利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题（高考高频考点）（ 5大题型+ 2大方法）原卷版-2025年高考数学

利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题

(高考高频考点，5大题型+2类方法)

目录

第一部分：题型篇..........................................1

题型一：重点考查单变量恒成立问题......................1

题型二：重点考查单变量能成立问题......................4

题型三：重点考查/(x)Vg(x)型恒成立问题..................5

题型四：重点考查型能成立问题.................7

题型五：重点考查/(xJVg®)型双变量不等式问题...........9

第二部分：方法篇.........................................10

方法一：分离变量法...................................10

方法二：分类讨论法...................................12

第一部分：题型篇

题型一：重点考查单变量恒成立问题

典型例题

例题1.(23-24高三上•陕西榆林•阶段练习)设函数/(x)=xlnx+G2.

⑴若曲线V=与x轴相切，求。的值；

⑵若当尤21时，恒成立，求a的取值范围.

例题2.(24-25高三上•江西•开学考试)已知函数〃x)=lnx-2x.

(1)求函数〃尤)的最大值；

(2)若不等式〃x)4(a-2卜+2在(0,+劝上恒成立，求实数”的取值范围.

例题3.(23-24高二下•福建福州•期末)已知函数〃x)=ex-ax+bsinx.

⑴若a=b,求曲线V=在点(兀,e")处的切线的斜率；

(2)若6=0,讨论/(x)的单调性;

(3)若6=1,且xNO时，〃x)21恒成立，求实数。的取值范围.

精练高频考点

1.(23-24高二下•广东阳江・期末)已知函数/(x)=a(x-l)-lnx(aeR).

(1)若"=1,求曲线V=/(x)在点(1,/■⑴)处的切线方程；

⑵求函数/(x)的单调区间；

⑶若/(x"0恒成立，求实数。的取值集合.

2.(23-24高二下•陕西榆林•阶段练习)已知函数/(x)=lnx-办+a.

(1)讨论函数〃x)的单调性；

⑵当X21时，不等式〃x)We，T-l恒成立，求实数。的取值范围.

3.(23-24高三上•贵州铜仁•阶段练习)已知函数/(x)=x2-axlnx-l(aeR).

(1)当。=2时，求函数/(x)的单调区间；

⑵若xe[L+s)时，/(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

题型二：重点考查单变量能成立问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•河南•阶段练习)设函数/(x)="2-x-lnx

⑴当a=1时，求/(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式/40在［e-1,e2］上有解，求实数«的取值范围.

例题2.(2024高三•全国•专题练习)设函数〃司=。111工+宁/一队(0彳1),曲线y=〃x)

在点(1,"D)处的切线斜率为0

⑴求b;

(2)若存在毛21使得〃%)〈号，求。的取值范围.

U—1

精练高频考点

1.(23-24高二下•四川眉山•期末)已知函数/("=-办2+11K(。©2.

(1)当。=1时，讨论/(X)的单调性；

⑵若存在xe(l,+oo),使求。的取值范围.

2.(23-24高二下•福建泉州•期中)已知函数〃x)=lnx+£("为常数)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵不等式/(x)Nl在xe1,3上有解，求实数。的取值范围.

题型三：重点考查〃x)Vg(x)型恒成立问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•四川凉山•期中)已知函数〃x)=sln尤-1,m<0,若

g(x)=/-：x,且关于X不等式/(x)-ga)WO在(O,+e)上恒成立，其中e是自然对数的

底数，则m的取值范围是()

2

例题2.(2024,广东汕头•三模)已知函数〃无)=lnx-办,g(无)=£,〃20.

⑴求函数f(x)的单调区间；

(2)若〃x)Vg(x)恒成立，求〃的最小值.

例题3.(23-24高二下•云南保山•阶段练习)已知函数〃”=欣，g(x)=£-1其中。为常

⑴过原点作〃x)图象的切线/,求直线/的方程;

(2)若/(x)Ng(x)恒成立，求。的最大值.

精练高频考点

1.(2012高二・全国•竞赛)已知函数/(x)=lIlx+2x,g(x)=a(x2+x),若/'(x)Wg(x)恒成

立，则实数。的取值范围是.

2.(23-24高二下•安徽芜湖・期末)函数/(x)=e*,g(x)=b+b化,6eR)

⑴令//(x)=/(x)-g(x),讨论函数/z(x)的单调性；

(2)若人＞0,且〃x"g(x)在实数R上恒成立，求人+6的最大值.

2

3.(2024•山西•模拟预测)已知函数/(x)=—，g(x)=liu-<zv,

ax

⑴讨论函数g(x)的单调性；

⑵当0>0时，尸(x)=g(x)-/(x)VO恒成立，求。的取值范围.

题型四：重点考查/(x。)<g(x°)型能成立问题

典型例题

例题1.(2024•湖北•模拟预测)已知函数/(X)=lnx,g(x)=：l其中•为常数.

⑴过原点作〃无)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若*e(0,+oo),使/(x)4g(x)成立,求。的最小值.

17

例题2.(23-24高二下•天津和平•阶段练习)已知函数/■(无)=alnx+](尤-aeR

⑴当。=-2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若Vxe[1,+s),都有0,求实数a的取值范围；

⑶设g(x)=lnx+；/+£+g,若叫日旧,使得/■(x0)>g(x())成立，求实数。的取值范围.

精练高频考点

1.(23-24高二下・四川德阳•阶段练习)已知函数/(x)=/-fcc,(AreR,xeR)

(1)若左=e,试确定函数/(x)的单调区间；

(2)若左>0,且对于任意x20,/。)>0恒成立，求实数上的取值范围；

⑶令g(x)=e，-21nx,若至少存在一个实数与右口同，使/(xjvg*。)成立，求实数)的取

值范围.

2.(23-24高二下•甘肃定西•开学考试)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3

⑴求/(x)在(e〃e))处的切线方程

⑵若存在xe[l,e]时，使2/(x)2g(x)恒成立，求。的取值范围.

题型五：重点考查/(xJ«g(X2)型双变量不等式问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•天津滨海新•阶段练习)已知

3

/(X)=X-3X+3-■£,g(x)=lnx+a+l,3^e[0,2],Vx2e[l,3],使得/(xjMg®)成立，则实

e

数。的取值范围是()

A.^,+co^jB.[1,+<»)C.D.[-2,+co)

例题2.(23-24高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知函数

2JC

/(x)=ln(x+l),g(x)=e--«,Vxie[-l,l],3x2e[0,2],使不等式/(占”8优)成立，则实

数。的取值范围是.

例题3.(2024•山东聊城)已知函数/■(x)=xlnr+q,g(x)=2xe*-hu-x-ln2.

⑴若直线了=尤是曲线V=/(x)的一条切线，求。的值；

(2)若对于任意的x1e(O,+8),都存在乙40,+00),使/(xj2g(%)成立，求。的取值范围.

精练高频考点

1.（23-24高二下•山东德州•期末）已知函数/（x）=、,g（x）=ln（x+l）-办2,若

%目1旬,女2«0,1]使得/（再）>8（9）成立，则实数。的取值范围是（）

A.a>ln2B.a>ln2

11।c

C.a>—D.a>——In2

ee

2.（2024高三下•江苏•专题练习）已知函数/（x）=2sinx-xcosx-x,

g（x）=—2X+Q（Q6R）,若对任意X]e[0,兀],均存在赴使得/（xj>g（x2），则实

数。的取值范围是.

3.（23-24高三上•河北邢台•阶段练习）已知函数〃x）=alnx+x2,g（x）=2x3-ax+2,aeR.

⑴讨论函数/（x）的单调性；

⑵若叫e（0,+”）,叫e[-2,7],使得2〃%）至（芍）,求实数。的取值范围.

第二部分：方法篇

方法一：分离变量法

典型例题

例题1.（23-24高三上•湖北孝感•阶段练习）已知函数/（x）=e'+!x3-（x2-G+l,若〃x）

62

在R上单调递增，则实数〃的最大值为（）

A.-eB.-1C.1D.e

InY

例题2.（23-24高二下•河北唐山•期末）已知函数/■（》）=".

⑴若方程/(x)=b有两解，求实数上的取值范围；

(2)若对任意的xe(O,+s),不等式恒成立，求实数”的取值范围.

精练高频考点

1.(23-24高二下•广东深圳•期中)关于x的不等式》2-衣+1<0在g，l上恒成立，则实数

a的取值范围是.

Z7V

2.(2024高二下•全国•专题练习)已知函数/(x)=lnx-/.

⑴当。=1时，证明：/(x)有且仅有一个零点；

⑵当x>0时，/(x)Wx恒成立，求。的取值范围；

方法二：分类讨论法

典型例题

例题1.(23-24高二下•浙江嘉兴•期末)已知函数〃