沪教版七年级数学下册复习专练：相交线、平行线 压轴题（七大题型）解析版

专题02相交线平行线压轴题(七大题型)

目录：

题型1：M型(含锯齿)

题型2：笔尖型

题型3：“鸡翅”型

题型4：“骨折”型

题型5：情景探究类

题型6：动态问题

题型7：三角板问题

题型1：M型(含锯齿)

1.如图1,已知48EKR,03=30°,0£>=120°；

图1图2

(1)若亚=60°,贝幅尸=_；

(2)请探索贴与瓯之间满足的数量关系？说明理由；

⑶如图2,已知£尸平分勖£一，尸G平分0£户£>,反向延长尸6交£尸于点尸，求SP的度数.

【答案】⑴90。

(2)ZF=ZE+30°,理由见解析

(3)15°

【分析】(1)如图1,分别过点E,歹作期//48,FN//AB,根据平行线的性质得到4=/班河=30。，

ZMEF=ZEFN,ZD+ZD7W=180°,代入数据即可得到结论；

(2)如图1,根据平行线的性质得到NB=N8EM=30。，ZMEF=NEFN,由AB〃CD,AB//FN,得到

CD//FN,根据平行线的性质得到/O+/DFN=180。，于是得到结论；

(3)如图2,过点,F作FH//EP,设4BEF=2靖，则NEFD=(2尤+30)。，根据角平分线的定义得到

NPEF=g/BEF=x。,NEFG=：NEFD=(x+15)。，根据平行线的性质得到NPEF=N£EH=x。，ZP=ZHFG,

Z乙

于是得到结论.

【详解】(1)解：如图1,分别过点E,F忤EMIIAB,FNHAB,

:.EM//AB//FN,

:.ZB=ZBEM=30°,ZMEF=/EFN,

又，AB//CD,AB//FN,

：.CD//FN,

.•.ZD+Zr)7W=180o,

又"=120。，

.\ZDFN=6O0,

.•.ZBEF=ZMEF+30。,ZEFD=ZEFN+60°,

.•.ZEFD=ZMEF+6。。

ZEFD=ZBEF+30°=90°；

故答案为：90°；

(2)解：如图1,分别过点E,F忤EMIIAB,FN//AB,

:.EM//AB//FN,

:.ZB=ZBEM=30°,ZMEF=NEFN,

又-AB//CD,AB//FN,

：.CDHFN,

.-.ZD+ZD/W=180o,

又"二120。，

:.ZDFN=6O°,

ZBEF=ZMEF+30。,ZEFD=ZEFN+60°,

ZEFD=ZMEF+60°,

:.ZEFD=ZBEF+^°；

(3)解：如图2,过点/作切//EP,

由(2)知，ZEFD=NBEF+30。,

设N3EF=2",则NEFD=(2x+30)。，

EP平分ZBEF,GF平分NEFD,

NPEF=iNBEF=x°,ZEFG=；ZEFD=(x+15)°,

FH//EP,

:.NPEF=NEFH=x°,ZP=ZHFG,

ZHFG=AEFG-ZEFH=15°,

图1图2

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.

2.如图1,AB//CD,E是4B,8之间的一点.

图1图2图3

(1)判定曲E,团CDE与切之间的数量关系，并证明你的结论；

⑵如图2,若曲E,13cDE的角平分线交于点R直接写出的阳与西ED之间的数量关系；

⑶将图2中的射线DC沿DE翻折交/产于点G得图3,若的G。的余角等于2回£的补角，求S8/E的大小.

【答案】⑴/R4E+/CDE=ZAEZ)；

(2)NAFD=；NAED；

(3)ZBAE=60°

【分析】(1)作如图1,则比迥CD,利用平行线的性质得加=的£,E2=0CZ>E,从而得到

^BAE+BCDE=^iAED

(2)如图2,由(1)的结论得酎FD=g回"E,^CDF=^SCDE,则的FD=g^BAE+SCDE),加上(1)的

结论得到EU网>=[EAED；

(3)由(1)的结论得西GD=B8/F+团CDG,利用折叠性质得回CDG=4回CDF,再利用等量代换得到

3

^AGD=2^AED--^BAE,力口上90。-酎6£>=：180。-2a4££),从而计算出血£的度数.

2

【详解】(1)^BAE+^CDE=^ED

理由如下：

作ER34B,如图1

^AB^CD

SiEF^CD

回团1=B8/E,团2=团。。£

^\BAE+^\CDE=^AED

(2)如图2,由(1)的结论得

^AFD=^BAF+^\CDF

回胆4£、回CDE的两条平分线交于点厂

^BAF=^^BAE,SCDF=^SCDE

EIEL4FE=；QSBAE+SCDE)

^S\BAE+SCDE=^AED

aa装D=；0AEO

(3)由(1)的结论得EL4G£)=0B4F+EKRG

而射线DC沿DE翻折交/尸于点G

fflCDG=40CDF

0EL4GD=^\BAF+^CDF=^BAE+73\CDE=SBAE+2(EUEDELB/E)=73\AED--WAE

222

09OO-EL4GZ)=18OO-2EL4ED

3

回90°-2EL4ED+-EB/E=1802a4ED

2

EEA4E=60°

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行,

内错角相等.

3.已知直线“〃2，点4C分别在乙，4上，点8在直线乙，4之间，且N3QV<N54〃W90。.

①②备用图

(1)如图①，求证：ZABC=ZBAM+ZBCN.

阅读并将下列推理过程补齐完整：

过点8作3G〃NC,因为,

所以AM//()

所以=ZCBG=ZBCN()

所以ZABC=ZABG+ZCBG=ZBAM+ZBCN.

(2)如图②，点。，£在直线乙上，l.ZDBC=ZBAM,BE平分NABC.

求证：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的条件下，如果/CBE的平分线2尸与直线乙平行，试确定NB4”与N3CN之间的数量关系,

并说明理由.

【答案】(1)BG-,平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；(2)见解析；(3)

ZBAM=3ZBCN,理由见解析

【分析】(1)根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AM//BG,再根据平行线的性质即可得结论；

(2)过点B作3G〃NC,根据4〃4，可得AM//3G,所以NDEB=NEBG,NCBG=NBCN,结合(1)

即可进行证明；

(3)根据NDBC=NDBE+NEBF+NFBC,BF//AM,可得ZEBF=ZDEB,根据郎平分NC3E,可得

NCBF=NEBF,结合(2)可得NDBC=3NFBC,中根据平行线的性质即可得结论.

【详解】(1)解：如图①，过点8作3G//NC,因为〃〃2，

所以AM//3G(平行于同一条直线的两条直线平行).

所以/ABG=/54〃，ZCBG=NBCN(两直线平行，内错角相等).

所以ZABC=ZABG+ZCBG=ZBAM+ZBCN.

故答案为：BG,平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；

(2)证明：如图②，过点8作BG//NC,因为"4，

所以AM//3G,

所以NDEB=/EBG,ZCBG=ZBCN,

由（1）知：ZABC=ZBAM+ZBCN.

又ZDBC=NBAM,

所以ZABC=/DBC+NBCN.

因为/ABC=NABD+NDBC.

所以NABD=NBCN,

所以NABD=NCBG,

因为BE平分/ABC.

所以NABE=NEBC,

所以NDBE=NEBG,

所以ZDEB=NDBE；

（3）解：NBAM=3NBCN,理由如下:

因为ZDBC=NDBE+NEBF+NFBC,BF//AM,

所以NEBF=NDEB,

因为M平分NCBE,

所以NCBF=NEBF,

由（2）知：ZDEB=ZDBE,

所以ZDBC=3NFBC,

因为CN/4，

所以CN//BF,

所以NFBC=NBCN,ZDBC=3ZBCN,

而/BAM=NZ阳C,

所以NBAM=3N3C7V.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.

题型2：笔尖型

4.AB^CD,点尸为直线48,CD所确定的平面内的一点.

(1)如图1,写出EL4PC、EU、EIC之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,写出的尸C、的、回C之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,点£在射线A4上，过点£作E题PC,作曲£G=0PEF,点G在直线CZ)上，作财EG的平分

线EH交PC于点、H,若酎尸C=30。，皿2=140。，求回P"r的度数.

GCD

图3

【答案】(1)EU+EIC+a4PC=360。，证明详见解析；(2)EL4PC=EL4-EIC,证明详见解析；(3)55。.

【分析】(1)首先过点P作PQ回AB,结合题意得出AB回PQ回CD,然后由“两直线平行，同旁内角互补"进一步

分析即可证得EIA+[aC+ElAPC=360°；

(2)作PQI3AB,结合题意得出ABEIPQIBCD,根据“两直线平行，内错角相等"进一步分析即可证得EIAPC=I3A-EIC；

(3)由(2)知，0APC=0PAB-EIPCD,先利用平行线性质得出回BEF=EIPQB=110°,然后进一步得出回PEG=《

0FEG,EIGEH=；I3BEG,最后根据回PEH=EIPEG-回GEH即可得出答案.

【详解】(1)0A+0C+0APC=36O,,,证明如下：

如图1所示，过点P作PQ.0AB,

AB

图1

00A+0APQ=18O°,

又I3ABEICD,

0PQ0CD,

00C+0CPQ=18O°,

fflA+0APQ+EIC+[aCPQ=36Oo,

即E1A+E1C+E]APC=36O°；

(2)0APC=0A-0C,证明如下:

如图2所示，过点P作PQIBAB,

图2

回团A=R1APQ,

回ABR1CD,

团PQR1CD,

酿C=MPQ,

团团APC=B1APQ—团CPQ,

团团APC=B1A—回C；

(3)由(2)知，回APC=I3PAB-团PCD,

团团APC=30°,回PAB=140°,

回团PCD=11O°,

团AB团CD,

0EIPQB=I3PCD=11O",

0EFEPC,

0EIBEF=[?IPQB=11OO,

00PEG=0PEF,

EHPEG=；EIFEG,

0EH平分团BEG,

EI0GEH=1[3BEG,

[ZBPEH=I3PEG-I3GEH

=^-0FEG-^-0BEG

22

=3回BEF

=55°.

【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.

5.如图，已知48111cD.

CD

图4

(1)如图1所示,01+02

(2)如图2所示,01+02+B3;并写出求解过程.

如图3所示,01+02+03+S4

(4)如图4所示,试探究团1+02+03+回4+回+回”=

【答案】(1)180°；(2)360°；(3)540°；(4)(„-1)xl80°

【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案;

(2)过点£作48的平行线，转化成两个图1,同理可得答案；

(3)过点£,点尸分别作N8的平行线，转化成3个图1,可得答案;

(4)由(2)(3)类比可得答案.

【详解】解：(1)如图1,EL450CZ),

瓯1+回2=180°(两直线平行，同旁内角互补).

故答案为:180°；

(2)如图2,过点E作的平行线EF,

EL4B0CD,

EL4施CD^EF,

EHl+EL4EF=180°,0^^+03=180°,

001+02+03=360°；

(3)如图3,过点£,点尸分别作48的平行线,

类比(2)可知回1+02+[33+回4=180°'3=540°,

故答案为：540°；

(4)如图4由(2)和(3)的解法可知回1+团2+团3+团4+...+团〃=(n-1)xl80°,

故答案为：(力-1)xl80°.

【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.

6.问题情境：如图1,已知人8回8,ZAPC=108°.求々4B+NPCD的度数.

图4

经过思考,小敏的思路是:如图2,过尸作PE^AB,根据平行线有关性质，可得4AB+ZPCD=360°-ZAPC=252°.

问题迁移：如图3,AD^BC,点P在射线(W上运动，ZADP=Aa,NBCP=N/3.

⑴当点尸在/、3两点之间运动时，4CPD、/a、n万之间有何数量关系？请说明理由.

（2）如果点P在/、3两点外侧运动时（点尸与点/、B、。三点不重合），请你直接写出NCPD、乙a、N/3

之间的数量关系.

⑶问题拓展：如图4,MA^NA,,,是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现

的结论，用简洁的数学式子表达为一

【答案】⑴团CP缶团a+班，理由见解析

（2）回。尸。=幽-刖或回CPD=Ela-明

闭的/+阴2+...+朋〃=勖/+&82+...+/8“_]

【分析】（1）过尸作尸况40,根据平行线的判定可得尸皿ZMBC,再根据平行线的性质即可求解;

（2）过尸作尸瓦140,根据平行线的判定可得尸E0ADI3BC,再根据平行线的性质即可求解;

（3）问题拓展：分别过也,As...,4"：作直线班一,过囱，B2,历ri作直线根据平行线的判定

和性质即可求解.

【详解】（1）团。尸。=刖+1邪，理由如下:

如图，过尸作尸£040交CD于E,

EL4D05C,

[MDaPEELBC,

EEa=aDPE,附=团。尸£,

^ECPD=WPE+SCPE=Sa+B^

（2）当P在A4延长线时，团（口。=13㈤3a；理由:

如图，过尸作尸血。交CD于£,

EL4D05C,

^AD^PE^BC,

GHa=[3DP£,附=I3CPE,

^3iCPD=^CPE-^DPE=^/3-^a；

当尸在8。之间时，ElCPD=Ela-明.理由:

如图，过尸作尸£H4D交CD于瓦

EL4D回产E05C,

ffla=Eir)PE,附=I3CPE,

^CPD=^DPE-SCPE=^a-^/3.

(3)问题拓展:分别过血，A3...,加一/作直线的/跖过MBi,...,即一/作直线的/M,

由平行线的性质和角的和差关系得的/+&42+...+阴〃=勖/+回氏+...+』纥

故答案为：EL4/+EL42+...+EL4n=ElS7+E152+...+ZB„_1.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第(2)问在解题时注意

分类思想的运用.

题型3：“鸡翅”型

7.已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如图1,求证：AB//CD-,

(2)如图2,作一瓦叱的平分线交CD于点尸，点G为A2上一点，连接尸G,若NCFG的平分线交线段AG

于点连接AC,若ZACE=ZBAC+NBGM,过点H作交FG的延长线于点M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求ZEAF+ZGMH的度数.

【答案】（1）见解析；（2）72°

【分析】（1）根据平行线的性质得出ZA+ZB=180。，再根据等量代换可得4+/。=180。，最后根据平行线

的判定即可得证；

（2）过点E作EP//CD,延长DC至。，过点M作MN//A6,根据平行线的性质及等量代换可得出

ZECQ=ZBGM=ZDFG,再根据平角的含义得出NECF=/CFG,然后根据平行线的性质及角平分线的定

义可推出ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB；设ZFAB=a,ZCFH=0，根据角的和差可得出ZAEC=2ZAFH,

结合已知条件3NAEC-5NAFH=180。可求得/A^H=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出

答案.

【详解】（1）证明：AE//BD

.".ZA+ZB=180°

ZA=ZD

.­.ZB+Zr）=180o

.-.AB//CD-,

（2）过点、E作EP//CD,延长DC至。，过点“作"?〃/46

AB//CD

/.ZQCA=ZCABfZBGM=ZDFG,NCFH=/BHF,ZCFA=FAG

ZACE=ZBAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

ZECQ=/BGM=ZDFG

ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

:.ZECF=ZCFG

AB//CD

ABIIEP

/PEA=NEAB,/PEC=ZECF

ZAEC=ZPEC-ZPEA

:.ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAEC+ZEAB

-4F平分NBAE

ZEAF=/FAB=-/EAB

2

FH平分/CFG

ZCFH=ZHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

/.ZBHF=ZCFH,ZCFA=/FAB

设ZFAB=a,/CFH=0

ZAFH=ZCFH-ZCFA=ZCFH-ZFAB

:.AAFH=/3-a,4BHF=/CFH=B

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2AAFH=ZAEC+2/3

ZECF+2ZAFH=NE+2Z.BHF

.\ZAEC=2ZAFH

3ZAEC-5ZAFH=180°

:.ZAFH=18°

FH工HM

:.ZFHM=90°

NGHM=90°-0

-ZCFM+ZNMF=180°

NHMB=NHMN=90°-尸

ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=，-18°

.-.ZEAF+ZGAffl=^-18°+90°-^=72°

:.ZEAF+ZGMH=12°.

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是

解此题的关键.

8.已知AM〃OV,点5为平面内一点，AB上BC于B.

图1图2图3

（1）如图L点B在两条平行线外，则一A与NC之间的数量关系为；

（2）点5在两条平行线之间，过点8作班），AM于点。.

①如图2,说明/4SD=NC成立的理由；

②如图3,BF平分/DBC交DM于点F,BE平分/ABD交DM于点E.若

ZFCB+ZNCF=180°,ZBFC=3ZDBE,求NEBC的度数.

【答案】（1）EL4+0C=9O°；（2）①见解析；②105。

【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）①过点8作2GM根据平行线找角的联系即可求解；②先过点2作根据角平分线的定

义，得出EL489=OG8R再设0£>3E=a,也4BF呻,根据EIC8尸+勖尸C+05CF=18O°,可得2a+/+3a+3a+£=180°,

根据ABWC,可得夕+£+2a=90°,最后解方程组即可得到EL42E=15°,进而得出峥。=的2£+12142c=15°+90°=105°.

【详解】解：（1）如图1,与8c的交点记作点。，

^AM^CN,

EBC=EL4O2,

的施sc,

西4+酎。5=90°,

团胤4+团。=90°；

B

图1

(2)①如图2,过点5作5G的位,

DAM

NC

图2

^DB^BG,

血出G=90°,

函4AD+且45G=90°,

朋施5C,

团团C5G+RL48G=90°,

团的二团C5G,

胤4MzicN,BG^DM,

BGHCN,

酿。二团C5G,

的8。二团C；

②如图3,过点8作5G困W,

DEAFM

图3

回5/平分ODBC,BE平分西8。

WDBF^CBF,WBE=^ABE,

由（2）知回N8D=OC3G,

^\ABF=^GBF,

设0D2£=a,回4BF=0,

贝l]EL48E=a,SABD=2a=^\CBG,

^GBF=^AFB=p,

^BFC=3^iDBE=3a,

m4FC=3a+P，

0EL4FC+EWCF=18O°,0FCS+IWCF=18O0,

SEFCB=^iAFC=3a+/3,

WCF中，由IBCBF+aBFC+ElBC尸=180°得：

2a+//+3a+3a+£=180°,

EL45EL8C,

册+/7+2a=90°,

的=15°,

EB4BE=15°,

EEE2C=EL43E+EL45C=：L5°+90°=：L05°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角

（补角）相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.解题时注意方程

思想的运用.

9.如图，已知：点4C、8不在同一条直线，AD//BE

⑴求证：ZB+ZC-ZA=180°：

（2）如图②，AQ、2。分别为ND4CZEBC的平分线所在直线，试探究NC与NAQB的数量关系;

⑶如图③，在（2）的前提下，且有AC〃QB,直线A。、3C交于点尸，QP1PB,直接写出

ZDACtZACB：/CBE=.

【答案】⑴见解析

{2}2ZAQB+ZC=180°,理由见解析

（3）1：2：2

【分析】（1）过点C作b〃位），则CF〃鹿，根据平行线的性质可得出/4CF=NA、ZBCF=180°-ZB,

据此可得；

（2）过点0作加〃AD,则。河〃BE,根据平行线的性质、角平分线的定义可得出

ZAQB=^（ZCBE-ZCAD）,结合（1）的结论可得出2NAQ8+NC=180。；

（3）由（2）的结论可得出=①，由。尸2可得出NC4D+/CBE=180。②，联立①②

可求出NC4D、NCBE的度数，再结合（1）的结论可得出/ACB的度数，将其代入4MC：ZACB-.NCBE

中可求出结论.

【详解】（1）在图①中，过点C作CF〃AD,则CF〃台E.

S1CF//AD//BE,

B1ZACF=ZA,ZBCF+ZB=180°,

SZACB+ZB-ZA=ZACF+ZBCF+ZB-ZA=ZA+1800-ZA=180°.

(2)在图2中，过点0作叫〃A。，则Q河〃BE.

D

SQM//AD,QM//BE,

^\ZAQM=ZNAD,NBQM=NEBQ.

回4。平分/。1。，BQ平分NCBE,

0ZNAD=|ACAD,ZEBQ=|NCBE,

ElNAQB=ZBQM-ZAQM=1(NCBE-ZCAD).

0ZC=180°-(ZCBE-ZC4D)=180°-2NAQB,

f?]2ZAQB+ZC=180°.

(3)MAC//QB,

<3ZAQB=ZCAP=|ACAD,ZACP=ZPBQ=|NCBE,

ElZACB=180°-ZACP=180°--ZCBE.

2

E]2NAQ3+NAC8=180°,

EIZCAD=-ZCBE..

2

又回。尸，PB,

EINC4P+ZAC尸=90°,BPZCAD+ZCBE=180°,

0ZC4D=6O°,ZCBE=120°,

0ZACB=180°-(ZCBE-ZCAD)=120°,

0ZZMC：ZACB：ZCBE=60o：120°：120°=1：2：2,

故答案为：1：2：2.

【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平

行线.

题型4：“骨折”型

10.为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条A3、BC,CD、DE,做成

折线ABODE,如图1,且在折点3、C、。处均可自由转出.

（1）如图2,小明将折线调节成ZB=50o,NC=75o,"=25。，判别AB是否平行于EO,并说明理由；

（2）如图3,若NC=/£>=25。，调整线段AB、BC使得AB//CD,求出此时N8的度数，要求画出图形，

并写出计算过程.

（3）若NC=85o,ND=25o,AB//DE,求出此时23的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算

过程.

【答案】（1）ABB1DE,理由见解析；（2）25。或155。，画图见解析；（3）60。或120。或70。或110。

【分析】（1）过点C作。题42,利用平行线的判定和性质解答即可；

（2）分别画图3和图4,根据平行线的性质可计算财的度数；

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出M的度数.

【详解】解：（1）AB^DE,理由是：

如下图，过点C作C闻48,

EE3=E15CF=50°,

0050)=75°,

EIMC尸=25°,

EE£>=25°,

a3D=0Z)CF=25°,

团C7WE,

^\AB^\DE；

（2）如下图,

A

^\B=^BCD=25°；

如图4：

国姐+姐CZ)=180°,

函4BC=180°-25°=155°；

0

(3)由(1)得：05=85-25°=60°;

如图5,过C作CHE45,贝!J/施CW2CZ),

^\BCD=85°,

回应户=85°-25°=60°,

的苑CF,

团财+团5。歹1=80°,

团姐=120°；

如图6,mC=85°,亚)=25°,

C

E/FD

8图64

EBCFD=180°-85°-25°=70°,

EU8ELDE,

E03=0CFr)=7Oo,

如图7,同理得：05=25°+85°=110°,

综上所述，as的度数为60。或120。或70。或no。.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以

及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算.

11.已知，AB^\CD.点M在N8上，点N在CD上.

(1)如图1中，SBME,回£、的VD的数量关系为：—；(不需要证明)

如图2中，0WF、M、0FND的数量关系为：—；(不需要证明)

(2)如图3中，平分MM),儿归平分且2回£+瓯=180。，求回内儿化的度数；

(3)如图4中，西儿化=60。，EF平分邮1EN,NP平分就ND,>EQSNP,贝幅尸E。的大小是否发生变化,

若变化，请说明理由，若不变化，求出回相。的度数.

［答案］(1)蒯ME=^MEN-屈ND；^BMF^0MF7V+SFND；(2)120°；(3)不变，30°

【分析】(1)过£作EH^AB,易得EHSAB^CD,根据平行线的性质可求解;过尸作FH^AB,易得FH^AB^CD,

根据平行线的性质可求解;

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(EiaWE+MW)+05MF-0FW=18O°,可求解EL&WF=60。,

进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知进而可求解.

【详解】解：(1)过E作E//H48,如图1,

图1

^BME=^MEH,

的施CD,

WE^\CD,

^END=WEN,

^MEN=^MEH+WEN=WME+^\END,

即的屋二加郎_的VD.

如图2,过尸作FZ犯45,

fflWF=IWFK,

的施。。，

^FH^CD,

^\FND^^\KFNf

^\MFN=^\MFK-^KFN=^\BMF-^FND,

即：^\BMF=^MFN+^FND.

图2

故答案为曲Vffi=EIA/EN-E£ND；E1BMF=^MFN+^FND.

(2)由(1)得0£ND；0BA/F=EMF7V+ELWVD.

0A石平分MWD,MB平分EIEWE,

aaFAffi1=asAffi+WMF,^FND=^\FNE+^END,

EI20MEN+0MFN=180°,

02^BME+^END)+SBMF-^FND=180°,

020BAffi+20£W+0SMF-0FW=18O°,

即20BMF+0FND+03MF-ELRAZ)=180°,

解得S8MF=60。，

回的包=2E5MF=120°；

(3)回EE。的大小没发生变化，瓯£。=30。.

由(1)知：^MEN=WME+^END,

0£万平分0MEN,NP平分施ND,

团团匹加=3团”硒=；C^BME+^END),盟:NP=W@END,

0E007VP,

^NEQ=^iENP,

^FEQ=SFEN-^NEQ=(EBAffi+ElEA©)-^^END=^WME,

005Affi'=6O",

0ELP£2=^-x6Oo=3Oo.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

12.如图1,肱烟尸。，点C、8分别在直线AfiV、P。上，点/在直线7W、尸0之间.

(1)求证：^CAB^^CA+^PBA-

(2)如图2,CD^AB,点£在尸。上，^ECN^CAB,求证：0A/C/=0Z)CE；

(3)如图3,2厂平分EL4AP,CG^^^ACN,AF^CG.若EIC4B=60°,求S4必的度数.

图1图2图3

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120。.

【分析】(1)过点N作4DMV,根据两直线平行，内错角相等得到^PBA=^\DAB,根据角

的和差等量代换即可得解；

(2)由两直线平行，同旁内角互补得到回、0C4JB+EL4CD=18O°,由邻补角定义得到SECM+MCNulSO。，再

等量代换即可得解；

(3)由平行线的性质得到，哂5=120。-回GC4,再由角平分线的定义及平行线的性质得至胞GC4尸

=60。，最后根据三角形的内角和是180。即可求解.

【详解】解：(1)证明：如图1,过点力作4D0MN,

图1

SMN^PQ,ADSMN,

EL4ZWN0PQ,

EHA心=ELD/C,^\PBA=^DAB,

EHC43=^\DAC+^DAB=^MCA+^\PBA,

即：^CAB=^MCA+SPBA;

(2)如图2,0CDEL4S,

fflG4S+EL4CD=180°,

EELECW+ELECN=180°,

W：CN=SCAB

团团£CA/=朋CD,

即皿G4+a4CE=0DCE+幽CE,

^MCA=WCE；

(3)的脱CG,

回团GC4+RIE4C=18O°,

团团C45=60°

艮团GC4+回。3+回£45=180。，

回哂5=180°-60°-团GG4=120°-^GCA,

由(1)可知，^\CAB=^\MCA+^ABP,

财/平分酎8P,CG平分酎CN,

EEL4CN=2I3GC4,^ABP=2^\ABF,

又aWC/=180°-EL4CN,

fflG45=180°-2EIGC4+2EUSF=60°,

EHGC4-EL4B尸=60°,

^3iAFB+^ABF+^FAB=180°,

0EL4FB=18O°-^FAB-^FBA

=180°-(120°-0GG4)-^ABF

=180°-120°+S\GCA-SABF

=120°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键.

题型5：情景探究类

13.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公

共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系

的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础.

已知：/"0CN,点8为平面内一点，/施8c于民

问题解决：(1)如图1,直接写出的和EIC之间的数量关系；

(2)如图2,过点3作瓦通4"于点。，求证：SABD=SC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点£、尸在DM上，连接2£、BF、CF,3厂平分0£)2C,BE平分HARD,

若回PC8+0JVCF=18O°,^BFC=3^DBE,则

【答案】(1)ZA+ZC=90°；(2)见解析；(3)105°

【分析】(1)通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点3作BGaDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】解：（1）如图1,设4W与BC交于点O,EMMIICN,

00C=EL4OS,

EUBSBC,

函48c=90°,

EEU+EUO8=90°,

EL4+EC=90°,

故答案为：EL4+0C=9O°；

（2）证明：如图2,过点8作BGEDM,

EL8Z)EL4M,

EZMELSG,

回Eir)2G=90°,

aaABZ)+ElABG=90°,

EAB勖C,

EEC8G+E1ABG=9O°,

^ABD=^CBG,

助M0CN,

EEC=EIC8G,

EIEL45£>=0C；

（3）如图3,过点2作BGHOM,

图3

勖/平分EIDBC,平分西8D,

^3\DBF=^CBF,^DBE=^ABE,

由(2)知EL1BD=EIC2G,

0EL45F=0G5F,

设EiaBE=a,^ABF^P，

贝l]EL48E=a,^ABD^la^CBG,

^\GBF=^AFB=p,

ELBFC=3SDBE—3a,

aS4FC=3a+£,

aS4FC+lWCF=180°,MCB+IWC尸=180°,

^FCB=EL4FC=3a+/3,

△8C尸中，由13cB尸+E5FC+a8C尸=180°得：2a+£+3a+3a+£=180°,

EL4S0BC,

册+£+2a=90。，

刖=15°,

0048£=15°,

^EEBC=SABE+^ABC=15°+90°=105°.

故答案为：105。.

【点睛】本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

14.问题情境：

(1)如图1,AB//CD,NE4B=128。，ZPC£>=119°.求/APC度数.小颖同学的解题思路是：如图2,

过点尸作PE〃AB,请你接着完成解答.

问题迁移：

(2)如图3,AD//8C,点尸在射线OM上运动，当点尸在A、3两点之间运动时，ZADP=Ztz,

ZPCE=Z/?.试判断NCP。、乙a、4之间有何数量关系？（提示：过点尸作尸尸//AD）,请说明理由;

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、5两点外侧运动时（点尸与点A、5、。三点不重合），请你猜想/CPD、

乙a、”之间的数量关系并证明.

备用图

【答案】（1）见解析；（2）ZCPD=Za+1800-Z/3,理由见解析；（3）①当尸在54延长线时（点尸不与

点A重合），ZCPD=1800-Z/3-Za.②当尸在2。之间时（点尸不与点5,。重合），

ZCPD=Za-l80°+Zj3.理由见解析

【分析】（1）过尸作尸£045,构造同旁内角，利用平行线性质，可得EL4PC=113。；

（2）过过尸作P尸//A。交8于尸，，推出ATM/Pb/ABC,根据平行线的性质得出？3cp180?1b,即

可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点尸在8/的延长线上，②当尸在80之间时（点P不与点8,。重合）），

根据平行线的性质即可得出答案.

【详解】解：（1）过户作PE//AB,

AB//CD,

:.PE/IABI/CD,

\1APE牙［h4B=180,ZCPE+ZPCD=180°,

ZB4B=128°,ZPCD=119°

:.ZAPE=52。,ZCPE=61°,

r.ZAPC=520+61°=n3°；

(2)ZCPZ)=Za+180°-Z^,理由如下:

如图3,过尸作尸尸/MD交CO于尸，

AD//BC,

.\ADHPFHBC,

.\ZADP=ZDPFfZBCP=ZCPF,

NBCP+NPCE=180。,4PCE=5

:.ZBCP=lS00-Z/3

又ZADP=Za

\?CPD2DPFWPF=Q+180??Z?；

(3)①当P在胡延长线时(点P不与点A重合)，ZCPD=180°-Z/3-Za；

理由：如图4,过尸作/¥V/AD交8于方，

AD//BC,

:.AD//PF//BC,

:.ZADP=ZDPFf/BCP=/CPF,

N3C尸+NPC£=180。，4PCE=4/3,

N3CP=180°—N£,

又ZADP=Za,

ZCPD=ZCPF-ZDPF=180°--Z/?；

②当P在80之间时（点P不与点B,。重合），NC尸。=Na—180。+/月.

理由：如图5,过P作尸尸〃AD交CD于尸,

AD//BC,

:.AD//PF//BC,

:.ZADP=ZDPF,NBCP=NCPF,

NBCP+NPCE=180°,NPCE=Z/7,

ZBCP=180°-Z^,

又'ZADP=Za

ZCPD=ZDPF-ZCPF=Za+Z/3-180°.

/图5

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内

错角以及同旁内角.

15.几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的"猪蹄模型

图①图②

AMBMBAMB

/E\

CNDCNDCND

图③图④图⑤

⑴导入：如图①，已知AB〃CD〃EF,如果NA=26。，NC=34。，那么ZAEC=_。；

(2)发现：如图②，已知45〃8,请判断44£。与44,NC之间的数量关系，并说明理由；

⑶运用：(i)如图③，已知AB〃CD,ZAEC=88°,点M、N分别在A3、CO上，MN//AE,如果/C=

28°,那么_°；

(ii)如图④，已知AB〃CD,点M、N分别在AB、CD上，ME、NE分别平分m3和NCNF.如

果NE=116°,那么/尸=_°；

(iii)如图⑤，已知AB〃CD,点、M、N分别在A3、CZ)上，MF、NG分别平分N8ME和/CVE,且

EG//MF.如杲/MEN=a,那么NEGN=_.(用含。的代数式表示)

【答案】⑴60°

(2)ZAEC=ZA+ZC,理由见解析

(3)(i)10；(ii)28；(iii)90°+1a

【分析】(1)根据平行线的性质得出NA=NAEF,NC=NEEC,进而根据NAEC=NAE尸+NCEF,即可求

解；

(2)过点E作匹ZMB,根据(1)的方法即可求解；

(3)(i)由(2)可得NAEC=NA+NC=88。，ZC=28°,得出/A=60。，ZMND=180°-ABMN,

即可求解；

(ii)由"猪蹄模型"，可得NE=NAME+NCVE=116。，ZF=ZBMF+ZDNF,根据角平分线的性质得出

ZAME=-NAMF/CNE=-NCNF,继而根据ZF=ZBMF+ZDNF=128°,即可求解；

22

(iii)如图所示，延长GE交A3于点设2ENG=B,AHME-O,根据平行线的性质得出

1on_n0

ZMHE=ZBMF=—^=90°--,a=O+2f3,方艮据ZEGN=NGNC+ZAHE=/GNC+ZAMF,即可得

出结论.

【详解】(1)解：如图1,

图①

^AB//CD//EF

团NA=ZAEF,ZC=ZFEC

团ZA=26。，ZC=34°,

0ZAEC=ZA£F+ZCEF=ZA+ZB=260+34°=6O°

0ZAEC=60°

故答案为：60.

(2)ZAEC=ZA+ZC,

如图所示，过点£作所〃45,

图②

EF//AB,

ZA=ZAEF,

EF〃AB,AB//CD,

EF//CD,

・•.ZFEC=ZC,

ZAEC=ZAEF+NFEC=ZA+NC；

(3)解：(i)由(2)可得NAEC=NA+NC=88。，NC=28°,

团NA=60。，

^\MN//AEf

⑦/BMN=ZA=60。,

^\AB//CD,

0ZMND=180°-ZBMN=180°-60°=120°,

故答案为：120.

图③

(ii)解：如图所示，^\AB//CD

由“猪蹄模型〃，可得NE=NAME+NOVE=116。，/F=/BMF+ZDNF、

团ME、NE分别平分Z4MF和NCNF

团ZAME=-ZAMF,ACNE=-ZCNF

22

团ZAMF+NC7VF=116°x2=232。

0ZMBF+ZDNF=360°-232°=128°,

0ZF=NBMF+NDNF=128°,

故答案为：128.

(iii)解：如图所示，延长GE交AB于点

AHMB

CND

图⑤

设NENG=〃，ZHME-0

NG分别平分NBME和/CNE,

iin

⑦/BMF=3/BME=3(180。-4=90。-3,NCNE=2/ENG=20,

^HG//MF

ion_/□n

团ZMHE=ZBMF=--------=90°——,

—22

田AB〃CD

回ZMEN=ZAME+ZCNE,

回a=e+2/7

⑦ZEGN=/GNC+ZAHE

=Z.GNC+AAMF

n

=j3+0+9O°-~

=^+90°+-

ry

=90°+-.

2

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键.

题型6：动态问题

16.如图，己知48回CD,P是直线48,CD间的一点，PE3co于点RPE交AB于点E,瓯?£=[20。.

(1)求S4EP的度数；

(2)射线PN从尸尸出发，以每秒30。的速度绕尸点按逆时针方向旋转，当PN垂直N8时，立刻按原速返

回至P尸后停止运动；射线而江从E4出发，以每秒15。的速度绕E点按逆时针方向旋转至E2后停止运动,

若射线PN,射线EM同时开始运动，设运动时间为，秒.

①当IWEP=15。时，求EEPN的度数;

②当EMSPN时，直接写出，的值.

AEB

CFD

备用图

【答案】(1)30°；(2)①30。或90。；②