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曲线的凹凸、拐点、渐近线

一、曲线的凹凸与拐点凹凸拐点设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上凹与凸分界点称为拐点。图形是凸的.一、曲线的凹凸与拐点1.定义2.凹凸的判定

定理设在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，（1）若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上凹；（2）若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上凸；注意：此定理与单调性的判别定理是完全类似的。注:求y=f(x)凹凸区间的步骤1.写出f(x)的定义域；2.求,并求的点和3.列表讨论

不存在的点例1.求曲线的凹凸区间及拐点.解:定义域为令得故该曲线在及上凹,拐点为(0,1)及。凹凹凸凸,1.写出函数f(x)的定义域；2.求,并求出的点和3.用点与不存在的点作为定义域的

不存在的点的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论在各小区间内的正负符号,由此确定凹凸区间。例2.求的凹凸区间及拐点.解:定义域为令得在，上凹,拐点为(0,1)及。凸,1.写出函数f(x)的定义域；2.求,并求出的点和3.用点与不存在的点作为定义域的

不存在的点的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论在各小区间内的正负符号,由此确定凹凸区间。不存在的点为例3.求的凹凸性及拐点.得解:令0在上凸，在凹。定义域为拐点为(0,)例4.用凹凸性证明：设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.解：令，在是凹的，所以，时，即：无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,二、曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”

1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.

2.斜渐近线斜渐近线若

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