利用导数研究函数的零点问题（高考高频考点）（ 3大题型+1大易错）（解析版）-2025年新高考数学

利用导数研究函数的零点问题

（高考高频考点，3大题型+1类易错）

目录

第一部分：题型篇..........................................1

题型一：函数零点（方程根）的个数问题..................1

题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题.............11

题型三：函数的图象与函数零点问题.....................19

第二部分：易错篇.........................................31

易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象.......31

第一部分：题型篇

题型一：函数零点（方程根）的个数问题

典型例题

1nY

例题1.（23-24高一下•甘肃天水•阶段练习）已知函数7'（x）—UX-----Fu-2,IER.

⑴当a=2时，求曲线），=〃”在点（1,/（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

⑵讨论f（x）的零点个数.

【答案】①，

（2）答案见解析.

【分析】（1）把a=2代入，求出函数/（x）的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可

求解.

InV-I-9V

（2）由零点的意义分离参数，构造函数g（x）=:x,利用导数探讨直线与函数图象交

X+X

点个数问题.

【详解】(1)当a=2时，〃x)=2x——,求导得八无)=2———,则/'(1)=1,而

XX

/⑴=2,

因此曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y-2=x-l,即y=x+i,

直线y=x+i交X轴于点(-1,0),交V轴于点(0,1),

所以切线y=x+i与两坐标轴围成的三角形面积为gxixi=；.

(2)由〃x)=0,得a(x+D-也一2=0,即a=ln：+2x,

XX+X

Iny+9V

令g(x)=——，因此函数/(x)的零点个数，即为直线>与函数>=g(x)图象交点个数,

X+X

,(2x+l)(x+1)-(2x+l)(lnx+2x)(2x+1)(1-x-Inx)

而g⑴=----------百券----------=—访亍一，

令〃(无)=l-x-lnx,显然函数力(x)单调递减,而%(1)=0,

则当0<x<l时，h(x)>0,g'(x)>0,当x>l时,h(x)<0,g\x)<0,

因此函数g(x)在(0,1)上单调递增，函数值集合为在(1,+⑹上单调递减，函数值集

合为(0,1)

且gOXnax=g(D=l，在同一坐标系内作出直线>=a与函数V=g(X)的图象,

观察图象知，当或。=1时，直线了=。与函数>=g(x)的图象有一个交点，

当0<0<1时，直线>与函数y=g(x)的图象有两个交点，

所以当或。=1时，函数/(X)有一个零点；当0<°<1时，函数/(X)有两个零点.

例题2.(浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题)已知“为实数,

〃eN*,设函数〃x)=x"-alnx.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)若/(x)有两个零点，求”的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(ne,+oo)

【分析】（1）首先求函数的导数，分和。＞0两种情况讨论函数的单调性；

（2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0,并且结合函数零点存在性定理说明存

在2个零点.

【详解】(1)f'(x}=nx'-l--=r^^-x>0,

XX

当aWO时,r（x）＞0,/（x）在（0,+。）单调递增,

1

当。＞0时，令/''（x）〉。，得

令小）＜0,得0<x<

所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是

综上可知，时，/（x）的增区间是（0,+s）；

（2）

。＞0时，/（X）的单调递减区间是，单调递增区间是M",+»

（2）由（1）可知，若“X）有两个零点，则。＞0,

且当X=］色『时’/（X）取得最小值，/-tzlnf-r<0,

\7

得〃>〃e,

且x―0时，—+8,.当xf+oo,f(x)+oo,

所以有1个零点,也有1个零点,

\7

所以若八无）有两个零点，则a＞〃e.

4

例题3.（23-24高二下•安徽芜湖•期中）已知函数=-依?+12x+6在x3处取得

极小值-2.

⑴求实数6的值；

（2）若函数了=/（”-彳有三个零点，求实数2的取值范围.

4

【答案】（1）/（%）=—8—+12%-2

⑵

7'⑶=0

【分析】（1）由已知可得,可得出关于实数。、。的方程组，解出这两个未知

1/(3)=-2

数的值，即可得出函数/（X）的解析式；

（2）分析可知，直线>=%与函数/（无）的图象有3个交点，利用导数分析函数/（无）的单调

性与极值，数形结合可得出实数几的取值范围.

【详解】(1)解：因为/(x)=g1-G2+12x+b,贝lj/'(x)=4f-2ax+12,

/,(3)=36-6a+12=0Q=8

由题意可得，解得

/⑶=36-9a+36+6=-2b=-2

当a=8,6=—2时，/,（X）=4X2-16X+12=4（X-1）（X-3）,

显然，函数/（x）在x=3处可取得极值.

4

因止匕，/（x）=—8%2+12x-2.

（2）解：问题等价于%有三个不等的实数根，求力的范围.

由广（力=4/-16%+12=4伍一1乂工一3）>0,得X<1或X>3,

由=4x~—16x+12=4（x-l）（x-3）<0,得l<x<3,

所以/（x）在（-吗1）、（3,+力）上单调递增,在。,3）上单调递减,

则函数/（x）的极大值为/⑴=],极小值为/⑶=-2,如下图所示:

由图可知，当直线y=2与函数/（无）的图象有3个交点,

因此，实数2的取值范围是

例题4.（23-24高三下•山东青岛•阶段练习）已知函数=

⑴求f（x）的单调递增区间;

(2)求出方程=。(。eR)的解的个数.

【答案】⑴(一8,0),

(2)答案见解析

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，即可列出'、/'(力、/(X)的关系表，从而得

到函数的单调递增区间；

(2)问题转化为函数了=/("的图象与直线的交点个数，根据(1)分析函数的取值

情况，即可作出函数图象，数形结合即可得解.

【详解】(1)函数/'(X)的定义域为(-吃1)31,+。).

/'(x)=e,J).令/(x)=o解得工=0或n=：.

则X、/'(X)、/(x)的关系列表如下:

2

X(-双0)0(0,1)

2

/‘(X)+0□-0+

小)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增

二/(x)的单调递增区间为(-/⑼,弓，+"•

(2)方程/(x)=a(.eR)的解的个数为函数了=/(x)的图象与直线了=。的交点个数.

在(1)中可知：f(x)在区间(-"⑼,上单调递增，在(0,1),11,j上单调递减,

在x=0处取得极大值/(O)=1,在x=q处取得极小值/=4e，,

令『，得X，

当x<0时，y>0,了的图像过点(0,1),g,0).

当Xf-8时，>-0,但始终在X轴上方；

当X从1的左侧无限近于1时，>当X从1的右侧无限近于1时，yf+8；

33

当X=/时，y=4e2；当x—+8时，/f+8.

根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示,

,当1<.<41时，V=/(x)与N="没有交点，则方程/(x)=°的解为°个；

当"0或"1或时，尸/3与尸。有1个交点，则方程/(力=。的解为1个;

当0<a<l或.Ml时，V=/(x)与有2个交点，则方程/(x)=a的解为2个.

精练高频考点

1.(23-24高二下•黑龙江•期末)已知函数/(力=(办-a+l)e1

⑴若a=l,求/(无)的图象在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若关于x的方程/(x)=-L恰有两个不同的实数解，求。的取值范围.

e

【答案】⑴歹=2e%-e

(2)(1,+<»)

【分析】(])利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程；

(2)分。=0,。>0和三种情况，利用导数研究函数/(x)的图象最值，数形结合求解

问题.

【详解】(1)由a=l,得〃x)=xe=则/(x)=(x+l)e:

因为/6=e,/⑴=2e,

所以/'(x)的图象在点处的切线方程为k2ex-e.

(2)显然。=0不符合题意，

又/'(%)=("+l)e",

当Q〉0时，可知当工£时，f\x)<o,y(x)在一巴一上单调递减,

a)

当X时，f\x)>0,在(-+“]上单调递增,

a)

1

a

则〃x)11m=/-ae,

且当Z，+aJ时，/(x)G^-(7e

当8,一时，/(x)e-aefl,0,

'a)v)

所以化简可得1_°<0

因为g(a)=e'-@在(°，+8)上单调递减,且g⑴=。，

所以不等式e"_°<o的解集为(1，+功.

当好0时，可知当xe,s,|时，/'(x)>0,/(x)在-皆上单调递增,

当xe，：,+“M，r(x)<0,在,上单调递减，

则/(**-aea

且当x」一，,+<»

时，/(x)G―。,-aea

Va17

0,-ae°,

7

所以关于X的方程/(x)=-工不可能有两个不同的实数解.

e

综上，a的取值范围为(1,+8).

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最

值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

2.(23-24高二下•陕西汉中•期末)已知函数/(x)=x2-8x+61nx-%.

(1)求〃x)的单调区间及极值点；

(2)若方程/⑺=0有三个不同的根，求整数加的值.(In3a1.09)

【答案】(l)/(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+8),单调递减区间为(1,3),极大值点为1,

极小值点为3；

⑵-8.

【分析】(1)对已知函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间与极值点；

(2)利用(1)中结论，方程/("=0有三个不同的根，满足，;可求出答案.

【详解】(1)因为/(x)=x2-8x+61nx-加，所以021+@=2(1)(1),

XX

令/'(x)>0,得x>3或0cx<1,令/''(x)<0,得l<x<3,

所以/(x)在(0,1),(3,+s)上单调递增，在(1,3)上单调递减.

故/'(x)的单调递增区间为(0/)，(3,+8),单调递减区间为(1,3),极大值点为L极小值点

为3.

(2)由(1)知/(x)在(0,1),(3,+。)上单调递增,在(1,3)上单调递减.

因为=/(3)=61n3-15-m,

当X.0时，f(X)->-00,当Xf+8时，

且方程行)=。有三个不同的根,所以图=6田15.…

所以根的取值范围是(61n3-15,-7).

因为ln3R.O9,所以61n3-15。-8.46,故整数加的值为-8.

3.(23-24高二下•云南曲靖・期末)已知函数/(x)=%「.

(1)判断函数/(x)的单调性，并求出的极值；

(2)设函数g(x)=/(x)-a(aeR),讨论函数g(x)的零点个数.

【答案】⑴单调性见解析；极大值为1,无极小值

(2)答案见解析

【分析】(1)根据广(x)>0nx<0J'(x)<0=>x>0,即可得出的单调性，结合极值的概

念即可求解；

(2)将原问题转化为直线V与函数》=/(x)图象的交点个数，由(1)可得〃x)的单调

性，作出图形，结合图形即可求解.

【详解】(1)贝q/(x)=—

ee

令/'(%)>0=>x<0,/'(%)<0=>x>0,

所以/(X)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

则/(X)在x=0处取得极大值，且"0)=1,无极小值.

(2)由题意知g(x)=/(x)-a,

要求函数g(x)的零点个数，即求方程。=/(幻的根的个数，

即求直线了=。与函数>=/(x)图象的交点个数.

由(1)知/⑺在(-%0)上单调递增，在(0,+◎上单调递减,

且/(x)s=〃0)=l，/(-l)=0,当X--8时/(X)3-8,当x>0时/(x)>0,

由图可知当或。=1时，函数g(x)有1个零点；

当0<°<1时，函数g(x)有2个零点；

当。>1时，函数g(x)有。个零点.

4.(24-25高三上•湖北武汉•开学考试)已知函数〃x)=x-：lnx与函数g(x)=e“'-x,其

中a>0.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若g(x)>0,求。的取值范围;

⑶若曲线v=/(x)与X轴有两个不同的交点，求证：曲线y=〃x)与曲线y=g(x)共有三个

不同的交点.

【答案】①答案见解析

(2)]"

⑶证明见解析

【分析】(1)借助导数研究其导函数的正负即可得其单调区间；

即构造函数()后借助导数

(2)若xWO,可得不等式恒成立，若x>0,/!X=¥

求出其最大值即可得解;

(3)根据题设先证两条曲线有(国⑼，(9，°)两个交点，再构造函数8(x)=e"-2x+：向

证明其除了这两个交点后还存在第三个交点即可得.

【详解】(1).=/(x)的定义域为：{工比>0},

(

又已知q>0,㈢

axax

所以时，/'(x)<OJ(x)单调递减；

时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

(2)由题意：g(x)=e"-x>0,即es>x,

InV

若xWO,不等式恒成立，若x>0,即。〉——,

x

^/z(x)=­(x>0),h'［x)=^,

当xe(0,e)时,/f(x)>O,/z(x)单调递增,

当xe(e,+oo)时，〃(尤)<0,单调递减，

故〃(x)max=g，故。的取值范围为］，+sj；

(3)曲线了=〃X)与X轴有两个不同的交点，即函数了=〃”有两个不同的零点和马,

不妨令0<玉<%,由(2)知，。的取值范围为］o,J,

且由QaXx=再得再=一1叫，

a

同理得曲线y=/(x)与曲线y=g(x)共有两个不同的交点(无“0),(x2,0),

下面证明这两条曲线还有一个交点，

令H(x)=eai-2x+—lux,

八,/、1ca-axe^2ax-l

H,(x)=aeax+——2=-------------，

axaxax

令t=ax,则根。/一2/+1/>0,

加'(/)=Q(l+%)e'一2,令〃(。=加'«)=a(l+，)e'一2,

则=〃(2+。占>0恒成立，则m\t)单调递增，

又，⑴=2ae-2<0,

22

令加⑺=°（1+。3-2=0,得e'=4（]+o</，

故存在,使得了=加⑺在（0,%）上单调递减，在&,+8）单调递增，

a

m（0）=l>0,m（l）=ae-l<0,m^ln—^=1>0,

2

故"7«）=afe'-27+l有两个零点小修0</1<1<，2<为一，

a

令a=ax3,t2=ax4,即y=〃（x）有且只有两个极值点了3，匕，

所以了=〃（x）在（0,演）上单调增，在（覆,看）上单调减，在（匕,+8）上单调增，

又才（国）=办1+5-220,若理占）=0,叫=1,

由产=占得再=e,a=』与题设矛盾，所以H'（xJ>0,

e

同理“'（_¥2）>0,占,尤2不可能在同一单调区间，0<西<%,匕</，

故有0="（再）<"（不）,"（匕）<"（%2）二°，

所以在（毛，匕）间存在唯一的与使得"（%）=0,即两条曲线还有一个交点看,

故曲线y=与曲线y=g（x）共有三个不同的交点.

【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先得出曲线y=/（x）与曲线>=g（力共有两个不

同的交点（西⑼，（与0）,再通过构造函数"（X）=e2x+fnx去证明其除了这两个交点

后还存在第三个交点.

题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题

典型例题

例题1.（23-24高二下•江苏南京•期中）已知函数〃x）=e[x2-8）+m.

⑴当a=0时，求函数.”=〃x）在点（0,〃0））处的切线方程；

⑵若函数y=/（"有三个不同的零点，求实数胆的取值范围.

【答案】（l）J=-8x-8

⑵（"0）

【分析】（1）求出/'（o）、r（o）,利用直线的点斜式方程可得答案；

⑵转化为e'（/-8）=-加有三个不同的交点，令g（x）=e«2_8）,利用导数求出g（x）的

极值可得答案.

【详解】(1)当加=0时，/(x)=el(x2-8),r(x)=eI(x2+2x-8),

/(0)=e°(0-8)=-8,/,(0)=e°(02+2x0-8)=-8,

所以了=-8x-8:

(2)若函数V=/(x)有三个不同的零点，

即/(x)=(/-8)+%=0,e^x2-8)=-m有三个不同的交点，

令g(x)=eA-8),g[x)=ex(x2+2x-8)=e*(x—2)(x+4),

由g,(x)>0=>xe(-oo,-4)u(2,+co),g,(x)<0=>xe(-4,2),

所以g(x)在(-。,-4)和(2,+s)上单调递增，(-4,2)上单调递减，

极大值为g(-4)=厂(16-8)=8「，极小值为g(2)=e2(4-8)=Ye?,

且当x<-2亚时，/(x)>0,当-2及<x<2后时，〃x)<0,

当x>2行时，/(x)>0,

根据函数图象可知，0〈-加<8e<,-Se-4<m<0•

例题2.(23-24高二下•北京海淀•期末)已知函数./■(%)=(x-l)e-x2.

⑴判断f(x)在(-a,。)上的单调性，并证明；

⑵求/'(x)在(0,+功上的零点个数.

【答案】⑴/⑺在(-双。)上单调递增，证明见解析；

(2)一个.

【分析】(1)先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性;

(2)结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数.

【详解】CD/(力在(y,o)上单调递增,证明如下：

因为/(x)=(x-l)e*-x2,

所以尸(无)=ex+(x-l)e"-2x=xex-2x=x(e*-2),

又因为无€（-8,0）,从而e'-2<l-2<0,

所以/"（x）=x（e=2）>0,

所以/'（x）在（-%。）上单调递增.

（2）由（1）知：/,（x）=x（eI-2）,

因为xe（0,+s）,

令/'（x）=0,得x=ln2.

/（x）与/'（X）在区间（0,+功上的情况如下:

X（O,ln2）In2（ln2,+⑹

/'（X）□0+

/（X）极小/

因为/（0）=（0_l）e°_（）2=T<0,/（2）=（2-l）e2-22=e2-22>0,

所以由零点存在定理及/（X）单调性可知，/（X）在（0,+8）上恰有一个零点.

例题3.（23-24高二下•辽宁沈阳•期末）已知函数"月=*+°（--1）.

（1）当。=0时,求/（x）的极值;

（2）当。=1时,求/（X）在［1,+8）上的最小值;

⑶当"0时，若/（X）在（l,e）上存在零点，求”的取值范围.

【答案】（1）/（X）极大值=—没有极小值

（2）/（尤）皿=。

【分析】（1）利用导函数求函数的极值;

（2）利用导函数求函数的最值；

（3）求函数/（x）的导数，构造新的函数g（x）,根据函数g（x）的导数，对。进行分类，结合

函数的单调性、零点存在定理和极值即可求解。的取值范围.

【详解】（1）当a=0时，〃x）=等，定义域是（0,+”）,则/⑴/浮,

令/'（力=0,Mx=e,无变化时，/'（x）,/（x）的变化情况如下表:

(O'e)e(e,+8)

/'（X）+0—

2

/（X）/

e

7

所以“X)极大值=〃e)=j/(尤)没有极小值.

(2)当a=l时，/(x)=^^+x2-1,xe[1,+<»),

则/,(X)=>+2X=2(I：：+X)

令g(x)=l-lnx+x3,xe[l,+8),

则g'(x)=+3x2=———->0,

xx

则g（x）在［L+00）上是增函数，则8（无置=g⑴=2,

所以/'（x）＞0,即/（x）在［1,+8）上是增函数,

则小号=/⑴=o.

故当°=1时，/（x）在上+⑹上的最小值是0；

(3)/(x)=^^+a(x2-l),xe(l,e),

2(l-lnx+Q%3)

2-2Inx.

---------F2ax=

x

令g(x)=&_[nx+l,xe(l,e),g'(x}=3ax2--=1

XX

当a<0时，g'(x)<0,则g(x)在(l,e)上是减函数，贝I]g(x)<g(l)=。+1.

①当。+1«0时，/'(x)<0,则/(x)在(l,e)上是减函数，〃x)1mx〈/⑴=0,不合题意;

②当a+l>0时，a>-l,g(l)>0,g(e)=ae3<0,则存在毛e(l,e),使g(x0)=0,

即/''(/)=0,x变化时，/'(x),f(x)的变化情况如下表：

X(i,%)xo

r(x)+0—

f(x)/极大值/（与）

则/(x)极大值=〃％)>〃1)=。，

因为f(x)在(Le)上有零点，

2/\—7

所以/仁)="+0.-1)<0,解得.〈事.

所以，a的取值范围是1

例题4.(23-24高二下•重庆•期末)已知函数〃x)=xe*.

⑴若关于x的方程f(x)=k有且只有一个实数根，求实数k的取值范围;

(2)若关于x的不等式/(力+/(1-力冷对\/龙€1,2恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴《

(2)~,问.

【分析】(1)利用导数研究函数的单调性，求解出函数的极值和最值从而求解出范围.

(2)利用抽象函数求导，分析出函数的单调性分析出极值和最值求解出取值范围.

【详解】⑴因为/(尤)的定义域为RJ'(x)=(l+x)e',

又•4>(),.•.当x<-l时，/'(x)<0,则/'⑺单调递减；

当x>-l时，r(x)>o,则/(无)单调递增，

所以/"(X)的单调减区间为(-8,-1),单调增区间为(-1,+功；

又〃0)=0,x<0时/(x)<0,/(-1)=--,

e

故片《一:卜他+⑹；

(2)设g(x)=/(x)+/(l-x),

g，(x)=/(x)1一x)=(l+x)e'-(2-x)e'

令人(x)=g1x),

h\x)=(2+x)e*-(x-3)e-,考查这个函数发现”(x)在;VxW2恒正，

即当;4x42时，/(x)>0,g，(x)单调递增，

g'(x)2g[g]=(V.g(x)在xe1,2上单调递增，

•••g(xLn捉，

即实数。的取值范围为卜叫血］.

精练高频考点

1.(23-24高二下•贵州毕节•阶段练习)已知函数=一;/一

⑴当6=0时，求/(x)在［-2,3］上的值域;

(2)若方程/(力=0有三个不同的解，求6的取值范围.

……「1。7］

【答案】⑴-V>7

【分析】(1)利用导数研究函数/(X)的单调性，求出/(-1),/(2),/(-2),/(3),即可求解；

17(-1)>0

(2)由(1)可得函数/(X)的极值，由方程/(x)=0有3个不同的解可得;，解之即

［八6<u

可求解.

【详解】(1)当6=0时，/(x)=gx3—;/-2x,贝lJ/'a)=x2-x-2=(x+l)(x-2),

令/'(%)<0n-1<%<2/(%)1或x〉2,

所以/(X)在(-1,2)上单调递减，在(一8,一1)、(2,+8)上单调递增，

7

故/(X)在X=-l处取得极大值，且为

6

在工=2处取得极小值，且为/(2)=-

又在［-2,3］上，/(-2)=-1,/(3)=-1,

所以在［-2,3］上的值域为「先］；

36

(2)由(1)知/(x)在(-1,2)上单调递减，在(-8,-1)、(2,+8)上单调递增,

7

所以/(X)在X=-1处取得极大值，且为/(-1)=(-3

O

在％=2处取得极小值，且为八2)=-

/(-1)>0

若方程/(x)=0有3个不同的解，则

/(2)<0

7

—b>0

6”010[7

即<,角牛倚----<b<—,

1036

---b<0

.3

所以实数6的取值范围为

2.(23-24高二下•云南玉溪•期中)设〃x)=a(x-5y+61nx,曲线了=/("在点(1)⑴)处

的切线与了轴相交于点(0,6).

(1)求实数。的值；

⑵若函数了=/(x)+6有三个零点，求实数6的取值范围.

【答案】(l)a=g

9

(2)---61n2<b<-2-61n3

【分析】(1)利用导数求出函数在(1,了(1))处的切线方程后结合其过的点可求实数。的值.

(2)利用导数讨论函数的单调性和极值，从而可求实数b的取值范围.

【详解】(1)由/(x)=a(x-5)2+6hw,得x>0,且/(无)=2a(x-5)+!.

令x=l,贝U/(l)=16aJ'(l)=6-8a,

所以曲线J=/(x)在(1J⑴)处的切线方程为y-16a=(6-&0(尤-1).

代入(0,6)解得。=；.

(2)由(1)知/'(上)=丫_5+£=(工2)(.3),

XX

令/'(x)=0,解得或x=3,

当0<x<2或x>3时，/'(x)>0,当2Vx<3时，

故y=/(x)的单调递增区间是(0,2)和(3,+8),单调递减区间是(2,3),

a

由此可知在X=2处取得极大值7(2)=5+61n2,

在x=3处取得极小值〃3)=2+61n3,

因为函数y=/(x)+6有三个零点，即方程/(耳=-6有三个根，

而当x->0时，/(x)f-OO,当Xf+8,/(x)f+co,

99

^2+61n3<-Z)<-+61n2,所以-5-61112<6<-2-61113.

3.(23-24高二下•广东惠州•期中)已知函数〃X)=；X3-4X+4.

(1)求曲线V=的图象在点(1，/⑴)处的切线方程；

(2)若方程"X)=才有3个不同的根，求实数k的取值范围.

［答案］⑴9x+3y_10=0；

【分析】(1)利用导数的几何意义求出曲线y=〃x)在点(1,/。))处的切线方程.

(2)利用导数求出函数/(X)的极值，并作出其图象，数形结合求出左的范围.

【详解】⑴函数/3=白3-4X+4,求导得r(x)=x2-4,则=而八1)=；,

所以曲线)，=/("的图象在点(1J⑴)处的切线方程为＞-g=-3(x-l),即9为+3y-10=0.

(2)函数〃X)=$3-4X+4,定义域为R,求导得广(X)=X2-4=(X-2)(X+2),

当工£(一8,-2)U(2,+8)时,/z(x)＞0,当不£(—2,2)时，/'(%)＜0,

函数/(x)在(-a,-2),(2,+。)上单调递增；在(-2,2)上单调递减，

OOA

则当x=-2时，“X)取得极大值当工=2时，/(X)取得极小值

作出函数/(x)的图象，如图，

若方程〃X)=上有3个不同的根，则直线了=左和函数了=/("的图象有3个交点,

A98

观察图象知，当-§＜左＜?■时，直线了=左和函数＞=/(力的图象有3个交点，

所以实数上的取值范围为,*g]

4.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数〃x)=1+21nx.

(1)求曲线V=/(”在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)求函数/(尤)的零点个数.

【答案】(1)》-了=0

(2)0

【分析】(1)先求切点，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程.

(2)求导，分析函数的单调性，根据函数的极值判断函数零点的个数.

112

【详解】(1)函数/(x)=、+21nx,可得/(尤)=

所以/'⑴=1且/(1)=1,即切线的斜率为左=1且切点坐标为(1,1),

所以切线方程为夕-l=x-l,即x-y=O.

2r—1

(2)由(1)知,/'(%)=——,x>0,

当时，单调递减

当xe时，/(%)>0,/(x)单调递增，

所以当x时，函数/(X)取得极小值，也为最小值，/Q^=2+21n1=2-21n2>0,

所以〃x)>0,所以函数“X)没有零点，即函数〃x)的零点个数为0.

题型三：函数的图象与函数零点问题

典型例题

例题1.(2024・陕西榆林•模拟预测)已知函数/(x)=/-x-alnx.

⑴若函数/(x)单调递增，求实数”的取值范围；

(2)若函数/■(》)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围.

【答案】⑴,叱-可；

⑵(O,l)U(l,+8).

【分析】(1)将问题转化为r(x"0恒成立，参变分离后根据二次函数性质可得；

(2)构造函数g(x)=q^,xe(O,l)51,+8),利用导数判断函数单调性，根据直线了=。

与g(x)的图象有一个交点可得a的范围.

【详解】⑴函数/(X)的定义域为(0,+8),r(x)=2x-l-p

因为函数/(尤)单调递增，所以2x-l-在区间(0,+到上恒成立，

即aW2/-x在区间(0,+。)上恒成立，

因为2/一x=2(x」［二，所以当x=J时，(2x2-x),=-：，

I4J84'8

所以aV-g,即实数。的取值范围为

O

(2)因为/⑴=0,所以、=1是/(%)的一个零点.

当XW1时，由/(x)=、2—x—alnx=0,得aX-x

(2x-l)lnx-(x-l)

记g(%)=彳一-,XG(0,l)u(l,+a?),则g'(x)=

(inx)2

I己人(x)=(2x—1)Inx—(x—1),贝lj/(x)=21nx--+1,

io1

记加(尤)=2如x--+1,则加'(无)=一+二＞0,所以加(x)在(0,+8)上单调递增,

又加⑴=0,所以当xe(0,l)时，加(x)＜0,当xe(L+oo)时,m(x)＞0,

所以，”x)在(0,1)上单调递减，在(1,+句上单调递增，

所以，当x=l时，有最小值〃(1)=0,

所以,当xe(O,l)u(l,+8)时,/z(x)＞0,即g'(x)＞0,

所以，g(x)在区间(0,1)和(1,+功上单调递增，

因为X趋近于1时，g(x)趋近于1,X趋近于0时，g(x)趋近于0,X趋近于.时，g(x)

趋近于+00,

作出函数g(x)的图象如图：

尸g(x)

由图可知，当0＜。＜1或。＞1时，直线＞与g(x)的图象有一个交点，

即/'(X)在区间(0,1)"1,+。)上有一个零点,

所以，当0＜。＜1或。＞1时，/(x)在(0,+“)有两个零点，

所以，实数°的取值范围为(。,1)。(1,+8).

【点睛】关键点睛:第二问关键在于当xe(O,l)31，+s)时，参变分离，构造函数g(x)=^^

利用导数判断函数g(x)的单调性，数形结合即可求解.

例题2.(23-24高二下•山东聊城•期末)已知函数/(x)=(ae，-b)x-e*+b.

(1)当6=0时,求/(x)的单调区间;

(2)若/'⑺的导函数;(x)满足人劝“一)恒成立.

(I)求。的值；

<n)讨论/(x)零点的个数.

【答案】(1)见解析

(2)(I)a=2(口)见解析

【分析】(1)分类讨论a>0,a=0,a<0,结合导数得出单调区间；

(2)(I)根据极值的定义确定彳=-；是/'(x)的极小值点，进而得出”的值；(II)分离

参数，构造函数〃(》)=生生0,并结合导数得出其图像，数形结合得出/卜)零点的个

x-1

数.

【详解】(1)6=0时，/(x)=ex(ax-1),xeR,f\x)=ex(ax-\+a),

当Q=0时，f\x)=-ex<0J(x)在R上单调递减；

当aW0时，/'(x)=ae，(x---1］，

若Q〉0,则时，/O)<0,/(x)单调递减；

a

i时，/a)>oja)单调递增；

a

若"0,则％<工-1时，/'(x)〉0J(x)单调递增；

a

x>,一1时，/(x)<0,/(x)单调递减；

a

综上，。=0时，/(X)的单调减区间为(-叫+8),无单调增区间；

a>0时，"X)的单调减区间为单调增区间为匕-1,+"］；

°<0时，/(X)的单调增区间为单调减区间为(：T,+")；

(2)(I)由/(x)=(ae--b)x-e"+b,f(x)=ex(ax+a-l)-b,xeR,

因为/‘(X)恒成立，所以/'(-|)是/(X)的最小值，

即％=-；是/⑴的极小值点.

令g(x)=f(x)=e"(ax+tz-1)-b,g'(x)=ex(ax+2a-1),

且g'||=屋5(^_1]=0,解得a=2.

此时8。)=炉(2*+3)6<-：时，g'(x)<O,g(x)单调递减，即/'(X)单调递减;

3

时，g'(x)〉o,g(x)单调递增，即/'(X)单调递增，

所以''(》)2/(-卞,符合题意.

故”2.

(II)由(I)知/(%)=(2e*—e”+6=e*(2x—1)—6(x—1),

因为/⑴=ew0,所以/(x)零点的个数等价于方程6=e”(2xf实根的个数.

X—1

廿(21)xex(2x-3)

令h(x)=则h\x)=

x-1(I),

3

所以当x<0或、>：时，/'(x)〉0;

3

当0<x<l或l<x<3时，/'(x)<0,

即〃(x)在(-叱0)和《，+金上单调递增，在(0,1)和上单调递减,

当Xf-oo时，x-1^-00,e"-0,2x—l-—8,所以/z(x)-O,

3

又h(O)=l,h4靛，所以〃(无)的大致图象如图所示:

所以当640或6=1或6=40时，

方程6=4(2"-1)恰有一个实根,/(x)零点的个数为1；

x—\

3

当0<6<1或6>4”时，

eI(2x-l).

方程6=恰有两个实根，/(x)零点的个数为2；

X-]

当l<6<4e，时，方程6=e'(二］)无实根,/")零点的个数为0.

【点睛】关键点睛：解决问题(H)时，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出单调

性，进而由图像判断零点个数.

例题3.(2024高三•全国•专题练习)已知a>0且函数/(x)=H(x>0),若曲线

ax

y=/(x)与直线y=i有且仅有两个交点，求”的取值范围.

【答案】(l,e)U(e,+a))

【分析】由题意得方程l(X>0)有两个不同的解，方程变形得两边取对数整理

得皿=皿，令8(幻=止@>0),分析g(x)的单调性和值域可得。的取值范围.

XaX

【详解】曲线y=〃x)与直线了=1有且仅有两个交点，

可转化为方程二=1(》>0)有两个不同的解，

a

方程h=l(X>0),化为4=x"，两边取对数得xlna=〃lnx,即也=皿，

axxa

即方程—=—有两个不同的解.

xa

令g(x)=也二(%>。)，贝!Jg'(x)=lT：，(x>。)，

X%

令g'(x)=上半=0,解得x=e,

X

当xe(0,e)时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增；

当xe(e,+8)时，g'(x)<0,此时g。)单调递减.

故g(x)max=g(e)=,，且当X>e时，g(x)e(0」)，

ee

又g(l)=0,所以。〈啊<L解得l<a<e或a>e,

ae

故。的取值范围是(l,e)U(e,+s).

例题4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/■(元的图象在点(0,7(0))处的切线方程为

ax+b

2x+y+1=0,