函数及其应用、指对幂函数（5大易错点分析+解题模板++易错题通关）原卷版

专题02函数及其应用、指对塞函数

易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及

解析式的求算）

已知函数的具体解析式求定义域的方法

法1：若了（尤）是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域

的交集.

法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变

量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.

函数解析式的常见求法

法1：配凑法：已知y（/i（x））=g（x）,求/（X）的问题，往往把右边的g（尤）整理或配凑成只含/i（x）的式子，

然后用X将/z（x）代换.

法2：待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法，比如二次函数/（%）可设

为/0）=依2+6x+c（a#0）,其中a,"c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a,/?,c即可.

法3：换元法：已知/'（/?（尤））=gO）,求/（无）时，往往可设/?（无）=/,从中解出x,代入g（x）进行换元.

应用换元法时要注意新元的取值范围.

法4：解方程组法：已知/（x）满足某个等式，这个等式除八x）是未知量外，还有其他未知量，如

（或/（「））等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出了（无）.

分段函数

第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解

析式求值.

第二步：当出现/(/(a))的形式时，应从内到外依次求值.

第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。

结论：复合函数：

一般地，对于两个函数y=/(")和"=g(x),如果通过变量〃,y可以表示成x的函数，那么称这个函数

为函数y=f(")和〃=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x)),其中y=/(«)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函

数，〃=g(x)叫做y=/(g(x))的内层函数.

抽象函数的定义域的求法：

⑴若已知函数/(X)的定义域为国,句，则复合函数y(g(x))的家义域由隔也(X)匕求出.

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为6],则于(x)的定义域为g(x)在句时的值域.

易错提醒：函数的概念

①一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则了，使得A中任意元素x,都有8中唯一确定的y

与之对应，那么从集合A到集合3的这个对应，叫做从集合A到集合3的一个函数.记作：x-y=/(x),

.集合A叫做函数的定义域，记为O,集合｛引丫=/(%),尤04｝叫做值域，记为C.

②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

③函数表示法：函数书写方式为y=〃尤)，xeD

④函数三要素：定义域、值域、对应法则.

⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

①分式的分母不为零；

②偶次方根的被开方数大于或等于零：

③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1;

④零次幕或负指数次幕的底数不为零；

⑤三角函数中的正切_y=tanx的定义域是｛x|xeR,且xw履+],左eZ：；

⑥已知了(尤)的定义域求解/口(无)]的定义域，或已知/[g("]的定义域求/(x)的定义域，遵循两点：

①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子的范围相同；

⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

基本初等函数的值域

®y=kx+b(k^O)的值域是R.

②y=加+bx+c（Qw0）的值域是：当々>0时，值域为｛y卜〉,"；"｝；当a<0时，值域为

4ac-b1

1y\y^~^a■

“I

③)=勺/工0)的值域是{y”H0}.

X

④y=/(a>0且awl)的值域是(0,+8).

⑤y=log“x（a>0且。*1）的值域是R.

分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决,

即分段函数问题，分段解决.

例.函数士三的定义域为（）

Vx-1

A.（-oo,3]B.（l,+oo）

C.(1,3]D.(-oo,l)u[3,+oo)

变式L设小）/]；）：；。若/⑻寸（2），则（〉（）

A.14B.16C.2D.6

变式2：已知集合4=卜'=/阡^｝,3=｛巾=/—2》+2｝,则A5=（）

A.[-2,2]B.[0,+e）C.[1,2]D.[0,2]

变式3：已知函数，则下列正确的是（）

/（x+l）,x<1

A.7（/（O））=1B.⑴卜乎C./（/（log23））=^D.〃x）的值域为（0』

1.已知函数〃x）=ln炉，贝厅[〃3）]=（）

e—1

A.In3B.3C./D.In3

2.给出下列4个函数，其中对于任意xeR均成立的是()

A./(sin3x)=sinxB./(sin3x)=x3+x2+x

C./(x2+2)=|x+2|D./(x2+4x)=|x+2|

3.已知函数/(I一无)=上台(尤-0),则〃x)=()

11

A.7~^一1(无二°)B.7-^-1(龙片1)

(I)(1)

44

C.7~~审-1(尤力。)D.7一花T(xRl)

(I)(I)

4.已知函数〃x)满足〃2x)=/(x+l),则〃x)可能是().

A.f{x)=xB.f(x)=log2x

5.设集合A={x|4尤2-13元<0},B={y|y=7T^2+3},则AB=()

A.(0,2]B.(0,3]C.2#]D.3,r)

6.集合2={尤料<2},Q={y|y=V7+l},则Pe=()

A.{1,2}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2|D.{x|l<x<2}

易错点二：忽视单调性与单调区间的主次(函数的单调性与最值)

1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。

2.函数/（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。

3.函数的单调定义中的须、马有三个特征：（D任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。

4.求函数的单调区间必须先求定义域。

5.判断函数单调性常用以下几种方法：

方法1：定义法：一般步骤为设元-作差-＞变形”判断符号一得出结论.

方法2：图象法：如果/（幻是以图象形式给出的，或者/（幻的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定

单调性.

方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及/（x）土g（x）

增减性质进行判断；

6.求函数最值（值域）的常用方法

方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

结论：

1.单调性技巧

（1）证明函数单调性的步骤

①取值：设百，%是/（尤）定义域内一个区间上的任意两个量，且玉＜多；

②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

（2）函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

（3）记住几条常用的结论：

结论1：若/（X）是增函数，则-/（乃为减函数；若/（幻是减函数，则-为增函数；

结论2：若和g（x）均为增（或减）函数，则在f（x）和g（x）的公共定义域上/（x）+g（x）为增（或减）

函数；

结论3：若/（x）＞0且/（尤）为增函数，则函数/府为增函数，一匚为减函数；

/（尤）

结论4：若/'（x）＞。且/（x）为减函数，则函数/符为减函数，,为增函数.

/（x）

易错提醒：1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（尤）的定义域为A,区间D=A：

如果对于。内的任意两个自变量的值玉，%当当时，都有/（%）＜/（尤2），符号一致那么就说了（X）在

区间。上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值玉，%,当玉时，都有/（%）＞/（%），符号相反那么就说/（x）

在区间。上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量%，3且玉＜马；

③都有/（为）＜/（X2）或/（花）＞/（工2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数“X）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数/（X）在区间。上具有

单调性，。称为函数/（X）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增

（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函

数.

2.函数的最值

前提：一般地，设函数y-A（无）的定义域为/,如果存在实数M满足

条件：（1）对于任意的xe/,都有（2）存在使得尤0）=M结论M为最大值

（1）对于任意的xe/,都有（2）存在毛仁/,使得/伍）="结论M为最小值

三9

例.若函数=且OW1）在区间。,y）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.（0,1）B,^0,—

C.（1,2]D.[2,+oo）

变式1.下列函数中，满足“对任意的%,%€（0，+8），使得"'J一""I＜。”成立的是（）

芭-x2

A.f（x）=-x2-2x+lB.f（x）=x~—C.f（x）=x+lD./（x）=log（2x）+1

X2

变式2.若定义在（-8,0）U（0,+8）上的函数同时满足：①"％）为奇函数；②对任意的石,马«0，”），

且玉片马，都有”）＜0,则称函数“X）具有性质尸.已知函数/（X）具有性质尸，则不等式

的解集为（

/。一2）＜/卜一一4）)

%+2

A.(-co,-l)B.(-3,2)

C.y,—3)(-1,2)D.-3)u(2,+<»)

变式3.定义在（0,+8）上的函数〃尤）满足：对以“马«。，—），且用一者B有〃？则不等式

2

f(21og2x)-/(x)>log2x-x()

A.(1,2)B.(2,4)C.(4,8)D.(8,16)

1.已知函数〃"="匚产竺，若对于一切的实数X,不等式/（2履2）＜/[-履]恒成立，则上的取值

范围为（）

A.[-2,0）B.（-2,0）C.[-3,0]D.（-3,0]

2.已知函数〃x）是定义在R上的奇函数，且对任意的OVmV“，都有/（㈤一〃"＜0,且"4）=0,则

m-n

不等式止上止”±±^＞0的解集为（）

X

A.（-6,0）B.（-00,-6）u（2,+oo）

C.（—00,—6）（0,2）D.（-＜»,-6）（-2,0）（2,H-QO）

3.已知函数"x）=-x+lgE，且〃利）+“2%-1）＞0,则实数加的取值范围是（）

A.B.Iz＞+°°I

4.已知函数f（x）的定义域为R,/（尤-1）的图象关于点（1,0）对称，/（3）=0,且对任意的外0）,

%*%，满足——"看）＜。，则不等式（x—l）/（x+l”0的解集为（）

x2-xi

A.（5]32收）B.[-4,-l]u[0,l]

C.H，-1]U[1,2]D.H，-1]U[2,4«））

5.已知函数f（x）=x|x|,关于x的不等式/（炉-1）+4/（6+1）20在R上恒成立，则〃的取值范围为（）

A.[0,2]B.[0,1]C.[-2,2]D.[-1,1]

6.为定义在R上的偶函数，对任意的马＞国20,都有上且/（2）=4,则不等式

/（力＞2恸的解集为（）

A.(-a>,-2)u(2,+8)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.f2)

\—x+l,x>a/、/、

7.函数〃z尤x)=_3QV.，其中av—2,则满足〃x)+〃x-l)<5的X取值范围是()

IJC~iJX十x十xva

3

A.(-l,+oo)B.——,+oo

2

C.(-V3,+oojD.(0,+a)

ex-ln(x+l)-l,x>0

8.已知函数/⑴=11.、n若/'（e*-2）+f（e2，）40,则实数x的取值范围为（

1—-+In(1—xj,x<0

A.(-oo,0]B.[0,+oo)C.[—ln2,0]D.(—co,—ln2]

9.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识

到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，

这也正是导数的几何意义.设尸（X）是函数“X）的导函数，若用x）＞0,对％,x2e（0,+co）,且工产马,

总有小五广]，则下列选项正确的是（）

A./（2）＜/（e）＜/（7r）B.r（7i）＜r（e）＜r（2）

c./⑵<〃3)-〃2)(尸⑶D.r(3)</(3)-/(2)<r(2)

10.设函数〃x)=.sm2x,贝u()

sinx+cosx

B.〃x)在卜上单调递增

A.的一个周期为兀

c.〃尤)在上有最大值乎

D.〃尤)图象的一条对称轴为直线x=；

11.已知函数〃%)=加+。一无，则(

A.函数4%)为奇函数

B.当=1时，0=一：或1

C.若函数〃x)有且仅有一个零点，则实数。的取值范围为［0』)

D.若函数在区间［-M］上的值域为［-M］,则实数。的取值范围为一;,4

易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别(函数的奇偶性、

周期性、对称性)

1.奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(X)是偶函数o函数F(x)的图象关于y轴对称；

函数/(幻是奇函数o函数/(幻的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数》=/(X)在元=0处有意义，则有/(0)=。；

偶函数y=/(x)必满足/(x)=f(\x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的

两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(无)的定义域关于原点对称，则函数于(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=^［/W+/(-x)］，〃(x)=："(x)-/(-%)］>则/(x)=g(x)+〃(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，如/(x)+g(元)，/(x)-g(x),/(x)xg(尤),/(x)+g(尤).

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇义(十)偶=奇；偶*(十)偶=偶.

(7)复合函数y=〃g(x)］的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数f(x)=m(a+l)(xwO)或函数/(x)=〃z("T).

a-1<2+1

②函数/(尤)=±3-「).

③函数f(x)=logH匕2=log”(1+2^-)或函数/(X)=log"匕?=loga(l---)

x—mx—mx+mx+m

2

④函数/(九)=logfl(J-+1+元)或函数/(%)=log”(\/x+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数/(x)=m+2L(xwO)或函数/(x)=m-2L(meR).

ax-1优+1

偶函数：①函数/(%)=土⑷+「).

②函数/。)=1。8“3皿+1)-e.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

2.周期性技巧

结论1：)若对于非零常数加和任意实数X,等式/'(x+mL-/(x)恒成立，则/'(x)是周期函数，且2根是

它的一个周期.

证明：f(x+2m)=f(x+m+m)=-f(x+in)=/(%)：.T=2m

也可理解为：平移加个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的

距离为2机，；.T=2加

结论2,定义在R上的函数/(X),对任意的xeH,若有/(x+a)=/(x+"(其中为常数，a手b),

则函数/(x)是周期函数，,―可是函数的一个周期.

证明：f(x-a+a)=f(x-a+b)=>f(x)=f(x+b-a):.T=|/?-a|

口诀：同号差(周期)异号加(对称轴)n只研究x前的正负.

结论3：)定义在R上的函数/(x),对任意的xeR,若有/(x+a)=—+(其中为常数，awb),

则函数/(x)是周期函数，2,-4是函数的一个周期.

证明：/(x+a)=—/(x+匕)先向左平移a个单位得/(%一a+a)=-f{x-a+b)

=>f{x)=-f[x+b-a)^b—a-rrL=>/(x)=—/(九+"/)如同结论1

(结论4：为义在R上的函数/(x),

对任意的xeR,若有/(x+a)=---(-或/(x+a)=_)(其中

/(x)/(x)

a为常数，awO),则函数/(x)是周期函数，21al是函数的一个周期.

证明：/(x+a)=±-^-1

f(x+2a)=f[x+a+a)=+=/W.•.T=2时

f\x)/(x+a)

对任意的xeH,有/(«+x)=/(tz-x)jLf(b+%)=f(b-%),

(其中。/是常数，awb)则函数y=/(x)是周期函数，2|a—4是函数的一个周期.

另一种题干出现的信息：①若y=/(x)的图象关于直线x=a,x=b都对称，则等价于/(a+x)=/(a—x)

且/'0+x)=y0—x),则y=/(x)为周期函数且T=2|a—4

②若y=/(%)为偶函数且图象关于直线x=a对称，则y=/(%)为周期函数且T=2时

证明：/(a+x)=/(a-x)向左平移a个单位，f(x-a+a)=f(a-[x-a\)

=，(x)=/(2a—x),同理o/(x)=/(2Z?—x),f(2a-x)=f(2b-x)

利用口诀：同号差(周期)异号加(对称轴)n只研究x前的正负.秒出周期

■气原定义在H上的函数y=/(x)对任意实数xeR,恒有/(x)=/(a+x)+/(x—a)成立(awO),则

/(x)是周期函数，且6M是它的一个周期.

证明：由函数/(x)=/(«+x)+/(x-a)^>/(x+tz)=/(x+2a)+/(%)

=^>/(%)=f(x+2a)+/(%)+f{x-a)=^f[x-a)=-f{x+2a),向右平移。个单位得

/(%)=-f(x+3a)=^>f(x+3a+3a)=-f(x+3a)=/(%):.T=6|a|

口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很easy.

(结论7祸对于非零常数加和任意实数x,等式/(x+M=；+；；；；成立,则“X)是周期函数，且4根是

它的一个周期.

1J+/(x)

证明：/(x+m)=l+/(「)=y(x+2r)=l+f(x+m)_l-/(x)1

l-f(x+m)1l+/(x)/(x)

/(%+2加)=一孑^如同结论4,/(x+2m+2m)=―彳一=/(%)/.T=4m

(结论8法对于非零常数加和任意实数x,等式+=成立,则“X)是周期函数，且2根是

它的一个周期.

11-/W

1-------------

、〒口口/./、l-/(x)4c、1-f(x+m)1+于(x)c(、

证明：/(x+m)=J；n以x+2m)=——(=-<=f(%)

1+/Wl+f(x+m)]J-1/(x)y

1+/W

T=2m

(结论9东对于非零常数加和任意实数x,等式/(x+M=1--—(/(%)丰0)成立，则“X)是周期函数,

/(九)

且3加是它的一个周期.

证明：/(x+M=l—上(/(x)wO)得

/(x+3m)=1----------------=1--------------------=----------------=----------------=f(x)

/(x+2m)]1/(x+m)-ll11

/(%+加)/(%)

:.T=3m

(结论lojfe若定义在R上的函数y=/(%)的图象关于两点A(a,y0),B(b,%)都对称，则/(%)是周期函数,

且2妆—《是它的一个周期.

②若奇函数y=〃x)的图象关于点4a,0)对称，则“X)是周期函数，且2时是它的一个周期.

证明：函数y=/(x)满足/(«+%)+/(。一%)=2%且f(b+x)+f(b-x)^2y0,

则/(x)=2%--x)=2y0-f(2b-%)=>/(2a-x)=f(2b-x)

利用口诀：同号差(周期)异号加(对称轴)n只研究x前的正负.秒出周期

(结论11：8若定义在R上的函数y=/(x)的图象关于点A(«,%)和直线x=6都对称，则/(九)是周期函数,

且4性—4是它的一个周期.

②若奇函数y=的图象关于直线x=a对称，则/(力是周期函数，且4时是它的一个周期.

证明:函数y=F(x)满足f(a+x)+/(a-x)=2x)且f(b+x)=f(b-%),

则/(x)=2%-/(2"-x)=f(2b-x)n/(x)=2y0-f(2b-2a+x)=2y0-/(2a-x)

f(2b+x)^2y0-f(2a+%)=>/(x)=2%-f(2b-2a+x)

f{x}-2yo-f(2b-2a+x)-2y0+/(4Z?-4-a+x)-2y0T=4|Z?—a|

3.对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称，则/(a+x)=f(a-x).

(2)若函数、=/(*)关于点(4,6)对称，!U!]f(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a-x)关于y轴对称，函数y=/(a+x)与y=-/(a-x)关于原点对称.

结论：

1.(1)如果一个奇函数/(元)在原点处有定义，即"0)有意义，那么一定有/(0)=0.

(2)如果函数/(%)是偶函数，那么/(x)=/(|x|).

2.函数周期性常用结论

对/(%)定义域内任一自变量的值x:

⑴若/(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

⑵若f(x+a)=--—，则T=2a(a>0).

于(x)

(3)若f(x+a)=，则T=2a(a>0).

f(x)

3.对称性的三个常用结论

(1)若函数y=/(x+a)是偶函数，则函数y=/(x)的图象关于直线尤=a对称.

(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=/(x)或/(-x)=/(2a+x),则y=/(x)的图象关于直线x=a对

称.

(3)若函数y=/(x+6)是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点(6,0)中心对称.

易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别

1.函数的奇偶性

由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x,-x也在

定义域内(即定义域关于原点对称).

2.函数的对称性

⑴若函数丁=f(x+a)为偶函数，则函数y=〃尤)关于x=a对称.

⑵若函数y=f(升a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(。，0)对称.

(3)若f(x)=f(2a-x),则函数/(尤)关于x=a对称.

(4)若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数/(无)关于点(a,6)对称•

例.设函数“X)的定义域为R,且“X+1)是奇函数，〃2尤+3)是偶函数，贝U()

A./(0)=0B.44)=0C./⑸=0D./(-2)=0

变式1.已知函数〃x)是定义域为R的偶函数，/(2x+l)-1是奇函数，则下列结论不正确的是()

A./(1)=1B,〃。)=。

C.是以4为周期的函数D.的图象关于x=6对称

变式2.已知函数⑴…占E),下列结论中：①当”>1时,/数的最小值为3；②函数

y=/(x+i)-i是奇函数；③函数y=/(x)的图象关于点(1,1)对称；④y+l=o是y=/(x)图象的一条切线,

正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

变式3.已知定义域为R的函数〃尤)满足=/(l-x)=/(l+x),当xe(O,l］时,

/(x)=21og2x-l,则“2023)的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

1.已知函数/(X)的定义域为R,”一可=一/(%)"(1-%)=/(1+力，当XE[1,2)时，/(x)=xlnx-l,则

/(2025)的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

2.定义在R上的奇函数满足/(x+1)是偶函数，当x«O,l］时，/(x)=2sm^x,则*2024)=()

A.-2B.-1C.0D.2

3.已知函数/⑺与g(x)的定义域均为R,/(x+l)+g(x-2)=3,/(x—l)-g(—x)=l,且g(-l)=2,g(x-l)

为偶函数，下列结论正确的是()

A./⑺的周期为4B.g⑶=1

20242024

C.Z/(幻=4048D.±g(k)=2024

k=lk=l

4.已知函数f(x)和其导函数g(x)的定义域都是R,若"x)-尤与g(2x+D均为偶函数，则()

A./(0)=0

B.幺2关于点(0,1)对称

x

C.§(2023)=1

D.(g(D-1)x(g(2)+1)+(g(2)-1)x(g(3)+1)++(5(2023)-1)x(g(2024)+1)=0

5.已知非常数函数〃尤)及其导函数f(x)的定义域均为R,若〃2-x)为奇函数，〃2x+4)为偶函数，则

()

A."2)=1B./(2024)=-/(2020)

C./(-1)=/⑺D.尸(-2021)=八2025)

6.已知函数f(x)的定义域为R,并且对VxeR,都有/(-%)=/(%+2)=-f(2-x),则下列说法正确的是()

A.>=/(无)的图象关于》=1对称

B.函数"X)为偶函数

2024

C.Ef(k)=0

k=l

D.若xe(0,l)时，/(x)=log2(x+l),则xe(3,4)时，/(x)=-log2(5-x)

7.己知函数的定义域为R,函数〃x)的图象关于点(1,0)对称，且满足/(x+3)=〃lr),则下列结

论正确的是()

A.函数/(x+1)是奇函数

B.函数八%)的图象关于y轴对称

C.函数/■(%)是最小正周期为2的周期函数

2024

D.若函数g（x）满足g（x）+/（x+3）=2,则£g㈤=4048

k=l

8.已知定义在R上的偶函数满足/（x+2）=/（x-2）,且当无e［0,2］时，是减函数，则下列四个命题

中正确的是（）

A.7=4

B.直线x=-2为函数y=〃x）图象的一条对称轴

C.函数〃*）在区间［-2,9］上存在3个零点

D.若/（x）=〃2在区间［T,0］上的根为外,%,则再+%=-2

易错点四：遗漏幕函数的特征及二次函数弦长公式（塞函数与二次函数）

事函数的哥指数的大小，大都可通过累函数的图象与直线x=a（a，l）的交点纵坐标的大小反映.一般地，在

区间（0,1）上，暴函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大、图低”），在区间（1,+8）上，嘉函数

中指数越大，图象越远离x轴（不包括暴函数y=x°）,在区间（0,1）上，基函数中指数越大，函数图象越靠

近x轴（简记为“指大图低）在区间（1,+8）上，塞函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

2、对于函数/（幻=奴2+法+。，若是二次函数，就隐含当题目未说明是二次函数时，就要分。=0

和a/0两种情况讨论.在二次函数y=or2+bx+c（aw0）中，a的正负决定抛物线开口的方向（a的大小决

定开口大小）c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标（或对称轴的位置）.

3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数

在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端

点），

4、二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比

较大小，最后确定最值.

结论：

1.塞函数v=eR）在第一象限内图象的画法如下：

①当。<0时，其图象可类似>画出；

②当0<。<1时，其图象可类似v一1画出；

y-A

③当。>1时，其图象可类似>=/画出.

2.实系数一元二次方程+6x+c=0（。w0）的实根符号与系数之间的关系

A=Z?2-4ac>0

（1）方程有两个不等正根X1,%O

>0

玉％二—>0

A=/?2-4ac>0

（2）方程有两个不等负根O<%+x产-2<0

（3）方程有一正根和一负根，设两根为石,々

3.一元二次方程以2+6x+c=0（。w0）的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x=-土b与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

设石,々为实系数方程ax1+bx+c=Q（a>0）的两根，则一元二次ax1+bx+c0）的根的分布

与其限定条件如下所示.

①相<%<x2,

限定条件

----->m

/O)>0

②玉<m<x2

<x2<m

在区间(办〃)内没有实根

限定条件△<()

A=0

限定条件x{=x2<m

或石=x2>m

y

A>0

b

限定条件---<m

2a

A>0

b

限定条件--->n

2a

/(«)>0

/(m)<0

限定条件＜

/(n)<0

在区间(m,n)内有且只有一个实根

于(m)>0

限定条件＜

/(n)<0

于(m)<0

限定条件＜

/(n)>0

在区间（m,n）内有两个不等实根

A>0

b

m<------<n

限定条件《2a

/(m)>0

f(n)>0

4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间

和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴%三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对

称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴

穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值

正负.

易错提醒：幕函数的特征：同时满足一下三个条件才是基函数

①x"的系数为1;②V的底数是自变量；③指数为常数.

掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种）

(1)一般式：/(%)=ax2+bx+c(a0)；

(2)顶点式：/(%)=a(x-m)-+n(a0)；其中，(w)为抛物线顶点坐标，x=机为对称轴方程.

(3)两点式：/(%)=«(%-%1)(%-%2)(«^0),其中，%,4是抛物线与x轴交点的横坐标.

与x轴相交的弦长

当△=匕2-4ac>0时，二次函数/(x)=ax1+bx+c(«w0)的图像与x轴有两个交点71^(%,0)和

=

(%2,0),||=|xl—%21+x,)~—4%%2=~~~■

\a\

三

例1若函数〃句=优建3|(°>0且awl)在区间。,欣)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.

C.(1,2]D.[2,+8)

变式1.若函数/⑴=%2二.-4)x+2在(f,3]上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.a>-7B.a>lC.a>3D.a<-n

变式2.已知函数/(x)=<r若y=/(x)在(f,”)上单调递增，则实数。的取值范围是

6ZX,(X>1)

()

A.[2,4]B.（2,4）C.（2,+oo）D.[2,+s）

变式3.已知〃x),g(x)是定义域为R的函数，且〃x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足

小)+ga)=&+",若对任意的心…<2,都有丑修>-3成立，则实数。的取值范围是()

3+00

3[0,+OO

4

1-r°）

—,+00

2

—x—4xx〉f）/、

1.已知函数〃X）=2_'一，若/（2-6）＞〃耳，则实数a的取值范围是（）

IX1X＜U

A.I(2,+«>)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(Y,—2)

2.若累函数/(x)=(2疗-在(0,+⑹上单调递减，则〃z=()

A.2B.-C.—D.-2

22

3.已知函数〃x)=d+(a—2)Y+2x+6在[-2c-l,c+3]上为奇函数，则不等式/(2x+l)+〃a+b+c)>0的

解集满足()

A.(—2,4]B.(—3,5]C.^--,2D.(—2,2]

4.已知AM为奇函数，当0VxV2时，f(x)=2x-x2,当x>2时，/(x)=|x-3|-l,贝|()

A.-/(-V26)>/(203)>/(30-3)B./(203)>/(303)>-/(-V26)

C.