2025年中考数学几何模型综合训练专题33最值模型之胡不归模型解读与提分精练(学生版)_第1页
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文档简介

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生,主要考查转化与化归等的数学思想,近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查,学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是:点到线的距离垂线段最短。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.胡不归模型(最值模型)..................................................................................................................1

...................................................................................................................................................5

模型1.胡不归模型(最值模型)

从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽

然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”

看到这里很多人都会有一个疑问,少年究竟能不能提前到家呢?假设可以提早到家,那么他该选择怎样的

一条路线呢?这就是今天要讲的“胡不归”问题.

一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,A、B为定点,

ACBC

点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小.(注意与阿氏圆模型的区分)。

V2V1

ACBC1VV

1)=BC1AC,记k1,即求BC+kAC的最小值.

V2V1V1V2V2

CH

2)构造射线AD使得sin∠DAN=k,k,CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3)过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.

【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题

转化为“PA+PC”型.(若k>1,则提取系数,转化为小于1的形式解决即可)。

【最值原理】垂线段最短。

例1.(24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习)如图,在VABC中,A15,AB10,P为AC边上的一个

2

动点(不与A、C重合),连接BP,则APPB的最小值是()

2

10

A.52B.53C.3D.8

3

例2.(23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习)如图,在矩形ABCD中,AB3,E,P分别是边AD和对角线

4

AC上的动点,连接EP,记BAC,若tan,则PEPCcos的最小值为()

3

A.3B.4C.5D.2.4

例3.(2024·陕西渭南·二模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC8,BD6,P是

3

对角线AC上的动点,则BPAP的最小值为.

5

例4.(2023·云南昆明·统考二模)如图,正方形ABCD边长为4,点E是CD边上一点,且ABE75.P

1

是对角线BD上一动点,则APBP的最小值为()

2

26

A.4B.42C.D.26

2

例5.(23-24九年级上·江苏南通·阶段练习)如图,AB是O的直径,CE切O于点C交AB的延长线于

点E.设点D是弦AC上任意一点(不含端点),若CEA30,BE4,则CD2OD的最小值为()

A.23B.3C.4D.43

1

例7.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,直线yx2与x轴,y轴分别交于A,B两点,点D是线

3

4

段AB上一动点,点H是直线yx2上的一动点,动点Em,0,Fm3,0,连接BE,DF,HD.当

3

BEDF取最小值时,3BH5DH的最小值是.

例8.(2024·山东济南·一模)实践与探究

【问题情境】(1)①如图1,Rt△ABC,ÐB=90°,A60,D,E分别为边AB,AC上的点,DE∥BC,

AD

且BC2DE,则______;②如图2,将①中的VADE绕点A顺时针旋转30,则DE,BC所在直线较

AB

小夹角的度数为______.

【探究实践】(2)如图3,矩形ABCD,AB2,AD23,E为边AD上的动点,F为边BC上的动点,BF2AE,

连接EF,作BHEF于H点,连接CH.当CH的长度最小时,求BH的长.

【拓展应用】(3)如图4,Rt△ABC,ACB90,CAB60,AC3,D为AB中点,连接CD,E,F

23

分别为线段BD,CD上的动点,且DF2BE,请直接写出AFEF的最小值.

3

例9.(24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习)如图,二次函数y3x263x53的图象交x轴于A、B两

点,交y轴于点C,连接BC.(1)直接写出点B、C的坐标,B________;C________.

(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点,连接PB、PC.若△PBC的面积153,求点P的坐标.

(3)设E为线段BC上任意一点(不含端点),连接AE,一动点M从点A出发,沿线段AE以每秒1个单位

速度运动到E点,再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止,求点M运动时间的最小值.

1.(2024·山东淄博·校考一模)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),点C的坐标是(0,2),

点B(x,0)是x轴上的动点,点B在x轴上移动时,始终保持ABP是等边三角形(点P不在第二象限),连

1

接PC,求得APPC的最小值为()

2

A.43B.4C.23D.2

2.(2024·四川德阳·二模)如图,已知抛物线yax2bxc与x轴交于A(1,0),C(3,0)两点,与y轴交于点

2

B(0,3).若P为y轴上一个动点,连接AP,则BPAP的最小值为()

2

A.2B.2C.22D.4

3.(2024·山东校考一模)如图,ABAC,A0,15,C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出

发,运动路径为ADC,在AD上的速度为4个单位/秒,在CD上的速度为1个单位/秒,则整个运动时

间最少时,D的坐标为.

4.(2023·湖南湘西·统考中考真题)如图,O是等边三角形ABC的外接圆,其半径为4.过点B作BEAC

1

于点E,点P为线段BE上一动点(点P不与B,E重合),则CPBP的最小值为.

2

5.(2023·辽宁锦州·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,ACB90,ABC30,AC4,按下列

1

步骤作图:①在AC和AB上分别截取AD、AE,使ADAE.②分别以点D和点E为圆心,以大于DE

2

的长为半径作弧,两弧在BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个动点,

1

连接CP,则CPAP的最小值是.

2

6.(2022·湖北武汉·九年级期末)如图,▱ABCD中A60,AB6,AD2,P为边CD上一点,则

3PD2PB的最小值为______.

31

7.(2023·江苏宿迁·统考二模)已知ABC中,BC6cm,A60,则ABAC的最大值为.

2

8.(2023·陕西西安·校考二模)如图,在RtABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=8,D、F分别是边AB、

1

BC上的动点,连接CD,过点A作AE⊥CD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+FB的最小值为.

2

9.(2023上·四川成都·九年级校考期中)如图,在矩形ABCD中,AB4,AD8,点E,F分别在边AD,BC

上,且AE3,沿直线EF翻折,点A的对应点A恰好落在对角线AC上,点B的对应点为B,点M为线

5

段AA上一动点,则EMAM的最小值为.

5

3

10.(2023·浙江宁波·九年级开学考试)如图,在平面直角坐标系中,一次函数yx3分别交x轴、y

3

轴于A、B两点,若C为x轴上的一动点,则2BC+AC的最小值为__________.

11.(2023·四川成都·九年级校考期中)如图,在矩形ABCD中,AB2,E是AC上一个动点,连接DE,,

过点C作AC的垂线l,过点D作DFDE交l于点F,过点D作DGEF于点G,tanEDG2,点H

6

是AD中点,连接HE,则HEEC的最小值为.

3

12.(2023春·广东广州·九年级校考阶段练习)如图,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为45,P为

5

OB上一动点,则APOP的最小值等于______.

5

13.(2023·广东珠海·校考三模)如图,在Rt△ABC中,ACB90,AC4,BC3,点D是斜边AB

2

上的动点,则CDAD的最小值为.

2

14.(2024·湖北黄冈·模拟预测)如图,在ABC中,BAC90,AB2,AC42,点D是BC边上

的动点,连接AD,则3ADDC的最小值为.

15.(2024·天津红桥·二模)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,等腰直角三角形ABC的顶点A在

格点上,CAB90,以AB为直径的半圆与边BC的交点D在网格线上.

CD

(1)的值等于;(2)若P为边AC上的动点,当.PC2PB取得最小值时,请用无.刻.

DB

度.的直尺,在如图所示的网格中,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).

1

16.(23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习)如图,直线yx2分别交x轴,y轴于点A,点B,点C在y

2

轴正半轴上,且OCOA,点D2,m在直线AC上,点P是x轴上的一个动点,设点P横坐标为t.

1

(1)求直线AC的函数解析式;(2)连接PC,PD,若△CDP面积等于VABC面积的,求t的值;

2

2

(3)求APBP的最小值.

2

17.(2024·四川德阳·中考真题)如图,抛物线yx2xc与x轴交于点A1,0和点B,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;(2)当0x2时,求yx2xc的函数值的取值范围;(3)将拋物线的顶点向下平移

35

个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求PAPM的最小值.

45

18.(2023·山东济南

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