2025年中考数学几何模型综合训练专题22全等与相似模型之对角互补模型解读与提分精练（教师版）

专题22全等与相似模型之对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）..................................................................................................1

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）................................................................................................7

模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）...........................................................................................12

模型4.对角互补模型（相似模型）............................................................................................................18

.................................................................................................................................................31

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型（90°—90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，

构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.

1

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC，③SSSOC2.

ODCECOECOD2

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，

根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=O△N，

又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=2OC，

12

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，∴SSSSSSOC

ODCEONCDCNEONCDCMDONCM2

△△

△

2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）

条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.

1

结论：①CD＝CE，②OE－OD＝2OC，③SSOC2.

COECOD2

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，

∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，

∴∠△CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=2OC，

12

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，SSSSSSSSOC.

COECODCNECONCMDCMOCONCMO2

△△

△

例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践

已知，在RtABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的

两边分别交△AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．

（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），

①证明：ADE≌△BDF；②猜想：SDEF+SCEF＝SABC．

△△△

（2）【类比△探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断

SDEF+SCEF与SABC的关系，并给予证明．

△△△

（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，

请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）

△△△

图1图2图3

1

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）上述结论成立；理由见解析；

2

1

（3）不成立；SDEF﹣SCEF＝S；理由见解析.

2ABC

△△

【分析】（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结

论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；

（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出CDE≌△BDF，即可得出结论；

△1

（3）不成立；同（2）得：DEC≌△DBF，得出SDEF=S五边形SCFESDBC=SCFE+SABC．

DBFEC2

△△△

△

【详解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，

∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，

∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，

ABDF

∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在ADE和BDF中ADBD，∴△ADE≌△BDF（SAS）；

ADEB

△△

②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．

1

设ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．

2

△

12121211

∴SABC＝a，S正方形DECF＝（a）＝a，即SDEF+SCEF＝SABC；故答案为．

22422

△△△△

（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

11

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，

22

CDEBDF

∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在CDE和BDF中，CDBD，

DCEB

△△

1

∴△CDE≌△BDF（ASA），∴SDEF+SCEF＝SADE+SBDF＝SABC；

2

△△△△△

1

（3）不成立；SDEF﹣SCEF＝SABC；理由如下：连接CD，如图3所示：

2

△△△

同（2）得：DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°

△11

∴SDEF＝S五边形DBFEC，＝SCFE+SDBC，＝SCFE+SABC，∴SDEF﹣SCFE＝SABC．

22

△△△△△△△△

1

∴SDEF、SCEF、SABC的关系是：SDEF﹣SCEF＝SABC．

2

△△△△△△

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性

质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．

例2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC

上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；

问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直

角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角

边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）PB＝PE还成立(3)PB＝PE还成立

【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，则四边形PMCN

是矩形，根据角平分线的性质可得PM=PN，根据四边形的内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的

补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据AAS证明PBM≌△PEN，则可证明；

（2）连接PD，根据正方形的性质和角平分线的性质△，由“SAS”以及四边形的内角和得证；

（3）过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根据角平分线的性质和正方形的性质，由“AAS”可证.

试题解析：(1)如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠

BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，

∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在PBM和PEN

PBMPEN△△

中，PMBPNE∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE(2)如图2，PB＝PE还成立．理由如下：过点

PMPN

P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝

90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在PBM和PEN中，

PMBPNE△△

PMPN∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE(3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作

BPMEPN

PM⊥BC交BC的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，

AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE

＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在PBM和

PMBPNE△

PEN中，PMPN∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE

BPMEPN

△

例3．（2024·河南·一模）已知AOB90，点C是AOB的角平分线OP上的任意一点，现有一个直角MCN

绕点C旋转，两直角边CM，CN分别与直线OA，OB相交于点D，点E.

（1）如图1，若CDOA，猜想线段OD，OE，OC之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，若点D在射线OA上，且CD与OA不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说

明理由；如不成立，请写出线段OD，OE，OC之间的数量关系，并加以证明.

（3）如图3，若点D在射线OA的反向延长线上，且OD2，OE8，请直接写出线段CE的长度.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）34

【分析】（1）先证四边形ODCE为矩形，再证矩形ODCE为正方形，由正方形性质可得；（2）过点C作CGOA

于点G，CHOB于点H，证四边形OGCH为正方形，再证CGDCHE(ASA)，可得；（3）根据

CGDCHE(ASA)，可得OEODOHOG2OC.

【详解】解：（1）∵AOB90，MCN90，CDOA，∴四边形ODCE为矩形.

∵OP是AOB的角平分线，∴DOCEOC45，∴ODCD，

∴矩形ODCE为正方形，∴OC2OD，OC2OE.∴ODOE2OC.

（2）如图，过点C作CGOA于点G，CHOB于点H，

∵OP平分AOB，AOB90，∴四边形OGCH为正方形，由（1）得：OGOH2OC，

CGDCHE90

在CGD和CHE中，CGCH，∴CGDCHE(ASA)，∴GDHE，∴ODOE2OC.

DCGECH

（3）OGOH2OC，CGDCHE(ASA)，∴GDHE.

∵ODGDOG，OEOHEH，∴OEODOHOG2OC，

∴OC32，∴CE34，CE的长度为34.

【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）

对角互补模型（60°—120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转

的构造，构造手拉手全等。

1）“等边三角形对120°模型”（1）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.

3

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③SSOC2.

CODCOE4

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，

∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，

△13

∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。

22

又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，

32

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，∴SSSSSSSSOC。

CODCOECMOCMDCNECONCONCMO4

△△

△

2）“等边三角形对120°模型”（2）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，

3

结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③SSOC2.

CODCOE4

证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，

又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°

∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，

1△3

∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。

22

又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，

32

∵MCD≌△NCE，∴SMCD=SNCE，∴SSSSSSSSOC。

CODCOECMOCMDCNECONCONCMO4

△△

△

3）“120°等腰三角形对60°模型”

条件：ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。结论：PB+PC=3PA；

证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至QAB，即PAC≌△QAB，

∴∠ACP=△∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝△AQ，PC＝Q△B；

∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。

又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，

根据勾股定理易证：PQ=3PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=3PA。

例1．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；

若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣

OD=OC，证明详见解析.

【分析】(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边

11

的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS

22

证明CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出

结论.△(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC.

1

【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，

2

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，

11

在RtOCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，

22

△

(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，

∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，

11

同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，

22

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，

∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；

(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，

11

∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，

22

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，

∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣

OD=OC．

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是

解题的关键.

例2．（2024广东中考一模）如图，已知AOB60，在AOB的角平分线OM上有一点C，将一个120角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.

（1）如图1，当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想ODOE与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3，当DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，求线段OD,OE与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】（1）ODOE3OC，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OEOD3OC

33

【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得

22

出结论；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝3OC，再判断出CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换

即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．△

1

【详解】解：（1）QOM是AOB的角平分线AOCBOCAOB30

2

CDOA,ODC90,OCD60OCEDCEOCD60

33

在RtOCD中，ODOCcos30OC，同理：OEOCODOE3OC

22

（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G

OFCOGC90AOB60FCG120

33

由（1）知，OFOC,OGOCOFOG3OC

22

CFOA,CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点CFCG

DCF120,FCG120DCFECG,CFDCGE

DFEGOFODDFODEG,OGOEEG

OFOGODEGOEEGODOEODOE3OC

（3）结论为：OEOD3OC.

理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，

33

∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝3OC，

22

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，

∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝3OC．

【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，

正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．

例3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，

DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC△（或AC的延长线）相交于点F．

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：

1

BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立

2

吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．

1

【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB

2

【分析】（1）如图1中，只要证明∠BED=90°，根据直角三角形30度角性质即可解决问题．

（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明BDM≌△CDN，EDM≌△FDN

1△△

即可解决问题．（3）（2）中的结论不成立．结论：BE﹣CF=AB，证明方法类似（2）．

2

【详解】解：（1）如图1中，

∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，

1

∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，

2

1

又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．

2

（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，

1

∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．

2

1

（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB．

2

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，

1

∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB．

2

模型3.对角互补模型（全等型：α—180°-α）

对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的

构造，构造手拉手全等。

1）“α对180°-α模型”

条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。

证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，

∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。

∵AP=BP，∴PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。

注意：如下图：△①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。

2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）

条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。

证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。

∵AP=BP，∴PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。

△

例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，AOB（是常量）．点P在AOB的平分线上，且OP2，

以点P为顶点的MPN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，MPN的两边分别与OB，OA相交于M，

N两点，若MPN始终与AOB互补，则以下四个结论：①PMPN；②OMON的值不变；③四边形

PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）

A．①③B．①②③C．①③④D．②③

【答案】B

【分析】如图作PEOA于点E，PFOB于点F，只要证明RtPEO≌RtPFO，RtPEN≌RtPFM即可

一一判断．

【详解】解：如图所示：作PEOA于点E，PFOB于点F，

PEOPFO90，EPFAOB180，MPNAOB180，EPFMPN，

EPFEPNNPF，MPNMPFNPF，EPNMPF，

OP平分AOB，PEOA，PFOB，PEPF，

POPO

在RtPEO和RtPFO中，，RtPEO≌RtPFOHL，OEOF，

PEPF

EPNFPM

在△PEN和△PFM中，PEPF，RtPEN≌RtPFMASA，

PENPFM

ENFM，PNPM，故①正确，S△PENS△PFM，S四边形PMONS四边形PEOF定值，故③正确，

OMONOFMFONOENEONOEOE2OE定值，故②正确，

M、N的位置是变化的，M、N之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会

添加辅助线，构造全等三角形解决问题．

例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，AD平分BAC，BC180，ÐB=90°．判

断DB与DC的大小关系并证明．

探究：如图②，AD平分BAC，ABDACD180，ABD90，DB与DC的大小关系变吗？请说

明理由．应用：如图③，四边形ABDC中，B45，C135，DBDCm，则AB与AC差是多少

（用含m的代数式表示）

【答案】感知：DBDC，证明见详解；探究：DB与DC的大小关系不变，理由见详解；应用：AB与AC

差是2m．

【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延

长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证DEB≌△DFC，

然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，△连接AD，由题意

易证DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得

△22

DG=CG=DH=BH=m，则有AG=AH=AC+m，最后问题可求解．

22

【详解】感知：DBDC，理由如下：

∵BC180，ÐB=90°，∴BC90，即DBAB,DCAC，∵AD平分BAC，∴DBDC；

探究：DB与DC的大小关系不变，还是相等，理由如下：

过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：

∵AD平分BAC，∴DE=DF，∵ABDACD180，DCFACD180，∴∠B=∠DCF，

∴△DEB≌△DFC（AAS），∴DBDC；

应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：

∵B45，C135，∴BC180，∵ACDDCG180，∴BDCG45，

∵DHBDGC90，DBDCm，

∴△DHB≌△DGC（AAS），且DHB与DGC都为等腰直角三角形，

∴DG=CG=DH=BH，由勾△股定理可△得DH2BH2DB2，

2

∴2DH2m2，∴DG=CG=DH=BH=m，在RtAHD和RtAGD中，AD=AD，DH=DG，

2

2△△

∴RtAHD≌RtAGD（HL），∴AG=AH=AC+m，∴ABAHBHAC2m，∴ABAC2m．

2

【点△睛】本题主△要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的

性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．

例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知AOB的平分线OM上有一点P，CPD

的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设AOB0180，CPD．

(1)如图（1），当90时，试猜想PC与PD，PDC与AOB的数量关系（不用说明理由）；

(2)如图（2），当60，120时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．

(3)如图（3），当180时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若

不成立，请说明理由．

【答案】(1)PCPD，2PDCAOB(2)成立，理由见详解(3)PCPD，2PDCAOB

【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性

质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明FPC≌△EPD，则有PC=PD，

∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CP△D+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠

CPN，即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）．

【详解】（1）PCPD，2PDCAOB，

证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，

∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，

∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°，

同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，

∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，

∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，

∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，

又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，

∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，

∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；

（2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，

∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，

∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，

∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，

∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，

又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，

∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，

∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；

（3）成立，PCPD，2PDCAOB，

证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，

∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，

∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，

∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，

又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，

∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，

∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，

证明FPC≌△EPD是解答本题的关键．

△

模型4.对角互补模型（相似模型）

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，

从而证明两个三角形相似.

1）对角互补相似1

条件：如图，在RtABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，

△

OEBC

结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①ODEOHF；②

OFAC

△∼△

证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，

∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，

OEOD

∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴ODEOHF，∴，

OFOH

△∼△ODBH

∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴

OHOH

BHBCOEODBHBC

∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴OHBACB，∴，∴

OHACOFOHOHAC

△∼△

2）对角互补相似2

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①ECGDCF；②CE＝CD·tan.

证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DF△C＝90∼°，△

∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，

CE