切线、公切线及切线法应用-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题3-1切线、公切线与“切线法”应用

目录

【题型一】“在点”切线1：有切点........................................................1

【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................2

【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................3

【题型四】“在点”切线4：分段函数切线.................................................3

【题型三】“过点”切线1...............................................................................................................................4

【题型四】“过点”切线2：切线条数.....................................................5

【题型五】“过点”切线3：最值与范围...................................................5

【题型六】双函数公切线................................................................6

【题型七】三角函数的切线..............................................................6

【题型八】切线与倾斜角................................................................7

【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离.....................................8

【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值.....................................8

【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参....................................9

【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参....................................10

【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参...........................11

【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等....................................11

【题型十五】综合应用.................................................................12

二、真题再现..........................................................................12

三、模拟检测..........................................................................13

热点题型归纳

【题型一】“在点”切线1：有切点

【典例分析】

已知函数/（尤）=（依+3）e-+xlnx（其中e为自然对数的底数）的图象在Q"⑴）处的切线的斜率为8,

则实数。的值为（）

A.1B.2C.eD.3

【提分秘籍】

基本规律

基本规律

以曲线上的点（XO,f（X0））（已知X0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤:

①求出函数/（X）的导数/（X）;

②求切线的斜率/（xo）;

③写出切线方程y—八*0）=#5））（*—xo）,并化简.

【变式演练】

1.已知函数⑴，则曲线＞=/（元）在点（2"（2））处的切线方程为（）

A.6x—y—S=0B.6x-y+8=0

C.6x+y+8=0D.6x+y-8=0

2.已知函数/（x）="+ar（a＜0）在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为:，则实数。的值为

C.-3

3.已知函数/（力=/-/”卜+2,则〃尤）的图象在点（2,”2））处的切线的斜率为（）

A.一3C.-5

【题型二】“在点”切线2：无切点

【典例分析】

已知四条直线4：y=x,4：，=3x-2,l3:y=3x+2,从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数

了（无）=尤3的图象相切的概率为（）

【变式演练】

L以下曲线与直线，=贸-e相切的是（）

A.x1+y-=\B.y=e*y=e¥Inxy=—ex'

2

2.若曲线＞=祀'+%与y=2x+l相切，则实数a=（

3.直线丫=5工一6与曲线yu-gx+lnx相切，则6的值为（

【题型三】“在点”切线3：双参型

【典例分析】

己知。,匕为正实数，直线y=x—。与曲线y=ln(x+b)相切，则工+工的最小值为()

ab

A.2B.4C.5D.6

【提分秘籍】

基本规律

多参数，对应方程恒成立求参

【变式演练】

1.若曲线y=d+依在点(1J⑴)处的切线方程为，=6元-根，贝|加=()

A.3B.-3C.2D.-2

2.已知函数了(》)="2_6111彳在点(1,〃1))处的切线为'=1,贝指+b的值为()

A.1B.2C.3D.4

3.已知函数/(x)=alnx-加的图象在x=l处与直线y=-g相切，则函数了⑺在[l,e]上的最大值为

()

A.-1B.0C.--D.1

2

【题型四】“在点”切线4：分段函数切线

【典例分析】

已知函数图像关于原点对称，则/(X)在x=-l处的切线方程为()

，/、绢/一无，尤＞0

/(X)气3

、g(x),x＜0

A.3x-y+2=0B.3x-y-2-0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0

【提分秘籍】

基本规律

分类讨论决定切点的位置和切点的个数。

【变式演练】

1.已知函数〃到=[?1[]'尤＞。，曲线＞=/(力与直线y=g-1+ln2有且仅有一个交点，则实数上的

IKX,X_U

取值范围为()

11

A.—,+ooB.—,+ooC.(l,+oo)D.[l,+oo)

22

2.已知函数/(%)满足〃x+l)=11n(X；］)］〉—］函数g(x)=/(%)-〃-%)恰有5个零点，则实数〃的取

值范围为()

A・B.C.［-：,：)D,

x2+x+〃,x<0

3.已知函数/(x)=1的图象上存在不同的两点AB,使得曲线y=/(x)在这两点处的切线

—,x〉0

x

重合，则实数”的取值范围是.

【题型三】“过点”切线1

【典例分析】

设毛>1,曲线〃x)=alnx-3x+2a在点P(Xo,O)处的切线经过点(0,2e),则。+/=()

A.eB.y/2eC.D.2e

【提分秘籍】

基本规律

曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(xo,大祝))为切点的切线方程的求解步骤:

①求出函数九X)的导数/(X);

②求切线的斜率/(X。);

③写出切线方程y~J(xd)=f(xo)(x^xo),并化简.

%=/(%)

(2)如果已知点(打，〃)不在曲线上，则设出切点(祝，yo),解方程组小小、得切点(祝，yo),进

而确定切线方程.

【变式演练】

einX

1.写出。的一个值，使得直线x+ay-a=。是曲线y=±的切线，则环.

2.已知直线y=G；（aeR）与曲线y=ln无相交于两点，则a的取值范围是

3.函数/（无）=/过原点的切线方程是.

【题型四】“过点”切线2：切线条数

【典例分析】

若过点（SJ）可以作曲线y=i型的两条切线，贝I（）

A.5>ln/B.s<ln/C.Z<ln5D.t>]ns

【提分秘籍】

基本规律

“过点”切线条数，可以通过设切点坐标，写出切线方程，转化为求切点横坐标的根的个数或者根的

范围。

【变式演练】

1.已知函数/（x）=（x+l）e，,过点M（l,力可作3条与曲线y=/（x）相切的直线，则实数f的取值范围

是（）

2.若过点（加,〃）可以作曲线y=log?尤的两条切线，则（）

A.>log2nB.>log2mC.<log2nD.n<log2m

3.过点（0,6）作曲线y=e，的切线有且只有两条，则b的取值范围为（）

A.（0,1）B.C.（争』D.（0,1]

【题型五】“过点”切线3：最值与范围

【典例分析】

已知函数〃x）=e、+b的一条切线为y=ox+。，则曲的最小值为（）

【变式演练】

1.已知曲线“x）=|lnx|在点（番,〃%））与（尤2，〃%））处的切线互相垂直且相交于点户（4，儿），则（)

_x,+x2

2D-、。二口

A.-x2=-1B.xx-x2=eC.%-丁-

2.若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

3.过直线y=x-l上一点p可以作曲线/(x)=x-lnx的两条切线，则点尸横坐标f的取值范围为()

A.0<r<1B.l<t<e

C.0<t<eD.-<t<l

e

【题型六】双函数公切线

【典例分析】

若函数/(x)=3x+'-3(x>0)的图象与函数g(x)=fxe'的图象有公切线/，且直线/与直线y=--x+2

x2

互相垂直，则实数r=()

A.—B.e2C.-或2&D.一或4五

eee

【提分秘籍】

基本规律

公切线，要注意从以下两方面考虑

1.两个曲线有公切线，且切点是同一点

2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

【变式演练】

L若函数/(x)=f+l与g(x)=2alnx+l的图象存在公共切线，则实数。的最大值为()

A.-B.eC.&D.e2

2

2.若直线丁=丘+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=历(1+1)的切线，贝1)左=()

A.2B.4C.e2D.e-2

3..若曲线y=lnx与曲线::y=x2-上有公切线，则实数上的最大值为()

71,71,1c

A.—+—ln2B.---ln2C.-+-ln2D.-------In2

82822222

【题型七】三角函数的切线

【典例分析】

函数/(x)=fcosx-2sinx在x=7t处的切线在y轴上的截距为()

2兀一兀2

A.Jr2—2TTB.2KC.兀2—2

2-2兀

【变式演练】

1.设函数/(尤)=$3+m_1)/+asinx,若/(%)为奇函数，则曲线y=/。)在点(0,0)处的切线斜率为

()

A.3B.2C.1D.；

2.过曲线'=。。翻上一点且与曲线在P点处的切线垂直的直线的方程为()

^

A2X+-cc27rle

-2=0B.2x+y------------=0

^32

C2-

十cC2万1c

X-2=0D.2x-y------+—=0

32

3.已知函数〃x)=3sinx-4cosx,则曲线y=/(x)在点(0,〃0))处的切线方程为()

A.y=3x-4B.y=。C.y=-^D.y=-4%+3

【题型八】切线与倾斜角

【典例分析】

设点P是曲线、=尤3一6*+2上的任意一点，尸点处切线倾斜角为a,则角a的取值范围是.

【提分秘籍】

基本规律

切线与倾斜角：

切线斜率三种形式：k=tana,k=—~,k=f'（尤）

1.X2-X1

2.切线与斜率的关系，多为求函数值域与范围。

【变式演练】

1.函数y=2M(x+l)+sinx的图象在》=0处的切线对应的倾斜角为。，则$示2a=()

2.已知P是曲线C:y=lnx+Y+(6-上的一动点，曲线C在尸点处的切线的倾斜角为6,若

qwev],则实数。的取值范围是()

A.[2A/3,0)B.[20,0)C.(-*2百]D.卜*20]

1-jr

3.已知M是曲线y=ln尤+]无无上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于:的

锐角，则实数。的取值范围是（）

A.[2,+oo）B.[4,+oo）C.（-oo,2]D.（-co,4]

【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离

【典例分析】

已知111西_再_必+2=0,x2+2y2-5-21n2=0,贝（占一/?+（X-%）?的最小值为（）

【提分秘籍】

基本规律

直线与曲线最短距离，方法主要是“切线平行法”

【变式演练】

1.曲线y=e，上到直线丁="+&的距离为义的点的个数为（)

A.4B.3C.2D.1

2.曲线y=lnx上的点到直线y=x+2的最短距离是（）

A.272B.还C.旦D.夜

23

3.已知实数a,b,c,d满足：=至=共=1,其中e是自然对数的底数，则（a-c）2+S-d）2的最小值

ba-1

是（）

A.7B.8C.9D.10

【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值

【典例分析】

设P为曲线y=e，上一点，Q为曲线y=lnx上一点，则的最小值为（）

A.正B.1C.J2D.2

2

【提分秘籍】

基本规律

两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图

【变式演练】

1.已知函数y=e4A3的图象与函数>的图象关于某一条直线/对称，若尸，。分别为它们上的

两个动点，则这两点之间距离的最小值为.

2.已知点P为曲线y=史上的动点，。为坐标原点.当10Pl最小时，直线OP恰好与曲线相切，

e

则实数。=—.

3.若zeR,贝！)(再-e»丫+(N七，『的最小值是

A.1B.2C.3D.4

【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参

【典例分析】______

已知函数/(x)=b'一、一2羽苍,0,,若关于x的不等式/(x)>ax-e(e是自然对数的底数)在R上恒成

xlnx,x>0,

立，则〃的取值范围是()

,1-e211(1-e21)

A.—B.---■

3e2j3e2J

【提分秘籍】

基本规律

【变式演练】

1.已知函数/(%)=6*+加+2初在xe(0,+co)上有最小值，则实数。的取值范围为()

A.B.C.(-1,0)口.~,-幺

2.已知P是曲线C:y=lnx+，+(若-a)无上的一动点，曲线C在尸点处的切线的倾斜角为6,若

则实数a的取值范围是()

32

A.[26,0)B.[272,0)C.(-8,26]D.卜仁2夜]

3.若曲线…过点(-2,0)的切线恒在函数/⑺=ae-2+g-3b+1-1的图象的上方，则实数。的取

值范围是.

【题型十二】“切线法应用”题型4：零点(交点)求参

【典例分析】

若函数/(x)=lnW-依+1有3个零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,1]

C.(-1,1)D.(-l,0)U(0,l)

【提分秘籍】

基本规律

零点思维：

L分参，水平线法

2.分离函数，切线法

3.移项到一侧求导讨论法

【变式演练】

2X—X2,X>0

1.已知函数=1]<0,若函数g(X)=|〃X)|-X+"2恰有三个零点，则实数机的取值范围是

)

B.(2,+oo)u(0,^-,

A.(一8,-2)u(,0]

-2,一；u[0,+oo)：,2卜[0.+8)

C.D.

2.已知函数/(x)=elnx-1x-41,xe[1,e2].^y=/(%)的图象与x轴有且仅有两个交点，则实数。的取值

范围是()

A.[l,e]B.(0,e]C.[l,e2-2e]D.(0,e2-2e]

14—x2%W2

3.函数/(%)=〈/"…gM=kx-3k,若函数/⑴与g(©的图象有三个交点，则实数人的取值范

[log3(x-l),x>2

围为()

A.(272-6,0)B.(273-6,0)C.(-2,0)D.(2右一6,0)

【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参

【典例分析】

已知函数/（"=履（x+l）-lnx,若/⑺w。有且只有两个整数解，则上的取值范围是（)

色2In3"

c・1而立D.

【变式演练】

1.已知函数/（%）=〃/-3，若有且仅有两个正整数，使得/（尤）<0成立，则实数〃的取值范围是

()

9191_L2]

A.B.57VC.D.2e9e2J

2..已知不等式Xlnx+(x+l)左<2Hn2的解集中仅有2个整数，则实数上的取值范围是(

(J4、⑶4八「2】-1「3142.小

A.0,-ln-B.-ln-,-ln2C.-In2,+ooD.-ln-,-ln2

I43j1433)3)433)

3.若关于x的不等式“°一x）>e*（2xT）（其中有且只有两个整数解，则实数。的取值范围是

()

【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等

【典例分析】

已知直线丁="（4£曲与曲线y=lnx相交于”（西,乂）、N%,%）两点，若％<%2，则下列结论错误的是

（）

A.0<^<eB.Xj+x2>2eC.必>1D.yx+y2<2

【变式演练】

1.已知相，〃为实数，不等式Inx-Anx-川<0恒成立，则一的最小值为.

m

2.若直线/与函数/（x）=e，，g（x）=lnx的图象分别相切于点人（&“%））,台优超仁）），则占々-玉+无2=

3.若曲线y=Inx在点尸（为,%）处的切线与曲线y=e'相切于点。（程力），则”"+%

—1

【题型十五】综合应用

【典例分析】

过点尸（l,〃7）（〃?eR）有"条直线与函数”彳卜及1的图像相切，当”取最大值时，加的取值范围为（)

A,-4<-<e

B.--1<m<0C.--<m<0D.m<e

eee

【变式演练】

1.

"产:U若方程仆）=依-1有且仅有三个实数解,则实数。的取值范围为

已知函数〃x）=

x+2%—1,%«0

()

A.0<(2<lB.0<tz<2C.a>\D.a>2

2.已知函数/（%）=lnx,g（%）=^+l,若存在—使得/（Xo）=g（ro）,则实数。的取值范围是（）

-2e，1。4,2e

A.B.一一C.D.

e2ee

史利=左伏＞）有且仅有两个不同的实数解。，。的＞夕），则以下有关两根关系的结论正确的

3.已知方程0

X

是

A.cos"="in。B.sin0=-"os。C.cos0=0cos(pD.sine=-8sin0

3尽真题再现

1.若过点6）可以作曲线y=e，的两条切线，则（)

A.eb＜aB.e"<b

C.Ovave"D.0<b<ea

2021年全国新高考I卷数学试题

2.若直线/与曲线y=&和x2+/=|都相切，则I的方程为（

)

i1

A.y=2x+1B.y=2x+yc.y=1x+lD.产万户万

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标m）

3.函数=的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为（)

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2%+l

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）

4.曲线）=f在点（T-3）处的切线方程为.

2021年全国高考甲卷数学（理）试题

5.曲线y=cosxg在点（0,1）处的切线方程为.

2019年天津市高考数学试卷（文科）

6.已知曲线y=+xlnx在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+b,贝|

A.a=e,b=-lB.a=e,b=lC.a=e~\b=}D.a=e~\b=-l

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标HI）

7.设函数/⑴=丁+（〃-1.2+依.若为奇函数，则曲线y=/（x）在点（0,0）处的切线方程为（）

A.y=-2xB.y=fC.y=2xD.>=了

2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）

一4

8.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线>=X+-（入〉0）上的一个动点，则点尸到直线1+产0的距离的最小

x

值是.

2019年江苏省高考数学试卷

9.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=h«上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e,-l）（e为自然

对数的底数），则点A的坐标是一.

2019年江苏省高考数学试卷

-Inx,0<x<1,

10.设直线h,12分别是函数f（x）={,,图象上点Pl,P-2处的切线，11与12垂直相交于点P,

Inx,x>1,

且h,12分别与y轴相交于点A,B,则APAB的面积的取值范围是

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,+oo）D.（l,+oo）

2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）

11.已知函数“X）=H,再<0,*2>°，函数/（X）的图象在点/（%1））和点B（工2,/（尤2））的两条切线

互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则陪答取值范围是_______.

IBNI

2021年全国新高考II卷数学试题

1.函数f（x）=lnx+依存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数。的取值范围是（)

A.(-<»,2]

C.(2,4-00)D.(0,+oo)

2.如图所示，函数)=/(力的图像在点尸处的切线方程是y=-2x+10,则“4)+/'⑷的值为()

3.曲线y=3m无在点尸处的切线与直线x+2y-2=。垂直，则点尸的横坐标为()

A.eB.1C.3D.2e

4.已知函数/(%)=6cosx+sinx,.曲线y=/(x)在点处的切线方程为()

A.y=2x--+V3B.y=2x-

33

C.j=-x+—+73D.y=-x+生-6

33

5.函数y=21n(x+l)+cosx的图象在工=0处的切线对应的倾斜角为a,则cos2a=()

,3333

A.—B.±—C.—D."-.

1010