人教B版高中数学选择性必修一讲义：两条直线的位置关系

2.23两条直线的位置关系

。常考题型目录

题型1平行垂直关系的判定..........................................................................2

♦类型1斜率判定两条直线的平行垂直关系.....................................................2

♦类型2一般式判断两条直线的平行垂直关系...................................................6

题型2由平行关系求参数...........................................................................10

♦类型1利用斜率关系求参数.................................................................10

♦类型2一般式方程关系求参数...............................................................11

题型3由垂直关系求参数...........................................................................14

♦类型1利用斜率关系求参数.................................................................14

♦类型2一般式方程关系求参数..............................................................17

题型4由平行关系求直线方程.......................................................................20

♦类型1由斜率求直线方程...................................................................20

♦类型2由一般式求直线方程.................................................................22

题型5由垂直关系求直线方程.......................................................................24

♦类型1由斜率求直线方程...................................................................24

♦类型2由一般式求直线方程.................................................................25

题型6过交点的直线系方程.........................................................................27

题型7取值范围问题................................................................................32

Q知识梳理

知识点一.两条直线的相交、平行与重合

L若直线A:y=kix+ba:y=k2X+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组已：然［F的解的情况进行

判断，得出结论:①Zl与6相交：的丰英；②)与6平行：七=卜2且瓦丰历；③九与6重合：七=七且匕1=b2

2.设直线〃：Aix+Biy+Ci=0,〃:A2X+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.

因为vi=(Ai,Bi)是直线4的一个法向量，V2=(AzB2)是直线人的一个法向量，则：

①〃与6相交(只有一个交点)的充要条件是V1与V2不共线，即AIB2/A2BI

②h与〃平行或重合的充要条件是vi与V2共线，即AIB2=A2BI，其中人与分重合的充要条件是，存在实

数

AI=AA2,BI=AB2,CI=AC2O

3.直线Ax+By+J=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是Ci^C2,重合的充要条件Ci=C2

知识点二.两条直线的垂直

1.一般地,若已知平面直角坐标系中的直线A:y=Gx+bi,6:y=k2x+b2,（ki,k2存在且不为0）可得4

_1_），则上次2=1・

2.设直线A：Aix+Biy+Ci=O,^:A2X+B2y+C2=0,因为vi=（Ai,B。是A直线的一个法向量，V2=（A2,B2）是

人直线的一个法向量，所以A-L^,则V1±V2，则A1A2+的B2=o.

磔题型分类

题型1平行垂直关系的判定

【方法总结】

一.判断两条直线是否平行的步骤：

看斜率：

1.斜率都不存在=看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行

2.斜率存在=看斜率是否相等：①斜率相等时=看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截

距不相等时：两条直线平行.

②斜率不相等时，两条直线不平行.

二工若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件4，〃OA1A2+B1B2=0判断.

（2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件4_L60kll<2=1判断.

（3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断.

♦类型1斜率判定两条直线的平行垂直关系

【例题111（多选）（2022秋•山东济南•高二校考期中）若0与%为两条不重合的直线，它们的倾斜角分

别是的,a2,斜率分别为七,k2,则下列命题正确的是（）

A.若斜率/q=3，贝UhIII2B.若心心=一1，则匕-Lh

C.若倾斜角的=a2,贝!|hII/2D.若的+a?=TT,贝必112

【答案】ABC

【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC,举反例可判断D.

【详解】对于A,若两直线斜率的=k2,则它们的倾斜角的=a2,则匕II/2,正确；

对于B,由两直线垂直的条件可知，若如电=-1,则二112，正确；

对于G由两直线平行的条件可知，若倾斜角的=a2,则匕II12，正确；

对于D,若的+«2=TT,不妨取的=，g,

D

则自=tana：!=V3,fc2=tana2=-V3,不满足好心=一1，不垂直，错误,

故选：ABC

【变式11】1.(2023•江苏•高二假期作业)判断下列各题中直线匕与%是否平行.

(1)匕经过点4(-1,-2),B(2,l),%经过点M(3,4),；

(2)。经过点4(-3,2),B(—3,10),%经过点M(5,—2),N(5,5).

【答案】Q)不平行

⑵平行

【分析】(1)求出口、&2，即可判断；

(2)求出小G的方程，即可判断.

【详解】(1)因为匕经过点,B(2,l),所以。=子|=1,

又％经过点M(3,4),N(-1,—1),所以3=三三=上

4—1—54

因为％Hki2(所以h与A不平行；

(2)直线〃经过点4(-3,2),B(-3,10)的方程为%=-3,

直线L经过点M(5,-2),N(5,5)的方程为x=5,

故直线人和直线％平行；

【变式11】2.（2023•江苏•高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由.

（1）匕:3%—2y—7=0,%：2%+3y—1=0；

（2）Zi：y-2=0,l2.y+1=0.

【答案】（1）垂直，理由见解析

⑵平行，理由见解析

【分析】分别写出直线口G的斜率，即可判断出其位置关系.

【详解】（1）设直线匕，G的斜率分别为灯，fc2.

因为七=|，七=一|，

所以历•用=-1

从而与（2垂直；

（2）因为脑=卜2=。，-2不1,

从而。与12平彳丁.

【变式11】3.（多选）（2023•江苏•高二假期作业）以2（-1）,C（1,4）为顶点的三角形，下列结论正

确的有（）

A.kAB=-|

B-fcBC=-J

C.以4点为直角顶点的直角三角形

D.以B点为直角顶点的直角三角形

【答案】AC

【分析】对于AB,利用斜率公式计算判断，对于C,通过计算以B•心c判断，对于D,通过计算心B-ABC判

断.

【详解】对于A,因为4（一1,1）,8（2,-1）,所以的B=早?=一|，所以A正确，

对于B,因为B（2,-1）,C（l,4）,所以跖。==-5H-;，所以B错误，

对于C,因为左48=-，々AC="j-7=I/所以《8,匕4c=—|X7=—1/

所以4B1AC,所以△ABC以4点为直角顶点的直角三角形，所以C正确,

对于D,因为心B=-|，喙=-5,所以%B-睢丰-1,所以D错误，

故选：AC

【变式11]4.侈选）（2022秋•高二课时练习）下列说法中，正确的有（）

A.斜率均不存在的两条直线可能重合

B.若直线h112,则这两条直线的斜率的乘积为-1

C.若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直

D.两条直线Z/2,若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，贝明1h

【答案】ACD

【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.

【详解】对于A,若h：尤=0/2：2久=0,则匕,G斜率均不存在，但两者重合，故A正确；

对于BD,若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为-1,

故B错误；D正确；

对于C,根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为-1时，这两条直线垂直，故C正确.

故选:ACD.

【变式11】5.（2023・上海•高二专题练习）已知直线y=久cosa和n:3x+y=c，贝1|（）

A.m和n可能重合

B.m和n不可能垂直

C.存在直线m上一点P,以P为中心旋转后与n重合

D.以上都不对

【答案】C

【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为-1判断；C选项由两直线不平

行，得出两直线相交判断.

【详解】对A,直线?n:y=xcosa,斜率为的=cosa；

直线n:3x+y=c,斜率为七=一3；

七*七，所以m和n不可能重合，A错误；

对B,cosa=(时，的.0=T,m和n垂直，所以B错误；

对C,由自丰期知m和n不平行，设m、n相交于点P,

则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确.

故选：C.

♦类型2一般式判断两条直线的平行垂直关系

【例题12](2023•高二课时练习)判断下列各组直线的位置关系：

(1)Z1：(V3-l)x+y+3=0,Z2：2%+(V3+l)y+1=0；

：2

(2)lr-.y[2x—y+1=0,Z2(a+1)尤—2a=0,aeR.

【答案】平行相交

【分析】根据直线方程分别求出两直线的斜率，利用两直线斜率之间的关系判断直线的位置关系

【详解】(1)由直线①(V3-l)x+y+3=0,知直线斜率为1-V3,

由直线G：2x+(V3+l)y+1=0,知直线斜率为一岛=一息磊石=1-V3,

两直线的斜率相等，且两直线不重合，故两直线平行；

由直线小V2x-y+1=0,知直线斜率为近,

由直线6(a2+l)x-2a=0,知直线斜率不存在，所以直线匕与直线相交.

故答案为：平行；相交

【变式12】1.（2023春・上海杨浦•高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（）

A.2%—3y—5=0与4%—6y—5=0B.2%—3y—5=0与4%+6y—5=0

C.2%—3y—5=。与3%—2y—5=0D.2%—3y—5=。与6%+4y—5=0

【答案】D

【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为-1两直线垂直，即可判断.

【详解】对于A：直线2x-3y-5=0的斜率为|,直线4x-6y-5=。的斜率为|,

故两直线平行，故A错误；

对于B:直线2x—3y-5=0的斜率为|,直线4x+6y-5=0的斜率为一|,

斜率之积不为-1,即两直线不垂直，故B错误；

对于C：直线2久—3y-5=0的斜率为|,直线3x-2y-5=。的斜率为|,

斜率之积不为-1,即两直线不垂直，故C错误；

对于D:直线2x-3y—5=。的斜率为|,直线6x+4y-5=0的斜率为—|,

斜率之积为-1,即两直线垂直，故D正确；

故选：D

【变式12]2.（多选）（2023•江苏高二假期作业）下列各直线中，与直线2x-y-3=0平行的是（）

A.2ax—ay—6=0（a。0,a。2）

B.y=2x

C.2%—y+5=0

D.2%+y-3=0

【答案】ABC

【分析】利用两直线平行的条件即可判断各选项.

【详解】直线2x-y-3=0,即y=2%-3的斜率为2,在y轴的截距为-3,

对于A,直线2ax-ay-6=0（aH0,aH2）,即y=2%-，（aH0,a42）的斜率为2,在y轴的截距为一|丰

-3,所以两直线平行，A正确；

对于B,直线y=2x的斜率为2,在y轴的截距为0丰-3,所以两直线平行，B正确；

对于C,直线2%-y+5=0,即y=2“+5的斜率为2,在y轴的截距为5丰-3,所以两直线平行，C正确；

对于D,直线2x+y-3=0的斜率为-2,所以两直线不平行，D错误.

故选:ABC.

【变式12]3.（2023•江苏高二假期作业）直线ex+dy+a=0与dx-cy+b=0（c,d不同时为0）的位置

关系是（）

A.平行B.垂直

C.斜交D.与a,hc,d的值有关

【答案】B

【分析】分d与诸B不为零和d与c中有一个为零讨论即可.

【详解】d与c不能同时为0,

①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为-5•；=-1,

故两条直线垂直；

②当d与c中有一个为零时，

若d=0,cH0时，则两直线分别为ex+a=。与cy-b=0,两直线垂直,

若c=0,dH0时，则两直线分别为dy+a=。与dx+b=0,两直线垂直，

故两条直线垂直.

故选：B

【变式12】4.（2020秋•上海长宁•高二上海市延安中学校考期中）已知直线Gx-y-1=0,动直线

l2-Ck+l)x+ky+k=O(fcGR),则下列结论错误的是()

A.存在k，使得"的倾斜角为］；

B.对任意的k,h与(2都有公共点；

C.对任意的k"i与％都不重合；

D.对任意的k,"与％都不垂直；

【答案】C

【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A;联立匕与G的方程，由(2k+1)%=0恒有解判断B;取

k=-5寸，匕与%重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D.

【详解】解：当k=0时的倾斜角为：,此时办的方程为％=0,故A正确；

联立方程组I+二；，；晨=°，得期+1)-=0,此方程恒有解，

故对任意的k,"与/2都有公共点，B正确；

当卜=一加，号=g=.，此时人与G重合，故C错误；

因为匕:久—y—1=0的斜率为1,当k=0时，匕与L不垂直；

当k中0时，%的斜率?=-1-^-1,所以对任意的k,匕与%都不垂直，D正确；

故选：C.

【变式12】5(2023・全国•高三专题练习直线小ax+y-l=0与直线%：x-ay-1=0的位置关系是)

A.垂直B.相交且不垂直C.平行D.平行或重合

【答案】A

【分析】分a=0和a*0讨论，其中a中0时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断.

【详解】当a=。时/直线，i：y-1=0,直线%：%-1=0,此时两直线垂直，

当a丰。时，直线匕的斜率姮=-a,直线％的斜率心=;,

因为自•的=-1,则两直线垂直,

综上两直线位置关系是垂直，

故选：A.

题型2由平行关系求参数

【方法总结】

设直线A：y=kix+bi,^:y=k2X+b2,则有

24与人的斜率都存在,分别为,ki,k2则1/60kl=k2力1。b2

2.设直线A：Aix+Biy+Ci=O,^:A2x+B2y+C2=0,4〃〃=AIB2=A2BI,且直线不重合

♦类型1利用斜率关系求参数

【例题21]（2023秋•高二单元测试）已知直线匕的倾斜角为30。，直线匕〃6,则直线%的斜率为（）

A.V3B.-V3C.-3D.--3

【答案】C

【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.

【详解】因为直线k的倾斜角为30°,所以3=tan30°=亨,

又，1〃%，所以曷2=电=y-

故选：C.

【变式21】1.（2023•江苏•高二假期作业）已知过力（-2,何和4）的直线与斜率为-2的直线平行，则

m的值是（）

A.-8B.0C.2D.10

【答案】A

【分析】由两点的斜率公式表示出直线XB的斜率心B,再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.

【详解】由题意可知，kAB=宅=-2,解得巾=-8.

故选：A

【变式21】2.（2022秋•高二课时练习）若直线y=-3+得与直线V=-3-抨行，则a的值为（）

A.2B.±2

C.V2D.±V2

【答案】D

【分析】利用直线平行的性质得到关于a的方程组，从而得解.

【详解】因为直线y=-永+（与直线y=-如一抨行，显然a*0,

（1a

所以-5*=二42—2：°，解得a=±&,

1^-2aH—5

所以a=±V2.

故选：D.

【变式21]3.（2023秋•高二课时练习）过点4（-2,7n）,B（m,4）的直线与直线2x+y-l=0平行，则m的

值为（）

A.0B.—8C.2D.—2

【答案】B

【分析】根据斜率公式，求得%B=震，结合两直线的平行关系，列出方程，即可求解.

【详解】由点4（-2,m）,BO,4）,可得服B=震，

因为直线旗与直线2“+y-1=。平行，可得鬻=-2，解得巾=-8.

经检验，所得m满足两线平行.

故选：B.

♦类型2一般式方程关系求参数

【例题221（2023秋•重庆长寿•高二统考期末）若直线匕：（a-2）x+y+1=0与直线％：2x-（a+l）y-2=

。互相平行，则实数的值为（）

人.2或0B.1C.0D.0或—1

【答案】C

【分析】根据题意结合直线平行运算求解，注意检验防止出现重合.

【详解】若直线匕：(a-2)x+y+1=0与直线%：2%-(a+l)y-2=0互相平行，

则—(a—2)(a+1)=2,解得a=0或a=1,

当a=0时，直线2x-y-1=0与直线%：2x-y-2-0平行，符合题意；

当a=1时，直线x-y-1=0与直线G：x-y-1=0重合，不符合题意；

综上所述：a=0.

故选：C.

【变式22】1.(2023春・上海黄浦•高二统考期末)两直线ax+y-l=0与4x+ay-2=0平行，贝必的值

是_____；

【答案】-2

【分析】根据直线平行的充要条件即可求出.

【详解】因为两直线ax+y-1-0与4x+ay-2=0平行，

当a=0时，显然y-1=0与4x-2=0不平行,

当a中0时，有沪"，解得a=-2,

故答案为：-2.

【变式22]2.(2023春•江西赣州•高二校联考阶段练习)已知命题p：直线ax+3y-4=0与x+(a+2)y+

2=0平行，命题q：a=-3,则q是p的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题P等价于a=-3或a=1，结合充分不必要条件的判断即可求

解.

【详解】直线ax+3y-4=0与x+(a+2)y+2=0平行，则俨(眈；)3,解得a=—3或a=1,所以

命题P等价于a=-3或a=1,命题q:a=-3.

则由命题P不能得到命题q，但由命题q可得到命题P,则q是P的充分不必要条件.

故选：A.

・

【变式22]3.(2023春上海宝山•高二统考期末)已知直线mx+3y+1=0,/2：x+(m+2)y+2m-1=

0.

⑴若h〃12，求实数小的值；

(2)若直线％在两个坐标轴上的截距相等，求实数小的值.

【答案】Q)m=-3

⑵-1或g

【分析】(1)根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解；

(2)根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解.

【详解】(1)直线匕：+3y+1=0,l2：x+(m+2)y+2m—1=0.

I0l)m(m+2)=1x3,解得zn=—3或m=1,

当m=1时,lr:x+3y+1=0,l2:x+3y+l=0,则直线匕，%重合，不符合题意；

当m=一3时"i：一3久+3y+l=0,l2:x-y-7=0,则直线＞,%不重合，符合题意，

故巾=-3.

(2)当2nl-1=0,即m=[时，以％+|丫=。，直线％在两坐标轴上的截距为。，

满足直线％在两个坐标轴上的截距相等；

当2m—1K0且m力一2时，

则直线%在光轴上的截距为1-2m,在y轴上的截距为[詈,

由题意可知，1-2m=上称,解得爪=-1,

m+2

当TH=-2时直线%：%=5,显然不符合题意，

综上所述，m=-1或1

题型3由垂直关系求参数

【方法总结】

1.设直线A:y=kix+bi,〃:y=k2X+b2,则有

对应关系4与右的斜率都存在，分别为，片,/[与6中的一条斜率不存在，另一条斜率为。，则

1<2则/[J_6oklk2=l4与6的位置关系是

图示-----------------c-------1\

-OX

°\1

2.设直线A：Aix+Biy+Ci=0,6:A2X+B2y+C2=0,A±^<=>AIA2+BIB2=0

♦类型1利用斜率关系求参数

【例题31](2023秋•广东广州•高二广州市培正中学校考期中)已知经过点4(-2,0)和点B(l,3)的直线II

与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线％互相垂直，则实数a=.

【答案】1

【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解.

【详解】因为4(—2,0),F(l,3),所以心B=12=1,

因为两条直线相互垂直，所以直线PQ的斜率必然存在，

又P(0,-1),Q(a,—2a),贝以70,kPQ=,

又所以1x2=-1,解得a=l.

所以a=1.

故答案为：1.

【变式31]1.(2022秋•高二课时练习)已知直线I的倾斜角为135°,直线人经过点4(3,2)1)，且6与

I垂直，直线G：y=-|^+1与直线匕平行，则a+b等于()

A.—4B.—2C.0D.2

【答案】B

【分析】由直线I的倾斜角为135。，匕与I垂直可得跖，再由直线%与直线4平行求得b,由匕过48求得a,

进而求a+b.

【详解】由题意知：kt=tanl35°=-1,而％与I垂直，即3=1,

又直线%：y=-；%+1与直线A平行，则-彳=1,故匕=一2,

又，1经过点4(3,2),B(a,-1),贝的1=言=1,解得a=0,

所以a+b=-2.

故选：B.

【变式31]2.(2022秋•高二课时练习)已知直线匕经过点4(3,a),B(a-2,3)，直线=经过点C(2,3),D(-l,a-

2),若hll2,贝Ua的值为.

【答案】0或5

【分析】分类讨论直线4斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.

【详解】因为直线％经过点C(2,3),D(-l,a-2)，且27-1,所以％的斜率存在，

而匕经过点4(3,a),B(a-2,3),则其斜率可能不存在，

当A的斜率不存在时，a-2=3,即a=5,此时%的斜率为0,则匕112，满足题意；

当匕的斜率存在时，a-243,即a#5,此时直线匕,%的斜率均存在，

由A1G得卜#2=-1,即吝鼻■上售=-1,解得a=0；

Cl-Z—j—±—Z

综上，a的值为0或5.

故答案为：0或5.

【变式31]3.(2023・江苏•高二假期作业)已知M(L=1),N(2,2),P(3,0).

(1)求点Q的坐标，满足PQLMN,PN||MQ；

(2)若点Q在X轴上，且NNQP=NNPQ,求直线MQ的倾斜角.

【答案】(l)Q(0,l)

(2)90°

【分析】(1)根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；

(2)根据条件可得MQ=-MP即可求出结果.

【详解】(1)®<2(x,y),

由已知得=211)=3f

又PQ-LMNI可得,kpQ=-1t

即广^x3=—1(%工3).①

由已知得题=胃=-2,

又PN||MQ,可得kpN=kMQ,

即合=-2(x力1).②

联立①②解得x=0,y=1,

..(2(0,1).

(2)设Q®0),

"NQP=ZNPQ,

•'•々NQ=~^NPi

2

又=TT/卜加=-2,

解得％=1.

..(2(1,0),

XvM(l,-l),

:.MQ1x轴，

故直线MQ的倾斜角为90°.

♦类型2一般式方程关系求参数

【例题32](2022秋•高二课时练习)经过的3)与(2,6)的直线与直线4%+y-3=0互相垂直，则m值

为()

A-4"Dq

【答案】D

【分析】根据直线垂直可得斜率之间满足关系求解.

【详解】因为直线/与直线4x+y-3=0互相垂直，

所以直线珀勺斜率为k=F=L

2-m4

解得：m=^,

故选：D.

【变式32]1.(上海市虹口区20222023学年高二下学期期末数学试题)若直线匕：ax+2y+3a=0.与

直线L：2久+(a—l)y+4=0互相垂直，则实数a的值为.

【答案】料5

【分析】利用两直线垂直的充要条件，列出关于a的方程，即可求得答案.

【详解】丁直线a%+2y+3a=0与直线2%+(a—l)y+4=0垂直，

・•・ax2+2(a—1)=0,

解得a=j.

故答案为：|.

・

【变式32]2.(2023春•广东汕头高二金山中学校考期中)已知两条直线始ax+(a-2)y-l=0,/2：3X+

ay+2=0,则。1%是a=T的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】当a=—1时，根据斜率的乘积等于一1可得匕1h；当匕1G时，根据3xa+a(a-2)=a(a+1)=0

求出a,再根据必要不充分条件的概念可得答案.

【详解】当a=-1时，Z2:y=3%+2,l^.y=,好,七=一3x；=-1,所以匕112；

当匕1%时，可得3xa+a(a-2)=a(a+1)=0,解得a=-1或a=0,

所以%112"是"a=-1"的必要不充分条件.

故选：A.

【变式32]3.(2022秋•高二课时练习)若直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(Lp),

则m-n+p的值为()

A.20B.4C.12D.4

【答案】A

【分析】根据两直线垂直，列出方程求得小的值，再由两种的交点为(LP),列出方程组求得P，n的值，即可

求解.

【详解】由两直线nix+4y—2=。与2%—5y+n=。垂直，可得27n—20=0,即m=10,

又由两直线的交点坐标是(Lp),可得1｝；二:，解得P=-2,n=-12,

所以巾-n+p=10-(-12)-2=20.

故选：A.

【变式32]4.(2023・江苏•高二假期作业)已知直线h：ax+2y-3=0,l2：3x+(a+l)y-a0,求满

足下列条件的a的值.

(2)/1-L%-

【答案】(l)a=2

⑵a=-1

【分析】(1)解法一：利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可；

解法二：将直线方程化为斜截式，根据两直线平行的充要条件，列式求解即可；

(2)解法一：利用两条直线垂直的充要条件，列式求解即可.

解法二：将直线方程化为斜截式，根据两条直线垂直的充要条件，列式求解即可.

【详解】(1)法一：因为直线，1：a%+2y-3=0,l2：3x+(a+l)y-a=0,且匕//%，

a(a+1)-2x3=0

,解得a=2；

—CL)—(—3)x3W0

法二：直线=-lx+l-

当a=—1时，l2'.x=一?与匕不平行；

当a丰一1时，直线=一言x+热，

%〃2，，4=一言且介左，解得。=2.

(2),4—：因为直线%:a%+2y—3=0,l2'3%+(a+l)y—a=0,且k1l2

—

贝(]3a+2(a+1)=0z解得a=1.

法二：直线，i：y=-|%+|,

当a=-1时,l2\x=与%不垂直；

当a牛一1时,直线分y=--I7X+-7T,

■J11G，二一］X(―W)=-1,解得a=一|.

题型4由平行关系求直线方程

【方法总结】

侬所求直线与已知直线Ax+By+C^O平行时，可设所求直线为Ax+By+^Oa为参数，目杼0,

再结合其他条件求出A,即得所求直线方程.

♦类型1由斜率求直线方程

【例题41］平行于直线y=x且过点(2,1)的直线方程为

A.2xy3=0B.2x+y5=0C.x2y=0D.x+2y4=0

【答案】D

【解析】由题意可知，所求直线的斜率k=-J故所求直线方程为yl=-|(x2)即x+2y4=0.故选D.

【变式41］1.(2023•山东青岛统考三模)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角

形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点4(-3,0),8(3,0),C(3,3),

若直线I：ax+④-3)y-9=0与44BC的欧拉线平行，则实数a的值为()

A.-2B.-1C.-1或3D.3

【答案】B

【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.

【详解】由AABC的顶点4(—3,0),B(3,0),C(3,3)知,

△48C重心为(手，手),即(1,1),

又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点(等，等),即(0,|),

所以可得44BC的欧拉线方程空=&，即x+2y-3=0,

因为a%+(a2—3)y—9=0与％+2y—3=0平行,

解得a=-1,

故选：B

【变式41】2.(2023秋•广东广州•高二广州市培正中学校考期中)已知点求:

(1)BC边上的中线所在直线的方程；

(2)BC边上的高所在直线方程；

(3)BC边的垂直平分线的方程.

【答案】⑴x=1

(2)4x+y—7=0

(3)8%+2y—9=0

【分析】(1)根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可；

(2)BC边上的高和BC垂直，利用两直线垂直的斜率关系即可；

(3)利用垂直平分线经过BC的中点，且和BC垂直求解即可.

【详解】(1)B(3,l),C(-l,0)

BC的中点坐标为(1；),且4(1,3)

所以BC边上的中线所在直线的方程：%=1

(2)BC的斜率：=白

所以BC边上的高所在直线方程的斜率：fc=-4

BC边上的高所在直线方程：y-3=-4(%-1)

即：4汽+y—7=0.

(3)由前两问知：的中点坐标为(1,|),kBC=

BC边的垂直平分线的斜率:fc=-4,

BC边的垂直平分线的方程：y-^=-4(%-1)

即：8x+2y-9=0

♦类型2由一般式求直线方程

【例题42】(2023秋高二课时练习)经过点(1,2),且平行于直线2久-3y+5=0的直线方程为()

A.2x—3y+4=0B.2x—3y+2=0C.3x—2y+4=0D.3x—2y+2=0

【答案】A

【分析】先设出平行于直线2x-3y+5=0的直线系方程，再将点(1,2)代入方程，进而求得所求直线的方

程.

【详解】平行于直线2x-3y+5=0的直线方程可设为2x—3y+%=0。75),

又所求直线过点(L2),

则2xl-3X2+』=0,解之得力=4,

则所求直线为2x-3y+4=0.

故选：A

【变式42】1.(2023江苏高二假期作业)求经过直线h：3二+2y-1=0和12：5%+2y+1=0的交点，

且平行于直线13：3x-5y+6=0的直线I的方程.

【答案】3%-5y+13=0

【分析】解方程组求得交点坐标，设直线/的方程为3x-5y+C=0,求出C即可得解.

【详解】解方程组窿t^-l=0得『二1,即交点坐标为(-1,2),

设直线帕勺方程为3%-5y+C=0,

则一3—10+C=0,解得C=13,

所以直线/的方程为3x-5y+13=0.

【变式42】2.(2023春・天津北辰・高二天津市第四十七中学校考阶段练习)过点(-1,3)且平行于直线2x-

3y+l=0的直线方程为()

A.2x—3y+11=0B.3%+2y—3=0C.2x—3y—7=0D.3%+2y+3=0

【答案】A

【分析】先设出平行于直线2x-3y+1=0的直线系方程，再将点(-1,3)代入方程，进而求得所求直线的方

程.

【详解】平行于直线2x—3y+1=0的直线方程可设为2x-3y+/=0。。1)

又所求直线过点(-1,3)

贝[)2X(一1)-3X3+N=0,解之得N=11,

则所求直线为2%-3y+11=0

故选：A

【变式42]3.(2022•江苏高二专题练习)直线1:%+V3y+l=0的倾斜角为过(2,0)点且与直线呼

行的直线方程是_____.

【答案】x+V3y-2=0

O

【解析】由直线方程求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角，由直线平行求出待求直线斜率，

点斜式即可求出.

【详解】由1：久++1=0可得y=-日％-白，

所以k=tana=-y,

由0<a<7i知a=—.

6

过(2,0)点且与直线/平行的直线斜率为-f，

所以y=-y(%-2),

即1+V3y—2=0.

故答案为：^；x+V3y-2=0

O

题型5由垂直关系求直线方程

【方法总结】

当所求直线与已知直线Ax+By+C=O垂直时，可设所求直线为Bx-Ay+X=为参数J,再结合其他

条件求出入,即得所求直线方程.

♦类型1由斜率求直线方程

1

【例题51]已知直线/在y轴上的截距为1,且垂直于直线片丁，则/的方程是_______.

【答案】y=-2x+l

【解析】所求直线的斜率k=-2,故所求直线方程为y=-2x+1.

【变式51】1.(2023•新疆喀什校考模拟预测)已知4(1,1),B(5,3),则线段AB的垂直平分线的一般方程为

【答案】2x+y-8=0

【分析】先求出直线AB的斜率与AB的中点坐标，由点斜式方程求解即可.

【详解】因为4(1,1),8(5,3),所以直线AB的斜率为k=(^=：=)

所以AB的垂直平分线的斜率为-2,AB的中点坐标为(3,2),

故线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=-2(%-3),化为一般式为：2x+y-8=0.

故答案为：2x+y-8=0.

【变式51]2.(2022秋福建宁德•高二统考期中)已知△ABC的顶点4(5,1),4B边上的中线CM所在直

线方程为2x-y-5=0,AC边上的高所在直线方程为％-2y-5=0.

Q)求直线AC的方程；

(2)求顶点C的坐标.

【答案】（l）2x+y-11=0

⑵(4,3).

【分析】(1)方法一：由题意求出心/7=p贝业4c=-2,再利用点斜率可求出直线力C的方程；方法二：

由题意设直线2C的方程为2x+y+c=0,再将点4的坐标代入可求出c,从而可求出直线AC的方程；

(2)联立直线4C与直线CM的方程可求出顶点C的坐标.

【详解】(1)方法一：由4C边上的高所在直线方程为x-2y-5=0得：kBH=|.

所以=-2,

又4(5,1),所以4C边所在直线方程为y-1=-2(%-5),即2x+y-11-0,

方法二：由AC边上的高所在直线方程为x-2y-5=0得：

故可设直的的一般式方程为：2久+y+c=0,

把4(5,1)的坐标代入上述方程，得：c=-11,

所以4C边所在直线方程为：2x+y-ll=O,

(2)联立直线力C与直线CM的方程得，

(2x+y-U^0..B(x=4

(2x-y-5=0'解例y=3

所以顶点C的坐标为(4,3).

♦类型2由一般式求直线方程

【例题52](2023春•广西南宁•高二校联考开学考试)直线1过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=。垂直，则

/的方程是()

A.2%—3y+5=0B.3%+2y+7=0

C.3x+2y—1=0D.2%—3y+8=0

【答案】c

【分析】求出直线/的斜率，然后利用点斜式可写出直线1的方程，化为一般式可得出答案.

【详解】直线2%-3y+4=0的斜率为|,则直线/的斜率为-|,

因此，直线/的方程为y-2=-|(x+1),即3x+2y-l=0.

故选：C.

【变式52]1.(2023秋•高二课时练习)经过点(1,2),且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为()

A.%—2y+3=0B.x+2y—3=0C.%—2y—3=0D.2x+y-3=0

【答案】A

【分析】根据给定条件，设出所求的直线方程，利用待定系数法求解作答.

【详解】设与直线2x+y-10=。垂直的直线方程为x-2y+m=0，于是1-2x2+m=0，解得nt=3,

所以所求的直线方程为x-2y+3=0.

故选：A

【变式52]2.(2022春•甘肃天水•高二天水市第一中学校考期中)求经过直线①3x+4y-5=0,Z2：2x-

3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程：

(1)与直线2%+3y+5=0平行；

(2)与直线2久+3y+5=0垂直.

【答案】(1)2x+3y—4=0；(2)3支―2y+7=0.

【解析】(1)先求出M,再设所求的直线为2x+3y+c=0,代入“求出c后可得所求的直线方程.

(2)设所求的直线为3%—2y+b=0,代入M求出b后可得所求的直线方程.

【详解】(1)由题意知：联立方程组慎-解得交点a-1,2),

因为所求直线与直线2x+3y+5=0平行，

故设所求直线的方程为2x+3y+c=0,

代入(-1,2),解得c=-4,即所求直线方程为2x+3y-4=0

(2)设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+b=0

因为过点(-1,2),代入得b=7,

故所求直线方程为3x-2y+7=0

【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.