辽宁省辽阳市2024-2025学年高二年级上册1月期末考试数学试卷

辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁,

则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（）

A.5种B.6种C.8种D.9种

22

2.若双曲线C:=-4=l（a>0,6>0）满足-46=0,则C的渐近线方程为（）

ba

A.y=±-^xB.y=±-^xC.y=±2xD.y=±4x

3.下表是离散型随机变量J的概率分布，则尸（Jw2）=（）

4.已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47

种子的结实率为85%,辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取

一穗这一穗结实的概率为（）

A.0.86B.0.87C.0.88D.0.89

5.已知4（2,0）,5（-1,1）,动点〃（尤））满足百|附|=五门■网，记动点H的轨迹为曲线C,

则曲线C的方程为（）

A.x?+「+16x-4y+8=0B.x?+y~-8x+4y+8=0

C.x?+-16x+4y+8=0D.尤?+y~+16x—4y-8=0

6.元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红

海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一

个景区，则不同的安排方法种数为（）

A.1280B.300C.1880D.1560

试卷第1页，共6页

22

7.已知A,8分别为椭圆C:=+斗=1（。>6>0）的左、右顶点，。为C的上顶点，。为

ab

坐标原点，£为C上一点，且位于第二象限，直线/E,BE分别与y轴交于点H,G.若。

为线段。H的中点，G为线段。。的中点，则点E到x轴的距离为（）

b4ib3b4b

AA.—D.---C.—D.-

2255

8.在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制.已知

甲在每局比赛中获胜的概率均为比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军

的条件下，比赛进行了五局的概率为（）

二、多选题

9.某手机商城统计的2024年5个月手机的销量V（万部）如下表所示:

月份7月8月9月10月11月

X12345

y223m4

根据表中数据用最小二乘法得到的了关于月份编号x的回归直线方程为5>=O.5x+L3,则

（）

A.m=3

B.V与％正相关

C.当月份编号X增加1时，销量增加0.5万部

D.预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部

10.已知在三棱台NBC-431cl中，_L平面48C,AB.LAC,AB-AC=AA{-lAyB1-4,

------1——.

C,M=-CXC.以A为坐标原点，AB,AC,/4所在直线分别为x,z轴建立空间直

角坐标系，如图所示，则（）

试卷第2页，共6页

A.亲=（-2,4,-4）

B.AMLBfi

C.异面直线24与4c所成角的余弦值为叵

10

D.点3到直线4c的距离为2新

11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出.如图，叶形线

=叼经过点/0T］，点P（比0，〉。）在。上，则下列结论正确的是（）

A.直线y=f与C有3个公共点B.若点尸在第二象限，贝!|x°+为＜0

C.x0+y0>-1D.Xo+%43

三、填空题

12.已知尸为抛物线C:/=8x的焦点，A为抛物线C上一点.若以同=11,则点尸的坐标

为，点A的横坐标为.

13.1一+?1》-1）7的展开式中含d项的系数为.（用数字作答）

14.在正六棱柱MCDE尸百耳中，A^=2AB=4,M,N分别为EE1,的中点，

则点A到平面CMN的距离为.

四、解答题

试卷第3页，共6页

15.已知直线/:履一＞一4左+6=0,直线加：x-y=o平分圆C：(x-2y+(y-//=4

(1)若左=1,直线/与圆C交于A,B两点，求V48c的周长；

⑵若直线/过定点过点”作圆C的切线，求定点M的坐标及切线方程.

16.为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行

调查，这800名消费者中中老年人的人数为300,青年人的人数为500,其中中老年人喜欢

网上购物的人数是中老年人不喜欢网上购物的人数的2倍,青年人喜欢网上购物的人数是中

老年人喜欢网上购物的人数的2倍.

喜欢网上购物不喜欢网上购物合计

青年人

中老年人

合计

(1)请将上面2x2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢

网上购物与年龄有关；

(2)按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上

购物方向进行调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为X,

求随机变量X的分布列和期望.

n(ad

附:2n-a+b+c+d.

”(a+b)(c+d)(a+c乂6+d)

(Z=尸(722k)0.050.010.001

k3.8416.63510.828

17.如图，在多面体/BCOEE中，AE1ABCD,平面FCD_L平面48cD,AB//CD,

ABIAD,AFCD为等腰直角三角形，且DF,AD=CD=2AB=2AE.

试卷第4页，共6页

(1)证明：斯〃平面/DE.

(2)求平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值.

18.小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每

箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想

模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分

布.

⑴若随机变量&服从正态分布NJ。?)，从J的所有取值中随机抽取个数

据，记这小个数据的平均值为x,则随机变量x服从正态分布

(i)若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平

均质量为乙求尸(F44960).

Gi)若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数

据都在(4900,5100)内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克.小法举报了该大型

超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由.

(2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量

在(4900,5200)内的箱数为Z,求Z的方差.(结果保留两位小数)

附：①若随机变量〃服从正态分布N(〃,4),则尸(〃-b<〃V〃+b”0.6827,

P(〃-2b<〃4〃+2b)B0.9545,尸(〃一3b<〃4〃+3b)“0.9973；②通常才巴发生概率/］、于

0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.

22(、历、

19.已知椭圆C|：［+4=l(a>6>0)的长轴长为2夜，且G经过点1，一.椭圆G的对

ab2.

试卷第5页，共6页

称中心为原点O,焦点在X轴上，且G的离心率与。的离心率相等，G的短轴长与。的长

轴长相等.

⑴求椭圆G与的标准方程.

⑵若〃卜0，汽）koH土质汽H±l）为上的点，过点//作G的切线，设切点分别为M,N,

试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

⑶若？（异于G的左、右顶点4，4）为椭圆G上的点，直线网与C2交于点£,F,直

线与C?交于点尸，Q,求I跖|+|尸。I的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案BDBBCDDAABABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据分步乘法计数原理得到答案

【详解】小青从北京到山东有3种乘坐方式，从山东到辽宁有2种乘坐方式，

所以共有3x2=6种.

故选：B

2.D

【分析】根据双曲线渐近线的性质直接可得解.

【详解】由双曲线C://=1（a>0力>0）的渐近线方程为k±?，

由a-4b=0,得q=4,

b

则。的渐近线方程为y=±4x,

故选：D.

3.B

【分析】根据分布列的性质可得。=2,根据对立事件运算求解.

【详解】由题意可得：刍+£+!+!=1，解得a=2,

24826

711

所以尸（绊2）=1-尸整=1）=1三=适

故选：B.

4.B

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为60%x85%+40%x90%=87%=0.87.

故选：B.

5.C

【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可.

【详解】因为=拒阿即3|必［=2］期I

答案第1页，共12页

则3［（》-2）2+/］=2［（》+1）2+廿一1〃，整理可得x2+/-i6x+4y+8=0.

故选：C.

6.D

【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解.

【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1,1,1,3或1，1,2,2.

当各组人数为1,1,1,3时，共有xA：=480种安排方法;

一，A：3「

Cc©c；

当各组人数为1,1,2,2时，共有xA：=1080种安排方法.

故不同安排方法有480+1080=1560种.

故选：D.

7.D

【分析】根据平行关系，列出线段的比例关系式，即可求解.

OGOB\EF\AF

【详解】过点E作成，x轴，垂足为下.由题意可得▽局=下

nrnr\OrlAO

即”一。，回=吐21,两式相乘，化简得幽=3,

\EF\a+\OF\2baa5

所以因=1一也=2,则忸目=

2ba55

故选：D.

8.A

【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解.

【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为=

2228

答案第2页，共12页

若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为C；出xlxl=A;

若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为

设甲获得冠军为事件A,比赛进行了五局为事件8,

10O1

所以甲获得冠军的概率为尸(4)=g+/+”=7，

o16162

比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为P(AB)=—,

16

3

故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为驾a=¥■='1.

P⑷JL8

2

故选：A

9.AB

【分析】根据回归直线方程过样本中心点求出加判断A,利用回归直线方程的性质和概念判

断BCD.

_1_

【详解】由表中数据，计算得x=1x(l+2+3+4+5)=3,所以y=0.5x3+1.3=2.8,

贝!]2+2+3+加+4=2.8*5,解得加=3,A说法正确；

由回归直线方程中尤的系数为正可知，了与x正相关，且其相关系数r>0,B说法正确；

当月份编号x增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误；

2025年2月份对应的月份编号x=8,j=0.5x8+1.3=5.3,D说法错误；

故选：AB

10.ABD

【分析】对于A,根据题意求出点4和C的坐标即可得配的坐标；对于B,求出而和麻

的坐标，计算数量积百？•窕即可判断；

对于C,求出函与万的坐标，利用夹角公式即可求解；对于D,利用向量求距离的公式

八麻「隼军即可求出.

V1IMlJ

【详解】根据题意可得，4(2,0,4),C(0,4,0),则而=(-2,4,-4),故A正确;

答案第3页，共12页

力(0,0,0),C(0,4,0),C,(0,2,4),CC1=4)CM=|cq=：Q,2,4

/=(0,4,0),

则押=次+•=(0,4,0)+[0,=[0,|j,

因为加.麻=|x4+|x(-4)=0,所以W4C,故B正确；

8(4,0,0),公(0,0,4),则函=(-2,0,4),4C=(0,4,-4),设异面直线8片与4c所成的角

为巴

I—.--IBB「4c16V10

则cose=C0S55,，4C=「L=//=♦,故c错误；

1阴114cJ4+16XJ16+165

SC=(-4,4,0),则点3到直线4c的距离为

216

d=t|SC|-军竿=,16+16-f;>1=2^,故D正确.

V1[|阂jvU16+16J

故选：ABD.

11.BCD

【分析】对于A,联立方程求解的个数即可判断，对于B,由

/+/=3孙=(x+y)[(无+为2-3中].结合％为<0可判断，对于C,通过点POofo)在第一、

第二第四象限逐个判断即可，对于D,结合C中得到的3町(x+y+l)=(x+»,再结合基

本不等式得到也立<3[出[求解即可.

x+y+1I2J

【详解】因为叶形线叼经过点/1,空，所以-3.

联立X+.V=孙,，解得x=y=o,所以直线y=一》与。只有1个公共点，A错误.

J=-X,

•?+>3=3孙=(x+y乂/f+y2)=(x+y)[(x+y)--3孙].

因为点尸在第二象限，所以%为<0,(Xo+%y_3xo%>o,

3尤o%

所以尤。+%=；-----7工—<n°,B正确.

(%+为)-3xoyo

答案第4页，共12页

若点尸在第四象限，则%为＜0,可推出x0+y0＜Q.

因为x3+_/=3盯=(x+y)H-孙+/

(…人。,

所以3xy(x+y+l)=(x+y)3.当点尸在第二、四象限时，x0+y0+l=

3%%

所以/+为＞-!.当点尸是原点或在第一象限时，易得

所以％+为＞T,C正确.

由对(x+y+l)=(x+y)3,可得3a=丫，解得x+”3,所以x0+为V3,

x+y+\\2)

D正确.

故选：BCD

12.(2,0)9

【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标，由焦半径公式可求A的横坐标.

【详解】由题意得抛物线C的焦点为尸(2,0).设/(元)),因为司=x+2=ll,所以尤=9.

故答案为：(2,0)；9.

13.-7

【分析】根据多项式乘法，找到(XT),展开式中的彳3项和一项即可.

工2+?［。-1)7的展开式中含d的项为一

【详解】-cy■(-1)4+-C^6.(-1)'=-7x5,

故口2+/)0-1)7的展开式中含V项的系数为-7.

故答案为：-7

14.叵2H

77

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.

【详解】连接ND,BF,设其交点为O.由正六棱柱的性质知，ADLBF,且08=0尸,

取4月的中点尸，连接。尸，则平面4BCDEV.

答案第5页，共12页

以。为坐标原点，OB,OD,0。所在直线分别为1轴、＞轴、z轴建立空间直角坐标系.

因为=2/8=4,M,N分别为EE1,34的中点，

所以40,-1,0),C(6,2,0),M(-73,2,2),N出04

则就=(百,3,0),CM=(-273,0,2),西=(0,-2,2).

设平面CW的法向量为五=(x,%z),

n-CM=-2s[3x+2z=0,

则—.令了=1,贝!J"=

n-CN=-2y+2z=0,

_\AC-n\4、历

故点A到平面CMN的距离d==9上

同7

故答案为：生包

7

15.⑴4+2也

(2)Af(4,6),切线方程为x=4或3x-4y+12=0

【分析】（1）圆心C（2j）在直线加上，则2T=0,解得f=2,所以圆心C的坐标为（2,2）,

半径为2,由垂径定理得到弦长叫=2后，得到周长；

（2）变形求出定点河的坐标为（4,6）,当切线斜率不存在时，直线x=4满足要求，当切线

3

斜率存在时，设出直线方程，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出上=从而求

4

出答案.

【详解】（1）当先=1时，直线/的方程为无一了+2=0,

圆心C（2,f）在直线机上，则27=0,解得f=2,

答案第6页，共12页

所以圆心C的坐标为（2,2）,半径为2.

|2-2+2|

圆心。到直线/的距离d==V2,

Vi+T

所以|/同=2{2?-（板）2=2也，

所以VN8C的周长为4+2后.

（2）直线/的方程为息-y-4左+6=0,即（尤-4）左-y+6=0,

由」[x-4+6==0,°得fx=:46

所以定点W的坐标为（4,6）.

当切线斜率不存在时，（2,2）到x=4的距离为2,

易得直线x=4为圆C的一条切线.

|2左一2-4左+6|

当切线斜率存在时，由一/乂=2,

J/+1

3

解得上=：，

4

则直线/的方程为3x-4y+12=0.

故所求切线的方程为x=4或3x-4y+12=0.

16.（1）列联表见解析，有

Q

（2）分布列见解析，|

【分析】（1）由独立性检验的知识补全2x2列联表求出卡方判断即可；

（2）从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为X,可知X服从超几

何分布，计算概率求得分布列，计算数学期望即可.

【详解】（1）根据题意可得2x2列联表如下：

喜欢网上购物不喜欢网上购物合计

青年人400100500

中老年人200100300

合计600200800

答案第7页，共12页

,n(ad-bc)800(400x100-200xl00j

Z=——、/'、/————r=----------------------二17.778>10.828,

7(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50O<300x600x200

所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关.

(2)根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中，4人是青年人，2人是

中老年人，

再从这6人中随机抽取4人，则X的可能取值为2,3,4.

C；C：_2

尸(X=2)-X)

"CT'S)罟噌尸(』)瞪$

所以X的分布列为

X234

281

P

51515

oQ1R8

则E(X)=2X(+3XR+4X'1,即随机变量X的期望为:.

17.(1)证明见解析

1

⑵5

【分析】(1)取CD的中点O,连接。3,OF,结合直角三角形性质利用面面平行的性质

定理得。下，平面/BCD,再根据线面平行的判定定理得OB〃平面ZDE,从而利用面面平

行的判定定理和性质定理证明即可.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面夹角的余弦值.

【详解】(1)取CD的中点O,连接。2,OF.

因为△尸CD为等腰直角三角形，且C尸'DF,所以。尸，8.

又平面CDF_1_平面ABCD,平面CDFc平面ABCD=CD,所以。9_L平面ABCD.

因为N£_L平面A8C。，。/u平面/BCD,所以。尸〃ZE.

又OF平面/DE,NEu平面4DE,所以。尸〃平面/DE.

因为CZ>=24B,所以48=。。，又OD〃AB,

所以四边形/BOD为平行四边形，则

因为。5①平面4DE,40u平面4DE,所以08〃平面4DE.

又。8c。尸=。，08,0尸u平面08尸，所以平面O即〃平面.

因为8尸u平面。皮"所以即〃平面月。E.

答案第8页，共12页

(2)由题可知NB,AD,/E两两垂直，故以A为坐标原点，AB,AD,/£所在直线分

别为x轴、＞轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设48=1,则5(1,0,0),(0,2,0),£(0,0,1),F(1,2,1),

=(-1,0,1),丽=(1,2,0),瓦=(0,-2,1).

设平面BEF的法向量为4=(X］，H，zJ,

BE-m=0,-/+Zj=0,

则由＜—得

EF-m=0,再+2弘=0,

令必=1,得比=(-2,1,-2).

设平面。防的法向量为4,

DE/=0,-2y+z=0,

则由＜一得22

EF/=0,x2+2y2=0,

令%=1,得力=(一2,1,2).

/一一、成•万11

所以cos(加,〃)==Q，则平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值为大

mw99

18.(1)(i)0.02275；(ii)理由见解析

(2)14.85

【分析】(1)⑴求出吟=400=202,可得y~N(5000,202),根据正态分布的对称性可

求尸(YV4960)；

(ii)由⑴得尸(YV4960)a0.02275,根据0.02275＜0.05,可得小法购买的这25箱苹果

质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论；

答案第9页，共12页

(2)由正态分布的对称性求出得尸(4900<K<5200)=0.8186,可得随机变量

7-5(100,0.8186),再利用二项分布的方差公式求解即可.

【详解】(1)(i)—=400=202,所以y~N(5000,202).

25

因为尸(〃-2b<y4〃+2cr)a0.9545,

1-09545

所以P(FW〃-2b”——-——=0.02275.

因为4960=5000-2x20,

所以尸(丫44960)=尸(丫4〃-2cr卜0.02275.

(ii)由⑴得尸“V4960卜0.02275.

因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，4958.77<4960,0.02275<0.05,

所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，

小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由.

(2)设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K,则K~N(5000,10000).

由4900=5000-100,5200=5000+2x100,得

*4900<K<5200)=尸(5000-100<K<5000+200)="6827,9545=08186.

根据题意易得随机变量2~3(100,0.8186),

£>(Z)=100x0.8186x(1-0.8186)«14.85.

222

19.W—+y=1，—+'y=1

(2)是，定值为

(3)6

【分析】(1)先确定G方程，再结合离心率及长轴、短轴求G；

(2)设切线了-%=左口-％),联立椭圆方程，结合韦达定理及a为椭圆c,上的点，即可

求证；

(3)先确定L•机=-;，在分别设直线码的方程为y=«x+收)，则直线以2的方程

为J=-：("-亚)’结合弦长公式即可求解；

答案第10页，共12页

【详解】（1）根据题意可得a=也.

（、历、2211

将