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文档简介
第10讲抛物线及其性质
【人教A版2019】
模块一:抛物线的定义和标准方程
模块二:抛物线的几何性质
题型1抛物线的定义及其应用
题型2抛物线的轨迹方程
题型3抛物线的标准方程的求解
题型4抛物线的焦点坐标及准线方程
题型5抛物线的焦半径公式
题型6抛物线的对称性的应用
题型7与抛物线有关的最值问题
题型8抛物线中的三角形(四边形)面积问题
题型9抛物线的实际应用问题
1.抛物线的定义
(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫
作抛物线的焦点,直线/叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到直线I的距离为d,则抛物线就是点的集合P={M\\MF\=d].
2.抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:
图形标准方程焦点坐标准线方程
*
y2=2px(p>0)_p
4一F国。)x~~2
y2=-2px(p>0)_p
9X~2
jfi=2py(p>0)P
F(。国y=-2
x2=-2py(p>Q)P
Fy=
(。,3)2
3.抛物线标准方程的求解
待定系数法:求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方
程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
►题型归纳
【题型1抛物线的定义及其应用】
【例1.1](23-24高二下•河南新乡•期末)已知尸为抛物线C:*=2px(p>0)的焦点,点M在C上,且点M到
直线x=—p的距离为3p,则|MF|=()
75
A.3PB.2pC.-pD.-p
【例1.2](2024•江西•模拟预测)若抛物线/=8y上一点(久°,小)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍.则
yo=()
13
A.-B.1C.-D.2
22
【变式1.1](23-24高二上•浙江杭州•期末)设点4(0,2),抛物线y2=2Px(p>0)上的点尸到y轴的距离为
d.若|P4|+d的最小值为1,则「=()
A.6B.4C.3D.2
【变式1.2](23-24高二上•广东深圳・期末)M是抛物线C:*=4x上一点,尸是C的焦点,/为C的准线,1I
于风,若|MF|=4,贝的周长为()
A.8+V3B.8+2A/3C.10D.12
【题型2抛物线的轨迹方程】
【例2.1](23-24高三上.黑龙江哈尔滨.期末)点P到直线y=3的距离比到点尸(0,-1)的距离大2,则点P的
轨迹方程为()
A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=—4y
【例2.2](2024•湖南衡阳•三模)已知点尸(2,0),动圆P过点F,且与x=-2相切,记动圆圆心P点的轨迹为
曲线「,则曲线「的方程为()
A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12%
【变式2.1](23-24高二上•内蒙古乌兰察布•期末)已知动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比到直线%+5=0的
距离小1,则点M的轨迹方程为()
A.%+4=0B.%—4=0C.y2—8xD.y2—16x
【变式2.2](23-24高二上.四川成都・期中)已知点4(—2,0),8(2,0),直线P4的斜率为七,直线PB的斜率
为心,若卜2—3=1,则点P的轨迹为不包含4B两点的()
A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线
【题型3抛物线的标准方程的求解】
【例3.1]⑵-24高二下•河南洛阳•阶段练习)点”(5,3)到抛物线/=ay的准线的距离为6,那么抛物线的
标准方程是()
222
A.x=—12,VB.x=—12y,sKx=——36,V
C.x2—12y或尤2=-36yD.x2=——y
36
【例3.2](2024高二上.全国.专题练习)边长为1的等边△AOB,。为坐标原点,AB_Lx轴,以O为顶点
且过48的抛物线方程是()
A.y2=—xB.y2=——x
y6y3
C.y2=_±L—M%D.yL2=±_L—W%
【变式3.1](23-24高三上.江苏南京•阶段练习)如图,过抛物线y2=2p尤S>0)的焦点厂的直线/交抛物线
于点A,B,交其准线于点C,若[8。=2区/I,且|AF|=6,则此抛物线方程为()
C.9=3尤D.j2=V3x
【变式3.2](2024•全国•模拟预测)已知抛物线f=2Px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上一点,以PF为
直径的圆C与y轴相切于点“(0,2迎),且圆C过点B(4,0),则该抛物线的方程为()
A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10%
【题型4抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例4.1](23-24高二上•陕西西安•期末)抛物线y=-6/的焦点为()
A.(-1,0)B,(。,-()C.(0,-3D.(-^,0)
【例4.2](23-24高二上•陕西榆林•期中)已知抛物线C:V=6久过点有),则抛物线C的准线方程为
()
5533
A-x=8B.尤=一后C.x=mD,X=--
【变式4.1](2024•江苏扬州•模拟预测)已知椭圆?+*=>力的离心率为当,则抛物线y=的焦
点坐标为()
A.&,0)B,(0,9C,&0)D,(04)
【变式4.2](2024.福建莆田.三模)已知抛物线C:*=2Px(p>0))的焦点为尸,点P(a,4)在抛物线C上,
且|PF|=4,则抛物线C的准线方程是()
A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2
【题型5抛物线的焦半径公式】
【例5.1](2024.青海西宁•一模)已知产是抛物线C:/=4y的焦点,点M在C上,且M的纵坐标为3,则|MF|=
A.2V2B.2V3C.4D.6
【例5.2](2024.北京大兴.三模)已知抛物线y2=钮的焦点为R过尸且斜率为-1的直线与直线x=-1交
于点A,点M在抛物线上,且满足|M4|=|MF|,则|MF|=()
A.1B.V2C.2D.2V2
【变式5.1](23-24高三下•河北•阶段练习)已知抛物线f=4x的焦点为尸,准线为。P是抛物线上位于第一
象限内的一点,过点P作Z的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为150。,则|PF|=()
41
A.2B.-C.-D.3
33
【变式5.21(2024•安徽安庆•三模)已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,点
是抛物线C上两个不同点,且(久1+8久2)(%1-,久2)=8,则器=()
A.-B.—C.V3D.3
33
模块二N抛物线的几何性质。|
►知识梳理
i.抛物线的几何性质
标准
y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2pv(p>0)x2=-2py(p>0)
方程
141)1
*Il1f'
/
A
图形
_____.;.----A7J-------T
<jkk/AOx
顶点(0,0)(0,0)
轴对称轴y=0对称轴x=0
焦点歹传,0)F(0,^f(0,-薪
F丹,0)1
VI-2,)\2/\2)
准线_P_ppp
X~~2X~1g=一万y=2
离心率e=1e=l
开口开口向右开口向左开口向上开口向下
焦半径
\MF\=x0+^\MF\=-x0+^\MF\=y0+^\^F\——y0+g
范围x>0烂0y>0y<0
2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异:
①它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形;
②顶点个数不同,椭圆有4个顶点,双曲线有2个顶点,抛物线只有1个顶点;
③焦点个数不同,椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有1个焦点;
④离心率取值范围不同,椭圆的离心率范围是0<e<l,双曲线的离心率范围是e>l,抛物线的离心率是
e=l;
⑤椭圆和双曲线都有两条准线,而抛物线只有一条准线;
⑥椭圆是封闭式曲线,双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
3.与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路:
(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是
几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法:由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法进行求解,如利用二次函数在闭区间上
最值的求法,利用函数的单调性等,亦可用均值不等式求解.
►题型归纳
【题型6抛物线的对称性的应用】
【例6.1](23-24高二下•福建厦门•期末)等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线必=2式
上,则这个等边三角形的边长为()
A.2B.2V3C.4D.4V3
【例6.2X2024.重庆•模拟预测)力,B是抛物线y2=2Px(p>0)上的不同两点,点下是抛物线的焦点,且△OAB
的重心恰为B若|申尸|=5,则p=()
A.1B.2C.3D.4
【变式6.1](23-24高三下.河南开封•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,抛物线。:外=8x,P为久轴正半
轴上一点,线段。P的垂直平分线/交C于4B两点,若NOAP=120。,则四边形04PB的周长为()
A.64A/3B.64C.80V3D.80
【变式6.2](2024.全国•模拟预测)已知抛物线C:y2=6”的焦点为F,准线为1,点4在抛物线C上,且点4
到准线1的距离为6,4F的垂直平分线与准线1交于点N,点。为坐标原点,则AOFN的面积为()
242
【题型7与抛物线有关的最值问题】
【例7.1](2024高三・全国・专题练习)已知P是抛物线y2=2久上的点,Q是圆(久-5)2+y2=1上的点,则
IPQI的最小值是()
A.2B.2V2C.2V3D.3
【例7.2](2024•四川成都•模拟预测)设点4(2,3),动点尸在抛物线C:外=以上,记尸到直线x=-2的距
离为d,则MP|+d的最小值为()
A.1B.3C.V10-1D.V10+1
【变式7.1](23-24高二下.甘肃白银.期末)已知M是抛物线y2=2x上一点.
(1)设点4的坐标为(2,0),求I"川的最小值;
(2)若点M到直线x-y+l=0的距离最小,求出点M的坐标及距离的最小值.
【变式7.2](23-24高二•全国•课后作业)设点尸是抛物线y2=4x上的一个动点.
⑴求点P到4(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
【题型8抛物线中的三角形(四边形)面积问题】
【例8.1](2024•江西新余.二模)已知点Q(2,—2)在抛物线C:y2=2px±,尸为抛物线的焦点,则4OQF(O
为坐标原点)的面积是()
A.-B.1C.2D.4
2
【例8.2](2024.重庆・三模)已知等边三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,
则这个等边三角形的面积是()
A.4V3B.8V3C.12V3D.24
【变式8.1](23-24高三下・四川成都・期末)若4是抛物线72=轨上的动点,点8,。在丫轴上,圆(龙-2)2+、2=
4内切于△ABC,贝必ABC面积的最小值为()
A.8B.16C.24D.32
【变式8.2](23-24高二.全国.课后作业)己知抛物线C:*=8%,点p为抛物线上任意一点,过点P向圆
/+y2—4刀+3=0作切线,切点分别为4,B,则四边形P4DB的面积的最小值为()
A.1B.2C.V3D.V5
【题型9抛物线的实际应用问题】
【例9.1](23-24高一上•江苏•期中)如图①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建
筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部宽度为
80米,高度为200米.则离地面150米处的水平宽度(即的长)为()
n图②
A.40米B.30米C.25米D.20米
【例9.2](23-24高三上•湖南长沙•阶段练习)假设一水渠的横截面曲线是抛物线形,如图所示,它的渠口
宽2B为2m,渠深。C为1.5m,水面EF距4B为0.5m,则截面图中水面宽EF的长度约为()(V2«1.414,
V3«1.732,V6-2.449)
A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m
【变式9.1](23-24高二上•全国•课后作业)一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态
射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m.
(1)试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标;
(2)为了增强卫星波束的接收,拟将接收天线的口径增大为5.2m,求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
【变式9.2](23-24高二上•浙江•期中)如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设
备,上面装有抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分(如图2),盛水或食物的容器放在抛物线
的信息处,该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑(图中厂点为放置容器处,其余6个焊点在镜
口圆上).已知镜口圆的直径为12dm,镜深2dm.
图1图2
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程及焦点的坐标;
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点,试求支撑容器的架子所用铁筋的密冷度(单位dm).
A课髓棺(19题)
一、单选题
1.(2024.四川.模拟预测)已知抛物线C:/=8y的焦点为凡P是抛物线C上的一点,。为坐标原点,|。P|=4V3,
则|PF|=()
A.4B.6C.8D.10
2.(24-25高三上•云南大理•开学考试)已知P为抛物线C:^=8%上任意一点,F为抛物线C的焦点,Q为圆
M:(x—8)2+(y—4)2=4上任意一点,则|PF|+|PQ|的最小值为()
A.6B.10C.4D.8
3.(23-24高二下•湖南•期中)过抛物线必=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,。两点,若线段P。
中点的横坐标为2,|PQ|=6,则抛物线方程是()
A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x
4.(23-24高三下•北京•开学考试)已知抛物线必=2Px(p>0)的焦点为尸,过尸的直线与抛物线交于A,
8两点,\AF\=2\BF\,贝!]()
11
A.\BF\=-pB.\BF\=-p
c.|BF|=|PD.\BF\=^p
5.(23-24高二下•内蒙古通辽•期中)已知抛物线C:必=2「X位>0)的焦点为「准线为,点A在抛物线
C上,点8在准线/上,若AAFB是边长为4的等边三角形,贝物的值是()
A.2B.V3C.1D.2V3
6.(2024•西藏林芝•模拟预测)已知抛物线必=8久上一点P到准线的距离为到直线1:4%-3y+12=0
的距离为d2,则出+d2的最小值为()
A.1B.2C.3D.4
7.(2024.全国•模拟预测)己知倾斜角为60。的直线/过点M(l,0),且与抛物线C:f=2Px(p>0)交于4,8两
点-若SAOAM:SAOBM=3:1,则抛物线C的方程为()
A.y2=4xB.y2=2xC.y2=xD.y2=|x
8.(2024.江西九江.二模)已知抛物线。:、2=2「%过点4(1,2),F为C的焦点,点P为C上一点,。为坐标原
点,贝I()
A.C的准线方程为刀=一2
B.△4尸。的面积为1
C.不存在点尸,使得点P到C的焦点的距离为2
D.存在点P,使得AP。F为等边三角形
二、多选题
9.(23-24高二下•广东•期中)已知抛物线C:V=2px(p>0)上的两点M,N与焦点厂的距离之和为10,
M,N到x轴的距离的平方和为32,。为坐标原点,则/的值可能为()
A.1B.2C.4D.8
10.(23-24高二下•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知尸是抛物线必=4久的焦点,P是抛物线*=4%±
一动点,Q是OC:(久一4产+(y-=1上一动点,则下列说法正确的有()
A.|PF|的最小值为1
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