正确的是()
①N1和N3是同位角;②N1和N5是同位角;③/I和/2是同旁内角;④N1和N4是内错角
C.①③D.②④
7.如图,下列是内错角的一组为().
C.N1与N3D.N3与N5
8.如图,下列结论正确的是()
A.N5与N2是对顶角B.N1与N4是同位角
C./2与N3是同旁内角D.N1与N5是内错角
9.如图所示,直线48与被直线4。所截得的内错角是;直线。E与/C被直线所截得
的内错角是;Z4的内错角是.
题型三平行线的判定
例题
10.如图所示,不能证明N8//CD的是()
A.乙BAC=4CDB.UBC=3CE
C.乙DAC—BCAD./-ABC+/-DCB=\%Q°
巩固训练
11.下列说法错误的是()
A.在同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线
B.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
C.经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
D.在同一平面内,不相交的两条线段是平行线
12.下列说法正确的是()
A.在同一平面内,两条线段不相交就平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.两条射线或线段平行是指它们所在直线平行D.两条不相交的直线是平行线
13.如图,若N1=N2,则下列选项中,能直接利用“同位角相等,两直线平行”判定。〃6的是)
14.如图,下列条件不能判定的是()
A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Zl+Z2=180°D.Z1=Z5
15.在同一平面内,若bA.c,则。与c的位置关系是.
16.如图,Zl=108°,Z2=30°,若使6〃c,则可将直线6绕点/逆时针旋转度.
17.如图,对于下列给出的四个条件:①N1=N3;②/2=/3;③N4=N5;④N2+N4=180。中,能
判定4〃4的有.(填写正确条件的序号)
18.如图,将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内,可以画出两条互相平行的直线.这样画
的依据是.
19.如图,下列错误的是(填序号).
①如果4=那么。£〃2C;②如果/=那么。E〃2C;
③如果//DE=/C,那么OE〃台C;④如果NDEB=/C,那么。尸〃EC;
⑤如果ZD必=ZAED,那么AB//CD.
20.已知:如图,直线N3与CD被"所截,Zl=Z2.求证:AB//CD.
E,
A----------------------B
c——D
21.如图,直线4B,CD被直线4E所截,,CF平分/DCE,Zl=110°,Z2=55°.求证:AB//CD.
/c
BD/、F
题型四平行线的性质
例题
22.如图,已知直线。、6被直线c所截.若alib,Z2=60°,则N1的度数为()
A.50°B.60°C.120°D.130°
巩固训练
23.如图,AB//CD,BC平分NABD,/I=65。,则/2的度数是()
\/
AB
A.35°B.45°C.50°D.60°
24.如图,a||b,Zl=110°,Z3=40°,则/2等于()
c.70°D.80°
25.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若/1=65。,则/2的度数为()
20°C.25°D.35°
26.如图所示,下列推理及所注理由错误的是()
A.因为N1=N3,所以22〃CD(内错角相等,两直线平行)
B.因为所以/2=/4(两直线平行,内错角相等)
C.因为所以-2=24(两直线平行,内错角相等)
D.因为22=/4,所以ND〃3c(内错角相等,两直线平行)
27.如图,若8||3尸,则下列结论正确的是()
A.ZACD=ZFB.ZEDC=ZFBCC./BCD=NEDCD.NCDB=NFBD
题型五平行线的判定与性质综合
例题
28.如图,下列推理正确的是()
A.•.21=42,:.AC^BDB.-:ABIICD,."=NC
C.■•-Z3=ZJB,:.AC^BDD."ABIICD,.-.z4=z5
巩固训练
29.已知:如图,BC//EF,BC=EF,AF=DC,判断线段AB和线段OE有怎样的关系?请说明理由.
30.如图,B,C,£三点在同一直线上,NB4C=/D,NDAE=NE,CD平分/4CE.
AD
(2)若NE=ND,ZB=50°,求—E的度数.
题型六三角形的内角和
例题
31.在△NBC中,ZA:ZB:ZC=2:3:4,则22的度数为()
A.20°B.40°C.60°D.80°
巩固训练
32.如图,在A8/C中,/A4c=80。,ZB=30°,CD是,NC8的平分线,则/BOC的大小为()
A
n
BN------------------------------
A.115°B.105°C.100°D.110°
33.如图,点。是△4BC中8c边上一点,ZB=ZC,且BD=FC,BE=DC,ZEDF=80°.则//的度
数是()
A.20°B.50°C.80°D.100°
34.如图所示,在△4BC中,CDVAB,垂足为点。,DE//AC,交BC于点E.若NN=50。,则NCDE
的度数是()
A.25°B.40°C.45°D.50°
35.如图所示,A/BGACDE均为直角三角形,且48=45。,ZD=30°,过点C作C尸平分/DCE交于
点尸.
BCE
(1)求证:CF//AB-
(2)求/。尸C的度数.
题型七三角形的外角性质
例题
36.如图,△ABC中,xNB=55。,ZC=40°,则三角形/8C的外角44C等于()
-A.100°Bc.95°C.85°D.75°
巩固训练
37.将一副三角板按如图所示摆放,若4=95°,则/2的度数是()
2^45^
A.110°B.100°C.95°D.80°
38.如图,若LOAD咨/\OBC,NO=65。,ND=20。,则N5瓦)的度数为()
o
DAC
A.75°B.85°C.60°D.55°
39.如图所示,ZA,Zl,22的大小关系是_
A
Bn
题型八三角形的内角和与外角性质综合
例题
40.如图,在△4BC中,N4CB=90。,沿C。折叠△C8。,使点3恰好落在NC边上的点£处.若
44=30°,则ZWE=°.
巩固训练
41.已知乙43。=40。,点C为射线BD上一动点,BP平分NABD交AC于点、P,若ZUBC为直角三角形,
贝1]44PB=.
42.如图,4C平分/DC2,CB=CD,ZM的延长线交2c于点区如果N£2C=48。,则NA4E为.
题型九解答综合题
例题
43.如图,4D是△Z3C的角平分线,^ADC=80°,ABAC=70°.
巩固训练
44.把下面的说理过程补充完整.
已知:如图,DE//BC,ZADE=ZEFC,说明:Zl=Z2.
A
解:vDE//BC(已知),
:.ZADE=_,
:./ADE=NEFC(已知),
->•_=_(_)j
(_)
Z1=Z2(_)
(1)判断与8是否平行,并说明理由;
⑵若40=40。,/瓦I屈=80。,求N/E尸的大小.
46.如图,已知△4
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