河南省大联考2024-2025学年高二年级上册阶段性测试（二）（12月）数学试题

河南省名校大联考2024-2025学年高二上学期阶段性测试(二)

(12月)数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知数列6，45,3,后，…,则该数列的一个通项公式为。“=()

A.21t-1B.N2rl+1C.q2"+，D.J2"+1

2.已知三个向量4=(1,1,0),1(-1,0,2)、=(r,2,5)共面,则％=()

991i

A.——B.-C.—D.-

2222

3.在某种药物的临床试验中，每天对患者的某项生理指标进行一次测量.第一天该项指标

的值为12,第五天该项指标的值为32,且每天的值依次构成等差数列，则该等差数列的公

差为()

A.4B.5C.6D.7

——►1——►

4.已知在四面体CM3C中，M是棱。4的中点，点N满足丽=2配，点G满足=

记刀二落幅=B,双=1,则赤=()

A1-112-「1-112-

A.—a+—b+—cB.——a+—b+—c

399699

一八1-113一

C.—ciH—bT—cD.-ci~\—b-\—c

888888

22

5.已知耳匕分别为双曲线C:?*l(a>0,b>0)的左、右焦点，A为C上的一点，且

4耳，耳汗,|4不b4,|耳国二46,则C的渐近线方程为()

A.y=±\/3xB.y=±-^-x

C.y=±\/2xD.y=+^-x

6.已知点A在圆f+/=4上运动，点8(6,8),M是45的中点，记点"的轨迹为曲线瓦若

直线/过定点(4,0),且与曲线E有且仅有一个公共点，则直线/的方程为()

A.3x+y—12=0B.15x+8y-60=0

试卷第1页，共4页

C.3x+y-12=0或x=4D.15x+8y-60=0或x=4

7.过抛物线歹2=28（0>0）的焦点下作倾斜角为三的直线《交抛物线于45两点，过的

中点C作另一条直线4交工轴于点。，若。”|=。创，且万/皮=3,贝”=（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

8.已知直线/：G"+l）x+G〃-l）y-2机=0过定点p,圆”的方程为（x+2）2+_/=25,若A是

直线/与圆M的一个交点，则翔.方的最大值为（）

A.16-4V10B.16+4而C.25+5而D.25-5厢

二、多选题

9.已知圆。:/+了2一2》+2了+4=0,则下列结论正确的是（）

A.2的取值范围为（-叫1]

B.圆C关于直线x+y=0对称

C.若直线》+产1=0被圆C截得的弦长为夜，贝良=1

D.若4=1,过点/（0』）作圆C的一条切线，切点为B,则|/同=2

10.设正项等比数列｛%｝的前〃项和为耳，前〃项积为已知%>1,则下列结论正确的

是（）

a

A.右^2025=5020）则2023=1

B.右（。2024—1）（。2025—1）<。，则^2024+1<$2025

C.若（。2024-1）（。2025-1）<°，则&24是北的最大值

D.对任意〃eN*,可<T；

22

11.已知椭圆C:、+「=lk>6>0）的左、右焦点分别为片,g,过层的直线/与C交于产,。

ab

两点，若因。|：月尸I：阳。|=3：5:7,则（）

A.PFJPF]B.△叫鸟的面积等于辿/

试卷第2页，共4页

c./的斜率为土百D.C的离心率为4

2

三、填空题

12.在等比数列｛4｝中，已知。3=4,%=64,则氏=.

13.如图，将两个相同的四棱锥A-CDEF与B-CDEF对称摆放组成一个多面体，已知AD1

JT

平面CDEb,四边形CDE尸是边长为2的正方形，若平面/EV与平面N8尸的夹角为］,则

该多面体的体积为.

14.把正奇数按下表排列，则2025在表中是第行第列.

第

第

第

第

1234

列

列

列

列

四、解答题

15.记等差数列｛%｝的前”项和为豆，已知%=-1,S=-21.

(1)求｛4｝的通项公式;

⑵求满足S“<a„的最小正整数”.

22

16.已知双曲线C:1-%=1(°>0,6>0)的焦距为2几，且C经过点(2,2).

⑴求C的方程；

(2)已知斜率为k且不经过坐标原点的直线/与C交于A,B两点，若N2的中点在直线y=4x

上，求上的值.

试卷第3页，共4页

17.如图，在三棱锥P-A8C中，P/_L底面NBC,^.ACLBC,PA^AC^BC=3,D^j^PC

的中点.

⑴证明：4D_L平面P8C；

⑵若点G在棱尸3上，且DGLP5,求平面/OG与平面尸/C夹角的余弦值.

221

18.已知椭圆C:0+J=l(a>b>O)的离心率为;，上、下顶点片,与和左、右焦点片，工形

ab2

成的四边形的面积为28.

(1)求C的方程;

\PF\\PFI

⑵设?是C上任意一点，线段耳耳上一点河(尤。,0)满足谒=同，求X。的取值范围;

⑶经过耳的直线/与C交于48两点，△/片与与△明鸟的内切圆半径分别为小力,当

4=22时，求/的方程.

,、，、11171

19.已知数列｛%｝和｛£｝辆足。“%+1=。“+2,ax=—,---^=b„--.

74〃一13

⑴证明：低｝是等比数列；

⑵设V藐而E'求数列｛叫的前"项和加

(3)证明：(―1)%+(―1)出+(―1)。3+)。〃<1.

试卷第4页，共4页

《河南省名校大联考2024-2025学年高二上学期阶段性测试（二）（12月）数学试题》参考

答案

题号12345678910

答案DCBACDBCBCDACD

题号11

答案BC

1.D

【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可.

【详解】数列百，45,3,后，…,

即数列”+1，也2+1，也3+1，A/24+1，…的一个通项公式是。“=，2"+1.

故选：D.

2.C

【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果.

x=m-n

【详解】因为标,工共面，所以设三标+病，所以2=机，解得x=

5=2〃

故选：C.

3.B

【分析】根据题意，写出q=12,%=32,结合公式计算公差即可.

【详解】设该等差数列为{%},其公差为d,已知卬=12,%=32,所以d=&B=5.

故选：B.

4.A

【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.

【详解】如图,

答案第1页，共13页

因为M是棱。4的中点，点N满足丽=2觉，

----►1—►1一一►1—►2—►1一2一

贝=—CU=—。，ON=-OB+-OC=-b+-c,

223333

又点G满足破=g丽，2MG=GN，^^2(OG-OM)=ON-OG,

—►2——►1―►21“1-2、11-2

所以0G=—(W+—ON=——5+--b+-c\=-a+-b+-c.

33323(33J399

故选：A

5.C

【分析】根据已知条件结合勾股定理和双曲线定义求解出。力的值，由此可知渐近线方程.

【详解】因为《我一片",|4耳|=4,旧刃=46,所以|4闾=，以耳］+闺闾2=8,

所以2a=|/引一|/周=4,所以。=2,

又因为闺周=2c=4抬'，所以c=2g,所以b=V?金7=2也，

所以渐近线方程为了=±也X,

故选：C.

【分析】利用相关点法求出曲线E的方程.根据直线/的斜率是否存在进行分类讨论，结合

圆心到直线的距离等于半径即可得解.

【详解】设M(x,y),A(x0,y0),

是线段NB中点，

x+6

0x

x=2x-6

...2,整理可得0

%+8%=2了一8'

y

.2

:/在圆V+F=4上，A(2x-6)2+(2〉-8)2=4,

答案第2页，共13页

整理可得曲线E的方程为：（尤-3f+3-4）2=1.曲线£是以圆心£（3,4）,半径厂=1的圆，

所以若直线/与曲线E只有一个公共点，即直线/与曲线£相切.

当直线/斜率不存在时，方程为x=4,是圆的切线，满足题意；

当直线/斜率存在时，设其方程为了=左@-4）,即"-y-4左=0,

/\7|3左一4一4左|15

...圆心£（3,4）到直线I的距离d=[7T—=1,解得上=一?，

7k+18

所以直线/的方程为>=一岸（x-4）,即15x+8y-60=0.

8

综上，直线/的方程为x=4或15x+8广60=0.

故选：D.

7.B

【分析】由题意得直线4的方程为y=，代入抛物线方程，求出45的坐标，进而

得c,由。旬=。同得可得直线4的方程，可求得。的坐标，由正.觉=3列方程

求出P.

【详解】抛物线y2=2Px（p>0）的焦点尸

直线4的斜率为勺=tan]=百，则直线4的方程为夕=百&-9，

代入抛物线方程得3/_5"+】/=0,

4

即（X-与]（3x-g=0,解得占=学％=看，

J1=V3（X[-y）=y/3p,y2=瓜X?-1）=--'

.・•衅，居）,8（〉章），

因为42的中点C,所以°（学+£回一中），即C（F，幸），

又|。/|=|。同，口，.♦.勺A=T,.•.与=-个，

所以直线的方程为了一半=一日袅一年），

令y=0,得尤=），所以。（学,0）,

66

答案第3页，共13页

DADC=(一yjx(-p)+y[3pX-Y~=92=3,解得P=〈.

故选：B.

8.C

【分析】求出直线所过定点可判断直线与圆相交，利用圆上点的参数坐标表示4,由数量积

的坐标运算化简后由正弦型三角函数得最值即可.

【详角犁】由直线/:(m+l)x+(m_l)y_2加=0可得冽(x+y_2)+(x_y)=0,

\x+y-2=0Ix=1—

令，解得]，所以直线过定点尸(I/)，

[%_尸0n[y=l

因为圆M的方程为(x+2)2+j?=25,而(1+2)2+俨=32+『=10<25,

所以点尸在圆〃内部，即直线/与圆〃相交，点A是圆M上的任意一点，

因为〃(—2,0),设4(一2+5cos0,5sin0)(<9G[0,2%)),

所以44P=(—5cose,—5sin。)(3—5cos。」—5sin@=25—5sin6-15cos6

=25-sin(9+(p),其中tan夕=3,

则当sin(6+9)=-1时，万？.衣取得最大值，且最大值为25+5J瓜

故选：C

9.BCD

【分析】根据圆的方程可判断A,由圆心在直线上可判断B,根据弦长及圆心距判断C,利

用切线的性质求切线长判断D.

【详解】圆C:—2x+2》+4=0可化为(x—1)+(y+l)=2—4,所以2—X>0,解得

4<2,故A错误；

因为圆。的圆心为在直线x+y=0上，所以圆。关于直线x+y=0对称，故B正确；

答案第4页，共13页

因为圆心C(l,-1)到直线X+y+1=0的距离为"==等，又弦长为41，

(B7

所以户=屋+—=1,可得圆c的半径为1,即2-2=1,得2=1,故C正确；

I2J

当;1=1时，圆C的半径为r=的2-%=1，|CA|=^(1-0)2+(-1-1)2=V5,所以切线长为

YCA2-产=4^=2,故D正确.

故选：BCD

10.ACD

【分析】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，利用通项公式及前n项公式

进行化简判别即可.

【详解】设｛4｝的公比为因为｛%｝为正项等比数列，所以4>0,Tn>0.

对于A,若72025~^2020,贝Uj$=02021a2022a2023a2024a2025=02023=1,所以02023=1，故A正确；

■*2020

对于B,因为(〃2024—1)(“2025—1)<。，且%>1,q>。,所以。2024>1，“2025<1，

又。2025=$2025—$2024<1,所以，2024+1>^2025,故B错误；

对于C,由B可知，｛%｝的前2024项均大于1,从第2025项开始都小于1,

所以做24是数列｛1｝中的最大项，故C正确；

对于D,0;==%"«"("—),(出…./…qi，

所以北2=77(1),因为为>1,所以.；”=(%")?>《，所以故D正确.

故选：ACD.

11.BC

【分析】根据线段之间的比例设出边长，依据椭圆的定义得到闺P|的长，结合椭圆的性质

可得到点尸的位置，根据余弦定理可得到选项A,根据三角形的面积公式得到选项B,根据

角度之间的关系以及倾斜角可得到选项C,根据离心率可得到选项D.

【详解】根据国。|：内印出。|=3：5:7,设内Q|=3叫鸟尸|=5m,\FlQ\=lm,

根据椭圆的定义可得优。|+闺。|=3%+7机=10加=2°,所以.=5机,

则山尸|+国产］=|耳尸|+5加=2。=10加,所以闺尸|=5加,即|摩。|=8加,

答案第5页，共13页

因为因尸卜闺尸I,所以点P在下顶点或上顶点，如图所示:

所以N单岑=60°,不能得到两，尸耳，故A错误；

对于B,由A可得4尸工=60。，所以sin/7"耳=]-，

2

SAQF'F2=SAQPF、-SAPF岛=gpmlp。|sinZF^F2-抄2MnZFT%J”，

因为。=5加，所以更1/=力亘/,故B正确；

420

对于C,若点尸在下顶点，则该直线的倾斜角为60。，此时斜率为tan60。=石，

若点P在上顶点，则该直线的倾斜角为120。，此时斜率为tan120。=-g,

所以/的斜率为土百，故C正确；

对于D,在中，/。月尸=60°,/月。尸=30°,|尸闾=5〃?=。，

159

所以用=5l"|=5〃?=c,离心率为故D错误；

a5m2

故选：BC.

【点睛】方法点睛：（1）椭圆上一点到两焦点的距离和为2°；

（2）椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形；

（3）在椭圆中满足/=/+,2.

12.16

【分析】根据等比中项即可求得结果.

【详解】在等比数列｛与｝中，《==4x64=256,可得％=±16.

又因为等比数列奇数项符号相同，且%=4>0,所以%=16.

答案第6页，共13页

故答案为：16

【分析】由题中条件可得。平面/BC,以。为坐标原点，以。,所在直线分别

为xj,z轴，建立空间直角坐标系，设4D=DB=a,求出平面/跖与平面尸的法向量,

根据题中条件和向量夹角公式求出。，然后利用棱锥的体积公式求解.

【详解】：4D_L平面产，CD,DEu平面。°£产，AD1CD,ADLDE,

又CDLDE,ADp\CD=D,CDu平面/BC,DE_L平面NBC,

以。为坐标原点，以所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

设AD=DB=a,则0(0,0,0),A(O,—a,2),5(0,a,0),E(0,0,2),-F(—2,0,2),

AF=(-2,a,2),~EF=(-2,0,0),AB=(0,2a,0),

设平面AEF的法向量为帚=(%,%,4),

in-AF=-2Xj+ay+2z,=0

由，x令必=2,则句=一%再=0,m=(0,2,-a),

m-EF=-2x1=0

设平面ABF的法向量为〃=(工2J2/2)，

n-AB=2ay.=0一

由L―►，令％2=1，则Z2=1，P2=。，(1,0,1),

n-AF=-2X2+ay2+2z2-0

7T

若平面NE尸与平面尸的夹角为I,

7iI/一一\m-n\a1

则cos-=cos{m,n)=下高=厂——产=解得a=2,

3\m\\n\Va+4xV22

所以该多面体的体积为忆=2叱_侬/=2X；S3FX/D=2X}<2X2X2=

故答案为：y.

14.1232

答案第7页，共13页

【分析】根据图表先找出特点，找出第"个分组的最后一项为2/_1,再逐次去查即可得到

结果.

【详解】将所有的正奇数分组如下：⑴，（3,5,7）,（9,11,13,15,17）,

其中第〃组有（2〃-1）个数，且每个分组的最后一项为2[1+3+5+…+（2"-1）]-1=2/-1.

由2r-1»2025,可得“232,故2025属于第32组，第32组第一个数为1923,最后一个

数为2047,

且在数表中1923〜1985在第32行，1985〜2047在第32列，从2047往下数到2025是第12

个，故2025在第12行第32列.

故答案为：12；32

15.（1）<2„=-2«+5

⑵6

【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前“项和公式求解数列的首项与公差，即可得通项

公式；

（2）求等差数列的前〃项，列不等式求解即可得答案.

【详解】（1）设｛4｝的公差为d.

因为%=—1,$=—21,

a=+2d=—1,

所以3

Sy=7%+2Id=-21,

%=3,

解得

d=-2,

所以1"=3_2（〃-1）=-2n+5.

（2）由（I）可知——-d=?n-\———-x^2^=—n2+4?.

由<%,得一〃之+4〃<一2〃+5,即〃之—6〃+5=（〃一1）（〃一5）>。,

解得〃v1或〃〉5,

又〃为正整数，所以满足条件的最小正整数〃=6.

22

16.⑴-1.

24

答案第8页，共13页

71

⑵y

【分析】（1）根据焦距可得C的值，再由已知条件将点代入曲线可列出关于6的方程，最后

联立a,b,c关系求解即可得到双曲线的方程；

（2）设出直线/的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式即可求解.

【详解】（1）由题意得2c=2&,即c=痣，所以/+〃=6,

因为双曲线C经过点（/2,2\）,所以代入可得三4一《4=1,

ab

解得/=2,从=4,

22

所以C的方程为土-匕=1.

24

（2）设直线/的方程为歹=衣+加（加。0）,A（XQJ,B（X2，%）,45的中点为M（X°J。）.

y=kx+m

2

联立x2y,消去V整理得：（2—左2卜2—2左加%—（冽2+4）=0,

---=1

124

2,A八2km

所以A=(-2hwy+4(2-左2火W2+4)=8(m?-2k+4J>0,西+%=-―,

EIx.+xkm,2m,,,,,km2m

则%=2一9=旌石<%=丘0+机=57m，所以“

2-k2,2-k2-

因为M在直线lx上，所以A』，…所以J，

【点睛】本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证

能力，属于中档题.

17.（1）证明见解析

【分析】（1）由平面/3C得尸又ACLBC,可得3CL平面PNC,从而

BCYAD,又4DLPC,进而可得结论；

（2）建立空间直角坐标系，令丽=彳丽，由万4.方=0解得力，求出平面40G与平面P/C

的法向量，利用向量夹角公式求解.

【详解】（1）VPAl^ABC,且BCu平面PA1BC,

,：PA^AC=A,尸4/Cu平面P/C,且NC_L5C,

3C_L平面尸/C,又4Du平面P/C,BCLAD,

VPA=AC,且。为PC的中点，ADYPC,

答案第9页，共13页

又PCcBC=C,且BC,尸Cu平面P8C,

因此4D_L平面PBC.

(2)以点/为原点，以过点/且平行于8C的直线为x轴，/C,/尸所在的直线分别为＞轴

和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

PA=AC=BC=3,

33

0(0,5,5)，C(°，3,0)，8(3,3,0),/(0,0,0),P(0,0,3),

—33—

.1.^=(0,TO=(3,3,-3),

由于G在棱P8上，令方=彳而=(3/1,3彳，一3%),04241,

—►—►—►33

那么。G=PG—尸。二(34,32--,-3A+-),

・.•DG.LPB,

/.DG-PS=3x3A+3x(32-1)-3(-32+1)=27A-9=0,解得彳=；,

—•11—■33

ADG=(1,--,-),又/。=(0,,5),

设平面ADG的法向量为m=(x,y,z),

一一►33

m-AD=—yH——z=0

_2J]，令歹=1,贝[Jz=—l,x=l,m=(1,1,-1),

m-DG=xy-\——z=0

I22

•・,BC1平面PAC,：.BC=(-3,0,0)是平面PAC的法向量，

设平面ADG与平面PAC的夹角为。,

\m-BC3也

则cos0=cos(m,BC

\m\^BC百x3—3'

・・・平面ADG与平面PAC夹角的余弦值为A火.

3

答案第10页，共13页

(3)V5x±2j-V5=0

【分析】(1)根据条件列出关于a,6,c的方程组，由此求解出力,〃的值，则C的方程可知;

|尸网\PF\

(2)设尸(",")*先表示出|尸耳尸居然后将舄=身转2化为关于升,加的方程，根据

叫

\MF2\

m的范围求解出修的范围；

(3)根据焦点三角形的面积计算公式将内切圆半径关系转化为48纵坐标的关系，然后利

用联立思想求解出直线/方程中的参数，则结果可知.

a2

2/)2rr-Cl=222

【详解】(1)由条件可知，一^=2百，解得《广，所以C的方程为土+匕=1.

2b=yJ343

a2=b2+c2

22

(2)设尸(叽〃)，则?+?=1且加e[-2,2],因为4(-1,0),6(1,0),

—m2+2加+4=—\m+4\=2+—m,

42112

因为除=倒，所以陷II峥|=|*四|,

所以卜+；“|(1-4)=(2-17]《+/),化简可得与=：,

因为加w[-2,2],所以--.

(3)当直线/的斜率为0时，显然不符合要求；

当直线/的斜率不为0时，设/：x=W+l,yi(x1,y1),F(x2,y2),

联立[7篝=]2,可得"+4)……=0,所以…「二，"「人

因为邑第乃=；优闻闻=；(|/周+|/用+|公用)小所以2c闻=(2a+2办，所以

答案第11页，共13页

同理可知：2=固，

23

因为q=2々，所以皿=2固且%%<0,

所以必=~2y2,

33

_