抛物线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义(人教A版选择性必修第一、二册)_第1页
抛物线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义(人教A版选择性必修第一、二册)_第2页
抛物线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义(人教A版选择性必修第一、二册)_第3页
抛物线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义(人教A版选择性必修第一、二册)_第4页
抛物线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义(人教A版选择性必修第一、二册)_第5页
已阅读5页,还剩7页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第10讲抛物线及其性质

【人教A版2019】

模块一:抛物线的定义和标准方程

模块二:抛物线的几何性质

题型1抛物线的定义及其应用

题型2抛物线的轨迹方程

题型3抛物线的标准方程的求解

题型4抛物线的焦点坐标及准线方程

题型5抛物线的焦半径公式

题型6抛物线的对称性的应用

题型7与抛物线有关的最值问题

题型8抛物线中的三角形(四边形)面积问题

题型9抛物线的实际应用问题

1.抛物线的定义

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫

作抛物线的焦点,直线/叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到直线I的距离为d,则抛物线就是点的集合P={M\\MF\=d].

2.抛物线的标准方程

抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:

图形标准方程焦点坐标准线方程

*

y2=2px(p>0)_p

4一F国。)x~~2

y2=-2px(p>0)_p

9X~2

jfi=2py(p>0)P

F(。国y=-2

x2=-2py(p>Q)P

Fy=

(。,3)2

3.抛物线标准方程的求解

待定系数法:求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方

程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

►题型归纳

【题型1抛物线的定义及其应用】

【例1.1](23-24高二下•河南新乡•期末)已知尸为抛物线C:*=2px(p>0)的焦点,点M在C上,且点M到

直线x=—p的距离为3p,则|MF|=()

75

A.3PB.2pC.-pD.-p

【例1.2](2024•江西•模拟预测)若抛物线/=8y上一点(久°,小)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍.则

yo=()

13

A.-B.1C.-D.2

22

【变式1.1](23-24高二上•浙江杭州•期末)设点4(0,2),抛物线y2=2Px(p>0)上的点尸到y轴的距离为

d.若|P4|+d的最小值为1,则「=()

A.6B.4C.3D.2

【变式1.2](23-24高二上•广东深圳・期末)M是抛物线C:*=4x上一点,尸是C的焦点,/为C的准线,1I

于风,若|MF|=4,贝的周长为()

A.8+V3B.8+2A/3C.10D.12

【题型2抛物线的轨迹方程】

【例2.1](23-24高三上.黑龙江哈尔滨.期末)点P到直线y=3的距离比到点尸(0,-1)的距离大2,则点P的

轨迹方程为()

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=—4y

【例2.2](2024•湖南衡阳•三模)已知点尸(2,0),动圆P过点F,且与x=-2相切,记动圆圆心P点的轨迹为

曲线「,则曲线「的方程为()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12%

【变式2.1](23-24高二上•内蒙古乌兰察布•期末)已知动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比到直线%+5=0的

距离小1,则点M的轨迹方程为()

A.%+4=0B.%—4=0C.y2—8xD.y2—16x

【变式2.2](23-24高二上.四川成都・期中)已知点4(—2,0),8(2,0),直线P4的斜率为七,直线PB的斜率

为心,若卜2—3=1,则点P的轨迹为不包含4B两点的()

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【题型3抛物线的标准方程的求解】

【例3.1]⑵-24高二下•河南洛阳•阶段练习)点”(5,3)到抛物线/=ay的准线的距离为6,那么抛物线的

标准方程是()

222

A.x=—12,VB.x=—12y,sKx=——36,V

C.x2—12y或尤2=-36yD.x2=——y

36

【例3.2](2024高二上.全国.专题练习)边长为1的等边△AOB,。为坐标原点,AB_Lx轴,以O为顶点

且过48的抛物线方程是()

A.y2=—xB.y2=——x

y6y3

C.y2=_±L—M%D.yL2=±_L—W%

【变式3.1](23-24高三上.江苏南京•阶段练习)如图,过抛物线y2=2p尤S>0)的焦点厂的直线/交抛物线

于点A,B,交其准线于点C,若[8。=2区/I,且|AF|=6,则此抛物线方程为()

C.9=3尤D.j2=V3x

【变式3.2](2024•全国•模拟预测)已知抛物线f=2Px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上一点,以PF为

直径的圆C与y轴相切于点“(0,2迎),且圆C过点B(4,0),则该抛物线的方程为()

A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10%

【题型4抛物线的焦点坐标及准线方程】

【例4.1](23-24高二上•陕西西安•期末)抛物线y=-6/的焦点为()

A.(-1,0)B,(。,-()C.(0,-3D.(-^,0)

【例4.2](23-24高二上•陕西榆林•期中)已知抛物线C:V=6久过点有),则抛物线C的准线方程为

()

5533

A-x=8B.尤=一后C.x=mD,X=--

【变式4.1](2024•江苏扬州•模拟预测)已知椭圆?+*=>力的离心率为当,则抛物线y=的焦

点坐标为()

A.&,0)B,(0,9C,&0)D,(04)

【变式4.2](2024.福建莆田.三模)已知抛物线C:*=2Px(p>0))的焦点为尸,点P(a,4)在抛物线C上,

且|PF|=4,则抛物线C的准线方程是()

A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2

【题型5抛物线的焦半径公式】

【例5.1](2024.青海西宁•一模)已知产是抛物线C:/=4y的焦点,点M在C上,且M的纵坐标为3,则|MF|=

A.2V2B.2V3C.4D.6

【例5.2](2024.北京大兴.三模)已知抛物线y2=钮的焦点为R过尸且斜率为-1的直线与直线x=-1交

于点A,点M在抛物线上,且满足|M4|=|MF|,则|MF|=()

A.1B.V2C.2D.2V2

【变式5.1](23-24高三下•河北•阶段练习)已知抛物线f=4x的焦点为尸,准线为。P是抛物线上位于第一

象限内的一点,过点P作Z的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为150。,则|PF|=()

41

A.2B.-C.-D.3

33

【变式5.21(2024•安徽安庆•三模)已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,点

是抛物线C上两个不同点,且(久1+8久2)(%1-,久2)=8,则器=()

A.-B.—C.V3D.3

33

模块二N抛物线的几何性质。|

►知识梳理

i.抛物线的几何性质

标准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2pv(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

141)1

*Il1f'

/

A

图形

_____.;.----A7J-------T

<jkk/AOx

顶点(0,0)(0,0)

轴对称轴y=0对称轴x=0

焦点歹传,0)F(0,^f(0,-薪

F丹,0)1

VI-2,)\2/\2)

准线_P_ppp

X~~2X~1g=一万y=2

离心率e=1e=l

开口开口向右开口向左开口向上开口向下

焦半径

\MF\=x0+^\MF\=-x0+^\MF\=y0+^\^F\——y0+g

范围x>0烂0y>0y<0

2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异:

①它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形;

②顶点个数不同,椭圆有4个顶点,双曲线有2个顶点,抛物线只有1个顶点;

③焦点个数不同,椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有1个焦点;

④离心率取值范围不同,椭圆的离心率范围是0<e<l,双曲线的离心率范围是e>l,抛物线的离心率是

e=l;

⑤椭圆和双曲线都有两条准线,而抛物线只有一条准线;

⑥椭圆是封闭式曲线,双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

3.与抛物线有关的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路:

(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是

几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法:由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法进行求解,如利用二次函数在闭区间上

最值的求法,利用函数的单调性等,亦可用均值不等式求解.

►题型归纳

【题型6抛物线的对称性的应用】

【例6.1](23-24高二下•福建厦门•期末)等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线必=2式

上,则这个等边三角形的边长为()

A.2B.2V3C.4D.4V3

【例6.2X2024.重庆•模拟预测)力,B是抛物线y2=2Px(p>0)上的不同两点,点下是抛物线的焦点,且△OAB

的重心恰为B若|申尸|=5,则p=()

A.1B.2C.3D.4

【变式6.1](23-24高三下.河南开封•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,抛物线。:外=8x,P为久轴正半

轴上一点,线段。P的垂直平分线/交C于4B两点,若NOAP=120。,则四边形04PB的周长为()

A.64A/3B.64C.80V3D.80

【变式6.2](2024.全国•模拟预测)已知抛物线C:y2=6”的焦点为F,准线为1,点4在抛物线C上,且点4

到准线1的距离为6,4F的垂直平分线与准线1交于点N,点。为坐标原点,则AOFN的面积为()

242

【题型7与抛物线有关的最值问题】

【例7.1](2024高三・全国・专题练习)已知P是抛物线y2=2久上的点,Q是圆(久-5)2+y2=1上的点,则

IPQI的最小值是()

A.2B.2V2C.2V3D.3

【例7.2](2024•四川成都•模拟预测)设点4(2,3),动点尸在抛物线C:外=以上,记尸到直线x=-2的距

离为d,则MP|+d的最小值为()

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【变式7.1](23-24高二下.甘肃白银.期末)已知M是抛物线y2=2x上一点.

(1)设点4的坐标为(2,0),求I"川的最小值;

(2)若点M到直线x-y+l=0的距离最小,求出点M的坐标及距离的最小值.

【变式7.2](23-24高二•全国•课后作业)设点尸是抛物线y2=4x上的一个动点.

⑴求点P到4(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

【题型8抛物线中的三角形(四边形)面积问题】

【例8.1](2024•江西新余.二模)已知点Q(2,—2)在抛物线C:y2=2px±,尸为抛物线的焦点,则4OQF(O

为坐标原点)的面积是()

A.-B.1C.2D.4

2

【例8.2](2024.重庆・三模)已知等边三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,

则这个等边三角形的面积是()

A.4V3B.8V3C.12V3D.24

【变式8.1](23-24高三下・四川成都・期末)若4是抛物线72=轨上的动点,点8,。在丫轴上,圆(龙-2)2+、2=

4内切于△ABC,贝必ABC面积的最小值为()

A.8B.16C.24D.32

【变式8.2](23-24高二.全国.课后作业)己知抛物线C:*=8%,点p为抛物线上任意一点,过点P向圆

/+y2—4刀+3=0作切线,切点分别为4,B,则四边形P4DB的面积的最小值为()

A.1B.2C.V3D.V5

【题型9抛物线的实际应用问题】

【例9.1](23-24高一上•江苏•期中)如图①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建

筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部宽度为

80米,高度为200米.则离地面150米处的水平宽度(即的长)为()

n图②

A.40米B.30米C.25米D.20米

【例9.2](23-24高三上•湖南长沙•阶段练习)假设一水渠的横截面曲线是抛物线形,如图所示,它的渠口

宽2B为2m,渠深。C为1.5m,水面EF距4B为0.5m,则截面图中水面宽EF的长度约为()(V2«1.414,

V3«1.732,V6-2.449)

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

【变式9.1](23-24高二上•全国•课后作业)一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态

射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标;

(2)为了增强卫星波束的接收,拟将接收天线的口径增大为5.2m,求此时卫星波束反射聚集点的坐标.

【变式9.2](23-24高二上•浙江•期中)如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设

备,上面装有抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分(如图2),盛水或食物的容器放在抛物线

的信息处,该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑(图中厂点为放置容器处,其余6个焊点在镜

口圆上).已知镜口圆的直径为12dm,镜深2dm.

图1图2

(1)建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程及焦点的坐标;

(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点,试求支撑容器的架子所用铁筋的密冷度(单位dm).

A课髓棺(19题)

一、单选题

1.(2024.四川.模拟预测)已知抛物线C:/=8y的焦点为凡P是抛物线C上的一点,。为坐标原点,|。P|=4V3,

则|PF|=()

A.4B.6C.8D.10

2.(24-25高三上•云南大理•开学考试)已知P为抛物线C:^=8%上任意一点,F为抛物线C的焦点,Q为圆

M:(x—8)2+(y—4)2=4上任意一点,则|PF|+|PQ|的最小值为()

A.6B.10C.4D.8

3.(23-24高二下•湖南•期中)过抛物线必=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,。两点,若线段P。

中点的横坐标为2,|PQ|=6,则抛物线方程是()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

4.(23-24高三下•北京•开学考试)已知抛物线必=2Px(p>0)的焦点为尸,过尸的直线与抛物线交于A,

8两点,\AF\=2\BF\,贝!]()

11

A.\BF\=-pB.\BF\=-p

c.|BF|=|PD.\BF\=^p

5.(23-24高二下•内蒙古通辽•期中)已知抛物线C:必=2「X位>0)的焦点为「准线为,点A在抛物线

C上,点8在准线/上,若AAFB是边长为4的等边三角形,贝物的值是()

A.2B.V3C.1D.2V3

6.(2024•西藏林芝•模拟预测)已知抛物线必=8久上一点P到准线的距离为到直线1:4%-3y+12=0

的距离为d2,则出+d2的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

7.(2024.全国•模拟预测)己知倾斜角为60。的直线/过点M(l,0),且与抛物线C:f=2Px(p>0)交于4,8两

点-若SAOAM:SAOBM=3:1,则抛物线C的方程为()

A.y2=4xB.y2=2xC.y2=xD.y2=|x

8.(2024.江西九江.二模)已知抛物线。:、2=2「%过点4(1,2),F为C的焦点,点P为C上一点,。为坐标原

点,贝I()

A.C的准线方程为刀=一2

B.△4尸。的面积为1

C.不存在点尸,使得点P到C的焦点的距离为2

D.存在点P,使得AP。F为等边三角形

二、多选题

9.(23-24高二下•广东•期中)已知抛物线C:V=2px(p>0)上的两点M,N与焦点厂的距离之和为10,

M,N到x轴的距离的平方和为32,。为坐标原点,则/的值可能为()

A.1B.2C.4D.8

10.(23-24高二下•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知尸是抛物线必=4久的焦点,P是抛物线*=4%±

一动点,Q是OC:(久一4产+(y-=1上一动点,则下列说法正确的有()

A.|PF|的最小值为1

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论