2025年中考数学一轮复习专题12 圆 知识点梳理及专项练习（含解析）

专题12圆1.圆的有关概念(1)圆上各点到圆心的距离都等于.圆由两个元素决定，分别是和，圆心确定圆的，半径确定圆的.圆心相同，半径不等的圆是；圆心不同，半径相等的圆是.(2)连接圆上任意两点的线段叫作.直径是经过的弦，是圆中的弦.(3)圆上任意两点间的部分叫作，大于半圆的弧叫作，小于半圆的弧叫作.2.圆周角与圆心角的关系顶点在圆心的角叫作；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.直径所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是.3.垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分.4.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：①，②,③.5.直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系共有三种：①,②,③.对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为④dr,⑤dr,⑥dr.(2)切线的判定方法有：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②到的距离等于的直线是圆的切线；③经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线.在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫作这点到圆的；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，圆心和这一点的连线两条切线的夹角.6.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系共有三大种：①,③,②,也可分为五小种:①,③,③,④,⑤.(2)两圆的圆心距d和两圆的半径R，r(R≥r)之间的数量关系分别为①dR--r,②dR--r,③R--rdR+r,④dR+r,⑤dR+r.7.圆的有关计算(1)弧长、扇形面积的计算已知⊙O的半径为R，圆心角为n°的弧长l的计算公式为；圆心角为n°的扇形的面积为或.(2)圆锥侧面积、全面积的计算圆锥的侧面积就是其侧面展开图的扇形面积；圆锥的全面积就是它的与它的的和.8.圆中常见的辅助线(1)遇到时，一般要引直径上的圆周角，将直径这一条件转化为的条件.(2)遇到时，一般要引的半径，以便利用切线的性质定理；或连接的弦，以便利用弦切角定理.(3)遇到过圆外一点作圆的两条时，常常引这点到圆心的，以便利用切线长定理及其推论.(4)遇两圆,要添加,或者连心线，特别是，它在相交两圆中起着桥梁作用.实战演练 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是()A.2B.3C.4D.52.如图,AD,BC是⊙O的直径,点P在BC的延长线上,PA与⊙O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为()A.65°B.60°C.50°D.25°3.某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B,若该圆半径是9cm,∠P=40°,则的长是()A.11πcmC.7πcmD.4.如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是()A.60°B.65°C.70°D.75°5.如图,△ABC内接于⊙O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=()A.44°B.45°C.54°D.67°如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是()A.AE⊥DEB.AE∥ODC.DE=ODD.∠BOD=50°7.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为()A.1.0厘米/分B.0.8厘米/分C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则A.4π/3B.πC.2π/3D.π/3 9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D=°.10.如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,若∠ABC=110°,则∠ADC=°.11.如图,在□ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则□ABCD的周长为12.已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为.13.已知AB为⊙O的直径,AB=6,C为⊙O上一点,连接CA,CB.(1)如图①,若C为的中点,求∠CAB的大小和AC的长；(2)如图②,若AC=2,OD为⊙O的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长.14.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的切线,C为切点,连接BC.ED垂直平分OB，垂足为E，且交BC-于点F，交BC于点P,连接BF,CF.(1)求证:∠DCP=∠DPC;(2)当BC平分∠ABF时,求证:CF∥AB;(3)在(2)的条件下,OB=2,求阴影部分的面积.15.如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.(1)M是CD的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长；(2)点F在CD上,且CE=EF,求证:AF⊥BD.压轴预测如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,以B为圆心,BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为()A.2πcm²B.8πcm²C.12πcm²D.15πcm²2.如图,△ABC中,AB=2,AC=2以点A为圆心，1为半径的圆与BC相切，分别交AB,AC于点D,E,则的长是()A.B.C.π/2D..3.如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm),那么该圆的半径为cm.4.如图,扇形AOB中,半径OA=2,圆心角∠AOB=60°.以OA为直径的半圆交OB于点C，则图中两个阴影部分面积的差的绝对值是.5.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,且AB为⊙O的直径,DE与⊙O相切于点D,交AB延长线于点E,OD与BC交于点F,∠E=∠ADC.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若CF=2DF,AC=6,求⊙O的半径r.参考答案1.(1)圆的半径圆心半径位置大小同心圆等圆(2)弦圆心最长(3)弧优弧劣弧2.圆心角圆周角相等相等相等一半直角圆的直径3.弦弦所对的两条弧直径弦所对的两条弧4.点在圆内点在圆上点在圆外5.(1)相离相切相交>=<(2)唯一圆心半径外端垂直于切线长相等平分6.(1)相离相切相交内含内切相交外切外离(2)<=<<=>7.(2)底面积侧面积8.(1)直径直角(2)切线过切点过切点(3)切线连线(4)相交公共弦公共弦1.C【解析】本题考查勾股定理、点和圆的位置关系.在Rt△ABC中,AB=5,BC=4,由勾股定理可得AC=3.∵点C在⊙A内,∴r>3.又点B在⊙A外,∴r<5,∴3<r<5,即r的值可能是4,故选C.2.A【解析】本题考查切线的性质、三角形的外角性质、圆周角定理.因为PA与⊙O相切,所以∠OAP=90°.又∠P=40°,所以∠AOB=∠OAP+∠P=130°,所以∠ADB=13.A【解析】本题考查圆的切线的性质、弧长公式.设圆心为O，连接OA，OB，由题意得OA⊥PA,OB⊥PB,由四边形的性质知∠AOB=180°−∠P=180°−40°=140°,所以AMB的度数是360°−140°=220°,所以AMB=4.C【解析】本题考查圆周角定理的推论.连接BD.因为AD是圆O的直径,所以∠ABD=90°.又∠ABC=20°,所以∠CBD=90°−20°=70°,,所以∠CAD=∠CBD=70°,故选C.5.A【解析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质.如图,连接OB.∵∠C=46°,∴∠AOB=2∠C=92°.又OA=OB,∴∠OAB=1806.C【解析】本题考查切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理.因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA.因为AD平分∠BAC,所以∠OAD=∠CAD,所以∠ODA=∠CAD,所以AE∥OD,故B选项正确;因为DE是圆O的切线,所以OD⊥DE,所以AE⊥DE,故A选项正确;在直角梯形ODEA中,OA>DE.又OA=OD,所以OD>DE,故C选项错误;因为∠EAD=25°,所以∠BAD=∠EAD=25°,所以∠BOD=2∠BAD=50°,故D选项正确，故选C.7.A【解析】本题考查圆的性质、勾股定理、垂径定理.如图,过点O作OH⊥AB于点H,连接OA,则AH=BH=12AB=8厘米,在Rt△AOH中,∠OHA=90°,OA=10厘米，所以由勾股定理得8.C【解析】本题考查矩形的性质、勾股定理、弧长公式.在矩形ABCD中,∠DAB=∠B=90°,AD=BC=2,∴AE=AD=2.在Rt△ABE中,AB=3,∴BE=AE2−A9.62【解析】本题考查圆周角定理的推论.如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BAC=28°,∴∠ABC=90°-28°=62°,∴∠D=∠ABC=62°.10.70【解析】本题考查圆内接四边形的性质.∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=110°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°−110°=70°.11.24+65【解析】本题考查圆的性质、圆的切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质.如图，连接OE，过点C作CH⊥OD于点H,则OE⊥BC,OE∥CH.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC.又AD=12,所以CH=OE=6.因为AB=CD,OC=AB,所以OC=CD,所以(OH=DH=12OD=3.在Rt△CDH中,由勾股定理得CD=32+612.3π【解析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形的面积.∵圆锥的侧面展开图是扇形，.∴S掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解答本题的关键.13.(1)45°,32(2)22(1)根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，再根据等弧所对的弦相等，进而证明△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出AC的长；(2)根据切线的性质和已知垂直关系以及∠ACB=90°，可判定四边形ECFD是矩形，得对边相等，求出FD与CB的数量关系，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出CB的长，即可求出FD的长.解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.由C为AB的中点，得.AC∴AC=BC.得∠ABC=∠CAB.在Rt△ABC中,∠ABC+∠CAB=90°,∴∠CAB=45°.根据勾股定理，有AC²+BC²=AB².又AB=6,得2A(2)∵FD是⊙O的切线,∴OD⊥FD.即∠ODF=90°.∵OD⊥CB,垂足为E,∴∠CED=90同(1)可得∠ACB=90°,有∠FCE=90°.∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°.∴四边形ECFD为矩形.∴FD=CE.于是FD=在Rt△ABC中,由AB=6,AC=2,得CB=14.(1)略(2)略3(1)连接OC，根据切线的性质及ED⊥OB得到两组互余的角，再根据等边对等角结合等角的余角相等进行等量代换，即可得证；(2)连接OF，证明△OFB是等边三角形，根据等边三角形的性质与圆周角定理求出∠FCB的度数，结合角平分线的性质求出∠OBC的度数，然后利用平行线的判定即可证明结论成立；(3)根据圆周角定理及半径相等证明△COF是等边三角形，再结合垂直平分线及勾股定理求出EF的长，然后利用三角形的面积公式与扇形的面积公式求解即可.解:(1)证明:连接OC.∵CD是⊙O的切线,∴∠OCB+∠DCP=90°.∵ED⊥OB,∴∠OBC+∠EPB=90°.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠DCP=∠EPB. ∵∠EPB=∠DPC,∴∠DCP=∠DPC.(2)证明:连接OF.∵ED垂直平分OB,∴OF=FB.又∵OF=OB,∴△OFB是等边三角形.∴∠FOB=∠FBO=60°.∴∠FCB=∵BC平分∠ABF,∴∠OBC=∠FBC=∴∠OBC=∠FCB.∴CF∥AB.(3)由(2)得∠FBC=30°,∴∠COF=60°.∵OF=OC,∴△COF是等边三角形.∵OB=2,∴OF=OC=CF=2.∵ED垂直平分OB,OF=2,∴∠OEF=90°,OE=1,∴由勾股定理，得EF=∴∵∴15.(1)35(2)略(1)连接OC,OD.根据M是CD的中点可得DM=CM=1解:(1)如图,连接OC,OD,因为M是CD的中点且CD=12,所以CM=DM=6且OM⊥DM.在Rt△OMD中,由勾股定理得OD=所以圆O的半径长为35(2)证明:如图,连接AC,延长AF交BD于点N.在△AEC与△AEF中,因为AE=AE,∠AEC=∠AEF,EC=EF,所以△AEC≌△AEF.于是∠EAC=∠EAF.又因为∠BAC=∠BDC.所以∠AND=∠BAN+∠ABN=∠CDB+∠ABD=90°.于是AF⊥BD.压轴预测1.C【解析】本题考查矩形的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积公式.在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°.在Rt△ABE中,AB=6,BE=BC=12,∴cos∠ABE=ABE=612=12,∴∠ABE=60°,∴∠EBC=30°,2.D【解析】本题考查圆的切线的性质、弧长的计算公式.设BC与圆相切于点F,连接AF,则AF⊥BC.在Rt△AFB中,AB=2,AF=1,∴∠ABF=30°,∴∠BAF=60°.在Rt△AFC中,AC=2,AF=1,∴CF=