2025年中考数学一轮知识梳理难点与新考法01 数与式中的计算、动点与规律探究（8大题型）解析版

难点与新考法01数与式中的计算、动点与规律探究（8大题型）

题型一：几个非负数和为0问题

题型二：数轴动点问题

题型三：估算二次根式的大小

题型四：代数式求值

题型五：整除问题

题型六：个位数字规律探究

题型七：数或式的规律探究

题型八：图形规律探究

题型一：几个非负数和为0问题

非负数和为0问题的解题关键

若几个具有非负性的数或式子相加和为0,则每一个加数均为0;常见的非负数有绝对值

(a)、二次根式(b)、偶次方(c",n为正整数)

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•成都）若m，n为实数，且(m4)2n50，则(mn)2的值为．

【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：m，n为实数，且(m4)2n50，

m40，n50，

解得m4，n5，

(mn)2(45)2121．

故答案为：1．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

【变式1-1】难点01结合相反数的定义列出代数式

（2024•龙马潭区校级二模）已知a1与|b2|互为相反数，ab．

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式

进行计算即可得解．

【解答】解：a1与|b2|互为相反数，

a1|b2|00，

a10，b20，

解得a1，b2，

所以，ab(1)21

故答案为：1．

【点评】本题考查了非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方程．

【变式1-2】难点02结合二元一次方程组求解

（2022•黔东南州）若(2xy5)2x2y40，则xy的值是．

2xy50

【分析】根据非负数的性质可得，应用整体思想①②即可得出答案．

x2y40

【解答】解：根据题意可得，

2xy50①

，

x2y40②

由①②得，

xy9．

故答案为：9．

【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组

的方法进行求解是解决本题的关键．

【变式1-3】新考法01结合三角形求解

（2023•永州模拟）若(a3)2b50，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为．

【分析】先求a，b．再求第三边c即可．

【解答】解：(a3)2b50，(a3)20，b50，

a30，b50，

a3，b5，

设三角形的第三边为c，

当ac3时，三角形的周长abc35311，

当bc5时，三角形的周长35513，

故答案为：11或13．

【点评】本题考查了非负数的性质，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．

【变式1-4】新考法02结合三角函数求解

（2024•武威二模）在ABC中，若|2sinA2|与(32cosB)2互为相反数，则C．

【分析】先根据相反数的定义及非负数的性质结合特殊角的三角函数值求出A、B的度数，再根据三角

形内角和定理即可求出C度数．

【解答】解：由题意知，|2sinA2|(32cosB)20，

|2sinA2|0，32cosB0，

23

即sinA，cosB，

22

A45，B30，

C1804530105．

故答案为：105．

【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次

根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．本题还考查了三角形内角和

为180．

【中考模拟即学即练】

1．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若(a2)2|b2|0，则(ab)2024的值是()

A．2024B．0C．1D．2024

【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可．

【解答】解：由题意得，a20，b20，

解得a2，b2，

所以(ab)2024020240．

故选：B．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

2．（2024•蓬江区校级一模）若x、y为实数，且满足2x1(y2)20，则(xy)2024的值为()

A．1或1B．1C．1D．无法确定

【分析】根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：2x1(y2)20，

2x10,(y2)20，

即2x10，y20，

1

x,y2，

2

1

(xy)2024[(2)]2024(1)20241．

2

故选：B．

【点评】本题考查非负数的性质和算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．

x3

3.（2023•邹城市一模）已知(3x)25与y25互为相反数，则的值是()

y1

5

A．6B．5C．D．2

2

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y，然后代入代

数式进行计算即可得解．

【解答】解：(3x)25与y25互为相反数，

(x3)25y250，

即(x3)2y20，

所以x30，y20，

解得x3，y2，

x333

所以6．

y121

故选：A．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

4．（2024•广州模拟）在平面直角坐标系中，已知(2ab)23ab50，则点(a,b)位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【分析】根据2ab0，3ab50，建立二元一次方程组，求解出a，b的值，再根据各象限点坐标的

特点，即可得出结果．

【解答】解：2ab0，3ab50，

2ab0

，

3ab50

a1

解得：，

b2

(1,2)位于第二象限，

故选：B．

【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根、点的坐标，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．

5．（2024•甘州区三模）已知2x3|y31|0，4x3y的平方根是．

【分析】首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求x、y的值，再根据平方根的定义即可求解．

【解答】解：根据题意知2x30，y310，

3

x，y1，

2

4x3y9，

4x3y的平方根为3．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了立方根、平方根定义和非负数的性质，其中求一个数的立方根，应先找出所要求

的这个数是哪一个数的立方．注意：（1）一个数的立方根与原数的性质符号相同．（2）一个正数有两个平

方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

6．（2024•金平区一模）已知1a(2b1)20，则2a4b7的值为．

【分析】根据非负数的性质求出a、b的值再代入解答即可．

【解答】解：1a(2b1)20，

1a0，(2b1)20，

1a0，2b10．

1

a1，b；

2

1

2a4b721472273．

2

故答案为：3．

【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．

1ac

7．（2024•广西模拟）已知a、b、c都是实数，若a2|2b|(c2a)20，则．

24a8b

【分析】利用非负数的意义求得a，b，c值，将a，b，c值代入运算即可．

11

【解答】解：a2|2b|(c2a)20，a20，|2b|0，(c2a)20，

22

1

a20，2b0，c2a0，

2

1

a2，b，c4．

4

ac

4a8b

2(4)

1

428()

4

6

82

1．

故答案为：1．

【点评】本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a，b，c值是解题的关键．

8.（2023•甘州区校级模拟）ABC的三边长a，b，c满足|ab4|(c2)20，则ABC的周长为．

【分析】直接利用非负数的性质得出ab，c的值，进而得出答案．

【解答】解：|ab4|(c2)20，

ab40，c20，

解得：ab4，c2，

ABC的周长为：abc426．

故答案为：6．

【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出ab，c的值是解题关键．

3

9.（2024•凉州区一模）已知、均为锐角，且满足|sin|(tan1)20，则．

2

3

【分析】根据非负数的性质得到sina，tan1，利用特殊角的三角函数值分别求出、，计算即

2

可．

3

【解答】解：由题意得，|sina|0，(tan1)20，

2

3

则sina0，tan10，

2

3

sina，tan1，

2

60，45，

105，

故答案为：105．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的

关键．

10．（2024•西城区校级一模）已知(2a)2|b3|0，若ax2bx40，求代数式4x26x1的值．

【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2bx40变形得2x23x4，再代入

4x26x12(2x23x)1求解即可．

【解答】解：(2a)2|b3|0，

2a0，b30，

解得a2，b3，

代入ax2bx40，得：2x23x40，

则2x23x4，4x26x1

2(2x23x)1

241

81

9．

【点评】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非

负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

11．（2024•恩施市模拟）已知x1|y3|0．

（1）求x，y的值；

（2）求xy的平方根．

【分析】（1）根据非负数的性质求出x与y；

（2）再根据平方根的定义进行代入求值即可．

【解答】解：（1）x1|y3|0，

x10，y30，

即x1，y3；

（2）由（1）可知x1，y3，

则xy的平方根为132．

【点评】本题考查非负数的性质和平方根、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．

题型二：数轴动点问题

数轴上的三种动点问题

数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情

况多变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类:

一、数轴上点移动后的表示

点的移动问题方法：“三找”：

(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度

二、两个点之间的距离

1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数）

2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2；

3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m；

当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.

三、数轴上动点移动问题

点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。

方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程

【中考母题学方法】

【典例2】（2024•新华区校级二模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

（1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数1的点重合，则此时表示数4的点与表示数的

点重合；

（2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数2的点重合，回答下列问题：

①表示数9的点与表示数的点重合；

②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，

B两点所表示的数分别是多少？

③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PAPB12时，直接写出x的值．

【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论；

（2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2；

①设9表示的点所对应点表示的数为y，根据中点坐标公式列方程可得y的值，可得结论；

②根据折叠的性质可得结论；

③根据PAPB12列出方程，求解方程可得出x的值．

11

【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与1重合，折叠点对应的数为0，

2

则表示4的点与表示4的点重合；

故答案为：4；

26

（2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数2的点重合，折叠点对应的数为2，

2

9y

①设表示9的点与表示y的点重合，于是有2，解得y5，

2

即表示9的点与表示5的点重合；

故答案为：5；

10

②点A表示的数为23，

2

10

点B表示的数为27，

2

答：A点表示的数是3，B点表示的数是7；

③PAPB12，

|x3||x7|12，

当3x7时，x3x71012，不符合题意；

当x3时，x3x712，

解得x4；

当x7时，x3x712，

解得x8，

综上所述，x的值为4或8．

【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的

关键．

【变式2】难点新考法新定义阅读理解分类讨论位置关系问题

（2024秋•宝安区期中）阅读理解：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3

倍，我们称点C是【A，B】的和谐点．若点C到B的距离是点C到A的距离的3倍，我们称点C是【B，

A】的和谐点．

（1）如图1，点A表示的数为1，点B表示的数为3．表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是

3，那么点D【A，B】的和谐点，点D【B，A】的和谐点．（请在横线上填是或不是）

（2）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为1，点B所表示的数为3．则【A，B】的和谐点

有个，并求出所有【A，B】的和谐点所表示的数．

（3）如图3，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为20，点N所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P

从点M出发，以3个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁Q从点N出发，以1个单位每秒的速度向

左运动，当点P到达点N时，P、Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

①当t15时，若点H是【P，Q】的和谐点且在P、Q之间，则H所表示的数是否为定值，若为定值，请

求出该值，若不为定值，请说明理由．

②直接写出当Q是【N，P】的和谐点时，t的值为．

【分析】（1）由“点D到点A的距离是1，到点B的距离是3”结合和谐点的定义，即可得出结论；

（2）设【A，B】的和谐点所表示的数为x，根据和谐点的定义，可列出关于x的含绝对值的一元一次方

程，解之即可得出结论；

（3）利用时间路程速度，可求出点P到达点N所需的时间及P，Q两点相遇时的时间，当运动时间为

t秒时，点P表示的数为203t，点Q表示的数为40t．

①设点H表示的数为y，根据点H是【P，Q】的和谐点且在P、Q之间，可列出关于y的一元一次方程，

解之即可得出结论；

②根据点Q是【N，P】的和谐点，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，

点D不是【A，B】的和谐点，点D是【B，A】的和谐点．

故答案为：不是，是；

（2）设【A，B】的和谐点所表示的数为x，

根据题意得：|x(1)|3|x3|，

即x13(3x)或x13(x3)，

解得：x2或x5，

【A，B】的和谐点有2个，【A，B】的和谐点所表示的数为2或5．

故答案为：2；

（3）|2040|320（秒)，|2040|(31)15（秒)．

当运动时间为t秒时，点P表示的数为203t，点Q表示的数为40t．

①设点H表示的数为y，

根据题意得：y(203t)3(40ty)，

解得：y25，

当t15时，若点H是【P，Q】的和谐点且在P、Q之间，则H所表示的数为定值，该值为25；

②根据题意得：|40(40t)|3|40t(203t)|，

即t3(604t)或t3(4t60)，

180180

解得：t或t，

1311

180180

t的值为或．

1311

故答案为：180或180．

1311

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2024•献县模拟）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示6的点A．小明同学

设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N

向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2．

（1）第次按键后，点M正好到达原点；

（2）第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？

（3）第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值．

【分析】（1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是62a，因为点M正好到达原点，所以62a0，

解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点；

（2）第6次按键后，点M表示的数为6626，点N表示的数为6612，可得点M到达的点表

示的数字比点N到达的点表示的数字大多少；

（3）由题意得，M点表示的数是62n，N点表示的数是6n，因为点M，N到达的点表示的数互为

相反数，所以62n(6n)0，可解得n的值．

【解答】解：（1）设进行a次按键，

由题意得，M点表示的数是62a，

点M正好到达原点，

62a0，

解得：a3，

第3次按键后，点M正好到达原点，

故答案为：3；

（2）第6次按键后，点M表示的数为6626，点N表示的数为6612，

6(12)18，

第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大18；

（3）由题意得，M点表示的数是62n，N点表示的数是6n，

点M，N到达的点表示的数互为相反数，

62n(6n)0，

解得：n12．

【点评】本题考查了数轴，相反数的定义，根据题意列出点M、N表示的数是本题的关键．

2．（2024•恩施市校级模拟）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为4，A在B的右边，且A与B的

距离是24，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以

每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t0)秒．

（1）写出数轴上点A表示的数，与点A的距离为3的点表示的数是．

（2）点P表示的数（用含t的代数式表示）；点Q表示的数，（用含t的代数式表示）．

（3）假如Q先出发2秒，请问点Q总运动时间t为何值时，P，Q相距5个单位长度？

（4）若点x是数轴上一点，是否存在整数x，使得|x4||x1|的值最小？如果存在，请写出最小整数x；

如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可求解；

（2）根据题意，列出代数式即可求解；

（3）用t表示出P、Q表示的数，利用两点间距离公式可得关于t的一元一次方程，解方程即可求解；

（4）由|x4||x1||x4||x(1)|，可得当|x4||x1|的值最小时，即整数x到4和1的距离之

和最小，此时x在4和1之间，即可求出最小整数x．

【解答】解：（1）点B表示的数为4，A在B的右边，且A与B的距离是24，

点A表示的数是42420，

20317，20323，

与点A的距离为3的点表示的数是17或23，

故答案为：20，17或23；

（2）由题意得，点P表示的数是4t，点Q表示的数是202t，

故答案为：4t，202t；

（3）由题意得，点P表示的数为4(t2)t6，点Q表示的数是202t，

则|202t(t6)|5，

整理得，|263t|5，

263t5或263t5，

31

解得t7或t，

3

31

点Q总运动时间t为7或时，P，Q相距5个单位长度；

3

（4）存在，最小整数x为1．

理由如下：|x4||x1||x4||x(1)|，表示数轴上表示x的点与表示数3和1对应点之间的距离

之和，

当|x4||x1|的值最小时，即整数x到4和1的距离之和最小，此时x在4和1之间，

即1x4时，

最小整数x为1．

【点评】本题考查了数轴、列代数式、一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的

关键．

题型三：估算二次根式的大小

解题方法平方法

在估算二次根式的大小时常使用的是平方法,对于几个正的二次根式,可以通过比较它们平

方后的结果来确定二次根式的大小关系.

【中考母题学方法】

【典例3】（2024•天津）估计10的值在()

A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间

【分析】根据二次根式的性质得出91016，即可求出答案．

【解答】解：91016，

3104，

即10在3和4之间．

故选：C．

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出10的范围，题目比较典型，难度

不大．

【变式3-1】难点01结合二次根式的运算估值

（2024•江北区校级模拟）若n为正整数，且满足估算n5(356)n1，则n的值为()

A．18B．19C．20D．21

【分析】先根据二次根式的乘法法则计算5(356)，然后估算30的大小，再根据不等式的性质估

算计算结果的大小，从而得到答案即可．

【解答】解：5(356)

53556

1530，

253036，即5306，

5151530615，

20153021，

n的值为20，

故选：C．

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．

【变式3-2】难点02求整数部分和小数部分

（2024•南海区校级模拟）已知2的整数部分是1，则小数部分是21；若15的小数部分为a，则

a．

【分析】先估计15在那两个连续整数之间，即可确定其整数部分，进而得到a．

【解答】解：3154，

15的整数部分是3，

15的小数部分为a153，

故答案为：153．

【点评】本题考查估算无理数的大小，判断出15在那两个连续整数之间是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2024•游仙区模拟）设m47，则对于实数m的范围判断正确的是()

A．4m5B．5m6C．6m7D．7m8

【分析】估算出6477，再找出选项即可．

【解答】解：364749，

6477，

即实数m的范围是6m7．

故选：C．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出47的范围是解此题的关键．

2.（2024•沙坪坝区模拟）估计3(235)的值应在()

A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间

【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．

【解答】解：3(235)

615，

91516，

3154，

961510，

3(235)的值应在9和10之间．

故选：B．

【点评】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．

3.（2024•琼山区校级三模）已知4321849，4421936，4522025，4622116．若n为整数，且

n2024n1，则n的值为()

A．43B．44C．45D．46

【分析】首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．

【解答】解：193620141025，

193620141025，

即44202445，

又n2024n1，n为整数，

n44，

故选：B．

【点评】本题考查的是无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是关键．

4.（2024•历城区模拟）大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可

能以小数形式全部写出来，因为2的整数部分是1，于是可以用21表示2的小数部分．类似的，7

的小数部分可以表示为．

【分析】先估算7的大小，再求出它的整数部分和小数部分即可．

【解答】解：479，即273，

7的整数部分是2，小数部分是72，

故答案为：72．

【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．

5．（2024•市南区校级二模）已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，求(a)3(b3)2的值．

【分析】由于3a4，则a3，b103，然后代入所求代数式进行计算即可．

【解答】解：3a4，

a3，b103，

原式(3)3(1033)2

2710

17．

【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

题型四：代数式求值

1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.

2、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关

系.

③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．

【中考母题学方法】

【典例4】（2024•徐州）若mn2，mn1，则代数式m2nmn2的值等于．

【分析】将原式变形后代入数值计算即可．

【解答】解：mn2，mn1，

m2nmn2

mn(mn)

21

2，

故答案为：2．

【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．

【变式4-1】难点结合方程组求代数式的值

（2024•大庆模拟）已知xy1，x2y21，则2025x2024y．

【分析】根据平方差公式求出xy的值，得到关于x和y的二元一次方程组并求解，将x和y的值代入

2025x2024y计算即可．

【解答】解：xy1，

x2y2(xy)(xy)1，

xy1，

xy1x1

，解得，

xy1y0

2025x2024y2025．

故答案为：2025．

【点评】本题考查代数式求值，掌握平方差公式及二元一次方程的解法是本题的关键．

【变式4-2】新考法解题方法型阅读理解题

（2024•香坊区二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数

学问题的重要思想方法．例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：

因为|x1||x(1)|，所以|x1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离．则代

数式|x3||x5|的最小值是．

【分析】代数式|x3|的几何意义就是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离，代数式|x5|的

几何意义是数轴上x所对应的点与5所对应的点之间的距离，代数式|x3||x5|的几何意义就是数轴上

x所对应的点与3、5所对应的点之间的距离的和，最小值就是3所对应的点与5所对应的点之间的距离，

据此求解即可．

【解答】解：代数式|x3||x5|的最小值是：5(3)8．

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了代数式求值问题，解答此题的关键是弄清楚代数式|x3|和|x5|的几何意义．

【中考模拟即学即练】

1．（2024•广安）若x22x30，则2x24x1．

【分析】由已知条件可得x22x3，将原式变形后代入数值计算即可．

【解答】解：x22x30，

x22x3，

2x24x1

2(x22x)1

231

7，

故答案为：7．

【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．

nm11

2．（2024•锦江区模拟）若mn10，则(2)()的值为．

mnmn

【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分后即可得到答案．

nm11

【解答】解：(2)()

mnmn

n2m22mnnm

mnmn

(mn)2mn

mnmn

mn

10；

故答案为：10．

【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．

3．（2024•阳谷县一模）已知a51，则代数式a22a9的值是．

【分析】由a51，可得(a1)2(5)2，有a22a4，即可得a22a913．

【解答】解：a51，

(a1)2(5)2，

a22a4，

a22a913，

故答案为：13．

【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出a22a4，再整体代入．

11

4．（2024•内江）已知实数a、b满足ab1的两根，则．

a21b21

【分析】把ab1代入原式，根据分式的加法法则计算即可．

【解答】解：ab1，

abab

原式

a2abb2ab

ba

abab

ab

ab

1，

故答案为：1．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．

x3y0xy1

5.（2024•仁怀市模拟）如果实数x，y满足方程组，那么代数式(2)的值为．

2x3y3xyxy

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．

xy2x2y

【解答】解：原式(xy)xy2x2y，

xy

x3y0

方程组，

2x3y3

x3

解得：，

y1

当x3，y1时，原式3621．

故答案为：1

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6.（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若x满足(6x)(x4)3，求(6x)2(x4)2的值．

解：设(6x)a，(x4)b，则(6x)(x4)ab3，ab(6x)(x4)2．

所以(6x)2(x4)2a2b2(ab)22ab222(3)10．

带仿照上例解决下面问题：

若x满足(20x)(x10)5，则(20x)2(x10)2的值是．

【分析】仿照阅读材料，设20xa，x10b，则ab20xx1010，ab5，可得

(20x)2(x10)2(ab)22ab，代入可得答案．

【解答】解：设20xa，x10b，则ab20xx1010，ab5，

(20x)2(x10)2

a2b2

(ab)22ab

1022(5)

10010

110；

故答案为：110．

【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．

7.（2024•枣庄一模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3ab2，求代数式6a2b1的

值．”可以这样解：6a2b12(3ab)12213．根据阅读材料，解决问题：若x2是关于x的一

元一次方程axb3的解，则代数式4a24abb24a2b1的值是．

【分析】根据x2是关于x的一元一次方程axb3的解，可得：b32a，直接代入所求式即可解答．

【解答】解：x2是关于x的一元一次方程axb3的解，

2ab3，

b32a，

4a24abb24a2b1

4a24a(32a)(32a)24a2(32a)1

4a212a8a2912a4a24a64a1

14．

解法二：原式(2ab)22(2ab)13223114，

故答案为：14．

【点评】此题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的

关系．

8．（2024•邢台三模）已知：A2m2mnn，Bm2mnn．

（1）求AB；

（2）若(AB)的值与m(m0)的值无关，求m，n满足的关系式．

【分析】（1）由题意知，AB2m2mnnm2mnnm2；

（2）由题意知，AB2m2mnn(m2mnn)m(3m2n)2n，由(AB)的值与m(m0)的值无

关，可得3m2n0，然后求解作答即可．

【解答】解：（1）由题意知，AB2m2mnnm2mnnm2，

ABm2；

（2）由题意知，AB2m2mnn(m2mnn)

2m2mnnm2mnn

3m22mn2n

m(3m2n)2n．

(AB)的值与m(m0)的值无关，

3m2n0，

2

解得mn．

3

【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．

9．（2024•萧山区一模）化简：(3n4)*(n2)．

方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．

（1）如果被污染的数字是4，请计算(3n4)4(n2)．

（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．

【分析】（1）根据单项式乘多项式和去括号法则，去掉括号，再合并同类项即可；

（2）分两种情况讨论：①化简结果是不含有n的单项式，②若化简结果是含有n的单项式，进行解答即可．

【解答】解：（1）(3n4)4(n2)

3n44n8

3n4n84

n4；

（2）分两种情况：

①若化简结果是不含有n的单项式，则被污染的数字为3，

(3n4)3(n2)

3n43n6

3n3n64

2，

②若化简结果是含有n的单项式，则被污染数字为2，

(3n4)2(n2)

3n42n4

3n2n44

n，

如果化简的结果是单项式，被污染的数字是3或2．

【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．

题型五：整除问题

解题方法因式分解法

利用平方差公式对整式或高次幂进行因式分解或降幂,直到式子中出现整数因式,则可以判

断该整式或高次幂可以被整数因式整除

【中考母题学方法】

【典例5】（2023•河北）若k为任意整数，则(2k3)24k2的值总能()

A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除

【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．

【解答】解：(2k3)24k2

4k212k94k2

12k9

3(4k3)，

k为任意整数，

(2k3)24k2的值总能被3整除，

故选：B．

【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出(2k3)24k23(4k3)是解此题的关键．

【变式5】新考法新定义阅读理解题

（2023•重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M

为“天真数”．如：四位数7311，716，312，7311是“天真数”；四位数8421，816，8421

不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位

P(M)

数字为c，个位数字为d，记P(M)3(ab)cd，Q(M)a5，若能被10整除，则满足条件的

Q(M)

M的最大值为．

【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．分为两部分：第一

部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．

【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．

先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，

十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200．

故答案为：6200．

一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．

由“天真数”的定义得ad6，所以6a9，bc2，所以0c7，

又P(M)3(ab)cd3(ac2)ca64a4c；

P(M)4a4c

Q(M)a5.若能被10整除当a取最大值9时，

Q(M)a5

P(M)

即当a9时，满足能被10整除，则c1，“天真数”M为9313．

Q(M)

故答案为：9313．

【点评】新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．

【中考模拟即学即练】

1．（2024•丰润区一模）若k、n都是任意整数，如果(n3)2kn2的值总能被3整除，则k不能取()

A．2B．1C．2D．4

【分析】先求出原式(1k)n23(2n3)，根据题意可知，(1k)总能被3整除，再逐一判断各选项即可．

【解答】解：(n3)2kn2

n26n9kn2

(1k)n23(2n3)，

k、n都是任意整数，(n3)2kn2的值总能被3整除，

(1k)总能被3整除，

整数k为2，1，4均能满足条件，故选项A，B，D不符合题意，

整数k为2时，不能满足k、n都是任意整数，(n3)2kn2的值总能被3整除，

故选：C．

【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

2.（2024•渝北区模拟）一个四位数M，记作Mabcd，若abbccd，则称M为“和美数”．例如：四位

数1235，122335，1235是“和美数”．若一个“和美数”为539n，则这个数为；对于“和美数”M，

去掉个位上的数字得到三位数xabc，去掉千位上的数字得到三位数ybcd，当xy34能被11整除时，

满足条件的M的最大值与最小值的差为．

【分析】根据“和美数”的定义即可求出n；根据“和美数”的定义先求得