2025年中考数学几何模型综合训练专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型解读与提分精练（教师版）

专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不等

式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家Ptolemy，他对三角

学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看Ptolemy定理是关于边的等式，但由

于四边形外接圆的存在，Ptolemy定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，Ptolemy定理有了较

好的应用背景。Ptolemy定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而Ptolemy不等式就是其重要的

拓展。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.托勒密（定理）模型..........................................................................................................................1

模型2.托勒密不等式模型............................................................................................................................13

.................................................................................................................................................18

模型1.托勒密（定理）模型

托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：ACBDADBCABCD．

证明：如图，在BD上取一点P，使其满足12．

ACAD

∵34，∴△ACD∽△BCP，，即ACBPADBC①

BCBP

ABAC

又ACBDCP，56，∴△ACB∽△DCP，，ACDPABCD．②

DPCD

①+②，有ACBPACPDADBCABCD．

即AC(BPPD)ADBCABCD，故ACBDADBCABCD．

特例：（1）当ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：DBACADBCABCD，

又等边ABC有△AB=AC=BC，故：DBDADC．

△

特例：（2）当ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：ADBCABCDACBD，

△

又AB:AC:BC1:1:2，代入可得结论：2ADBDCD．

特例：（3）当ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：ADBCABCDACBD

又BC：AC：A△B=a：b：c，代入可得结论：aADbBDcCD．

例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘

积等于两组对边乘积之和．如图，O中有圆内接四边形ABCD，已知BD8，CD5，AB6，BDC60，

则AD（）

822822682278228

A．5B．C．D．

7777

【答案】B

【分析】过点B作BECD，垂足为E，过点B作BGAC，垂足为G，根据同弧所对的圆周角相等可得

BDCBAC60，在RtBDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而求出CE的长，再

在RtBCE中，利用勾股定理求出BC的长，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的

长，从而在RtBCG中，利用勾股定理求出CG的长，进而求出AC的长，最后利用托勒密定理，进行计算

即可解答．

【详解】解：过点B作BECD，垂足为E，过点B作BGAC，垂足为G，

BDC60，BDCBAC60，

13

在RtBDE中，BD8，DEBDcos6084，BEBDsin60843，

22

CD5，CECDDE541，在RtBCE中，BCBE2CE2(43)2127，

13

在Rt△ABG中，AGABcos6063，BGABsin60633，

22

在RtBCG中，CGBC2BG272(33)222，ACAGCG322，

四边形ABCD是O的内接四边形，ADBCABCDACBD，

8226

7AD658322，解得：AD，故选：B．

7

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键．

例2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对

角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形ABCD内

接于半径为23的圆，A120，B45，ABAD，则四边形ABCD的周长为()

A．4362B．103C．4342D．4352

【答案】A

【分析】本考查了圆的相关性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接AC，，设圆心为O，

连接DO并延长交O于M，连接AM，过A作ANCD交延长线于N，由DAB1�2�0，ABAD，

1𝐵

得ABD30，即得MABD30，可得ADDM23AB，BD3AD6，由ADC135，

2

得ADN是等腰直角三角形，AN6，在RtACN中，AC2AN26，由托勒密定理的推论知有

23BC23CD626，故BCCD62，从而可得四边形ABCD的周长为4362．

【详解】解：连接AC，，设圆心为O，连接DO并延长交O于M，连接AM，过A作ANCD交

延长线于N，如图：�D�AB120，ABAD，ABD30，𝐵

1

ADADMABD30，DM是O的直径，DAM90，ADDM，

2

O半径为23，DM43，AD23AB，BD3AD6，

AD23

ADC135，ADN45，ADN是等腰直角三角形，AN6，

22

DCB180DAB60，ABAD，DCABCA30，在RtACN中，AC2AN26，

由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对

角互补时取等号．AD·BCAB·CDBD·AC，23BC23CD626，

BCCD62，ABBCCDAD2362234362，

四边形ABCD的周长为4362，故选：A．

例3．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：

克罗狄斯・托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文

学家，地理学家，占星学家和光学家．

托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．

托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．

已知：如图1，四边形ABCD内接于O，求证：ABCDBCADACBD下面是该结论的证明过程：

证明：如图1，作BAECAD，交BD于点E.ADAD，

ABBE

ABEACD（依据1），ABE∽ACD（依据2），

ACCD

ABCDACBE，ABAB，ACBADE.

BAECAD，BAEEACCADEAC，即BACEAD，

△ABC∽△AED，QADBCACED，

ABDCADBCACBEACEDAC(BEED)ACBD．

任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．

(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．

(3)如图2，以AB为直径的O中，点C为O上一点，且ABC30，ACB的角平分线交O于点D，

连接AD，BD，若AB4，求CD的长．

【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；

同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似(2)勾股定理(3)CD26

【分析】（1）利用逆命题的意义，矩形的性质，勾股定理，圆的有关性质和相似三角形的判定定理解答即

可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，矩形的性质及勾股定理解答即可；

（3）利用圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含30角的直角三角形的性质分别求得四边形ACBD的

边长，再利用（2）的结论解答即可得出结论．

【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么

这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；依据2”为：两个角分别

对应相等的两个三角形相似．故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么

这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；

（2）解：如图，作BAECAD，交BD于点E，

ABBE

ADAD，ABEACD，ABE∽ACD，，ABCDACBE，

ACCD

ABAB，ACBADE，BAECAD，BAEEACCADEAC，

BCED

即BACEAD．ABC∽AED，，ADBCACED．

ACAD

ABCDADBCACBEACEDAC(BEED)．ABCDBCADACBD，

四边形ABCD是矩形，ABCD,ADBC,ACBD,ABC90，

AB2BC2AC2，故答案为：勾股定理；

（3）解：AB为直径，ADBACB90，

1

ABC30，AB4，ACAB2，BCABcos3023．

2

ACB的角平分线交O于点D，ADBD，ADBD，

2

ABD为等腰直角三角形，ADBDAB22．

2

四边形ABCD为圆的内接四边形，ACBDADBCABCD．4CD2222322，CD26．

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三

角形的判定与性质，含30交的直角三角形的性质，逆命题的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新

结论是解题的关键．

例4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O．

(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则DBC的形状为．

(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之△间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若ABBC，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为AB上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+2PA．

【答案】(1)等边三角形；(2)AC＝AB+AD，理由见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)利用等弧对等角，可以判断出DBC是等边三角形；

(2)如图1，在AC上截取AE＝AD，连接D△E，利用等边DBC以及等边对等角的关系，可以证得DAB≌△

DEC(SAS)，可以证明AC＝AB+AD；△△

（3）如图2，根据已知条件易证得四边形ABCD是正方形，在PD上取DE＝BP，也同样可证得DAE≌△

BAP(SAS)，可证得PAE为等腰直角三角形，所以PE＝2PA.△

【详解】(1)∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，

∴△DBC是等边三角形．故答案为等边三角形．

(2)结论：AC＝AB+AD．理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE．

∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC，

∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC(SAS)，∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB．

(3)如图2中，在PD上取DE＝BP，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵ABBC，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，

∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP(SAS)，

∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠PAE＝∠BAD＝90°，∴PE＝2PA，

∴PD﹣PB＝PD＝DE＝PE＝2PA．

另解：（2）（3）问也直接利用托勒密定理，但是解答题还是建议常规辅助线方法为好，除非题中证明过托

勒密定理。

【点睛】本题考查了等边三角形、正方形以及全等三角形的判定和性质，证明三条线段之间的数量关系，

一般采用“截”、“补”法构造全等三角形，利用等量代换证明；根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，利

用等量代换求解是解答本题的关键．

例5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：O是正方形ABCD的外接圆，点P在O

上（除A、B外），试求APB的度数．

【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的

示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：

（1）①尺规作图，在O中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不写作法）．②原题中APB．

【深入思考】（2）【问题】如图1，若四边形ABCD是O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接

PA、PB、PC、PD，请探究PD、PA、PC三者之间或者PD、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

（3）【拓展】如图2，若六边形ABCDEF是O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC

三者之间有何数量关系：（不写证明过程）．

（4）【应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，APB45°，PD2，PC4，试

求矩形ABCD的面积．

【答案】（1）①见解析；②45；（2）PB2PCPD,PA2PDPC，证明见解析；（3）PAPC3PB，

证明见解析；（4）18617；

【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形ABCD；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即

可得到结论；（2）根据题意过点C作CEPC交PB于E，利用圆周角定理得到PDCEBC，再判定

PDC≌EBC，证明出PCE和△PDF是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可；

（3）根据题意过点B，作BMAP，在AP上截取AQPC，连接BQ，再证明ABQ≌CBP，再利用含30

的直角三角形三边关系即可得到本题答案；（4）根据题意以AB为边，作正方形AEFB，连接PE，PF，设

DEx，则CFDEx，AD6x，再分别在RtPDA和RtPFC和RtAPF中应用勾股定理即可得到

本题答案．

【详解】解：（1）①如图所示，作直径BD的垂直平分线交O于点A，C，则四边形ABCD是正方形；

1

②如图所示，APBAOB45，故答案为：45．

2

（2）PB2PCPD,PA2PDPC，证明如下：如图，过点C作CEPC交PB于E，

∵BCEDCEDCEDCP，∴BCEDCP，

∵PCPC，∴PDCEBC，又∵CDBC，∴PDC≌EBC（ASA），∴PCCE，

∴PCE是等腰直角三角形，∴PBPEEB2PCPD，即PB2PCPD，

如图所示，过点C作CFPA交PA于F，同理可得△PDF是等腰直角三角形，PAPFAF2PDPC，

∴PB2PCPD，PA2PDPC；

（3）PAPC3PB，如图，过点B，作BMAP，在AP上截取AQPC，连接BQ，

AQPC

∵BAPBCP，ABBC，在ABQ和CBP中，BAPBCP，

ABBC

∴ABQ≌CBP（SAS），∴BQBP，∴MPQM，

3

又∵APB30，∴PMPB，∴PQ3PB，∴PAPQAQPC3PB．

2

另解：（2）（3）问也直接利用托勒密定理，但是解答题还是建议常规辅助线方法为好，除非题中证明过托

勒密定理。

（4）如图，以AB为边，作正方形AEFB，连接PE，PF，APB45°，

根据（1）可得P在O上，则APF90，∴EFCDABPDPC246，

设DEx，则CFDEx，AD6x，在RtPDA中，PA2AD2PD2=(6x)222，

2

在RtPFC中，PF2PC2CF242x2，在RtAPF中，AP2PF2AF262，

2

∴6x2242x272，解得x173（负值舍去），∴AD173，

∴矩形ABCD的面积为ABAD617318617．

【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，

勾股定理，含30的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键．

例6．（2024·山东德州·一模）ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，

连接PA，PB，PC．△

(1)如图①，若ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

(2)如图②，把（△1）中的ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC

还有以上的数量关系吗？△说明理由．

(3)如图③，把（1）中ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC

三条线段的数量关系为△_________（直接写结果）

(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？

【答案】(1)PAPBPC；(2)没有，理由见详解；(3)aPAbPBcPC；

(4)圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．

【分析】（1）当ABC是等边三角形时，延长PB到点D，使得BDPC，连接DA，借助等边三角形的性

质及圆内接四边形△的性质，证明△ABD≌△ACP，进而证明DAPA，△APD为等边三角形，再推导出

PAPBPC即可；（2）当ABC为等腰直角三角形时，延长PB到点E，使得BEPC，连接AE，借助

等腰直角三角形的性质及圆内△接四边形的性质，证明△ABE≌△ACP，进而证明EAPA，VAPE也为等腰

2

直角三角形，再推导出PA(PBPC)，可知三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；

2

（3）当ABC改为任意三角形时，在BAC中，以点A为顶点，AC为边，作FACBAP，点F在BC

△

上，借助圆周角定理的推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）证明△ABP∽△AFC和△ABF∽△APC，再

ABPCABPC

由相似三角形的性质可推导出BF和BF，由BCFCBF可推导

APAP

BCPAACPBABPC，即aPAbPBcPC；

（4）由（3）的结论可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系．

【详解】（1）解：PAPBPC，证明：如图4，延长PB到点D，使得BDPC，连接DA，

∵VABC为等边三角形，∴ABCACBBAC60，ABAC，

∵四边形ABPC内接于圆，∴ACPABP180，∵ABPABD180，∴ACPABD，

ABAC

在△ABD和△ACP中，ABDACP，∴△ABD≌△ACP（SAS）∴DAPA，

DBPC

∵BPABCA60，∴△APD为等边三角形，∴ADPAPB，

∵PDPBBDPBPC，∴PAPBPC；

（2）若ABC为等腰直角三角形，BAC90，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如

下：如图△5，延长PB到点E，使得BEPC，连接AE，

∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴ABAC，ABCACB45，

∵四边形ABPC内接于圆，∴ACPABP180，∵ABPABE180，∴ACPABE，

ABAC

在ABE和△ACP中，ABEACP，∴△ABE≌△ACP（SAS）∴EAPA，AEBAPC，

EBPC

∵EPABCA45，又∵AEBAPCABC45，

∴PAE180EPAAEB180454590，∴PE2PA，

2

∵PEPBBEPBPC，∴PA(PBPC)，

2

∴三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；

（3）如图6，在BAC中，以点A为顶点，AC为边，作FACBAP，点F在BC上，

APBPACBP

∵APBACF，又∵FACBAP，∴△ABP∽△AFC，∴，∴FC，

ACFCAP

∵BCPBAP，FACBAP，∴BCPFAC，

∵PCAPCBBCA，BFAFCAFAC，∴PCABFA，

ABFAPCABBF

在△ABF和△APC中，，∴△ABF∽△APC，∴，

BFAPCAAPPC

ABPCACBPABPC

∵BF，∴BCFCBF，

APAPAP

bBPcPC

当AB＝c，AC＝b，BC＝a时，∴a，即aPAbPBcPC．故答案为：aPAbPBcPC；

APAP

（4）由（3）的结论，可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系为：圆内接四边形中对角线的乘积等于

四边形对边乘积的和．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论、全等三角形和相似三角形的性质等知识，综合性强，难度大，

解题关键是通过延长线段或截取线段构造全等三角形或相似三角形．

例7．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接VABC，点D为圆上一点且BDCD，连接交BC于点

𝐵

E．(1)求证：AECABD；(2)设ADm，BADCAD．

①求证：ABAC2ADcos；②若ADkBDk1，求ABAC的值．（用含m、k的代数式表示）

k21m2

【答案】(1)见解析(2)①见解析②ABAC

k2

【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，作

辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到DBCDCB，

ABCADC，然后利用三角形的外角即可解题；（2）①过点D作DFAB于点F，过点D作DGAC

于点G，证明DFB≌DCG，即可得到BFCG，然后根据ABACAFAG即可得到结论；

1k21

②先证明DBE∽DAB，得到DEDB，即可求出AEDB，然后证明ABD∽AEC，即可得到

kk

ABACAEAD解题即可．

【详解】（1）证明：∵BDCD，∴DBCDCB，ABCADC，

∴ABDABCDBCADCDCBAEC；

（2）①证明：过点D作DFAB于点F，过点D作DGAC于点G，

∴BFDCGD90，∵BADCAD，∴DFDG，

又∵ABDACDDCGACD180，∴ABDDCG，∴DFB≌DCG，

∴BFCG，∴ABACAFAGADcosADcos2ADcos；

②解：∵ABDAECBED，BDEADB，∴DBE∽DAB，

DBDEDBDE11k21

∴，即，解得：DEDB，∴AEADDEkBDDBDB，

ADDBkDBDBkkk

ABAD

又∵BADCAD，ABDAEC,∴ABD∽AEC，∴，

AEAC

22

k21m2k1m

∴ABACAEADDBkBDk21DB2k21．

kk2k2

模型2.托勒密不等式模型

托勒密不等式模型：对于任意凸四边形ABCD，有ACBDABCDADBC

证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，

ABBE

易证ABE∽△ACD，∴，即ACBEABCD①，

ACCD

△ABAEABAC

连接DE，如图2，∵，∴，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，

ACADAEAD

ADDE

∴△ABC∽△AED，∴，即ACDEADBC②，

ACBC

将①+②得：ACBEACDEABCDADBC，∴ACBDACBEDEABCDADBC

即ACBDABCDADBC，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．

例1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）在ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，

线段BD、CE交于点O，则线段AO的最大△值为（）△

A．62B．6C．4＋22D．32

【答案】D

【分析】法1：在四边形ABOC中，利用托勒密不等式求得AO的最大值。

法2：以AO为边作等腰直角AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据

三角形的三边关系可求AF的△最大值，即可得AO的最大值．△

【详解】法1：四边形ABOC中，利用托勒密不等式得到：OABCABOCACOB

设OC=OB=x，∵正方形BCDE，BC2x，∵AB＝4，AC＝2，∴AO≤32

法2：如图：以AO为边作等腰直角AOF，且∠AOF＝90°，

△

∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，

∵△AOF是等腰直角三角形，∴AO＝FO，AF＝2AO，

∵∠BOC＝∠AOF＝90°，∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，

∴△AOB≌△FOC（SAS），∴AB＝CF＝4，若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC＋CF；

若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC＋CF，∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，∴AF的最大值为6，

由勾股定理得：OA2OF22OA2AF236；OA218，即AO=32，∴AO的最大值为32．故选：D．

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当

添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．

例2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C满足AB5，AC3，以BC为

斜边作等腰直角三角形BCD，连接AD，则AD的最大值为（）

A．22B．42C．4D．8

【答案】B

【分析】法1：在四边形ABDC中，利用托勒密不等式求得AD的最大值。

法2：作DEAD，使EDAD，点E与点C在直线AD的同侧，连接AE、CE，可证明△EDC≌△ADB，

得ECAB5，因为AEACEC，且AC3，所以AE8，由勾股定理得AEAD2ED22AD22AD，

所以2AD8，则AD42，所以AD的最大值是42．

【详解】法1：四边形ABOC中，利用托勒密不等式得到：ADBCABDCACBD

∵等腰直角三角形BCD中，BC2BD，∵AB5，AC3，，∴AD≤42，故选：B．

法2：解：作DEAD，使EDAD，点E与点C在直线AD的同侧，连接AE、CE，

∵等腰直角三角形BCD以BC为斜边，∴CDBD，BDC=90，

∵ADE90，∴EDCADB90ADC，∴△EDC≌△ADBSAS，∴ECAB5，

则AEACEC，当A，C，E，三点在同一直线上时取等号，∵AC3，∴AE35，即AE8，

∵AEAD2ED22AD22AD，∴2AD8，∴AD42，∴AD的最大值是42，故选：B．

【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短

等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

例3．（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O

为坐标原点，O的半径为1，点A3,0．动点B在O上，连接AB，作等边VABC（A，B，C为顺时

针顺序），求OC的最大值；

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的

左侧作等边△BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值

为．

【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB

外一动点，且PA2，PMPB，BPM90，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【迁移拓展】（4）如图③，BC43，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边

作等边△ABD，请直接写出AC的最值．

【答案】（1）结论：OCAE，理由见解析；（2）4；（3）222，P32，2；（4）AC的最大值

为236，AC的最小值为623．

【分析】(1)结论：OCAE．只要证明CBO≌ABE即可；(2)利用三角形的三边关系即可解决问题；

(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，得到APN是等腰直角三角形，根

据全等三角形的性质得到PNPA2，BNAM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

即可得到最大值为322；过P作PEx轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；

(4)如图4中，以BC为边作等边三角形BCM，由ABC≌DBM，推出ACMD，推出欲求AC的最大

值，只要求出DM的最大值即可，由BC43定值，BDC=90，推出点D在以BC为直径的O上运

动，由图象可知，当点D在BC上方，DMBC时，DM的值最大．

【详解】解：（1）如图①中，结论：OCAE，

理由：∵VABC、△BOE都是等边三角形，∴BCBA，BOBE，CBAOBE60，

∴CBOABE，∴CBO≌ABESAS，∴OCAE；

（2）在△AOE中，AEOEOA，∴当E、O、A共线，

∴AE的最大值为4，∴OC的最大值为4．故答案为：4；

（3）如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，

则APN是等腰直角三角形，∴PNPA2，BNAM，

∵A的坐标为3,0，点B的坐标为5,0，∴OA3，OB5，

∴AB2，∴线段AM长的最大值线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中），最大值ABAN，

∵AN2AP22，∴最大值为222；如图2，过P作PEx轴于E，

∵APN是等腰直角三角形，∴PEAE2，∴OEBOABAE52232，∴P32,2；

（4）如图4中，以BC为边作等边三角形BCM，

∵ABDCBM60，∴ABCDBM，∵ABDB，BCBM，∴ABC≌DBMSAS，

∴ACMD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵BC43定值，BDC=90，∴点D在以BC为直径的半圆O上运动，

由图象可知，当点D在BC上方，DMBC时，DM的值最大，最大值236，

∴AC的最大值为236；当点A在线段BD的右侧时，以BC为边作等边BCM，

∵ABDCBM60，∴MBDCBA，且ABDB，BCBM，

∴ABC≌DBMSAS，∴ACMD，∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，

∵BC43定值，BDC=90，∴点D在以BC为直径的O上运动，

由图象可知，当点D在BC的上方，DMBC时，DM的值最小，

1

DM的最小值MOODBM2OB2BC623，∴AC的最小值为623；

2

综上所述，AC的最大值为236，AC的最小值为623．

【点睛】本题考查了圆的有关知识、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性

质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点P为正方形ABCD的外接圆O的AD上一点，连接PA，PB，PC，

PAPC

则的值为（）

PB

A．1B．2C．3D．2

【答案】B

【分析】如图所示，延长PA到E，使AEPC，连接BE，先根据圆内接四边形对角互补以及平角的定义

得到BAEPCB，进而证明ABE≌CBPSAS得到ABECBP，BEBP，由此证明△BEP是等腰直

角三角形，据此可得答案．

【详解】解：如图所示，延长PA到E，使AEPC，连接BE，

∵BAEBAP180，BAPPCB180，∴BAEPCB，

∵四边形ABCD是正方形，∴ABBC，ABC90，

ABCB

在ABE和CBP中，BAEBCP，∴ABE≌CBPSAS，

AECP

∴ABECBP，BEBP，∴ABEABPABPCBP90，

PAPC

∴△BEP是等腰直角三角形，∴PAPCPE2PB．即2，故选：B．

PB

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角

形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于O,AB6,AD10,BAD60，点

C是弧BD的中点，则CA的长为．

16

【答案】3

3

【分析】将ACD绕点C逆时针旋转120得△CBE，根据旋转的性质得出ECAD30，BEAD5，

ACCE，求出A、B、E三点共线，由等腰三角形性质，在Rt△AMC解直角三角形即可得到答案．

【详解】解：将ACD绕点C逆时针旋转120得△CBE，过C作CMAE于M，如图所示：

则ECAD30，BEAD10，ACCE，

四边形ABCD内接于O,BAD60，BCD18060120，

BAD60，AC平分BAD，CADCAB30，

RtAMCABCEBC(180CABACB)(180EBCE)180，A、B、E三点共线，

1

ACCE，AMEM6108，

2

AM816

AC3

由等腰三角形三线合一性质可得CMAE，在Rt△AMC中，cos3033．

2

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，解直角三角形，

全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．

3．（2024·天津·校考一模）如图，在ABC中，AD=10，CD=2，∠ACB=90°，AC=2BC，则BD的最大值

为△

【详解】法1：四边形ABCD中，利用托勒密不等式得到：ACBDADBCABCD

∵AC=2BC，设BC=x，则AC=2x，AB5x，∵AD=10，CD=2，

∴，∴

2xBD10x25xBD≤10

4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，A、P、B、C是O上的四个点，APCCPB60．

(1)判断VABC的形状，并证明你的结论．(2)求证：PAPBPC．

(3)若BC23，点P是弧AB上一动点（异于点A，B），求PAPB的最大值．

【答案】(1)VABC是等边三角形，理由见详解(2)见详解(3)4

【分析】（1）根据圆周角定理得到ABCAPC60，BACCPB60，根据等边三角形的判定定

理证明；（2）在PC上截取PHPA，得到VAPH为等边三角形，证明APB≌AHC，根据全等三角形的

性质，结合图形证明即可；（3）根据（2）可知PCPAPB，即当PC为O的直径时最大，此时PAPB

也最大，结合解直角三角形的知识，问题随之得解．

【详解】（1）解：VABC是等边三角形，理由如下：

由圆周角定理得，ABCAPC60，BACCPB60，∴VABC是等边三角形；

（2）在PC上截取PHPA，如图，

∵APC60，∴VAPH为等边三角形，∴APAH，AHP60，

ABPACH

在△APB和AHC中，APBAHC120，∴APB≌AHCAAS

APAH

∴PBHC，∴PCPHHCPAPB．

（3）根据（2）可知PCPAPB，即当PC为O的直径时最大，此时PAPB也最大，如图，

∵PC为O的直径，∴PBC90，∵BC23，CPB60，

BC

∴PC4，∴PAPB的最大值为4．

sinCPB

另解：（3）四边形APBC中，利用托勒密定理得到：ABPCAPBCACPB

由（1）知VABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，PC=PA+PB，

当P