2025年中考数学几何模型综合训练专题33最值模型之胡不归模型解读与提分精练（学生版）

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

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模型1.胡不归模型（最值模型）..................................................................................................................1

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模型1.胡不归模型（最值模型）

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，

ACBC

点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。

V2V1

ACBC1VV

1）=BC1AC，记k1，即求BC+kAC的最小值.

V2V1V1V2V2

CH

2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，k，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题

转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

例1.（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在VABC中，A15，AB10，P为AC边上的一个

2

动点（不与A、C重合），连接BP，则APPB的最小值是（）

2

10

A．52B．53C．3D．8

3

例2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB3，E，P分别是边AD和对角线

4

AC上的动点，连接EP，记BAC，若tan，则PEPCcos的最小值为（）

3

A．3B．4C．5D．2.4

例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC8，BD6，P是

3

对角线AC上的动点，则BPAP的最小值为．

5

例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形ABCD边长为4，点E是CD边上一点，且ABE75．P

1

是对角线BD上一动点，则APBP的最小值为（）

2

26

A．4B．42C．D．26

2

例5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，AB是O的直径，CE切O于点C交AB的延长线于

点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若CEA30，BE4，则CD2OD的最小值为（）

A．23B．3C．4D．43

1

例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线yx2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线

3

4

段AB上一动点，点H是直线yx2上的一动点，动点Em，0，Fm3，0，连接BE，DF，HD．当

3

BEDF取最小值时，3BH5DH的最小值是．

例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究

【问题情境】（1）①如图1，Rt△ABC，ÐB=90°，A60，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，

AD

且BC2DE，则______；②如图2，将①中的VADE绕点A顺时针旋转30，则DE，BC所在直线较

AB

小夹角的度数为______．

【探究实践】（2）如图3，矩形ABCD，AB2，AD23，E为边AD上的动点，F为边BC上的动点，BF2AE，

连接EF，作BHEF于H点，连接CH．当CH的长度最小时，求BH的长．

【拓展应用】（3）如图4，Rt△ABC，ACB90，CAB60，AC3，D为AB中点，连接CD，E，F

23

分别为线段BD，CD上的动点，且DF2BE，请直接写出AFEF的最小值．

3

例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数y3x263x53的图象交x轴于A、B两

点，交y轴于点C，连接BC．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．

(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC．若△PBC的面积153，求点P的坐标．

(3)设E为线段BC上任意一点（不含端点），连接AE，一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位

速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．

1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)，点C的坐标是(0,2)，

点B(x,0)是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持ABP是等边三角形（点P不在第二象限），连

1

接PC，求得APPC的最小值为（）

2

A．43B．4C．23D．2

2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于A(1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于点

2

B(0，3)．若P为y轴上一个动点，连接AP，则BPAP的最小值为（）

2

A．2B．2C．22D．4

3.（2024·山东校考一模）如图，ABAC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出

发，运动路径为ADC，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时

间最少时，D的坐标为．

4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BEAC

1

于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为．

2

5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，ABC30，AC4，按下列

1

步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使ADAE．②分别以点D和点E为圆心，以大于DE

2

的长为半径作弧，两弧在BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，

1

连接CP，则CPAP的最小值是．

2

6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱ABCD中A60，AB6，AD2，P为边CD上一点，则

3PD2PB的最小值为______．

31

7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知ABC中，BC6cm,A60，则ABAC的最大值为．

2

8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边AB、

1

BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为．

2

9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，点E，F分别在边AD，BC

上，且AE3，沿直线EF翻折，点A的对应点A恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B，点M为线

5

段AA上一动点，则EMAM的最小值为．

5

3

10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx3分别交x轴、y

3

轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．

11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB2，E是AC上一个动点，连接DE,，

过点C作AC的垂线l，过点D作DFDE交l于点F，过点D作DGEF于点G，tanEDG2，点H

6

是AD中点，连接HE，则HEEC的最小值为．

3

12．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为

5

OB上一动点，则APOP的最小值等于______．

5

13．（2023·广东珠海·校考三模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC3，点D是斜边AB

2

上的动点，则CDAD的最小值为.

2

14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在ABC中，BAC90，AB2，AC42，点D是BC边上

的动点，连接AD，则3ADDC的最小值为．

15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ABC的顶点A在

格点上，CAB90，以AB为直径的半圆与边BC的交点D在网格线上．

CD

（1）的值等于；（2）若P为边AC上的动点，当．PC2PB取得最小值时，请用无．刻．

DB

度．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

1

16．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线yx2分别交x轴，y轴于点A，点B，点C在y

2

轴正半轴上，且OCOA，点D2,m在直线AC上，点P是x轴上的一个动点，设点P横坐标为t．

1

(1)求直线AC的函数解析式；(2)连接PC，PD，若△CDP面积等于VABC面积的，求t的值；

2

2

(3)求APBP的最小值．

2

17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线yx2xc与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)当0x2时，求yx2xc的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平移

35

个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的最小值．

45

18．（2023·山东济南