2025年中考数学几何模型综合训练专题35最值模型之费马点模型解读与提分精练（学生版）

专题35最值模型之费马点模型

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考

试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，

而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费

马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之

和最小的点。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.费马点模型..........................................................................................................................................1

模型2.加权费马点模型..................................................................................................................................5

...................................................................................................................................................7

模型1.费马点模型

结论：如图1，点M为ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，

MA+MB+MC的值最小。△

图1图2图3

注意：上述结论成立的条件是ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就

是最大角的顶点A。（这种情况△一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）

证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝6△0°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

ABBE

在与中，∵，∴△≌△（）．

AMBENBABMEBNAMBENBSAS

△△BMBN

连接MN．由AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．△∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

费马点的作法：如图3，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设

交点为M，则点M即为ABC的△费马点。△△

【最值原理】两点之间，△线段最短。

例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在ABC中，BAC90,AB5,AC23，点P为ABC

内部一点，则点P到ABC三个顶点之和的最小值是．

例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB4,BC6,E是AB的中点，F是BC边上一

动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B处，矩形内有一动点P,连接PB,PC,PD,则PBPCPD

的最小值为．

例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知ABC所在平面内求一点P，使它到三角形

的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前

后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把△APC绕

A点逆时针旋转60得到APC（点P，C的对应点分别为点P，C），连接PP，则PAP60，PCPC．

∵______，∴APP为等边三角形，∴APPP，∴PAPBPCPPPBPC，

∴当B，P，P，C四点在同一直线上时，PAPBPC的值最小，即点P是ABC的“费马点”．

任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是ABC的“费马点”时，APBBPCAPC______；

（3）如图3，ABC中，CAB90，ABAC，E，F为BC上的点，且EAF45，判断BE，EF，FC

之间的数量关系△并说明理由；

【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，A75，AB22km，

AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PAPBPC的

最小值是______．

例4．（2023春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点

被人们称为“费马点”．如图1，当ABC三个内角均小于120°时，费马点P在ABC内部，当

APBAPCCPB120时，则PAPBPC取得最小值．

(1)如图2，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数，为

了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时ACP≌ABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB_______；

知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问

题．(2)如图3，ABC三个内角均小于120°，在ABC外侧作等边三角形ABB，连接CB，求证：CB过

ABC的费马点．(3)如图4，在RTABC中，C90，AC1，ABC30，点P为ABC的费马点，

连接AP、BP、CP，求PAPBPC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、

BE、CE，且边长AB2；求AEBECE的最小值．

例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB10公里，BC15公

里，现在要设立两个车站E，F，则EAEBEFFCFD的最小值为______公里．

模型2.加权费马点模型

结论：点P为锐角ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）

△

证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。

yy

例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD4，AE2，

AB3AD,AG3AE．矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF，AC，AF．

(1)求证：ABG∽ACF；(2)当CE的长度最大时，①求BG的长度；②在△ACF内是否存在一点P，使得

CPAP3PF的值最小?若存在，求CPAP3PF的最小值；若不存在，请说明理由．

例2．（2024·重庆·二模）已知ABC中ABBC，点D和点E是平面内两点，连接BD，DE和BE，BED90．

(1)如图1，若BDBA，ABC2D，BE2，求AC的长度；(2)如图2，连接AD和CD，点F为AD中

点，点G为CD中点，连接EF和BG，若EFBG，求证：BACDBE；(3)若ABC60，AB2，

13

当ADBDCD取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出BDE的面积．

22

例3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在等边VABC中，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点

A顺时针旋转120得到线段AE，则DAE120，AEAD，连接BE交AD于点F，交AC于点H．

(1)如图1，当点D为BC中点时，且AD3，求ABE的面积；(2)如图2，猜想线段AB、BD、AH之间的

数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AB8，在VABC内部有一个动点P，连接PA、PB、PC，直

接写出3PA4PB5PC的最小值．

1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形ABCD内一点，且AB=5，AD=8，N为边

BC上一点，连接MA、MD、MN，则MAMDMN的最小值为______．

2．（2023·广东深圳·二模）如图，ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意

一点，BMBN，ABN15（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为31时，正方形的边长

为______．

3.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在ABC内存在一点P，使它到三角形顶点

的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为△费马距离．经研究发现：在锐角ABC

中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA＝3，P△C＝4，

∠ABC＝60°，则费马距离为．△

4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形ABCD中，AB2，BC3，点E是AB的中点，点F是BC边上一

动点．将BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B处，若点P是矩形内一动点，连接PB、PC、PD，则

PB2PCPD的最小值为．

​

5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若

ACB30,AC8,BC10，则4PA2PB23PC的最小值是（）

A．489B．36C．4102567D．161010

6．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形ABCD的边AD上的动点，DFEC

于点F，G在EC上，且FGFD，P是平面内一动点，H是BC上的动点，则10PAPGPH5BH25GB

的最小值为．

7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题

2

材料一：数形结合是一种重要的数学思想如a2b2可看做是图一中AB的长，a1b2可看做是AD的

长．

材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在VABC中有一点P使得PAPBPC的值最小．著

名法学家费马给出的证明方法如下：

△

将ABP绕B点向外旋转60得到△A1B1C1，并连接PP1易得PP1B是等边三角形、PAP1A1，则PBP1P1，

则PAPBPCP1A1PP1PC，所以PAPBPC的值最小为A1C．

请结合以上两材料求出x2y2x2y212xx2y21243y的最小值

8．（2023上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：

【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边△ABD与等边BMN

共一个顶点时，无论怎么摆放可通过SAS恒有△ABM≌△DBN．于是提出了如下问题．

【问题证明】（1）如图2，M是等腰Rt△ABC内一点，N是等边△ABD内一点，且满足△ABM≌△DBN．求

证：BMN是等边三角形．

【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰Rt△ABC内一点，当点M到三角形3个顶点的距离之

和，即MAMBMC最小时，我们把M点称为等腰Rt△ABC的“紫荆点”．若M是等腰Rt△ABC的紫荆点，

求AMC．

完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）

解：如图3，令M，N分别是等腰Rt△ABC，等边△ABD内一点，且满足ABM≌DBN∴MADN

∵BMN是等边三角形∴MBMN，MNBNBMBMN60

由①可知：∴MAMBMC的最小值DNMNMC的最小值=②

∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰Rt△ABC的紫荆点

∴AMB③120；BMC④120∴AMC360AMBBMC120

【拓展提升】（3）甲同学发现等腰ABC“紫荆点”的作法：如图5，已知ABBC，在AB的左侧作等边

△ABD．连接CD，与ABC的角平分线BE交于点M，点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？请说

明理由．

9．（2024·陕西西安·二模）问题提出

(1)如图1，在等边VABC内部有一点P，PA3，PB4，PC5，则APB______．

问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，BCCD，EDCD，ABC165，AB3002m，

CD400m，BCED50m．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条

观光路AP，CQ，DQ，且PQBC，PQ∥BC．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a

元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；

若不存在，请说明理由．

10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在VABC中，ABAC4，CAB30，P为VABC内一

点，求PAPBPC的最小值．为了求PAPBPC的最小值，小明是这样做的：将PAB绕点A顺时针

旋转60°得到△PAB，则PEPB，连接PP．此时小明发现PAP60，且APAP，则PAP为等边

三角形，于是PAPP．试着根据小明的思路，求出PAPBPC的最小值．

（2）如图②，某牧场有一块矩形空地ABCD，其中AD200米，AB1003米，点E在AD边上且AE50

米，F为AB边上任意一点，点A关于EF的对称点为A．牧场主欲在四边形AEAF的四条边上装上栅栏饲

养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形ABCD内一点P处打一口井，并修建地

下管道PA，PB，PC．请问：是否存在一点P，使PAPBPC的值最小？如果存在，请求出PAPBPC

的最小值及此时BP的长；如果不存在，请说明理由．

11．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：

（1）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则ACF的度数为________；

图1图2图3

迁移应用：（2）如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C、D重合），连接BE，将BE绕点

E顺时针旋转90至FE，作射线FD交BC的延长线于点G，求证：CGBC；

拓展延伸：（3）如图3，在菱形ABCD中，A120，E是CD边上一点（不与点C、D重合），连接BE，

将BE绕点E顺时针旋转120至FE，作射线FD交BC的延长线于点G．

①线段CG与BC的数量关系是________②连接AG，点P为ABG内一点，连接PA，PB，PG．若AB6，

则APBPPG的最小值为________．

12．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在ABC中，BAC90，ABAC22，ADBC于

点D．点G是射线AD上一点，过G作GEGF分别交AB、AC于点E、F：

(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AEAF2AD；

(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并

说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出AGBGCG的最小值．

2

参考公式：abab2ab

13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的

皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人

信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直

线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马

的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里

拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：

（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针

旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因

PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值与线段的长度相等；

（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，

求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运

动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存

在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．

14.（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在ABC内部有一点P，△ABD是正三角形，连接PA、

PB、PC，将线段AP绕A顺时针反向旋转60至AE，①求证：PAPBDEEP；②调整P点的位置，使

PAPBPC最小，求此时APB和APC的大小（.2）如图在直角三角形RQT中，RQQT，RQQT2，

在其内部任取一点M，求MRMQMT的最小值.

15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一

条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家

托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

(1)下面是该问题的一种常见的解决