2025年中考数学一轮复习专题3 方程与方程组 知识点梳理及专项练习（含解析）

方程与方程组1.等式的两边同时加上(或减去)同一个，所得结果仍是等式. 等式的两边同时乘(或除以)同一个，所得结果仍是等式.2.含有的等式叫作方程.使方程左右两边的值相等的叫作方程的解.求方程的的过程叫作解方程.只含有___________的方程叫作一元一次方程，其标准形式为_________解一元一次方程的一般步骤：①;②;③;④；⑤未知数的系数化为1.3.只含有未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫作一元二次方程，其一般形式为.其中叫作二次项，叫作一次项，叫作常数项；叫作二次项的系数，叫作一次项的系数.4.一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.(1)其中形如的一元二次方程就可用直接开平方的方法.(2)用配方法解一元二次方程(ax²+bx+c=0(a≠0)的一般步骤:①化二次项系数，即方程两边同时除以二次项系数；②，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③，即方程两边一次项系数一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果方程右边是非负数，即n≥0，就可以用求出方程的解;如果n<0,则原方程.(3)一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0的求根公式是.(4)因式分解法的一般步骤：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成的乘积；③令5.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为.(1)⇔一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个的实数根,即x(2)⇔一元二次方程有相等的实数根，即x₁=x₂(3)⇔一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)实数根.6.分母中含有的有理方程叫作分式方程.解分式方程的一般步骤：(1)去分母，在方程的两边都乘，约去分母，化成整式方程；(2)解这个；(3)验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使为零的根是原方程的增根，必须舍去.7.共含有未知数的两个一次方程所组成的一组方程组叫作二元一次方程组.使二元一次方程组的，叫作二元一次方程组的解.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元法和消元法两种.8.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，理清它们之间的关系;(2):根据题意,可采用,也可，必须写明单位，语言叙述要完整；(3)：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数；利用列代数式时没有用过的等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同；(4)：应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解；(5):解应用题既要检验有无，又要检验是否，检验后作出符合题目要求的答案.实战演练 1.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢?”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇?设经过x天相遇，根据题意可列方程为()A.B.C.(9-7)x=1D.(9+7)x=12.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个?其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个?设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为()A.B.C.D.3.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是()A.150B.150(1-x)=96C.150D.150(1-2x)=964.分式方程2x−3A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-35.某体育比赛的门票分A票和B票两种,A票每张x元,B票每张y元.已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则()A.|B.|C.|10x-19y|=320D.|19x-10y|=320 6.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方.图2是一个未完成的幻方，则x与y的和是()A.9B.10C.11D.127.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.若设这个数是x，则所列方程为()A.B.C.D.x+8.若方程x²−2x+m=0没有实数根，则m的值可以是()A.-1B.0C.1D.39.用配方法解方程x²−6x+5=0，配方后所得的方程是()A.B.C.D.10.关于x的方程(x-1)(x+2)=p²(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是()A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根11.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为()A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)²=750012.甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x人，则可列分式方程为.13方程2x+5=114.关于x的一元二次方程.x²+2x+t=0有两个相等的实数根，则实数t的值为.15.若关于x的分式方程3xx−1=m16.若关于x的分式方程3xx−2=m+317.解方程组:2x−y=3,x+y=6.18.某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?19.某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级(1)班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务.如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名?20.已知关于x的一元二次方程x²+3x+k−2=0有实数根.(1)求实数k的取值范围.(2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，若x₁+1x₂+121.解方程:x−122.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答). 压轴预测1.《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌.如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组()A.B.C.D.2.关于x的方程x(x--1)=3(x--1),下列解法完全正确的是()A.两边同时除以(x-1)得,x=3B.整理得,.x²-4x=-3,∵a=1,b=-4,c=−3,b2C.整理得，x²−4x=−3,配方得，x²−4x+2=−1,∴x−2²=−1,∴x−D.移项得，(x-3)(x--1)=0,∴x-3=0或x--1=0,∴x₁=3,x₂=13.若关于x的一元二次方程kx²+4k−1x+3k--1=0的解都是整数，则正整数k的值为4.受猪瘟疫情的影响,2023年猪肉价格不断走高，据统计2023年9月1日猪肉价格比2023年年初上涨了60%，某市民2023年9月1日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱.(1)2023年年初猪肉的价格为每千克多少元?(2)某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按9月1日的价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1560元的利润，并且能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元? 参考答案1.数或整式不为0的数或整式2.未知数未知数的值解未知数次数都是1ax+b=0(a≠0)①去分母②去括号③移项④合并同类项3.一个2ax²+bx+c=0(a≠0)ax²bxcab4.(1)(x+a)²=b(2)①为1②移项③配方同时加上④x+a3(4)①0②两个因式③这两个因式 5.△=b²−4ac1b²−4ac>0不相等2b²−4ac=0两个3b²−4ac<06.未知数(1)最简公分母(2)整式方程(3)最简公分母最简公分母7.两个两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值代入加减8.(1)审题(2)设未知数直接设未知数间接设未知数(3)列代数式和方程(4)解方程或方程组(5)检验，作答增根符合题意1.A【解析】本题考查一元一次方程的应用.根据题意得17x+192.A【解析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组.根据题意，所列方程组为x+y=1000,43.C【解析】本题考查根据实际问题列一元二次方程.由题知，第一次降价后每件售价为150(1-x)元，第二次降价后每件售价为150(1-x)²元,所以可列方程150(1-x)²=96,故选C.4.D【解析】本题考查解分式方程.等号两边同乘x(x-3),得2x=x-3,移项并合并同类项得x=-3,检验:当x=-3时,x(x-3)=18≠0,故x=-3是原分式方程的解,故选D.5.C【解析】本题考查由实际问题列二元一次方程.由题意得|10x-19y|=320,故选C.6.D7.C【解析】本题考查根据实际问题列一元一次方程、数学文化.若设这个数是x，则这个数的三分之二是23x,这个数的一半是12x，这个数的七分之一是17x，这个数的全部就是x，根据“加起来总共是33”可列得方程28.D【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、不等式的解.由题意可知，方程x²−2x+m=0没有实数根，∴△<0,即(−2²−4m<0,解得m>1，结合各选项知，m的值可以是39.D【解析】本题考查对一元二次方程进行配方.已知方程x²−6x+5=0可变形为x²−6x=−5,两边同时加上9,得x²−6x+9=4,即x−3²=4,∴将方程x²−6x+5=0配方后得(x−3将二次三项式进行配方，如果是一元二次方程，则在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；如果是二次函数，则在函数式中加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，这就是等式和代数式进行配方的区别，要注意不能弄错.10.C【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.原方程可化为x²+x−2−p²=0,∴△=1²−4−2−11.C12.160x=140x−10【解析】本题考查根据实际问题列分式方程.根据题意，甲每小时采样x人，则乙每小时采样(x—10)人，∴甲采样160人所用时间为160x13.x=5【解析】本题考查解分式方程.将方程2x+5=14.1【解析】本题考查一元二次方程根的判别式.依题意，△=2²−4×1×t=0,,解得t=1.15.m<-2且m≠-3【解析】本题考查分式方程的解法.去分母得3x=-m+2(x-1),去括号得3x=-m+2x-2,移项得3x-2x=-m-2,合并同类项得x=-m-2.因为原分式方程的解为正数，所以−m−2−1≠0,−m−2>0,16.3【解析】本题考查分式方程的增根.将分式方程化为整式方程得3x=m+3+(x--2),解得x=又∵关于x的分式方程3xx−2=m+3x−2分式方程的增根就是使分式的最简公分母为零的未知数的值.解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.17.解:①+②,得3x=9,x=3.将x=3代入②,得3+y=6,y=3.所以原方程组的解为x=3,18.3020解：设买一份甲种快餐需x元，买一份乙种快餐需y元,依题意得x+2y=70,解得x=30,答：买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需20元.19.10解：设每个小组有学生x名，根据题意得360解得x=10.经检验，x=10是原方程的解.答：每个小组有学生10名.20.1(1)由△≥0列不等式求解即可；(2)根据根与系数的关系先表示出x₁+x₂和x₁x₂,再代入所给式子，列方程即可求得k的值.解：(1)∵一元二次方程x²+3x+k−2=0有实数根，∴△≥0.∴△=3²−4k−2解得k≤(2)方程的两个实数根分别为x₁,x₂,∴x₁+x₂=−3,x₁x₂=k−2.∴∴k-2-3+1=-1,解得,k=3.21.−将分式方程转化为整式方程求解即可，最后检验整式方程的解是否为分式方程的根即可.解：x−1x²−2x+1−3=x²−1,-2x=1.x=−经检验x=−122.5根据题意设出未知数x，利用等量关系列出关于x的一元二次方程，求出方程的解，选取符合题意的未知数的值，即为最小数.解：设这个最小数为x.根据题意,得x(x+8)=65.解，得x₁=5,x₂=−13(不符合题意，舍去).答：这个最小数为5.压轴预测1.B【解析】本题考查数学文化、二元一次方程组的实际应用.根据题意，甲有羊x只