控制工程基础教案第四章

1、控制工程基础教案第四章控制工程基础教案第四章控制工程基础教案第四章控制工程基础 教 案 年至 年 第 学期 第 周 星期 课题名称（含教材章节）： 第四章 根轨迹法 教学目的和要求：1、熟悉根轨迹基本概念； 2、掌握绘制根轨迹的基本法则； 3、了解广义根轨迹； 4、了解用根轨迹分析系统性能。 教学重点：根轨迹基本概念，根轨迹方程，常规根轨迹的绘制及系统性能分析 教学难点：根轨迹的绘制法则 教 学 内 容 （ 要 点 ）1. 根轨迹的基本概念；2. 绘制根轨迹的基本法则；3. 利用根轨迹分析系统性能；4. 广义根轨迹。X X X X 学 院 教 案 纸第四章 根轨迹法反馈控制系统的动态性能，主要

2、由系统的极点分布所决定，但求解高阶系统特征方程很困难，这就限制了时域分析法在二阶以上的控制系统中的应用。1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数求闭环特征根的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得较广泛应用的根轨迹法。4.1根轨迹的基本概念一、根轨迹定义：根轨迹系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。例：图4-1 例图开环传递函数：闭环传递函数：闭环特征方程：闭环特征根：该例有2个开环极点0,-2；没有开环零点。闭环特征根是K的函数，K由0-，形成根轨迹。K取不同值：K=0，s1=0，s2=-2

3、；K =0.5，s1=-1，s2=-1；K =1，s1=-1+j，s2=-1-j；K= ，s1=-1+j，s2=-1-j；根轨迹直观表达了K变化时闭环特征根所发生的变化。图4-2 例题的根轨迹总结：1. 2阶系统，2个闭环极点，2条根轨迹；2. 以开环极点为出发点；3. 根轨迹上的点与K值一一对应，是连续的；4. 通过选择开环增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上；5. 如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可计算该点的K值实现设计要求。二、根轨迹方程及相角、幅值条件典型反馈系统的闭环传递函数：特征方程（根轨迹方程）：或相角条件：幅值条件：开环传递函数可写成下述形式：其中： 因此相角条件、幅

4、值条件又可表示为：4.2绘制根轨迹的基本法则1根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n, 则有条根轨迹终止于无穷远处。根轨迹起点 ：根轨迹终点 ：当时，时，。2根轨迹的分支数根轨迹s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同。这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由零变到无穷大时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。3. 根轨迹的对称性因为开环极点，零点或闭环极点都是实数或者为成对的共轭复数，它们在s平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。4. 实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点

5、数目之和应为奇数。由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和总是等于360，不会影响实轴上根轨迹的位置，故上述结论由相角条件很容易得出。5. 根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则当时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条，这(n-m）条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。设系统开环传递函数为（nm）有(n-m)条渐近线。当s很大时，上式可近似为由上两式中项系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为 即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴正方向的夹角为式中k依次取0，1， 2，,一直到获得（n-m）个倾角为止。例 已知系统开环传递函数为，试绘制其渐近线。解：3个极点；没有零点；

6、3条渐近线，与实轴坐标为：根轨迹如下图所示：图4-3 例题的根轨迹6. 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角是指根轨迹起点处的切线与水平线正方向的夹角，为： 其中： 图4-4根轨迹的起始角与终止角根轨迹的终止角是指根轨迹终点处的切线与水平线正方向的夹角，为：其中：7. 分离点的坐标几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。两种计算方法：方法(1)：因分离点（或会合点）是特征方程的重根，因此可用求重根的方法确定它们的位置。设系统开环传递函数为系统闭环特征方程为分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程由上两式可得即根据该式，即可确定分离点（或会合点）

7、的参数。例 某系统开环传递函数为 得 解之，得 相应的增益为 。方法(2)：设系统开环传递函数为由系统闭环特征方程，得求极值，即可确定分离点（或会合点）的参数。仍以上例为例： 即解之，得相应的增益为 。图4-5 例题根轨迹图方法(3)：分离点（或会合点）的坐标可由方程解出，其中为开环极点，为开环零点。例 已知系统开环传递函数为 试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。解：得 解此方程得 d1=-2.12，d2=0.12d1在根轨迹上，是所求的分离点。d2不在根轨迹上，则舍弃。根轨迹如下图所示：图4-6 例题根轨迹图8. 实轴上分离点的分离角恒为90根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。由相角条件

8、可推出，当根轨迹从实轴二重极点上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极点相角之和为士(2n+1)180，即实轴上分离点的分离角恒为士90。同理，实轴上会合点的会合角也恒为士90。9.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根，系统处于临界稳定状态。方法1：将s =jw 代入特征方程中得 或令，则可解出值及对应的临界开环增益及K来。例 已知系统开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。解: 系统闭环特征方程为令s = jw，代入上式得即联立得方法2根轨迹与虚轴交点坐标也可通过劳斯判据求出。仍以上例为例，其劳斯表为解得即为所求。10. 系统闭环极点之和

9、为常数（略，不做介绍）11. 系统闭环极点之积（略，不做介绍）4.3 广义根轨迹一、参量根轨迹引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点。等效开环极点为： 注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将W1(s)的零、极点画在 s 平面上，绘

10、制出k变化时的根轨迹。二、附加开环零点的作用1附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。 设开环传递函数为为附加开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点。令 为不同的数值： （a）无开环零点；（b） ；（c） （d）2附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。三、零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为 在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为 ，具有这类相角条件的相轨

11、迹称为：零度根轨迹 系统的闭环传递函数为：相应的特征方程为：1-G(s)H(s)=0即 幅值条件：G(s)H(s)=1相角条件：argG(s)H(s)=2k ,=0,1,2零度根轨迹的绘制规则：规则3：根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为偶数。规则4：根轨迹的渐近线1、渐近线的倾角：渐近线与实轴的交点：或 规则6：根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角。入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角。出射角的计算： ，其中：入射角的计算：除上述条规则外，其余均与负反馈系统的根轨迹的绘制完全相同。四、滞后系统的根轨迹系统的闭

12、环传递函数为：相应的特征方程为：令s=+j带入特征方程，得到根轨迹的相角条件和幅值条件。幅值条件：|G(s)H(s)|e-s=1/k相角条件：argG(s)H(s)=(2k+1) + ,k=0,1,2当0时，和原方式相同；当0时，幅值条件和相角条件均发生变化；当较小时， 。具体的绘制规则为：规则1：根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴规则2：根轨迹的分支数 无数多条分支规则3：根轨迹的起点、终点 起点：开环极点和；终点：开环零点和=。规则4：实轴上的根轨迹规则5：渐近线 k=0时部分根轨迹的渐近线始于处，对应的w值由下列两式决定： n-m=奇数， n-m=偶数， k=时，部分根轨迹终止于=处，对应的w值为规则6：根轨迹的分离点 A(s)e-s B(s)-A(s) e-s B(s)=0规则7：根轨迹与虚轴的交点 4.4 系统性能的分析 一、系统稳定性分析主要有两类：1、非最小相位系统 2、具有局部正反馈系统例 其根轨迹为： 0 0K14 稳定64K195 14K195二 瞬态性能分析和开环系统参数确定1有（闭环系统极点张角）超前量因=cos1 2由闭环极点实部调节时间 3由性能指标要求闭环（主