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文档简介

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查,逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各

类考试中都以高档题为主,中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试

题分析,方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等线模型(三角形边上的逆等线).............................................................................1

模型2.最值模型-逆等线模型(非边上的逆等线).....................................................................................3

模型3.最值模型-逆等线模型(同边上的逆等线).....................................................................................4

模型4.最值模型-逆等线模型(特殊平行四边形的逆等线).....................................................................5

模型5.最值模型-加权逆等线模型.................................................................................................................7

...................................................................................................................................................9

模型1.最值模型-逆等线模型(三角形边上的逆等线)

逆等线:ABC中,D、E分别是AB、AC上的动点,且AD=CE,即逆向相等,则称AD和CE为逆等线。

逆等线模型特点:动线段长度相等,并且位置错开。

条件:如图,在ABC中,∠ABC=,BC=m,AC=n,点D、E分别是AB、AC上的动点,且AD=CE,求

CD+BE的最小值△。

证明思路:①AD在ADC中,以CE为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点C作CF//AB△,且CF=AC。(构造一边一角,得全等);③构造出ADC≌△CEF(SAS);证出EF=CD;

④CD+BE=EF+BE,根据两点之间,线段最短,连接BF,则BF即为所△求,此时,B、E、F三点共线;

⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出BF即可。

例1.(23-24九年级上·广东广州·期中)在等边三角形VABC中,边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运

动,同时,边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,D,E两点运动速度的大小相等,设xAD,

yAECD,y与x的函数图象如图,图象过点0,4,则图象最低点的纵坐标是()

A.21B.2C.231D.23

例2.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)如图,在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D、E分别是AB、

AC上两动点,且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE△最小值为.

例3.(23-24九年级下·广东广州·阶段练习)如图,在Rt△ABC中,AB3,AC4,BAC90,D,E

分别是边AB,AC上的动点,且BDAE,则CDBE的最小值为.

例4.(24-25八年级上·四川成都·期中)如图,在VABC中,ABC45,BAC75,AC2,点E与

点D分别在射线BC与射线AD上,且ADBE,则AEBD的最小值为,AEED的最小值为.

模型2.最值模型-逆等线模型(非边上的逆等线)

条件:已知三角形ABC中,AB=a,BC=b,CD为高,CE=BF,求AF+BE的最小值。

证明思路:①CE在BEC中,以BF为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点B作BG//CE,且BG=BC=b。(构造一边一角,得全等);

③构造出BEC≌△GFB(SAS);证出EB=FG;

④AF+BE=AF+FG,根据两点之间,线段最短,连接AG,则AG即为所求,此时,A、F、G三点共线;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

例1.(2024·安徽合肥·一模)如图,AD为等边ABC的高,E、F分别为线段AD、AC上的动点,且AE=

CF,当BF+CE取得最小值时,∠AFB=△

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

例2.(2023·四川成都·一模)如图,在三角形VABC中,BAC50,ABAC,BDAC于D,M,N

分别是线段BD,BC上的动点,BMCN,当AMAN最小时,MAD.

例3.(2024·四川乐山·二模)如图,等腰ABC中,BAC100,BD平分ABC,点N为BD上一点,点

M为BC上一点,且BNMC,若当AMAN的最小值为4时,AB的长度是.

模型3.最值模型-逆等线模型(同边上的逆等线)

条件:已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=a,点E、D是线段AB上的动点,且满足AD=BE,

求CD+CE的最小值。

证明思路:①BE在BEC中,以AD为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作AF//BC,且AF=BC=b。(构造一边一角,得全等);

③构造出BEC≌△ADF(SAS);证出CE=FD;

④CD+CE=CD+FD,根据两点之间,线段最短,连接CF,则CF即为所求,此时,F、D、C三点共线;

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可,或利用全等证明FC=AB也可。

例1.(23-24八年级上·北京朝阳·期末)如图,RtABC中,ACB90,B30,D,E为AB边上的

两个动点,且ADBE,连接CD,CE,若AC2,则CDCE的最小值为.

例2.(23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC上有两动点E和F,连接

BE和BF,若AECF,ACAB9,ACBC2,则BEBF的最小值是.

模型4.最值模型-逆等线模型(特殊平行四边形的逆等线)

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件:已知在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,点E、F是边BC、BD上的动点,且满足BE=DF,

求AF+AE的最小值。

证明思路:①BE在ABE中,以DF为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°,且DG=AB=b。(构造一边一角,得全等);

③构造出ABE≌△GDF(SAS);证出AE=FG;

④AF+AE=AF+FG,根据两点之间,线段最短,连接AG,则AG即为所求,此时,A、F、G三点共线;

⑤求AG。先利用相似求出DH和HG(若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两

条线段的长度),再利用勾股定理求出AG即可。

例1.(2023·山东德州·校考一模)如图,在菱形ABCD中,ABC60,AB4,E,F分别是边BC和

对角线BD上的动点,且BEDF,则AEAF的最小值为______.

例2.(2023·陕西西安·模拟预测)如图,矩形ABCD中,AB6,AD8,点E、F分别是边BC和对角线

BD上的例2.动点,且BEDF,则AEAF的最小值是.

例3.(2024·福建南平·一模)如图,在菱形ABCD中,AB2,ABC120,点E,F分别在AB,CD上,

且DFBE,连接DE,AF,则DEAF的最小值为.

模型5.最值模型-加权逆等线模型

条件:已知在VABC中,∠ACB=,AB=a,AC=b,点E、D是线段AB、BC上的动点,且满足BE=k×AD,

求AE+k×CD的最小值。

证明思路:①AD在ADC中,以BE为一边构造另一个三角形与之相似,这个也叫做一边一角造相似;

②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°,且BF=k×AC=kb。(构造一边一角,得相似);

③构造出EBF≌△DAC(SAS);证出EF=k×DC;

④AE+k×CD=AE+EF,根据两点之间,线段最短,连接AF,则AF即为所求,此时,A、F、E三点共线;

⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=,再利用三角函数求出BG和FG,最后利用勾股定理求出AF即可。

例1.(24-25九年级上·四川成都·阶段练习)如图,在等边VABC中,BC6,E,F分别是边AB、AC上

的动点,且满足CF2BE,则BF2CE的最小值为;

例2.(24-25九年级上·陕西西安·阶段练习)如图,在矩形ABCD中,AB5,BC6,E、F分别为BC、

CD上的动点,且BE2DF,则DE2AF的最小值为.

例3.(2024·四川成都·校考一模)如图,平行四边形ABCD,ABAD,AD4,ADB60,点E、F为

对角线BD上的动点,DE2BF,连接AE、CF,则AE2CF的最小值为.

例4.(2024·吉林·模拟预测)如图,在菱形ABCD中,AB4,ABC60,点E,F分别是BD,CD上

1

的点,若BE2CF,则AFAE的最小值是.

2

1.(23-24九年级上·河南安阳·阶段练习)如图,在矩形ABCD中,对角线AC上有两动点E和F,连接BE

和BF,若AECF,ACAB4,ACBC2,则BEBF的最小值是()

A.4B.10C.6D.20

2.(2024·河南商丘·八年级期中)如图,等边ABC中,AD为BC边上的高,点M、N分别在AD、AC上,

且AM=CN,连BM、BN,当BM+BN最小时△,∠MBN的度数为()

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

3.(23-24八年级下·安徽安庆·期末)如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别是BC,CD边上的动

点,且BECF.(1)若BECF1,则AEAF;(2)AEAF的最小值为.

4.(2024·四川绵阳·三模)在Rt△ABC中,BAC90,ABAC,点D,E分别为AB,BC上的动点,

且AD=BE,AB32.当AE+CD的值最小时,CE的长为.

5.(23-24八年级下·江苏宿迁·期末)如图,边长为2的菱形ABCD中,ABC60,E,F分别是AD,BD

上的动点,DEBF,连AF,CE,则AFCE的最小值为.

20

6.(23-24八年级上·四川成都·期末)在VABC中,BAC90,AB5,AC,D,E分别为射线BC

3

与射线AC上的两动点,且BDAE,连接AD,BE,则ADBE最小值为;ADBE的最大值

为.

7.(2024·陕西西安·二模)如图,正方形ABCD的边长为2,E、F分别是对角线AC和边CD上的动点,满

足AEDF.当BEBF23时,线段CF的长度为.

8.(2024·四川宜宾·中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,AB2,AD4,E、F分别是边CD、AD上

的动点,且CEDF.当AECF的值最小时,则CE.

9.(2024·湖北武汉·二模)如图,M为矩形ABCD中AD边中点,E、F分别为BC、CD上的动点,且BE

=2DF,若AB=1,BC=2,则ME+2AF的最小值为.

10.(23-24九年级上·福建福州·期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB23,BC6,ADC120,

点E,F分别在边AD,AB上运动,且满足BF3DE,连接BE,CF,则CF3BE的最小值

是.

11.(2024·黑龙江绥化·模拟预测)如图:等边三角形ABC中,AB1,E、F分别是边AB、AC上的动点,

且CF2BE,则BF2CE的最小值为.

12.(2024·山东济南·二模)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的动点,且BE2CF,

若AB1,则DE+2BF的最小值是.

13.(23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习)如图,在ABC中,AB4,AC6,以点B为直角顶点、BC

为直角边向下作直角△BCD,且BC2BD,连接AD,则AD的最大值是.

14.(23-24九年级上·四川成都·期末)如图所示,在矩形ABCD中,AB4,BC3,E,F分别是AC,CD

AE55

上的动点,且,连接BE,BF,当E为AC中点时,则BEBF;在整个运动过程中,BEBF

CF33

的最小值为.

15.(2024·广东深圳·模拟预测)如图,在菱形ABCD中,A2B,AB2,点E和点F分别在边AB和

边BC上运动,且满足AECF,则DFCE的最小值为()

A.4B.37C.23D.6

16.(23-24九年级上·四川成都·开学考试)如图,在矩形ABCD中,AB2,ACB30,P,O分别为对

角线AC边CD上的两点,且APCQ,BPBQ的最小值为.

17.(2024·江苏连云港·中考真题)【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切,小正方形是圆的内接正方形,那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍

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