抛物线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第10讲抛物线及其性质

【人教A版2019】

模块一：抛物线的定义和标准方程

模块二：抛物线的几何性质

题型1抛物线的定义及其应用

题型2抛物线的轨迹方程

题型3抛物线的标准方程的求解

题型4抛物线的焦点坐标及准线方程

题型5抛物线的焦半径公式

题型6抛物线的对称性的应用

题型7与抛物线有关的最值问题

题型8抛物线中的三角形(四边形)面积问题

题型9抛物线的实际应用问题

1.抛物线的定义

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫

作抛物线的焦点，直线/叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线I的距离为d,则抛物线就是点的集合P={M\\MF\=d].

2.抛物线的标准方程

抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

图形标准方程焦点坐标准线方程

*

y2=2px(p>0)_p

4一F国。)x~~2

y2=-2px(p>0)_p

9X~2

jfi=2py(p>0)P

F(。国y=-2

x2=-2py(p>Q)P

Fy=

(。，3)2

3.抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方

程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

►题型归纳

【题型1抛物线的定义及其应用】

【例1.1](23-24高二下•河南新乡•期末)已知尸为抛物线C:*=2px(p>0)的焦点，点M在C上，且点M到

直线x=—p的距离为3p,则|MF|=()

75

A.3PB.2pC.-pD.-p

【例1.2](2024•江西•模拟预测)若抛物线/=8y上一点(久°,小)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍.则

yo=()

13

A.-B.1C.-D.2

22

【变式1.1](23-24高二上•浙江杭州•期末)设点4(0,2),抛物线y2=2Px(p>0)上的点尸到y轴的距离为

d.若|P4|+d的最小值为1,则「=（）

A.6B.4C.3D.2

【变式1.2］（23-24高二上•广东深圳・期末）M是抛物线C:*=4x上一点，尸是C的焦点，/为C的准线,1I

于风,若|MF|=4,贝的周长为（）

A.8+V3B.8+2A/3C.10D.12

【题型2抛物线的轨迹方程】

【例2.1］（23-24高三上.黑龙江哈尔滨.期末）点P到直线y=3的距离比到点尸（0,-1）的距离大2,则点P的

轨迹方程为（）

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=—4y

【例2.2］（2024•湖南衡阳•三模）已知点尸（2,0）,动圆P过点F,且与x=-2相切，记动圆圆心P点的轨迹为

曲线「，则曲线「的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12%

【变式2.1］（23-24高二上•内蒙古乌兰察布•期末）已知动点M（x,y）到点F（4,0）的距离比到直线％+5=0的

距离小1,则点M的轨迹方程为（）

A.%+4=0B.%—4=0C.y2—8xD.y2—16x

【变式2.2］（23-24高二上.四川成都・期中）已知点4（—2,0）,8（2,0）,直线P4的斜率为七，直线PB的斜率

为心，若卜2—3=1，则点P的轨迹为不包含4B两点的（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【题型3抛物线的标准方程的求解】

【例3.1］⑵-24高二下•河南洛阳•阶段练习）点”（5,3）到抛物线/=ay的准线的距离为6,那么抛物线的

标准方程是（）

222

A.x=—12，VB.x=—12y,sKx=——36，V

C.x2—12y或尤2=-36yD.x2=——y

36

【例3.2］（2024高二上.全国.专题练习）边长为1的等边△AOB,。为坐标原点，AB_Lx轴，以O为顶点

且过48的抛物线方程是（）

A.y2=—xB.y2=——x

y6y3

C.y2=_±L—M%D.yL2=±_L—W%

【变式3.1］（23-24高三上.江苏南京•阶段练习）如图，过抛物线y2=2p尤S>0）的焦点厂的直线/交抛物线

于点A,B,交其准线于点C,若［8。=2区/I，且|AF|=6,则此抛物线方程为（）

C.9=3尤D.j2=V3x

【变式3.2］（2024•全国•模拟预测）已知抛物线f=2Px（p>0）的焦点为F,P为抛物线上一点，以PF为

直径的圆C与y轴相切于点“（0,2迎），且圆C过点B（4,0）,则该抛物线的方程为（）

A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10%

【题型4抛物线的焦点坐标及准线方程】

【例4.1］（23-24高二上•陕西西安•期末）抛物线y=-6/的焦点为（）

A.（-1,0）B,（。，-（）C.（0,-3D.（-^,0）

【例4.2］（23-24高二上•陕西榆林•期中）已知抛物线C：V=6久过点有），则抛物线C的准线方程为

（）

5533

A-x=8B.尤=一后C.x=mD,X=--

【变式4.1］（2024•江苏扬州•模拟预测）已知椭圆?+*=>力的离心率为当，则抛物线y=的焦

点坐标为（）

A.&,0）B,（0,9C,&0）D,（04）

【变式4.2］（2024.福建莆田.三模）已知抛物线C:*=2Px（p>0））的焦点为尸，点P（a,4）在抛物线C上，

且|PF|=4,则抛物线C的准线方程是（）

A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2

【题型5抛物线的焦半径公式】

【例5.1］（2024.青海西宁•一模）已知产是抛物线C:/=4y的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3,则|MF|=

A.2V2B.2V3C.4D.6

【例5.2］（2024.北京大兴.三模）已知抛物线y2=钮的焦点为R过尸且斜率为-1的直线与直线x=-1交

于点A,点M在抛物线上，且满足|M4|=|MF|,则|MF|=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【变式5.1］（23-24高三下•河北•阶段练习）已知抛物线f=4x的焦点为尸，准线为。P是抛物线上位于第一

象限内的一点，过点P作Z的垂线，垂足为Q,若直线QF的倾斜角为150。，则|PF|=（）

41

A.2B.-C.-D.3

33

【变式5.21（2024•安徽安庆•三模）已知抛物线C:/=2py（p>0）的焦点F到其准线的距离为2,点

是抛物线C上两个不同点，且（久1+8久2）（%1-,久2）=8，则器=（）

A.-B.—C.V3D.3

33

模块二N抛物线的几何性质。|

►知识梳理

i.抛物线的几何性质

标准

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2pv(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

141)1

*Il1f'

/

A

图形

_____.；.----A7J-------T

<jkk/AOx

顶点(0,0)(0,0)

轴对称轴y=0对称轴x=0

焦点歹传,0）F(0,^f(0,-薪

F丹,0)1

VI-2，)\2/\2)

准线_P_ppp

X~~2X~1g=一万y=2

离心率e=1e=l

开口开口向右开口向左开口向上开口向下

焦半径

\MF\=x0+^\MF\=-x0+^\MF\=y0+^\^F\——y0+g

范围x>0烂0y>0y<0

2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<l,双曲线的离心率范围是e>l,抛物线的离心率是

e=l；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

3.与抛物线有关的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是

几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

（2）代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上

最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.

►题型归纳

【题型6抛物线的对称性的应用】

【例6.1］（23-24高二下•福建厦门•期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线必=2式

上，则这个等边三角形的边长为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【例6.2X2024.重庆•模拟预测）力,B是抛物线y2=2Px（p>0）上的不同两点，点下是抛物线的焦点，且△OAB

的重心恰为B若|申尸|=5,则p=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式6.1］（23-24高三下.河南开封•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线。:外=8x,P为久轴正半

轴上一点，线段。P的垂直平分线/交C于4B两点，若NOAP=120。，则四边形04PB的周长为（）

A.64A/3B.64C.80V3D.80

【变式6.2］（2024.全国•模拟预测）已知抛物线C:y2=6”的焦点为F,准线为1，点4在抛物线C上，且点4

到准线1的距离为6,4F的垂直平分线与准线1交于点N,点。为坐标原点，则AOFN的面积为（）

242

【题型7与抛物线有关的最值问题】

【例7.1］（2024高三・全国・专题练习）已知P是抛物线y2=2久上的点，Q是圆（久-5）2+y2=1上的点，则

IPQI的最小值是（）

A.2B.2V2C.2V3D.3

【例7.2］（2024•四川成都•模拟预测）设点4（2,3）,动点尸在抛物线C:外=以上，记尸到直线x=-2的距

离为d,则MP|+d的最小值为（）

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【变式7.1］（23-24高二下.甘肃白银.期末）已知M是抛物线y2=2x上一点.

（1）设点4的坐标为（2,0）,求I"川的最小值；

（2）若点M到直线x-y+l=0的距离最小，求出点M的坐标及距离的最小值.

【变式7.2］（23-24高二•全国•课后作业）设点尸是抛物线y2=4x上的一个动点.

⑴求点P到4（-1,1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；

（2）若B（3,2）,求|PB|+|PF|的最小值.

【题型8抛物线中的三角形（四边形）面积问题】

【例8.1］（2024•江西新余.二模）已知点Q（2,—2）在抛物线C：y2=2px±,尸为抛物线的焦点，则4OQF（O

为坐标原点）的面积是（）

A.-B.1C.2D.4

2

【例8.2］（2024.重庆・三模）已知等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，

则这个等边三角形的面积是（）

A.4V3B.8V3C.12V3D.24

【变式8.1］（23-24高三下・四川成都・期末）若4是抛物线72=轨上的动点，点8,。在丫轴上,圆（龙-2）2+、2=

4内切于△ABC,贝必ABC面积的最小值为（）

A.8B.16C.24D.32

【变式8.2］（23-24高二.全国.课后作业）己知抛物线C：*=8%,点p为抛物线上任意一点，过点P向圆

/+y2—4刀+3=0作切线，切点分别为4,B,则四边形P4DB的面积的最小值为（）

A.1B.2C.V3D.V5

【题型9抛物线的实际应用问题】

【例9.1］（23-24高一上•江苏•期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建

筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为

80米，高度为200米.则离地面150米处的水平宽度（即的长）为（）

n图②

A.40米B.30米C.25米D.20米

【例9.2］（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口

宽2B为2m,渠深。C为1.5m,水面EF距4B为0.5m,则截面图中水面宽EF的长度约为（）（V2«1.414,

V3«1.732,V6-2.449）

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

【变式9.1］（23-24高二上•全国•课后作业）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态

射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m,深度为0.5m.

（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；

（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m,求此时卫星波束反射聚集点的坐标.

【变式9.2]（23-24高二上•浙江•期中）如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设

备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2）,盛水或食物的容器放在抛物线

的信息处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中厂点为放置容器处，其余6个焊点在镜

口圆上）.已知镜口圆的直径为12dm,镜深2dm.

图1图2

（1）建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；

（2）若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的密冷度（单位dm）.

A课髓棺（19题）

一、单选题

1.（2024.四川.模拟预测）已知抛物线C:/=8y的焦点为凡P是抛物线C上的一点，。为坐标原点，|。P|=4V3,

则|PF|=（）

A.4B.6C.8D.10

2.（24-25高三上•云南大理•开学考试）已知P为抛物线C:^=8%上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆

M:（x—8）2+（y—4）2=4上任意一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（）

A.6B.10C.4D.8

3.（23-24高二下•湖南•期中）过抛物线必=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于P,。两点，若线段P。

中点的横坐标为2,|PQ|=6,则抛物线方程是（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

4.（23-24高三下•北京•开学考试）已知抛物线必=2Px（p>0）的焦点为尸，过尸的直线与抛物线交于A,

8两点，\AF\=2\BF\,贝!］（）

11

A.\BF\=-pB.\BF\=-p

c.|BF|=|PD.\BF\=^p

5.（23-24高二下•内蒙古通辽•期中）已知抛物线C：必=2「X位>0）的焦点为「准线为，点A在抛物线

C上，点8在准线/上，若AAFB是边长为4的等边三角形，贝物的值是（）

A.2B.V3C.1D.2V3

6.（2024•西藏林芝•模拟预测）已知抛物线必=8久上一点P到准线的距离为到直线1:4%-3y+12=0

的距离为d2,则出+d2的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2024.全国•模拟预测）己知倾斜角为60。的直线/过点M（l,0）,且与抛物线C:f=2Px（p>0）交于4,8两

点-若SAOAM：SAOBM=3:1,则抛物线C的方程为（）

A.y2=4xB.y2=2xC.y2=xD.y2=|x

8.（2024.江西九江.二模）已知抛物线。:、2=2「%过点4（1,2）,F为C的焦点，点P为C上一点，。为坐标原

点，贝I（）

A.C的准线方程为刀=一2

B.△4尸。的面积为1

C.不存在点尸，使得点P到C的焦点的距离为2

D.存在点P,使得AP。F为等边三角形

二、多选题

9.（23-24高二下•广东•期中）已知抛物线C：V=2px（p>0）上的两点M,N与焦点厂的距离之和为10,

M,N到x轴的距离的平方和为32,。为坐标原点，则/的值可能为（）

A.1B.2C.4D.8

10.(23-24高二下•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知尸是抛物线必=4久的焦点，P是抛物线*=4%±

一动点，Q是OC:(久一4产+(y-=1上一动点，则下列说法正确的有()

A.|PF|的最小值为1