土木工程制图课件

2.4直线与平面以及两平面的相对位置

2.4.1直线与平面以及两平面平行

2.4.2直线与平面以及两平面相交

2.4.3直线与平面以及两平面垂直

2.4.4点、直线、平面的综合作图题示例2.4.1直线与平面以及两平面平行几何条件若一直线与某平面上任一直线平行，则此直线与该平面平行。直线与平面平行PABCDEFf

c

d

e

cdefb

a

ab若一直线与某平面平行，则在平面上必能作出直线与原直线平行。PABCDEFf

c

d

e

cdefb

a

ab几何条件例：过已知点E作水平线与平面ABC平行。f

fe

eabcda

b

c

d

f

fe

eabca

b

c

如平面为铅垂面，应如何作？例：判断直线EF是否和平面ABC平行。f

fe

eabca

b

c

例：过点K作平面平行于二交叉直线AB和CD。d

dk

kabca

b

c

1

2

12例：过点K作平面平行于二交叉直线AB和CD。d

dk

kabca

b

c

1

2

12343

4

若两平面内各有一对相交直线对应平行，则两平面互相平行。几何条件平面与平面平行BCAPQEDFd

de

eabca

b

c

f

f若已知两平面平行，则如在第一平面内任取一条直线，在第二平面内必能作出一条直线和该直线平行。BCAPQD几何条件f例：判断两平面是否互相平行。f

e

eabca

b

c

dd

1

12

2

例：判断两平面是否互相平行。

要判断两平面平行，必须作两对相交直线对应平行。如所作第一对直线即不平行，即可断定两平面不平行。cff

e

eaba

b

c

dd

1

12

2例：过点K作平面与△ABC平面平行。abca

b

c

kk

1

12

2例：过点K作平面与△ABC平面平行。abca

b

c

kk

1

12

2433

4

dd

两铅垂面平行和不平行实例p

pq

qpqp

q

平行不平行例：过直线AB、CD各作一平面，使它们互相平行。abca

b

c

dd

f

fee

√√例：过直线AB、CD各作一平面，使它们互相平行。abca

b

c

dd

f

fee

PABKABCMN交点直线和平面的共有点交线两平面的共有线（两个共有点）P2.4.2

直线与平面以及两平面相交

参与相交的两元素中，至少有一个垂直于某投影面，其投影有积聚性，这种情况为特殊位置的相交，作图较为简便。特殊位置的相交直线与特殊位置平面相交

直线与平面相交，当平面的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用线上取点的方法求出。ABKPHabkabpa

b

p

kk

abpa

b

p

kk

直观判别法交点两侧可见性相反可见性判别()abpa

b

p

kk

重影点判别法交点两侧可见性相反2112可见性判别m

bABPHaCcMNm平面与特殊位置平面相交nabpa

b

p

c

cmnn

两平面相交，当其中一个平面投影有积聚性时，交线的一个投影已知，另一投影用面上取线的方法求出。bABPHaCcMNm

甲乙两平面相交，两平面的可见性总是以交线为界，若交线的一侧为甲面可见，另一侧必为乙面可见。nabpa

b

p

c

cmnm

n

可见性判别直观判别法abpa

b

p

c

cmnm

n

可见性判别重影点判别法21()12判别规则：同一直线上交点两侧可见性相反。通过每一交叉点（重影点）的两条直线可见性相反。m

例求两平面交线，判别可见性abpa

b

p

c

cmnn

例求两平面交线，判别可见性例求平面ABC与平面P的交线迹线面参与相交时，不判别可见性。m

aba

b

c

cmnn

PV例求平面ABC与平面P的交线迹线面参与相交时，不判别可见性。m

aba

b

c

cmPV直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用面上取点的方法求出。投影面垂直线与平面相交Kkdm(n)bABHaCcDMNm(n)bacdm

a

b

c

n

d

kk

1212()ee

参与相交的两元素都不垂直于投影面，其投影都没有积聚性，这种情况为一般位置的相交。一般位置的相交H一般位置直线与一般位置平面相交MNKDFEABP辅助平面badea

b

d

e

f

fH一般位置直线与一般位置平面相交ABPDFEMNK辅助平面法作图步骤包含已知直线作辅助平面求辅助平面与已知平面的交线求此交线与已知直线的交点12mnn

m

baH用铅垂面作辅助面ABPDFEMNKdea

b

d

e

f

fPHkk

12()d

kmnn

m

ba用正垂面作辅助面dea

b

e

f

fQVk

3

34()4

线面交点法

三面共点法求两平面的交线，只要求出两平面的两个公共点或一个公共点和交线的方向。两一般位置平面相交QP

在相交的两平面内任取两条直线，分别求出它们与另一平面的交点，连接起来即为两平面的交线。线面交点法MEFDNCABmm

bc

c例求平面ABC与平面DEF的交线。d

adea

b

e

f

fPHbc

c例求平面ABC与平面DEF的交线。d

adea

b

e

f

fQVmm

nn

21

()nmm

n

bc

c例求平面ABC与平面DEF的交线。d

adea

b

e

f

f12nmm

n

bc

c例求平面ABC与平面DEF的交线。d

adea

b

e

f

f3434()三面共点法r

rs

sPVQVlkk

l

bc

cd

adea

b

e

ff

g

h

gh2.4.3

直线与平面以及两平面垂直P直线与平面垂直几何条件MNKL1L2如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面直线与平面垂直几何条件如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面PMNL1L2K直线与平面垂直几何条件PMNL1L2K如果一直线垂直于平面内的一对相交直线，则此直线垂直于该平面直线与平面垂直几何条件如果一直线垂直于某平面，则此直线垂直于该平面内的任意直线PMNL1L2PPHPVHV投影特性如果一直线的正面投影垂直于一平面内正平线的正面投影，同时其水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影，则该直线垂直于该平面。DABCMN投影特性bc

caa

b

mm

nn

dd

如果一直线的正面投影垂直于一平面内正平线的正面投影，同时其水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影，则该直线垂直于该平面。投影特性

如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影，该直线的水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影。PPHPVHVDABCMN例过M点作直线MN垂直于平面ABCD。bc

caa

b

mm

nn

dd

ee

例过点K作平面垂直于直线AB。baa

b

kk

1

122

例过点K作直线KL与直线AB垂直相交。KL实长即为点到直线的距离BAKⅠⅡLb2

2aa

b

11

ll

k

k例判断直线是否垂直于平面。baa

b

dcc

d

mnm

n

e

f

efn

特殊位置的线面垂直问题当直线垂直于某投影面垂直面时，则此直线必为该投影面平行线。VHOXPmnm

MN特殊位置的线面垂直问题pp

mnm

n

PVPHmnm

n

p

pmnm(n)P如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的一切平面都与该平面垂直。平面与平面垂直几何条件ABPQK如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。几何条件LPQKL例过点K作一平面垂直平面ABCD。k

kbaa

b

dcc

d

121

2

ee

例包含直线MN作平面垂直于平面ABC。baa

b

cc

m

n

nmll

例判断下图中两平面是否垂直。baa

b

dcc

d

ee

f

fg

g例判断下图中两平面是否垂直。baa

b

dcc

d

ee

f

f2.4.4

点、直线、平面的综合作图题示例基本作图过点作直线平行于已知平面无数解基本作图过点作平面平行于已知平面唯一解基本作图过点作平面平行于已知直线无数解基本作图过直线作平面平行于已知直线唯一解基本作图直线与特殊位置平面相交基本作图平面与特殊位置平面相交基本作图直线与一般位置平面相交重影点法辅助平面法1

12()2

基本作图两个一般位置平面相交线面交点法利用两次辅助平面法求两个交点三面共点法利用三面共点原理基本作图过点作直线垂直于已知平面过平面外一点基本作图过点作直线垂直于已知平面过平面内一点基本作图过点作直线垂直于已知平面过平面内一点基本作图过点作平面垂直于已知直线过直线外一点基本作图过点作平面垂直于已知直线过直线上一点基本作图过点作平面垂直于已知平面无数解基本作图过直线作平面垂直于已知平面唯一解基本作图过点作直线和已知直线垂直相交辅助平面法基本作图问题解的个数

过点

作直线

平行于直线一解

平行于平面无数解垂直于直线无数解垂直于平面一解

作平面平行于直线无数解平行于平面一解垂直于直线一解垂直于平面无数解c例求点C到直线AB的距离。baa

b

kc

k

22

1

1距离实长2

例求点K到平面ABC的距离。cbaa

b

kc

k

21

1ll

求实长距离实长kk

a

b

c

abcll

例已知点N与点M对称于平面ABC，求点N的投影。cbaa

b

c

1

12

2kk

n

nm

m√√例等腰三角形ABC，底边为AB，顶点C在直线MN上，完成其投影。mbaa

b

c

nm

n

ck

k1

12

2例已知直线AB、CD垂直相交，完成CD的水平投影。baa

b

k

k1

12

2ll

c

d

dc例完成矩形ABCD的投影。baa

b

1

12

2c

d

dcmm

例过点M作直线与平面ABCD平行，与直线ⅠⅡ相交。baa

b

1

12

2c

d

dc