2025年中考数学几何模型综合训练专题36最值模型之逆等线模型解读与提分精练（学生版）

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各

类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试

题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）.............................................................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）.....................................................................................3

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）.....................................................................................4

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）.....................................................................5

模型5.最值模型-加权逆等线模型.................................................................................................................7

...................................................................................................................................................9

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

逆等线：ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

△

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。

条件：如图，在ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求

CD+BE的最小值△。

证明思路：①AD在ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CF//AB△，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出ADC≌△CEF(SAS)；证出EF=CD；

④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所△求，此时，B、E、F三点共线；

⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。

例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形VABC中，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运

动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设xAD，

yAECD，y与x的函数图象如图，图象过点0，4，则图象最低点的纵坐标是（）

A．21B．2C．231D．23

例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别是AB、

AC上两动点，且AD=CE，连接CD、BE，CD+BE△最小值为．

例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AB3，AC4，BAC90，D，E

分别是边AB，AC上的动点，且BDAE，则CDBE的最小值为．

例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在VABC中，ABC45，BAC75，AC2，点E与

点D分别在射线BC与射线AD上，且ADBE，则AEBD的最小值为，AEED的最小值为．

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。

证明思路：①CE在BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出BEC≌△GFB(SAS)；证出EB=FG；

△

④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝

CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝△

A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°

例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形VABC中，BAC50，ABAC，BDAC于D，M，N

分别是线段BD，BC上的动点，BMCN，当AMAN最小时，MAD．

例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰ABC中，BAC100，BD平分ABC，点N为BD上一点，点

M为BC上一点，且BNMC，若当AMAN的最小值为4时，AB的长度是．

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）

条件：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，

求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出BEC≌△ADF(SAS)；证出CE=FD；

△

④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。

例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，RtABC中，ACB90，B30，D，E为AB边上的

两个动点，且ADBE，连接CD，CE，若AC2，则CDCE的最小值为．

例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接

BE和BF，若AECF，ACAB9，ACBC2，则BEBF的最小值是．

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，

求AF+AE的最小值。

证明思路：①BE在ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出ABE≌△GDF(SAS)；证出AE=FG；

△

④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两

条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB4，E，F分别是边BC和

对角线BD上的动点，且BEDF，则AEAF的最小值为______．

例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB6，AD8，点E、F分别是边BC和对角线

BD上的例2．动点，且BEDF，则AEAF的最小值是．

例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC120，点E，F分别在AB，CD上，

且DFBE，连接DE，AF，则DEAF的最小值为．

模型5.最值模型-加权逆等线模型

条件：已知在VABC中，∠ACB=，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=k×AD，

求AE+k×CD的最小值。

证明思路：①AD在ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；

△

②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=k×AC=kb。（构造一边一角，得相似）；

③构造出EBF≌△DAC(SAS)；证出EF=k×DC；

△

④AE+k×CD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；

⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。

例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边VABC中，BC6，E，F分别是边AB、AC上

的动点，且满足CF2BE，则BF2CE的最小值为；

例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB5，BC6，E、F分别为BC、

CD上的动点，且BE2DF，则DE2AF的最小值为．

例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，ABAD，AD4，ADB60，点E、F为

对角线BD上的动点，DE2BF，连接AE、CF，则AE2CF的最小值为．

例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB4，ABC60，点E，F分别是BD，CD上

1

的点，若BE2CF，则AFAE的最小值是．

2

1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE

和BF，若AECF，ACAB4,ACBC2，则BEBF的最小值是（）

A．4B．10C．6D．20

2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，

且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时△，∠MBN的度数为（）

A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°

3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是BC，CD边上的动

点，且BECF．（1）若BECF1，则AEAF；（2）AEAF的最小值为．

4．（2024·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别为AB，BC上的动点，

且AD＝BE，AB32．当AE＋CD的值最小时，CE的长为．

5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形ABCD中，ABC60，E，F分别是AD，BD

上的动点，DEBF，连AF，CE，则AFCE的最小值为．

20

6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在VABC中，BAC90，AB5，AC，D，E分别为射线BC

3

与射线AC上的两动点，且BDAE，连接AD，BE，则ADBE最小值为；ADBE的最大值

为．

7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，满

足AEDF．当BEBF23时，线段CF的长度为．

8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB2，AD4，E、F分别是边CD、AD上

的动点，且CEDF．当AECF的值最小时，则CE．

9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE

＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为．

10．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB23，BC6，ADC120，

点E，F分别在边AD，AB上运动，且满足BF3DE，连接BE，CF，则CF3BE的最小值

是．

11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC中，AB1，E、F分别是边AB、AC上的动点，

且CF2BE，则BF2CE的最小值为．

12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，且BE2CF，

若AB1，则DE+2BF的最小值是．

13．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC中，AB4，AC6，以点B为直角顶点、BC

为直角边向下作直角△BCD，且BC2BD，连接AD，则AD的最大值是．

14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB4，BC3，E，F分别是AC,CD

AE55

上的动点，且，连接BE,BF，当E为AC中点时，则BEBF；在整个运动过程中，BEBF

CF33

的最小值为．

15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，A2B，AB2，点E和点F分别在边AB和

边BC上运动，且满足AECF，则DFCE的最小值为（）

A．4B．37C．23D．6

16．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形ABCD中，AB2，ACB30，P，O分别为对

角线AC边CD上的两点，且APCQ，BPBQ的最小值为．

17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】

（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍