九年级数学上册232一元一次方程的解法省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

23.2一元二次方程的应用制作:鲁红坡ax2+bx+c=0学习如逆水行舟不进则退第1页一、一元二次方程根判断式一元二次方程，(1)当时，方程有两个不相等实数根：(2)当时，方程有两个相等实数根：(3)当时，方程没有实数根．根判别式知识点一：根判断式用配方法将其变形为：第2页一、一元二次方程根判断式【例1】不解方程，判断以下方程实根个数.解

(1)

∴原方程有两个不相等实数根．∴原方程有两个相等实数根．(2)原方程可化为：例1第3页解方程一、解一元二次方程方法：第4页1.直接开方法；因式分解法（提取公因式法、十字相乘法（利用根与系数关系）。第5页一、一元二次方程根判断式【例1】不解方程，判断以下方程实根个数.方法提炼：△与0大小关系决定方程实根情况；另外，在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程普通形式．解

(3)

∴原方程没有实数根．原方程可化为：例1第6页一、一元二次方程根判断式【例2】解一元二次方程．解法一（因式分解）移项,得①方程化为普通形式解题步骤②因式分解成A.B=0形式③A=0或B=0④写出方程两个根方程左边因式分解,得例2解法一第7页两边同时除以3,得配方，得开平方,得①二次项系数化1.②配方,并写成(x+m)2=k(k≥0)形式.③开平方,写出方程两个解.一、一元二次方程根判断式【例2】解一元二次方程．解法二（配方法）解题步骤例2解法二第8页2.配方法：（1）解完全一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)能够转化为适合于直接开平方法形式(x+m)2=n;(2)记住配方关键是“添加常数项等于一次项系数二分之一平方”；(3)在数学思想方法方面，体会“转化”思想和掌握配方法。第9页3.用配方法解一元二次方程步骤

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；

(3)在方程两边都加上一次项系数二分之一平方；

(4)变形为(x+m2)=n形式，假如n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m--第10页一、一元二次方程根判断式【例2】解一元二次方程．解法三（公式法）解题步骤移项,得①将方程化成普通式,并确定出a,b,c值.②求出b2-4ac值(尤其注意b2-4ac＜0)③代入求根公式.④写出方程两个根.故例2解法三第11页公式法：强调公式条件：第12页二、一元二次方程根与系数关系一元二次方程两个根为：说明：一元二次方程根与系数关系由十六世纪法国数学家韦达发觉，所以通常把此定理称为韦达定理．知识点二：韦达定理韦达定理成立前提是．方程可化为：第13页根与系数关系第14页1.应用一元二次方程根与系数关系时，首先要把已知方程化成普通形式.2.应用一元二次方程根与系数关系时，要尤其注意，方程有实根条件，即在初中代数里，当且仅当

b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.3.能够经过一元二次方程系数判断方程根情况.第15页二、一元二次方程根与系数关系例3(1)(2)第16页二、一元二次方程根与系数关系例3(3)(4)第17页二、一元二次方程根与系数关系方法提炼：利用根与系数关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

韦达定理表达了整体代换思想．例3方法提炼第18页二、一元二次方程根与系数关系例4解法一第19页二、一元二次方程根与系数关系例4解法二-3-2-10123-1-2-3123xy第20页

课堂小结课堂小结1.一元二次方程求解方法：①直接开平方法；②因式分解法；③公式法；④配方法等，通常先考虑直接开平方法和因式分解法。课堂小结2.应用韦达定理时,务必要注意韦达定理成立条件是;依据根与系数关系有方程.

求根公式：第21页某钢铁厂去年一月份某种钢产量为5000吨，若二月份产钢量上升,增加了20％,则【情景引入】（1）二月份增加产钢量为多少吨？（2）该钢铁厂二月份产钢量为多少吨？（3）若该钢铁厂三月份产钢量增加了

20％，则三月份产钢为多少吨？第22页某厂一月份产钢50吨，二、三月份增加率都是10％，则该厂三月份产钢多少吨？【小试牛刀】某厂一月份产钢a吨，二、三月份增加率都是x，则该厂三月份产钢多少吨？增加率问题：(1)

最终产量=原产量+增产量(2)增产量=原产量×增加率(3)最终产量

=原产量＋原产量×增加率

=原产量×(1＋增加率)．归纳第23页某钢铁厂去年一月份某种钢产量为5000吨，若二月份产钢量下降,降低了20％,则【情景引入】（1）二月份降低产钢量为多少吨？（2）该钢铁厂二月份产钢量为多少吨？（3）若该钢铁厂三月份产钢量降低了

20％，则三月份产钢为多少吨？第24页某厂一月份产钢50吨，二、三月份下降率都是10％，则该厂三月份产钢多少吨？【小试牛刀】某厂一月份产钢a吨，二、三月份下降率都是x，则该厂三月份产钢多少吨？归纳下降率问题：(1)

最终产量=原产量-减产量(2)减产量=原产量×下降率(3)最终产量

=原产量-原产量×下降率

=原产量×(1-下降率)．第25页

解：设平均每个月增加率为x．依据题意得

5000(1+x)2=7200

某钢铁厂去年一月份某种钢产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每个月增加百分率是多少？

(1+x)2=1.44解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）取x=0.2=20％．

答：平均每个月增加百分率是20％．第26页1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年年平均增加率.2.某市进行环境绿化，计划两年内把绿化面积增加44%，问平均每年增加百分率是多少？【课堂练习】3.某种药剂原售价为4元,经过两次降价,现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分之几?

第27页【探究升级】某商场今年2月份营业额为400万元,3月份营业额比2月份增加10％,5月份营业额到达633.6万元,求3月份到5月份营业额平均月增加率?(年广东省中考数学试题)第28页2、情景引入：（1）、年本市将作为足球分赛区参加奥运会，为此，本市领导决定，将年已经有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到年底增加到363公顷，假如每年增加率均为x，这年绿化面积为

公顷；年绿化面积为

公顷。可列方程

:

大家一起来加油！加油！300（1+x）300（1+x）2300(1+x)2=363第29页（2）、秦新大世界有一个线衣从原来每件40元，经两次调价后，调至每件32.4元，若两次调价降价率均为x，则第一次调价后降至

元，第二次调价后降至

元。可列方程为：

。40（1-x）40（1-x）240（1-x）2=32.4第30页增加率问题：设基数为a，平均增加率为x，则一次增加后值为，二次增加后值为降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后值为，二次降低后值为．智慧结晶a(1+x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2最终产值、基数、平均增加率或降低率、增加或降低次数

基本关系：

M=a(1±x)n

n为增加或降低次数

M为最终产量，a为基数，x为平均增加率

或降低率

第31页例1：政府为了处理老百姓看病贵问题，决定下调一些药品价格，某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒，假设每次降价百分率相同，求这种药品每次降价百分率数学与日常生活第32页解：设这种药品每次降价百分率为x依据题意得：

125(1-x)2=80

解这个方程，得：

x1=0.2，x2=1.8∵x=1.8不合题意，舍去。∴x=0.2=20%答：这种药品每次降价率为20%。第33页例2、年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市创办区内初中班，重点招收农牧民儿女及其它家庭贫困学生．某市年9月招收区内初中班学生50名，并计划在年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数到达450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年增加率相同，求这个增加率．

第34页解：设平均增加率为Ｘ

：50：50(1+X)：50(1+X)2

列方程得： 50+50(1+X)+50(1+X)2＝450得X１＝1.37X２＝-4.37

∵X２不符合题意

∴X＝137%答：平均增加率为137%。第35页一元二次方程解法举例(选取适当方法解方程)1.解一元二次方程方法有：①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法⑴5x2-3x=0⑵3x2-2=0⑶x2-4x=6⑷2x2-4x-16=0⑸x2+7x-7=0

2.引例：给以下方程选择较简便方法（利用因式分解法）（利用直接开平方法）（利用配方法）（利用配方法）（利用公式法）（方程一边是0，另一边整式轻易因式分解）（()2=CC≥0

）(化方程为普通式）（二次项系数为1，而一次项系为偶数）（二次项系数不为1时，先在方程两边同时除以二次项系数再配方）第36页例1.选择适当方法解以下方程：①（x-2)2=9②t2-4t=5③(m+1)2-4(2m-5)2=0

解：x-2==3∴x=23∴x1=5,x2=-1解：t2-4t+4=5+4（t-2)2=9∴t-2==3∴t=23∴t1=5,t2=-1第37页巩固练习：

1、填空：

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤（x-3）2=2(3-x)⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2-16=0

适合利用直接开平方法适合利用因式分解法适合利用公式法适合利用配方法

②3x2-1=0

⑥5(m+2)2=8③-3t2+t=0⑤（x-3）2=2(3-x)

⑨(x-2)2-16=0①x2-3x+1=0

⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0④x2-4x=2

规律：①普通地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选取直接开平方法；若常数项为0（

ax2+bx=0），应选取因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为普通式，看一边整式是否轻易因式分解，若轻易，宜选取因式分解法，不然选取公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。⑨

(x-2)2-16=0⑧2x2+4x-1=0第38页②公式法即使是万能，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单，所以在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）第39页例2.解方程

①(x+1)(x-1)=2x②(x-2)2-2(x-2)=-1