高等数学（经济类）第5版课件：一阶微分方程

一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程

转化

解分离变量方程可分离变量方程一、可分离变量的微分方程分离变量方程的解法:设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.

例1.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)

例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为

例3.

求下述微分方程的通解:解:

令则故有即解得(C为任意常数

)所求通解:

练习:解法1分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:

例4.子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)

随时间t

的变化规律.解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知

t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)

例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.

可得OMA=OAM=

例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕

x

轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:

利用曲线的对称性,不妨设

y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;

对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得

例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为

例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程

在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所示,电阻

R

和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L

都是常量,

∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得

暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:

思考与练习1.求下列方程的通解:提示:(1)

分离变量(2)

方程变形为

2.判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程

备用题1.

求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出

2.设有微分方程