立体几何-求距离问题（解析版）

立体几何--求距离问题

1.(23-24高三下•北京海淀•开学考试)如图，在四棱锥中，底面ABCO

是边长为1的正方形，Q为棱PO的中点.

⑴求证：尸3平面ACQ;

(2)若54_LPD,再从条件①、条件②、条件③中选择若干个作为已知，使四棱推

P—ABC。唯一确定，并求：

(i)直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；

(ii)点尸到平面ACQ的距离.

条件①：二面角尸一CD—A的大小为45；

条件②：尸。=血

条件③：AQYPC.

【解析】(1)连接8。，交AC于。，连接。。，

底面ABC。是正方形，故。是8。的中点，

又因为。为棱尸£)的中点，

所以，在中OQPB,

而OQu平面ACQ,尸平面ACQ,

所以PB,平面ACQ.

(2)选①②：

因为四边形ABC。是正方形，

所以BA±AD,AD±CD,BACD,

又因为54JLPD,所以CDLPD,

因为二面角P-CD-A的大小为45,平面F4DC平面ABCD=CD,ADX.CD,PDLCD,所以ZADP=45,

在一fyiD中，PA"=AD2+PD2-2ADPDCOSXADP=\,

所以府+5二尸八2,

故B4_LAD,

又因为34_1_40,34_1尸£>,4£>门尸£>=£>,4£>、尸/)<=平面上4£),

所以8A_L平面尸AD,

选①③：

因为四边形ABCD是正方形，

所以BA_LA£>,AD_LCD,BACD,

又因为54_LPD,所以CDLPD,

因为二面角P-CD-A的大小为45,平面F4DC平面ABCD=CD,AD1.CD,PDLCD,

所以NADP=45,

因为CD_LPD,CD±AD,ADcPD=D,AD、PDu平面PAD,

所以CO,平面P4D,

又因为AQu平面PAD,所以。，AQ,

又因为AQ_LPC,PCcCD=C,PC.CDu平面PCD,

所以AQ,平面PCD,

因为尸Du平面PCD,所以A。，尸。,

又因为Q为PO中点，所以R4=AD,

所以=—ADP=45,

所以ZRW=90，即上4_LAD,

因为54CD,CD，平面尸AD,

所以BAJ■平面PAD,

选②③：

因为四边形ABC。是正方形，

所以AD_L8,BACD,

因为CD_LPD,CD±AD,ADcPD=D,AD、PDu平面PAD,

所以CD,平面R4D,

又因为AQu平面PAD，所以CDLAQ,

又因为AQ，PC,PCcCD=C,PC.CDu平面PCD,

所以AQ_L平面PCD,

因为尸Du平面尸CD,所以A。，P。,

又因为。为PO中点，所以上4=AD=1,

在..24。中，PA2+AD2=PD2,

故R4_L4),

因为班CD,CD，平面尸A。,

所以BA_L平面尸A£),

选①②③同上.

以A为原点，AB,AD,AP为龙,Mz轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),C0,1,0),£>(0,1,0),0同,£|,尸(0,0,1),

故AQ=[o,g,£|,Ae=(l,l,O),PC=(l,l,-l),

试卷第2页，共12页

、m-AQ=—y+—z=0,

令m=(zx,y,z)为面AC。的一个法向量，贝“2"2

m-AC=x+y=0.

令尤=1,则加=(1,一1,1),

II|m-PCii

(i)因为cosm,PC-■―7i=~r=7==~,

|m||PCv3xV33

所以直线PC与平面AC。所成角的正弦值为;,

(ii)由(i)知点尸到平面AC。的距离3Pd=立.

3113

2.(23-24高三下•北京西城•开学考试)如图，长方体ABC。-A4G2中，

A3=A£>=1,点E为。2的中点，£耳，平面ACE.

(1)求证：BR〃平面ACE;

(2)求DDt的长，及二面角A-CE-G的余弦值；

(3)求点A到平面ACE的距离.

【解析】(1)连接5。交AC于F,连接EF,

由于四边形ABCD为正方形，故O为3。的中点，

而点E为的中点，故EFUBD、,

又£Fu平面ACE,BD}Z平面ACE,故BR〃平面ACE;

(2)以D为坐标原点，以DC,OR所在直线为％%z轴，建立空间直角坐标系，

设DD、=2a,则E(0,0,a),A(l,0,0),C(0,l,0),耳(1,1,2a),

则EB；=(l,l,o),EA=(1,0,-a),EC=(0,1,-a),

由于EBt1平面ACE,故EBtl.EA,EBX±EC,

fl-a2=0,

即EB「E4=0,E4-EC=0,则，八,二。=1,(负值舍)，

[l-a2=。

故=2;

平面ACE的法向量可取为EB{=(1,1,1),平面CEC]的法向量可取为DA=(1,0,0)

EB»DA

贝(]cos〈£4，DA〉=

I^||DA|/3=T

由原图可知二面角A-CE-G为钝角，故其余弦值为-

(3)由题意知A(l，0,2),A4=(0,0,2),平面ACE的法向量为Eg=(1,1,1),

|班.鹤|22君

故点A到平面ACE的距离为d=|附一耳一亍

3.(23-24高三上•北京东城•阶段练习)直三棱柱ABC-4用G中，点M、N分别

为BC、AG中点.

⑴求证：肱V〃平面；

(2)已知AB=3,AC=AAi=4,ABAC=90°.

(i)求直线4G与平面所成角的正弦值；

(ii)求点C到平面的距离.

【解析】(1)如图：取A片的中点E，连接EN,EB.

在，A4G中，E,N分别为44,AC中点，所以ENBG且EN=；BG,

又加为3C中点，且BCBG,BC=B©,

所以EN3河且EN=，四边形3初VE是平行四边形.

所以:MNEB,有£Bu平面AAB21,肱Vz平面AAB左，

r.MV//平面AABB-

(2)因为48、AC.A4两两垂直，故可以A为原点，建立如图空间直角坐标系.

则A(0,0,4),3(3,0,0),C(0,4,0),B,(3,0,4),G(0,4,4).

设平面\BC｛的法向量为”=(x,y,z),贝h

n±AtB(x,y,z),3,0,-q=0J3尤一4z=0

〃J.A£=(x,y,z)，0,4)0=(njy=0,取”=(4,0,3).

(i)由4G=(-3,4,0)

•.4Q〃=(*12)=-,仰3=|川=5.

cos,九)=25/

12

所以：直线B©与平面A^G所成角的正弦值为—.

(ii)由3j=(—3,4,0),配鬲=(3,@方)，-12)=-，同=5

试卷第4页，共12页

所以=y即为点C到平面ABQ的距离.

4.(23-24高三上•北京顺义•阶段练习)如图，梯形A8CD,所在的平面互相

垂直，AB//CD,AB//EF,CD=EF=2,AB=AD=AF^4,

qr

NBAD=ZBAF=一，点M为棱BE的中点.

2

⑴求证：AF_L平面ABC。;

(2)求二面角C-DP-B的余弦值;

(3)判断直线AM与平面OCE/是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如

果不相交，求直线AM到平面。CEF的距离.

【解析】(1)因为平面ABC。/平面ABEF,平面ABCDc平面=,

Abu平面AB£F,

71

又因为=u，所以A尸，A3,所以Ab，平面ABC。.

2

兀

(2)因为乙8">=万，所以AB_LAD,再由(1)知AD、AB.AF两两垂直，

建系如图，^(0,0,0),D(4,0,0),F(0,0,4),B(0,4,0),C(4,2,0),

DF=(-4,0,4),DB=(-4,4,0),DC=(0,2,0),

设以=(x,y,z)是平面DFB的法向量,

-4x+4y=0

由。尸.相=0,.相=0可得W+4z=。,取E,则吁①LD'

设〃=(a,"c)是平面DFC的法向量，

-4a+4c=0

由DF-n=0,DC-n=0可得2》=。’取I，则〃=(山，

因为二面角C-十-2为锐角，所以二面角C-DP-B的余弦值为

\m-n\2底

\m\-\n\6•及3,

(3)由40,0,0)/(0,3,2)彳导加=(0,3,2),

3

AM-72=1x0+—x0+lxl^0,

所以直线AM与平面DCEF不平行，所以直线AM与平面DCEF相交,

在四边形ABEF中延长EE、AM交于H点，

因为EFu平面CDEE,所以AM。平面DCEF=H,

点H是直线AM与平面DCEF的交点,

因为M//£F,"是BE中点，所以EH=AB=4,所以阳=2+4=6,

所以AH=,42+6。=2屈.

5.(23-24高三上・北京•期中)如图，在四棱推P-ABCD中，上4,平面A8CO,

AB//CD,且CD=2,R4=AB=BC=1,ABIBC.

⑴求证：ADIPC;

(2)求平面PC£)与平面上48的夹角;

(3)在线段PB上是否存在一点M，使得直线PC与平面ADM垂直，如果垂直，求此

时点M到平面PCD的距离，如果不垂直，说明理由.

【解析】(1)取"为8中点，则AB=NC=1,AB//NC,AB1BC,

故四边形A3CN为矩形，则ANLAB,

以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),7)(1,-1,0),尸(0,0,1),C(l,l,0),AD=(l,-l,0),

则=1—1+0=0,ADIPC,即ADLPC；

D

(2)平面上43的一个法向量为n=(1,0,0),

m-PC=a+b—c=0

设平面PDC的一个法向量为〃?=(。4,c)，/

m-DC=2b=0

则取4=1可得加=(1,0,1),

m-n117

cos(m,n

|m||n|1XA/22

71

由图象可知，平面尸DC与平面尸3C所成二面角的平面角为锐角，故平面尸DC与平面依。所成二面角为丁;

4

(3)假设存在，设M(0,a,l—a),尸C,平面ADM,AWu平面ADM,

t^PC±AM,

PC=(1,1,-1),AM^(O,a,l-a),PC-AM=(1,1,-1)-(0,a,l-a)^a-l+a=0,

解得a=:,

此时尸C_LAM,ADIPC,AMAD=A,AM,A£»u平面ADM,

故尸C_L平面ACM,

M到平面PCD的距离为=2.=叵

ImlV24

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6123-24高二上•北京房山•期中)如图，在三棱柱ABC-4田©中，4人，平面ABC,

。是BC的中点，BC=y/2,A]A=AB=AC=1.

(1)求证：AB〃平面A。，；

(2)求二面角D-AC.-C的余弦值；

(3)判断直线44与平面AOG是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离;如果不相

交，求直线A⑸到平面ADG的距离.

【解析】(1)连结AC交AG于点E，连结OE,

因为点D,E分别是BC,AC的中点，所以DEUA}B,

且DEu平面ADC；,片台仁平面人。^,

所以AB〃平面AOG；

(2)因为AB=AC=1,BC=V2,

所以AB1AC,且AA，平面ABC,

所以如图，以点A为原点，以向量A3,AC,A4,为％y，z轴的方向向量建立空间直角坐标系，

<11>.门1、UUU

4(0,0,0)，。匕，5，0J，G(0,1,1),AD=^-,-,0j,AC,=(0,1,1),

设平面A£)G的法向量为〃?=(x,y,z),

AD-m=—x+—y=0

则T22，令％=1,则y=—l,z=l,

AC{-m=y+z=0

所以平面AOG的法向量为m=(1,T,1),

平面ACC1的法向量”=(1,0,0),

设二面角。一AG—C的平面角为0,

1_V3

则cos0=|cos("7,砌=m-n

\m\\n\3=T

所以二面角D-AQ-C的余弦值为B-

3

(3)如图，延长G。交用8于点G,连结G4并延长，交瓦A的延长线于点〃,

因为点。是BC的中点，所以GB=BBx=l,

所以=g耳X，即4〃=44,=1,

则AH=Vl2+12=A/2

7.(22-23高三上•北京朝阳・期中)如图，在三棱推P-A3C中，己4,平面

ABC,PA=AC=BC=2,PB=2A/3.

⑴求证：平面PAC;

(2)求二面角A-PB-C的大小；

(3)求点C到平面PAB的距离.

【解析】(1)因为24,平面ABC,3Cu平面A3C,54u平面A3C,

所以丛，BC,始，,又PA=2,PB=26,所以AB=，PB?-PA?=2垃,

又因为AC=3C=2,AC2+BC2^AB2.所以3c±AC,

因为平面平面

ACuPAC,F4uPAC,SACCJR4=A,

所以3cl平面PAC;

(2)过C作CM〃上4,则CM，平面ABC，又由(1)知8C，AC,

所以以G4,C3,CM为％y,z轴建立空间直角坐标系，如下图，

则4(2,0,0),尸(2,0,2),8(0,2,0),C(0,0,0),

设平面APB的法向量为加=(玉,%,zj，又AP=(0,0,2),A3=(-2,2,0),

m•AP=02Z1=0u

所以=>_2%+2乂=。令寸L则％=1，则D，

m•AB=0

设平面P3C的法向量为〃=(%,为，Z2)，又CP=(2,0,2),C3=(0,2,0),

n-CP=0f2x?+2z?=0,.

所以n,一c一，令尤2=1,贝”2=T,贝什=(l,0,T),

n-CB=0[2%=。7

m-n

令二面角A-P3-C的平面角为6,则|cosM=|cos,,a，=11

0x0-2

由图知此二面角为锐二面角，

所以6=60°,故二面角A-PB-C为60。;

(3)设点C到平面R43的距离为h,

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114

SABC=gXACx_BC=2，所以%一即。=§*尸24*4的。=g,

又SNBC=；XPAXAB=2C，所以匕.=白如/咏=半〃=/»C，

解得h=y[2,所以点C到平面PAB的距离为V2.

8.(2023•北京丰台三模)如图,在四棱推尸―ABCD中，PAL平面ABC。,AD±CD,

PF1

ADIIBC,PA=AD=CD=2,8C=3.E为尸。的中点，点尸在PC上，且正=/.

⑴求证：平面AEF±平面PCD;

(2)求平面AEb与平面AEP所成角的余弦值；

(3)若棱5P上一点G，满足PG=2GB，求点G到平面AEF的距离.

【解析】(1)如图，以。为原点，分别以DA,DC为x轴，y轴，过。作AP平行线为z轴，

建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),E(l,0,l),B(3,2,0),

PFii

所以DC=(O,2,O),PC=(-2,2,-2),因为卷=彳,所以PF=彳PC

rC23

所以次=12,2,一2)+(2,0,2)=GL即咱U

所以人b=［一］，］，,AE=(—1,0,1),

224

n-AF=——x+—y+—z=0

设平面AEF的法向量为〃=(x,y,z),则33-3,

n•AE=-x+z=0

令x=z=l,则y=-l,所以72=(1,-1,1),

平面尸CD的法向量为机=(a,Z?,c)，贝叫，

令a=l,则c=—1,所以机=(1,0,—1),

所以〃"=lxl+0x(-l)+lx(-l)=0，所以“工优,

所以平面AEF±平面PCD.

(2)易知平面AEP的一个法向量”=(0,1,0),

\n-u\1A/3

设平面AEF与平面AEP所成角为。,贝！Jcos<9=

733

所以平面AEF与平面AEP所成角的余弦值为好

3

(3)因为棱3P上一点G,满足PG=2GB,所以PG=|PB,

99<94?A

所以43=42+尸6=4尸+§依=(0,0,2)+§(1,2,_2)=]§,§,

I“J—xl+—x(-l)+lx—

所以点G到平面AEF的距离d=「।=J____3__________1=0.

IniV3

9.（2023•北京通州・三模）如图，在三棱锥4一BCD中，平面平面BCD,

AB_LAT）,A5=AD,O为BD的中点.

⑴证明：OAA.CD.

⑵若△BCD是等腰直角三角形，NBDC=90,8=2,点E在棱AD上（与A,D不

重合），若二面角E-3C-O的大小为45,求点D到面BCE的距离.

【解析】（1）证明：因为=AD,。为BD的中点，

所以AO_LBO,

又因为平面ABD_L平面BCD,平面ABDc平面3c£）=皮）,AOu平面ABD,

所以AO_L平面BCD.

又因为CDu平面BCD,

所以AOLCD.

（2）设BC的中点为F,则OF//CD,又因为NBDC=90,所以OF1BD.

以O为坐标原点，以OF,OD,OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系.

因为△3CD是等腰直角三角形，ZBDC=90,8=2,所以&）=2,

又因为钙，仞,钻=仞，0为8。的中点，根据直角三角形性质可得，

OA=OB=OD=-BD=1,

2

则0（0,0,0）,A（0,0,l）,B（0,-l,0）,C（2,l,o）,D（0,l,0）,

设AE=2AD（0<X<l），则

由题意可知OA是平面BCD的一个法向量，OA=（0,0,1）,

设平面BCE的一个法向量为。=（x,y,z）,BC=（2,2,0）,BE=（0,2+1,1-2）,

n-BC=Qf2x+2y=01+力

,BPS/.x/八八，令x=l,则y=T，z=：；一~-,

n-BE=0[(2+l)y+(l-2)z=01-2

l+2>

则平面BCE的一个法向量为n=

根据二面角E-BC-D的大小为45可得

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解得-~,即〃=(1,-1,,又因为CD=(—2,0,0),

1—/I\

nCD\2

所以点D到平面BCE的距离d=—=1

MJl+1+2

10.（22-23高三下•北京东城•阶段练习）如图所示，在直三棱柱ABC-44cl中，ACJ.BC,

AC=BC=CCt=2,点。、E分别为棱AG、qG的中点，点F是线段2瓦上的点（不包括

两个端点）.

（1）设平面。所与平面A3C相交于直线加，求证：44〃机;

1BF

（2）是否存在一点尸，使得二面角C-AG-尸的余弦值为二,如果存在,求出诉的值；如果不

存在，说明理由；

⑶当F为线段BB1的中点时，求点8到平面AQF的距离.

【解析】（1）证明：因为点。、E分别为棱AG、B£的中点，则DE//A}B},