2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型（原卷版）

难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型

题型一：一线三等角模型

题型二：手拉手模型

题型三：倍长中线模型

题型四：截长补短模型

题型五：半角模型

题型一：一线三等角模型

三步模型抽离法

“一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题

步骤如下:

第一步：依据特征找模型

特征1:是否存在两个三角形共顶点;

特征2:是否存在一条直线上有三个等角;

特征3:是否存在等线段

第二步：抽离模型

在题图中抽离出两个全等三角形

第三步：利用性质解题

利用全等三角形的性质解题

常见基础模型如下:

类型图示条件结论

同侧点P在线段AB上，∠△APC≌△BDP

一线1=∠2=∠3，且AP=BD

三等(或AC=BP或CP=PD)

角

异侧点P在线段AB的延长△APC≌△BDP

一线线上,∠1=∠2=∠3，

三等且AP=BD(或AC=BP

扇或CP=PD)

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】

（1）如图1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，AEBD．用等式写出线段AE，DE，

CD的数量关系，并说明理由．

【模型应用】

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AEEF，AEEF．用等式写

出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

【模型迁移】

（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AEEF，AEEF．用

等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

【典例1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在

注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角

模型”．如图2，在ABC中，A90，将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段，作DEAB交

的延长线于点E．90°𝐵��

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；

(2)【问题解决】如图3，连接并延长交��的�延�长线于点F，若AB2，AC6，求BDF的面积；

BN

(3)【类比迁移】在(2)的条件下�，�连接交��于点N，则______；

BC

𝐷𝐵2

(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点P，使tanBCP，请直接写出线段AP的长度．

3

��

【典例1-3】（2024·辽宁·中考真题）如图，在VABC中，ABC90，ACB045．将线段CA

绕点C顺时针旋转90得到线段CD，过点D作DEBC，垂足为E．

图1图2图3

(1)如图1，求证：△ABC≌△CED；

(2)如图2，ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，

猜想PC与PD的数量关系，并加以证明；

(3)如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．

①求证：点F是PD的中点；

②若CD20，求△CEF的面积．

【典例1-4】（2024·海南·中考真题）正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），12，

AEEF，AF交CD于点H，FGBC交BC延长线于点G．

(1)如图1，求证：ABE≌EGF；

(2)如图2，EMAF于点P，交AD于点M．

①求证：点P在ABC的平分线上；

CH

②当m时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；

DH

③作HNAE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB6，求BE的值．

【典例1-5】（2024·重庆·中考真题）在Rt△ABC中，ACB90，ACBC，过点B作BD∥AC．

(1)如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AECD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：

AC2BD；

(2)如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过

2

点F作FMBG交AB于点M，CN平分ACB交BG于点N，求证：AMCNBD；

2

(3)若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AFAC．点P是直线AC上一动点，连接FP，

将FP绕点F逆时针旋转60得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动

过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程

FT

中，直接写出的最大值．

CP

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·上海宝山·一模）在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的

边长为4，则正方形b的面积是．

【变式1-2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ABBC，CD∥AB，DEAC于点E，

且ABCE．求证：△CED≌△ABC．

ABk

【变式1-3】（2024·甘肃嘉峪关·二模）矩形ABCD中，(k1)，点E是边BC的中点，连接AE，过

BC2

点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)【特例证明】如图（1），当k2时，求证：AEEF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BHBE，连接EH．

k2，

ABBC．

B90，BHBE，

∴145，

AHE1801135．

CF平分DCG，DCG90，

1

3DCG45．

2

ECF34135．

∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

AE

(2)【类比探究】如图（2），当k2时，求的值（用含k的式子表示）．

EF

【变式1-4】（2024·青海西宁·三模）类比探究题：

【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED

于点D，过B作BEED于点E．求证：△ACD≌△CBE．

【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为直角边作等腰直角

VABC，使BAC90，设点B的横坐标0为,1x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．

【拓展拔高】（3）如图3，矩形ABCD中，AB3，BC5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C

都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作BPF的角平分线交AB于点E．设

BPx，BEy，则y与x的函数关系是_______，BE最大值为______．

题型二：手拉手模型

三步模型抽离法

第一步：依据特征找模型

特征1:是否存在两个等腰三角形;

特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点

第二步：抽离模型

以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等

第三步：利用性质解题

利用全等三角形的性质解题

常见基础模型如下：

图示

OC在△OAB内且拉手线OC在△OAB外且拉手线OC在△OAB外且拉手线

无交点无交点有交点

条件在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD

绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若

拉手线有交点,记相交于点,连接OE

结论1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等);

2.EO平分∠AED:

3.∠AEB=∠AOB=a

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024·新疆·中考真题）【探究】

（1）已知VABC和VADE都是等边三角形．

①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；

②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说

明理由．

【运用】

（2）如图3，等边三角形ABC中，AB6，点E在AC上，CE23．点D是直线BC上的动点，连接DE，

以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长．

【典例2-2】（2024·广西·中考真题）如图1，VABC中，ÐB=90°，AB6．AC的垂直平分线分别交AC，

AB于点M，O，CO平分ACB．

(1)求证：△ABC∽△CBO；

(2)如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△AOC，旋转角为0a360．连接AM，CM

①求△AMC面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；

②当△AMC是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．

【典例2-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABCB，点D，E分

别在AB，CB上，DBEB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．

(1)求证：CD2BF，CDBF；

(2)将DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．

①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；

②求证：CD2BF．

【中考模拟即学即练】

1

【变式2-1】（2024·浙江宁波·二模）如图VABC与VADE均为等腰直角三角形，ADABa，直线BD与

3

直线CE交于点P，在VABC与VADE绕点A任意旋转的过程中，P到直线BC的距离的最小值为（）

375

A．2aB．2aC．2aD．2a

264

【变式2-2】（2024·吉林长春·二模）如图，点C为线段AB上一点，△DAC、ECB都是等边三角形，AE、

DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；

②DPM60；③AEB90；④VACM≌VDCN．上述结论中，一定正确的是（填所有正确结

论的序号）．

【变式2-3】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽

象成如图2所示的VABC和△AED，其中BACEAD90，点B、C、E依次在同一条直线上，连结

CD．若BC4，CE2，则△DCE的面积是．

【变式2-4】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，EFG是等腰直角三

角形，EGFG，EGF90，当EFG的顶点G在线段AC（不与A，C重合）上绕点G旋转的过程中，

直角边EG交边AD于点M，直角边FG交边CD于点N．

(1)如图1，当点G与点O重合时，求证：EMFN；

(2)如图2，当CGnAG（n为正整数，n1）时，在旋转过程中，

①请写出线段GM，GN之间的数量关系，并说明理由；

②若ADa，CNb，求AM的长（用含a，b的代数式表示）．

题型三：倍长中线模型

倍长中线

图一

方法一：直接倍长法：

如图一，在ABC中，D为BC中点，连接AD并延长至E，使AD=ED，连接BE，

则ADCEDB(SAS)

图二

方法二：间接倍长法（1）：

如图二，在ABC中，D为BC中点，过点B、C作BE、CF垂直于AD，垂足分别为E、F,

则BEDCFD(AAS)

图三

方法二：间接倍长法（2）：

如图三，在ABC中，D为BC中点，M为AB上一点，连接MD并延长至点N,使DN=DM,连

接CN，则MDBNDC(SAS)

3、过端点向中线作垂线

基本图形：如下图，在ABC中，D为BC中点，过点B、C作BE、CF垂直于AD，垂足分别为E、F,

则BEDCFD(AAS)

【中考母题学方法】

【典例3-1】（山东泰安·中考真题）若VABC和△AED均为等腰三角形，且BACEAD90．

（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CFCD．求证：①EBDC，②

EBGBFC．

【典例3-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变

得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．

2．等腰三角形+底边中3．直角三角形+斜边中

题眼1．普通三角形+中点4．两个中点

点点

大致图形

辅助线名

倍长中线三线合一斜边中线中位线

称

延长BD到点E，

具体做法连接AD连接CD连接DE

使DEBD，连接AE

△AED≌△CBDADBC

产生效果①②

AE∥BCBADCAD

(1)请在①，②中任选择一个填空：

你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）

(2)如图①，在三角形中，AD是VABC的一条中线，AB5,AC3,AD2，求BC的长．

(3)如图②，在VABC中，A30,C90,AB4，点M，N是边AC上两个不同的动点，以MN为边在

VABC内部（包括边界）作等边三角形PMN，点E，F分别是AM，PM的中点，当PMN的周长取最大

值时，求线段EF的长．

【典例3-3】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：

如图①，在VABC中，AB6，AC8，第三边上的中线ADx，则x的取值范围是____．

【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：

（1）如图②，延长AD至点A，使得DAAD，连结AC，根据“SAS”可以判定△ABD≌__________，

得出ACAB6．在△AAC中，AC6，AC8，AA2x，故中线AD的长x的取值范围是_______．

【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散

的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．

【问题解决】（2）如图③，已知ABAC，ADAE，BAECAD180，连接BE和CD，点F是CD

的中点，连接AF．求证：BE2AF．小明发现，如图④，延长AF至点A，使FAAF，连接AD，通过

证明ABE≌DAA，可推得BEAA2AF．

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长AF至点A，使FAAF，连接AD，

∵点F是CD的中点，

∴CFDF．

∵AFAF，AFCAFD，

∴ACF≌ADF(SAS)，

∴ADAC，ADFACF，

∴AD∥AC，ADACAD180．

请你补全余下的证明过程．

【问题拓展】（3）如图⑤，在VABC和△AEF中，ABAE，ACAF，BACEAF180，点M，

N分别是BC和EF的中点．若BC4，EF6，则MN的取值范围是．

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形ABDE中，ABDBDE90°，C为边上一点，

连接AC，EC，M为AE的中点，延长交的延长线于点F，AC交于点G，连接DM交𝐵于点H．

𝐵��𝐵𝐷

(1)求证MBMD；

(2)若ABBC，DCDE，求证：四边形MGCH为矩形．

【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）综合与实践

【问题情境】

如图1，在Rt△ABC中，BAC90,ABAC，点D，E分别在边，AC上，ADAE，连接，，

BE，P为的中点，连接AP．����𝐵

𝐵

【数学思考】

（1）线段AP与BE的数量关系，说明理由．

【猜想证明】

（2）若把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证

明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．

【深入探究】

（3）若把VADE绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若N是BE的中点，连接AN，若AN1，直接写

出的长．

𝐵

【变式3-3】（2024·重庆綦江·二模）在等边VABC中，D为BC边上一点，DEAC于E．

(1)如图1，若AB6，BD2，求cosADE的值；

(2)如图2，线段CD的垂直平分线交DE于F，点G为AD的中点，连接BG，BF，GF，求证：BG3GF；

(3)如图3，将线段AD绕点D顺时针旋转120得到线段DM，点N为BC边上点D右边一动点，连接、MN，

S四边形

当BMMN取得最小值时，直接写出ADMN的值．𝐵

SABC

题型四：截长补短法

“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换

一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.

方法截长法补短法

条件在ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD

△

图示

方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE

结论ACD≌AEDABD≌AED

DEB是等腰三角形CDE是等腰三角形

△△

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC

中，ACB90,BAC30，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60得到线段AE，过点E

作EF∥BC，交直线AB于点F．

（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BDEFAB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用ADAE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AMEF，

连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接

写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；

拓展思考：

（3）在（1）（2）的条件下，若AC63，CD2BD，则EF______．

【典例4-2】如图，和是等腰三角形，且，，，，以

为顶点作一个△角�，��角的△两𝐵边�分别交边，于�点�=、��，连𝐵接=�，�点∠�、��分=别8在0°∠、𝐵CA�延=长10线0°上，

�则、、之50间°存在什么样的关系？并�说�明�理�由．��������

𝐷����

【中考模拟即学即练】

【变式4-1】课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，且ABBDAC，求证：ABC2ACB，小明的方

法是：如图2，在AC上截取AE，使AEAB，连接DE，构造全等三角形来证明．

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进

行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=______，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在

图1中画出相应的辅助线；

(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3，点D在ABC的内部，AD，BD，CD分别平分BAC，ABC，ACB，且AB+BDAC．求证：

ABC＝2ACB．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；

(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在ABC中，ABC2ACB，点D在边BC上，ABBDAC，那么AD平分BAC小东判断这个

命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

【变式4-2】如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，EFAE交DCE外角的平分线于F．

（1）求证：AEEF；

（2）如图，当E是BC上任意一点，而其它条件不变，AEEF是否仍然成立？若成立，请证明，若不成

立，请说明理由．

【变式4-3】如图，ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC

＝60°，AD＝2，过C△作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．

（1）求CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．

△

【变式4-4】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．

（1）求证：△���；△���

1

∠���=90°+2∠�

（2）已知．

①如图1，∠�若=60°，，求CE的长；

②如图2，若𝐵=4，�求�=6.5的大小．

��=��∠𝐷�

题型五：半角模型

半角模型

已知：ABC是等边三角形，D为ABC外一点，

△△

∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，

等边三角形含

∠EDF＝60°．

半角

结论1：EF＝BE＋CF，

∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．

已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD

正方形含半角上，∠EAF＝45°．

结论2：EF＝BE＋DF，

∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．

已知：ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

等腰直角三角△

点D，E在BC上，∠DAE＝45°．

形含半角

结论3：DE2＝BD2＋CE2．

【中考母题学方法】

1

【典例5-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知VABC是等腰三角形，ABAC，MANBAC，

2

MAN在BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间的数量关

系．

（1）如图①，当BAC90时，探究如下：

由BAC90，ABAC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90，得到ABP，则CNBP且PBM90，

连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MPMN，在Rt△PBM中，BM2BP2MP2，则有

BM2NC2MN2．

（2）当BAC60时，如图②：当BAC120时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明．

【典例5-2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1，在VABC中，BAC90，ABAC，点D、E在边BC上，且∠DAE45，BD3，CE4，

求DE的长．

解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACD，连接ED．

由旋转的特征得BADCAD，BACD，ADAD，BDCD．

∵BAC90，∠DAE45，

∴BADEAC45．

∵BADCAD，

∴CADEAC45，即EAD45．

∴DAEDAE．

在DAE和DAE中，

ADAD，DAEDAE，AEAE，

∴___①___．

∴DEDE．

又∵ECDECAACDECAB90，

∴在Rt△ECD中，___②___．

∵CDBD3，CE4，

∴DEDE___③___．

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以

不变应万变．

【知识迁移】

如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的

一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】

如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上