平面向量及其应用（单元重点综合测试）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

平面向量及其应用（单元重点综合测试）

（考试时间：150分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

—.1—»

1.如图，在平行四边形48cD中，点£满足=,点尸为CD的中点，贝+（）

A.-AB+-A15B.-AB+-ADC.-AB+-AI5D.-AB+-AD

23242424

【答案】B

【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定

理的应用

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】因为屉■比，所以瓦=皮+屋=在一3诟.

34

因为点尸为CZ•的中点，所以万^=7万+丽=7万+g诟,

所以无+箫=:益+;诟.

故选：B.

2.已知£=（1,一2）4=（》,4）,"=（3,2）,若（。+加）二=一2贝产的值为（）

A.3B.-2C.2D.-3

【答案】D

【知识点】数量积的坐标表示

【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得尤的值.

［详解］（a+g）=（无+1,2卜（3,2）=3x+3+4=—2,x=—3.

故选：D

3.已知同=4,恸=3,a-b=-12,则向量B在&方向上的投影向量为（）

33—4一4

A.--aB.--bC.——bD.--a

4433

【答案】A

【知识点】求投影向量

【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.

【详解】设a与B的夹角为夕，

则向量B在z方向上的投影向量为

一一12一3一

6Z=---xa——a

11同1「丽,同F424

故选：A.

4.ZUBC中，角4瓦c所对的边分别为a,6,c,若。=退力=&,/=],则3=()

713兀

A.-B.—

44

【答案】A

【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用

【分析】由正弦定理可得s由?再由边角关系确定角的大小即可.

,V3_VI「

【详解】由题意，在△NBC中一二=、，则一^=嬴万，所以sinS=¥，

sin/sin5sin-2

3

因为、。，叽所以8弋或去又…,"J,所以

故选:A

5.已知G是△NBC的重心，过点G作一条直线与边/8,/C分别交于点瓦尸(点瓦尸与所在边的端点均不

—.—.―,—.11

重合)’设回x/£,C，则h]的最小值是()

A.1B-IC.2D.4

【答案】B

【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用重心性质以及平面向量共线定理可得x+y=3,再由基本不等式计算可得结果.

—►2—►—►1—.1—，

【详解】如图，取2c中点。，则/Gu彳NDMDn^/B+T/C,

322

「E,G,尸三点共线，/.|+1=1,即x+y=3,

11iCi）（vQiA。、4

•一+—=+z+."）—+—=a2+—+—中（2+2）=a，

xy3yJ3\^xyj33

3

当且仅当x=y=：时，取等号.

即一1+一1的最小值是4;.

xy3

故选：B

6.在△ZBC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,Z5^C=120°,c=2,b=\,。为3c边上一

点，且/BAD=90。，贝心/CD的面积为（）

【答案】D

【知识点】三角形面积公式及其应用

【分析】由己知可得gbcsinNB/CuicTD.sinNB/D+g^/rusinNZMC,可求4D,可求ANCO的面

积.

【详解】因为在△/BC中，ABAC=120°,又D为BC边上一点,且NA4D=90。，

所以ACAD=ABAC-/BAD=120。-90°=30°,

又S-ABC=S-ABD+SKAD，所以,6csin/A4C='c・/Z）・sin/A4Z）+'b・/Z）・sin/ZUC，

/、△/ID△/iDLJ△Lx/lX-*'/'y‘222

所以工xlx2x@=Lx2x/O+LxlxNDxL,解得=,

222225

诉“0_1,2731_V3

/TT以S——x1x-----x——.

“A8rn25210

故选：D.

7.雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”

之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度（塔底视为点2,塔

顶视为点/）,在山脚下选取了两点C,D（其中4,B,C,。四点共面），在点C处测得点4,2的

仰角分别为60。，30°,在点。处测得点/的仰角为30。，且测得。。=72国，则按此法测得的雷峰塔

塔高为（）

A.68mB.70mC.72mD.74m

【答案】c

【知识点】高度测量问题

【分析】延长DC与48的延长线交于点E,根据角的关系得』C=C。，AB=BC,设Z2=x,在MBC

中由余弦定理得列式得/C=瓜，从而有氐=72若，即可求解.

【详解】如图，在A/CO中，延长OC与N8的延长线交于点E.

A

^\D

七CD

由已知得N4OE=N5C£=30。，N4CE=60。,

则N54C=N5C4=NG4Q=3O。，贝lj4C=C。，AB=BC,

设AB=x,贝ljBC=x,

yiZABC=120°,则在△45。中，由余弦定理得=4加+5。2—2Z5.8CCOSN/5C,

即NC?=x2+--2x-x(-解得/C=瓜，所以CD=J§x，

又因为CD=72#>,所以x=72（m）.

故选：C

8.在中，AB=AC=4-\/2，当4eR时，+的最小值为4.右=A/S，

2P=sin20AB+cos20AC，其中，则|砺|的最大值为（）

A.2B.272

C.2V5D.4V2

【答案】B

【知识点】求二次函数的值域或最值、向量加法的法则、向量模的坐标表示、平面向量共线定理的推论

【分析】由|方+%前|的最小值为4可得△N8C的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量

坐标化，利用平面向量共线定理以及。的取值范围表示出I后I的表达式，再由二次函数单调性即可求得

\IMPI\max=2V2.

【详解】如下图所示：

在直线2c上取一点。，使得丽=/L8C，所以次+/1就=2§+而=与,

当4018C时，|万+4前|取得最小值为4,即|访|=4；

又AB=AC=g所以可得△NBC是以A为顶点的等腰直角三角形，

建立以A为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：

又而=标可得〃为的中点,

由AP=sin26AB+cos2OAC以及sir?9+cos?。=1可得尸在5c上,

可得/（0,0）,川0,4后）＜（4＞历,0）,屈（0,2/），

所以在=仅,4旬，衣=（4衣0）,可得尸（4夜cos23,4V2sin2,

则MP=（4板cos26,40sin261-2近），

JTjr1

令cos20=f,由。e可得cos»=fe0,-

所以&?=(4万,2夜-4呵,

\MP\=+(20-4"『=，64〃-32f+8,

由二次函数y=64r-32f+8在te0,；上单调递减可得麻="64x0-32x0+8=2五.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用|存+九万斗的最小值为4判断出a/BC的形状，将向量坐标化

并表示出模长表达式，利用函数单调性可求得结果.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设万，B是两个非零向量，下列命题正确的是（）

A.若石石=0,则&〃BB.若商Z=|同1可，则

C.若M,则小D.若忖+司=归一可，则

【答案】BCD

【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示

【分析】根据向量关系式表示垂直和平行，以及向量的数量积公式即可逐个选项判断.

【详解】对于选项A,因为*3=0,3,B是两个非零向量，所以力工行，故A错误；

对于选项B,小]同步际,冉=同同所以cos,3）=南1同b=1,

又0M（扇勺＜兀,所以R石）=0,所以万〃不，故B正确；

对于选项c,因为所以*3=0,所以a石=但•盯=0,故c正确；

对于选项D,因为归+同=归_同,所以归+可一=口-.2,从而万于=0,

所以1人石，故D正确.

故选：BCD

10.设△/8C内角43,C的对边分别为a,6,c,则下列条件能判定△NBC是等腰三角形的是（）

A.acosA=6cos5B.asinB=bsinC

C.cos（A+C）=cosBD.C=2QCOSB

【答案】BD

【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状

JT

【分析】对于A,由正弦定理可得sin2/=sin28,从而得4=5或4+3=],即可判断；对于B,由正

7T

弦定理可知sin/=sinC,即有a=c,即可判断；对于C,由三角形内角和为兀及诱导公式可得2=万,

即可判断；对于D,由正弦定理及两角和差公式可得sin（4-H）=0,从而得/=3,即可判断.

【详解】解:对于A,由正弦定理可知$111/＜：054=$111_88S_8,HPsin2A=sin2B,

jr

所以4=5或4+3=5'

所以△/5C是等腰三角形或直角三角形，不符合题意；

对于B,由正弦定理可知sinZsin5=sin5sinC,

又因为sin5w0,所以sin/=sinC,

所以Q=。，

所以△45。是等腰三角形，符合题意；

对于C,因为8$（/+。）=-855=8$5,解得cos5=0,

7T

所以5=',△/吕。是直角三角形，不符合题意;

对于D,由正弦定理可知sinC=2sin4cos5,

所以sin(/+8)=2sin/cosB,

BPsinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,

sinAcosB-cosZsin8=0,

即sinQ_5)=0,

所以4=5,△/^C是等腰三角形，符合题意.

故选：BD.

11.如图，△A8C是边长为1的等边三角形，BD=^BC,点P在以CD为直径的半圆上（含端点），设

AP=xAB+yAC,贝U()

A.了的值不可能大于1B.AD=-AC+-AB

33

C.万.益的最小值为g

D.不.益的最大值为1

【答案】BD

【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律

【分析】对于A,利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B,根据等

边三角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D,利用平面向量的线性运算,

整理所求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案.

【详解】对于A选项，过点尸作尸交/C延长线于C-

过点P作尸片〃NC交于用，作图如下:

在平行四边形/耳尸。中，AP=AB}+AC1=xAB+yAC,由|葡/则y>l,故A选项错误;

对于B选项，AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AC+-AB,故B正确;

3333

对于C、D选项，取线段CD中点E,连接/E,PE,作图如下:

APAB^AB-(AE+EP)=AB-(AC+CE+EP)AB-AC+AB-CE+AB-EP,

在等边三角形48c中，易知屈=；屈，所以刀.就=1x1x8560。=3,

11---------2-------------

7B-CE=1X-XCOS60°=-,则而在=-+-+ABEP=-+AB-EP,

36263

27---------111

设酢与丽的夹角为氏易知。e0,—,贝l]/8-EP=lxw.cosOe

33o3

—►—►1

所以“必/尸©-,1,故C选项错误，D选项正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设无不是平面内不共线的一组基底，AC=3a+kb,BC=2a+4b,CD=4a-7.b,若43,。三点共线，则

实数心.

13

【答案】y

【知识点】已知向量共线（平行）求参数

【分析】借助向量线性运算可得冠、BD，再利用向量共线定理计算即可得.

【详解】lB=AC-Jc=（3a+kb）-（2a+4b）=a+（k-4）b,

BD=BC+CD=,2.a+4b+4a-2b=6a+2b

由4民。三点共线，则有9=f,解得上==.

623

13

故答案为：—.

13.在△45。中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知(c-b)sinC=(a+b)(siib4-sin5).则/=.

【答案】y

【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用

【分析】利用正弦定理边角互化得到02+/一/=历，结合余弦定理求得A.

【详解】因为(c—6)sinC=(a+6)(siib4—sin5),

由正弦定理得(c—b)c=(a+»(a-b),整理可得//=庆，

c2+b2-a2be_1jr

则co』=JB.0<A<7t,故N=§.

2bc2b^~2

故答案为：y

14.如图，AP、N。是某水域的两直线型岸边，ZPAQ=120°,4D是4以。的角平分线，且40=2.某

养殖户准备经过。点安装一直线型隔离网2C(B、C分别在加、上)，围成△NBC养殖区.若

48、4c都不超过8,则隔离网3C长度的取值范围是.

【答案】4瓜浮

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围

【分析】设A8=c,/C=b,〃，利用S/BC=%助+S“cz)结合三角形的面积公式可得出be=2(b+c),

由0<b<8,0<c<8,求出。的取值范围，可求出炉的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本

性质可求得〃的取值范围，即为所求.

【详解】设/B=c,AC=b,BC=a,由题意可得/A4O=NC/D=60°,且皿=2,

因为S&ABC=S"BD+S.ACD，即:besin120°=5c•ADsin60°+；6，4Dsin60°,

可得bc=2(6+c),由题意可知，0<Z?<8,0<c<8,

0<c<8

所以，b=-^-Q

由,2c解得§VcV8,

c-20<b=——<8

c-2

所以，bc=^-2c2-8+8c，8Q

-------------=2c+4+-------=2(c-2)+—-+8,

c-2c-2c—2

令f=c-2eI，6,因为函数y=2f+；+8在停,2）上单调递减，在（2,6）上单调递增，

所以，当/£—,6时，y=2t+—+8e16,—,则16«be«了，

由余弦定理可得。?=b1+c2-2bccos120°=b2+c2+bc=（6+c）2-bc=^[bc^-be

=*c一2Ale48,等,故4限04?,

因此，8c的长的取值范围是46,浮.

故答案为：46,空.

【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：

（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量3=（一1,3）,B=（X,2）,且

⑴求B+4；

⑵求G-否与&的夹角.

【答案】（1）5

（2）45°

【知识点】向量夹角的计算、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数

【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得x=l,即可求得；

（2）根据向量夹角的坐标公式计算即可求得.

【详解】（1）因为向量3=（-1,3）,B=（X,2）,所以=

由，一得l+2x—3=0,解得x=l,所以3=（1,2）.

又N+3=（0,5）,所以5+同=初+52=5.

（2）设向量1一3与向量2的夹角为夕，

一\a-b\'a5

因为匚（-1,3）,j=（-2,1）,则8S*后丽二而7rh

XO°<0<18O°,所以6=45。,

即向量与向量"的夹角是45。.

16.在△4BC中，角/,8,C所对的边分别为见上。，已知C=2/.

（1）求证：c=2acosA；

（2）若6=5,且。+c=10,求△/BC的面积.

【答案】（1）证明见解析；

（2）1^1

4

【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三

角形

【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理计算可得结果；

（2）利用余弦定理以及各边长度代入解方程可得。=4,再由三角形面积公式计算可得结果.

【详解】（1）由。=24可得sinC=sin2/=2sinZcos4,

根据正弦定理可得c=2acosA.

（2）由c=2acosA可得。=2Q•'十。———，

2bc

整理可得6/=a{b2+c2-a1^,即（〃一-4-ab）=0；

解得4=6或c2-q2-Qb=0；

当Q=b时，由b=5,Q+C=10可得a=b=c=5,与C=24矛盾，舍去；

可得。2一。2一仍=0,代入6=5,Q+C=10可得。0-。）2-5。=0,

解得。=4,所以c=6；

由c=2acos4可得cos/=—,BPsinA=;

44

所以△ZBC的面积为S=—besinA=-x5x6x^-=^^-

：2244

17.△45C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,^=|,a=M，.

（1）若在横线处填入力=近，求5；

（2）给出两个条件：

①内角A的平分线长为苧；

②3C边上的中线长为平.

从条件①②中选择一个填入横线，求△/8C的面积S.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.

【答案】（l）B=t

（2）56

【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量减法法则的几何

应用

【分析】（1）用正弦定理求出sinB,可得出角B的两个值，再根据“大边对大角，小边对小角”得出结

果.

（2）条件①：用等面积法列出S=BC=S」CE+SME对应的6、。关系式，结合余弦定理解出6c的值,

_AD=AC+AB

可以求出aMC的面积；条件②：以/8、/C为邻边作平行四边形N8DC,列出一一一，将

BC=AC-AB

两式平方相加可得出的值，再结合余弦定理解出6c的值，可以求出的面积.

ab阳A-

【详解】（1）由，得.Dbsm/AGv"21，

sin/sin5smB=-------------=——]乙

aV212

因为△45。中，BG（O,n）,

所以8=2或卷，

66

又因为a=>b=J7,所以所以4=2.

（2）选择①：设/氏4C的平分线交3C于点E,

则AE=2。6,NBAE=NCAEJ,

96

,S/XABC=S“cE+S/\ABE，

—Z)c-sinABAC=—bAE-sinZCAE+—cAE-sinNBAE,

222

,20z,x,9.

be=——(b+c),n即nb+c=——be,

9V720

在WBC中，由余弦定理cosABAC=_+c-2=(He)'仆，

2bc2bc

Jx2bc=[[be]-2bc-(V^T)，

.­.27(加y—4006c-2800=0,/.(be-20)(276c+140)=0,

•.”＞。,"。，.g20—0=3而八5五

选择②：以/8、/C为邻边作平行四边形，记作平行四边形N8DC,

A

AID=AC+AB

则有＜,两式平方相加得:=2

BC=AC-AB

即AD2+BC2=2(AC2+AB2)

又结合已知：AD=2x—=y/61,BC=a=后,

2

可解得那=4i,即筋=41,

在ZX/BC中，由余弦定理得：a2=b2+c2—2bc-cosA,

将/=a=V2Tf〃+°2=41代入解得：be=20,

S^ABC=；bcsinZ=；X20X^^=5G.

18.在△/5C中，内角450所对的边分别为。也c,已知向量菽满足或=（2凡-指），元=（任岫6）,

且加_L联

⑴求角A；

（2）若△ZHC是锐角三角形，且。=3,求△45。周长的取值范围.

【答案】⑴/=g或*

（2）（3+373,9]

【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或

范围、向量垂直的坐标表示

【分析】（1）由浣，»得到2a.而in5=Cb,再利用正弦定理求解；

⑵根据。=3和/=方，利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由6+c=6sin,+j求解.

【详解】（1）解：•・・加_1_〃，

二•2a•6sinB-ab=0,即2。•6sinB=ab.

由正弦定理得2sin/sin2=gsinB.

/?

sin5w0,sinA=——，

2

•../e(0,7i),...4=?或|•兀.

(2)・・・。=3,且三角形4BC为锐角三角形，

：.A彳=—兀.

3

上=上=，,=26

•••由正弦定理得sinZsin5sinC73.

~2

••.b=2Gsin5,c=2A/3sinC.

：.b+c=2G(sin5+sinC)=2GsinB+sin|--B

(J7i)

=2A/3sinJ5H-----cosB+—sinB

122J

又•••△ZBC为锐角三角形，.•.（）<8<],

苦，此。苫,界2+H

71

<sin(3+^)<1,3A/3<6sinB+-<6,

6

*'•3^/3<6+cW6，乂；。=3,

3+3也<a+b+c<9.

.•.△4BC的周长的取值范围为（3+36,9].

19.如图，45是单位圆上的相异两定点（。为圆心），且（。为锐角）.点C为单位圆上的动

点，线段NC交线段05于点M.

⑴求次•存（结果用。表示）；

⑵若。=60°.

①求•赤的取值范围：

②设的"无（0<t<l）,记0"上=&）,求函数的值域.

AMBM

.0

【答案】（D-ZsiV：

⑵①[0,3];②（。,2）

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx（型）函数的值域和最值、半角公式、数