2025年中考数学几何模型综合训练专题22全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练（学生版）

专题22全等与相似模型之对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）..................................................................................................1

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）................................................................................................4

模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）.............................................................................................7

模型4.对角互补模型（相似模型）..............................................................................................................9

.................................................................................................................................................14

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型（90°—90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，

构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.

1

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC，③SSSOC2.

ODCECOECOD2

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，

根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=O△N，

又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=2OC，

12

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，∴SSSSSSOC

ODCEONCDCNEONCDCMDONCM2

△△

△

2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）

条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.

1

结论：①CD＝CE，②OE－OD＝2OC，③SSOC2.

COECOD2

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，

∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，

∴∠△CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=2OC，

12

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，SSSSSSSSOC.

COECODCNECONCMDCMOCONCMO2

△△

△

例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践

已知，在RtABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的

两边分别交△AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．

（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），

①证明：ADE≌△BDF；②猜想：SDEF+SCEF＝SABC．

△△△

（2）【类比△探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断

SDEF+SCEF与SABC的关系，并给予证明．

△△△

（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，

请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）

△△△

图1图2图3

例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC

上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；

问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直

角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角

边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

例3．（2024·河南·一模）已知AOB90，点C是AOB的角平分线OP上的任意一点，现有一个直角MCN

绕点C旋转，两直角边CM，CN分别与直线OA，OB相交于点D，点E.

（1）如图1，若CDOA，猜想线段OD，OE，OC之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，若点D在射线OA上，且CD与OA不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说

明理由；如不成立，请写出线段OD，OE，OC之间的数量关系，并加以证明.

（3）如图3，若点D在射线OA的反向延长线上，且OD2，OE8，请直接写出线段CE的长度.

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）

对角互补模型（60°—120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转

的构造，构造手拉手全等。

1）“等边三角形对120°模型”（1）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.

3

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③SSOC2.

CODCOE4

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，

∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，

△

13

∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。

22

又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，

32

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，∴SSSSSSSSOC。

CODCOECMOCMDCNECONCONCMO4

△△

△

2）“等边三角形对120°模型”（2）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，

3

结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③SSOC2.

CODCOE4

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°

∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，

1△3

∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。

22

又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，

32

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，∴SSSSSSSSOC。

CODCOECMOCMDCNECONCONCMO4

△△

△

3）“120°等腰三角形对60°模型”

条件：ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。结论：PB+PC=3PA；

证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至QAB，即PAC≌△QAB，

∴∠ACP=△∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝△AQ，PC＝Q△B；

∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。

又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，

根据勾股定理易证：PQ=3PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=3PA。

例1．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；

若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

例2．（2024广东中考一模）如图，已知AOB60，在AOB的角平分线OM上有一点C，将一个120角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.

（1）如图1，当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想ODOE与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3，当DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，求线段OD,OE与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

例3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，

DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC△（或AC的延长线）相交于点F．

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：

1

BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立

2

吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．

模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）

对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的

构造，构造手拉手全等。

1）“α对180°-α模型”

条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。

证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，

∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。

∵AP=BP，∴PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。

注意：如下图：△①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。

2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）

条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。

证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。

∵AP=BP，∴PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。

△

例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，AOB（是常量）．点P在AOB的平分线上，且OP2，

以点P为顶点的MPN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，MPN的两边分别与OB，OA相交于M，

N两点，若MPN始终与AOB互补，则以下四个结论：①PMPN；②OMON的值不变；③四边形

PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）

A．①③B．①②③C．①③④D．②③

例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，AD平分BAC，BC180，ÐB=90°．判

断DB与DC的大小关系并证明．

探究：如图②，AD平分BAC，ABDACD180，ABD90，DB与DC的大小关系变吗？请说

明理由．应用：如图③，四边形ABDC中，B45，C135，DBDCm，则AB与AC差是多少

（用含m的代数式表示）

例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知AOB的平分线OM上有一点P，CPD

的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设AOB0180，CPD．

(1)如图（1），当90时，试猜想PC与PD，PDC与AOB的数量关系（不用说明理由）；

(2)如图（2），当60，120时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．

(3)如图（3），当180时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若

不成立，请说明理由．

模型4.对角互补模型（相似模型）

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，

从而证明两个三角形相似.

1）对角互补相似1

条件：如图，在RtABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，

△

OEBC

结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①ODEOHF；②

OFAC

△∼△

证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，

∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，

OEOD

∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴ODEOHF，∴，

OFOH

△∼△ODBH

∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴

OHOH

BHBCOEODBHBC

∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴OHBACB，∴，∴

OHACOFOHOHAC

△∼△

2）对角互补相似2

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①ECGDCF；②CE＝CD·tan.

证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DF△C＝90∼°，△

∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，

CECG

∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECGDCF，∴，

CDCF

CECGCG∼△

∵CF=OG，∴，∵在RtCOG中，tan，∴CE＝CD·tan

CDOGOG

△

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①CFECOD；②CE＝CD·tan.

证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠EC△F＝90∼°△，

∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，

∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，

CECFCF

∴∠DOC＝∠CFO，∴CFECOD，∴，∵在RtOCF中，tan，∴CE＝CD·tan.

CDCOOC

∼△△

3）对角互补相似3

条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。

结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①DAEDCF；②A、B、C、D四

点共圆。△∼△

证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。

∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，

∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴DAEDCF；

△∼△

例1．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．

AD1

在Rt△ABC中，C90，ACBC，D是AB边上一点，且(n为正整数），E、F分别是边AC和

BDn

边BC上的点，连接DE、DF，且EDF90．

2

【初步感知】（1）如图1，当n1时，兴趣小组探究得出结论：AEBFAB，请写出证明过程．

2

【深入探究】（2）①如图2，当n2，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必

证明）．

【拓展运用】（3）如图3，点D为靠近B的四等分点，连接EF，设EF的中点为M，若AB42，求点E

从点A运动到点C的过程中，请直接写出点M运动的路径长．

例2．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究

问题解决：如图1，Rt△ABC中，ACB90,A30，过点C作CDAB于点D，小明把一个三角板的

直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段AC于点E，交线段BC于点F，在三角板绕着点D旋转

的过程中，若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半）

“阳光”小组的解答是：若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．

理由如下：∵CDAB于点D，ADC90．

∵点E是AC的中点，EDCEEA．

A30，ACD60．CDE是等边三角形．CDE60，

CDFDCF906030．FCFD．

又BFDB903060，FBFD．

FCBF．即若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．

反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“A30”，其他条件不变（如图2），若点E是

AC的中点，则点F也是BC的中点．请你根据条件证明这个结论；

AECF

拓广探索（2）去掉条件“A30”，其他条件不变旋转过程中，若DEAC（如图3），那么等式=

CEBF

成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“A30”，其他条件不变．若点E是AC上任意一点（如图4），（2）

中的结论还成立吗？请说明理由．

BCm

例3．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E

ACn

△

是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．

DE

（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；

DF

DE

（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；

DF

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；

（3）拓展应用：若AC＝5，BC＝25，DF＝42，请直接写出CE的长．

BD

例4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边VABC中，D为AB边上的一点，且n，E、F分

AD

别为AC、BC上的两个动点，始终保持EDF120.

1

(1)若n1，求证：①DEDF，②AEBFAB；

2

(2)①如图2，若n2，试探究AE、BF、AB之间的数量关系，请写出证明过程；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出AE,BF,AB之间的数量关系的一般结论（用含有n的代数式直接写出，

不用证明）；(3)如图3，M为EF边上的中点，AB4，连接DM，当点E、F分别在线段AC、BC上运动

时，当n3时，直接写出线段DM扫过的图形的面积.

1.（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，AD12．过

AE

顶点C作CEAB于E，则的值为（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

2．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

ABCC90内剪取一个直角DEFEDF90，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上．请

完成如下探究：（1）当D为AB的中点时，若A60，DEF

（2）当AC3，BC4、DE2DF时，AD的长为

3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形ABCD中，ABC60，AC6，对角线AC，BD交于点O，E，F

OG

分别是AB，AD边上的点，且ECF60，BE2，CF与BD交于点G，则的值为．

DG

4．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，VABC为等边三角形，边长为4，点O为BC的中点，

EOF120，其两边分别交AB和CA的延长线于E、F，则AEAF．

5．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画AOB90，并画AOB的平分线OC．

（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与AOB的两边OA，OB

垂直，垂足为E，F（如图1）．则PEPF；若把三角尺绕点P旋转（如图2），则PE________PF．（选

填：“<”、“>”或“=”）

（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点P作直线GHOC，分别交OA，OB于点G，H，如图3．

①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想GE，FH，EF之间的关系为________．

（拓展延伸）（3）如图4，画AOB60，并画AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作EPF120，

EPF的两边分别与OA，OB相交于E，F两点，PE与PF相等吗？请说明理由．

6．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知CD是VABC中C的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，ADm，

BDn，VADE与VBDF的面积之和为S．

(1)当ACB90，DEAC，DFBC时，如图1，若B45，m32，则n______，S______；

(2)如图2，当ACBEDF90时，①求证：DEDF；②直接写出S与m，n的数量关系；

(3)如图3，当ACB60，EDF120，m6，n4时，请直接写出S的大小．

7．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，AOB90，OC平分AOB，点P为OC上一个动点，过点

P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转90，交OB于点F．

(1)根据题意补全图1；(2)如图1，若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和OF之间的数量关系，并证

明；(3)如图2，若点E在OA的反向延长线上，直接写出线段OE、OP和OF之间的数量关系．

8．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，OC是AOB的平分线，P

是OC上任一点，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D和点E．将AOB沿OC对折，我们发现PD与

PE完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．

已知：如图所示，OC是AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为

点D和点E．

求证：PDPE．

分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PDPE．

（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

【定理应用】（2）如图②，已知OC是AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，点D、E分别在边OA、OB

上，连结PD、PE，AOBDPE180．若AOB60，ODOE53，则OP的长为______．

（3）如图③，在平行四边形ABCD中，ABC60，BE平分ABC交AD于点E，连结CE，将CE绕点

E旋转，当点C的对应点F落在边AB上时，若BFBC123，则四边形BCEF的面积为______．

9．（2024·北京·一模）在ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点

△

E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、

实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形

成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED

与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC

的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

10．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出（1）如图①，在ABC中，ACB90，CAB60，AE平分

CAB，AC43，则点E到AB的距离为__________．

问题探究（2）如图②，VABC中，C90，A60，BC23，点D为斜边AB上一点，且EDF90，

EDF的两边交AC于点E，交BC于点F，若DEDF，求四边形DECF的面积．

问题解决（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，VABC为赏花园的大致轮廓，并

将赏花园分成BED、△DFC和四边形AEDF三部分，其中在四边形AEDF区域内种植363平方米的月季，

在BED和△DFC两区域种植薰衣草，根据设计要求：BAC120，点D、E、F分别在边BC、AB、

AC上，且DEDF，EDF60，为了节约种植成本，三角形赏花园ABC的面积是否存在最小值，若存

在，请求出VABC面积的最小值；若不存在，请说明由．

11．（23-24九年级上·广东惠州·期中）在VABC中，ACBC2，C90．将一块三角板的直角顶点放

在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．

(1)如图①，当PDAC时，则DCCE的值是________．

(2)如图②，当PD与AC不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理

由；(3)如图③，在DPE内作MPN45，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那

么CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

12．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，在正方形ABCO

绕点O旋转的过程中，边AO与边BC交于点M，边CO与边CD交于点N．证明：OMC≌OND；

（2）【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，且AB6，AD12，在矩形ABCO，绕点

O旋转的过程中，边AO与边BC交于点M，边CO与边CD交于点N．若DN