规律探索问题（4种类型16种题型专项训练）-2025年中考数学二轮复习（解析版）

重难点01规律探索问题

（4种类型16种题型+专项训练）

1）周期规律

1.（2023・山东・中考真题）已知一*列均不为1的数-'一…，满足如下关系:。2=］一Q1,。3=：1+°—C2l,2

。4=若最，…，％1+1=三与若的=2,则@2023的值是（）

11

A.--B.-C.-3D.2

23

【答案】A

【分析】根据题意可把的=2代入求解=-3,则可得=-%=%=2......；由此可得规律求解.

【详解】解：Z1=2,

1+21-3]1--11+—

••。2=口=-3o,a于a=^j=-,恁=口=2,

31+34

23

由此可得规律为按2、-3、一（:四个数字一循环,

•••2023+4=505…3,

.__1

,，，a2023=a3="

故选A.

【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律.

2.(2023・四川内江・中考真题)对于正数x,规定/(%)=£，例如：/(2)=g1=j/G)=M=|，/(3)=

Xi1Z+1J\A/—+13

2

第/呜=算，计算：/岛)+「(京)+啕+…+窿)+啕+"1)+f(2)+/(3)+…+

3

7(99)+/(100)+/(101)=()

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

【分析】通过计算/(1)=1,/(2)+/(|)=2/(3)+花)=2,…可以推出/岛)+/(击)+/•⑥+…+

/©+，©+〃1)+,⑵+”3)+.••+f(99)+f(100)+/(101)结果.

【详解】解：看=1,

2x|

44=1,/2)+呜=2,

/(2)=?TI=R

1

1+

2

1

2x

2x3331

/⑶=壬=/=R(3)+/

1+

/(100)=^^=—,/(—)=,/(100)+/(—)=2,

101100

1+1001011001+击

f岛)+f岛)+/得)+…+fG)+f(|)+fW+/⑵+"3)+-+“99)+f(100)+f(101)

=2x100+1

=201

故选：c.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键.

3.（2022・内蒙古・中考真题）观察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根据其中的规律可得7。+7】+•••+72。22的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】C

【分析】观察等式,发现尾数分别为：1,7,9,3,1,7,9,3…每4个数一组进行循环，所以2023+4=505...3,

进而可得7。+7】+…+72。22的结果的个位数字.

【详解】解：观察下列等式：

7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

发现尾数分别为：

1,7,9,3,1,7,

所以和的个位数字依次以1,8,7,0循环出现，

（2022+1）+4=505……3,

每4个数一组进行循环，

所以2023+4=505……3,

而1+7+9+3=20,

505x20+1+7+9=10117,

所以7°+7】+.••+72。22的结果的个位数字是7.

故选：C.

【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律.

2）等式规律

4.（2021•浙江嘉兴・中考真题）观察下列等式：1=/—3=22-12,5=32-22,…按此规律，则第

n个等式为如—1=.

【答案】n2-（n-l）2.

【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连

续的奇数相同，由此规律得出答案即可.

【详解】解：：1=12一。2,

3=22一野,

5=32—22,

.,.第ri个等式为：2n—1=层一(n—1)2

故答案是：n2-(n-l)2.

【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问

题的关键.

5.(2024.宁夏.中考真题)观察下列等式：

第1个：1x2—2=22x0

第2个：4x3-3=32xl

第3个：9x4—4=42x2

第4个：16x5-5=5?x3

按照以上规律，第九个等式为.

【答案】n2(n+1)—(n+1)=(n+l)2(n-1)

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等

于序号加1的平方乘以序号减1,据此可得答案.

【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号

减1,

所以第n个等式为:n2(n+1)-(n+1)=(n+l)2(n-1),

故答案为：n2(n+1)—(n+1)=(n+l)2(n—1).

6.(2021・湖南怀化・中考真题)观察等式：2+22=23—2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-

101102

2,……，已知按一定规律排列的一组数：21°°,2,2,……,2】99,若21。。=M，用含7n的代数式表

示这组数的和是.

【答案】m2-m

【分析】根据规律将210°,2101,2102,……,2】99用含力的代数式表示，再计算2。+2】+…+299的和，即

可计算21°°+2101+2101+…+2】99的和.

【详解】由题意规律可得：2+22+23+…+299=2ioo_2.

V2100=m

；・2+22+23+…+299+2=2ioo=m=2om,

V2+22+22+■■•+2"+2100=2101—2,

2101=2+224-234--F2"+2100+2=m+m=2m=21m.

2102=2+22+23+•­•+2"+2100+2101+2=m+m+2m=4m=22m.

2103=2+22+23H------F2"+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.

A2199=2"m.

故2ioo_|_2101+2101+—F2199=2°m+21m+—F2997n.

令2。+21+22+…+2"=S①

21+22+23+-+2100=2s②

②-①，得21°°-1=S

.・.2100+2101+2101+…+2199=2Om+2i?n+—F2"m=(2100—l)m=m2-m

故答案为：m2-m.

【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.

3）新定义类规律

7.（2023・四川成都・中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数加，九的平方差，且n>1,

则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52-32,16就是一个智慧优数，可以利用爪2一"=（m+①（小一

用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是.；第23个智慧优数是

【答案】1557

【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解.

【详解】解：依题意，当爪=3,n=l,则第1个一个智慧优数为32-了=8

当m=4,n=2,则第2个智慧优数为42-22=14

当?n=4,n=1,则第3个智慧优数为42-12=15,

当m=5,九=3,则第4个智慧优数为52-32=16,

当"I=6,n=4,则第5个智慧优数为62-42=20

当m=5,n=2,则第6个智慧优数为52-22=21

当m=5,九=1,则第7个智慧优数为52-野=24

7n=6时有4个智慧优数，同理TH=7时有5个，TH=8时有6个,

列表如下,

123456789

1

2

38

41512

5242116

635322720

74845403324

8636055483928

980777265564532

109996918475645136

111201171121059685725740

观察表格可知当m=12时，n=10时，智慧数为44,

m=13,n=11时，智慧数为48,

m=14,n=12时，智慧数为52,

m=15,n=13时，智慧数为56,

第1至第10个智慧优数分别为：8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,

第H至第20个智慧优数分别为：33,35,36,39,40,44,45,48,51,52,

第21个智慧优数55,第22个智慧优数为56,第23个智慧优数为57

故答案为：15,57.

【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键.

8.（2024・山东济南•模拟预测）若把第力个位置上的数记为打，则称无1，%2,右，…，为有限个有序放置的

数为一个数列4定义数列力的“伴生数列"B是：力,力，乃，…，%，其中％是这个数列中第九个位置上的

数，几=1,2,…，k且%=[°'并规定久0=/1，+1=.如果数列4只有四个数，且Y1，

11,（久n-1丰xn+l）

%2,久3,%4依次为3,1,2,1,则其“伴生数列"B是()

A.0,1,0,1.B.1,0,1,0.C.1,0,0,1.D.0,1,1,0.

【答案】A

【分析】本题主要考查了新定义题型，数字的变化规律，根据“伴生数列''的定义取几=4,依次求出X。，亚，.・・，

x5-再求出对应的用即可，解题的关键在于理解新定义的概念.

【详解】解：由题意得：Xo=X4=1,X5=%!=3,

.%Q=%2=1'

-,-71=0,

'."x1=3,x3=2,

“2=1>

"."%2-1,X4=1,

••=0,

•Xg=2,Xg-%-£-3,

•.丫4=1，

伴生数列，，B是0,1,0,1,

故选：A.

9.(2024・河北保定•一模)观察下列式子,定义一种新运算:5#3=2x5-3；3#(-1)=2x3+1；—4#(—3)=

2X(-4)+3.

⑴这种新运算是：x#y=(用含x,y的代数式表示)；

⑵若zn#(-3)>3#m,求m的最小整数值；

(3)若a,人均为整数，试判断(a#b-b#a)#3a是否能被3整除，并说明理由.

【答案】(l)2x—y

(2)2

(3)能，理由见解析

【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式，找到定义中数的关系式，代入得到一元一

次不等式求解是解题的关键.判断能不能被3整除，把式子化简成几个整数因式乘积的形式，里面有是3

的倍数的数，即可证明能被3整除.

(1)根据定义新运算的形式代入即可；

(2)根据定义新运算的形式，代入即可列式出关于m的一元一次不等式，解不等式可得答案；

(3)根据定义新运算的形式，列出式子化简后，即可判断.

【详解】(1)解：根据题意，得久#y=2%—y,

故答案为：2%-y；

(2)解：根据题意，得2m—(-3)>2X3—

解得TH>1,

工最小整数加为2；

(3)解：(a#b—b#a)#3a

=[2a—b—(2b—a)]#3a

=(3a-3b)#3a

=2(3a—3b)—3a

=6a—6b—3a

=3a—6b

=3("2b),

:a,。为整数，

・・・3(a—2b)能被3整除，

(a#b-b#a)#3。能被3整除.

4)计数类规律

10.(2020•四川・中考真题)将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2),(4,6),(8,10,12),(14,

16,18,20)我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字,若2020是第m组第〃个数字,

贝!]m+n=.

【答案】65

【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求

出2020是多少组第多少个数，从而可以得到相、〃的值，然后即可得到根+〃的值.

【详解】解：：将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,

20)

.•.第机组有m个连续的偶数，

,--2020=2x1010,

.*.2020是第1010个偶数,

1+2+3+...+44=M*44+D=990,1+2+3+...+45=1035,

22J"**。

.*.2020是第45组第1010-990=20个数，

.*.m=45,〃=20,

m+H=65.

故答案为：65.

【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键.

11.（2023.湖北随州.中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每

按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为"不亮现有100个人，第I个人把所有

编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号

是3的整数倍的开关按一次,第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和

第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有________盏.

【答案】10

【分析】

灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因

数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解.

【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；

因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1,4,9,16,25,36,49,64,81,

100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；

故答案为：10.

【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键.

A题型02数阵与数表规律

1）三角阵

12.（2023•黑龙江大庆•中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图

所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.

1（a+b）i=a+b

1121]（a+by=a2+2ab+b2

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

146413+6）4=。4+4。3计6。2〃+4»+〃

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+6）7展开的多项式中各项系数之和为—.

【答案】128

【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果.

【详解】根据题意得：（a+6）5展开后系数为：1,5,10,10,5,1,

系数和：1+5+10+10+5+1=32=25,

（a+b）6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1,

系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

（a+b）7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1,

系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案为：128.

【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律.

13.（2023・四川・中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三

角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数

为

第

行

一

第

行

二

第

行

三

第

行

四

第

行

五

第

行

六

【答案】21

【分析】根据前六行的规律写出第7,8行的规律进而即可求解.

【详解】解：根据规律可得第七行的规律为L6,15,20,15,6,1

第八行的规律为1,7,21,35,35,21,7,1

根据规律第八行从左到右第三个数为21,

故答案为：21.

【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键.

14.(2025•山东临沂•一模)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+匕严(〃为非负整数)

展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角

(a+b)0=1

(a+bp=a+b

(a+6)2=a2+2ab+b2

(a+人尸=a3+3a2b+3ab2+抗

(a+b)4=a4+4a3b+602b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2/73+5ab4+b5

1

11

121

1331

14641

15101051

则(a+b)2024展开式中所有项的系数和是.(结果用指数幕表示)

【答案】22024

【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到

规律是解题的关键.根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出(a+与”(〃为非负整数)展开式

的项系数和为23求出系数之和即可.

【详解】解：当几=0时，展开式中所有项的系数和为1=2。，

当n=1时，展开式中所有项的系数和为1+1=2=2］，

当几=2时，展开式中所有项的系数和为1+2+1=4=22,

当n=3时，展开式中所有项的系数和为1+3+3+1=8=23

由此可知(a+b)n展开式的各项系数之和为2%

则(a+6＞。?，展开式中所有项的系数和是22。24,

故答案为：22024.

15.(2022•重庆巴南•模拟预测)“杨辉三角”给出了(a+b)n展开式的系数规律(其中”为正整数，展开式的

项按a的次数降幕排列),它的构造规则是:两腰上都是数字1,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.例

如：(a+bp=a2+2ab+炉展开式的项的系数1,2,1与“杨辉三角”第三排对应：(a+b)3=a3+3a2b+

3ab2+所展开式的项的系数1,3,3,1.与“杨辉三角”第四排对应；依此类推……判断下列说法正确的是

()

1

11(。+少

\Z

121(a+b)2

1

iv¥Y\z

14641,■g+6)'

①“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1；

②当a=2,b=-1时，代数式+3a2b+3ab2+/的值为—1；

③(a+b)2022展开式中所有系数之和为22022；

④当代数式a4-8a3+24a2-32a+16的值为1时，a=1或3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解.

【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1,故说法①正确;

当。=2,匕=-1时，a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b')3=(2-l)3=1,故②说法错误；

令a=l,b=L则(a+b)2°22=(1+1)2022=22022,故说法③正确；

当代数式a”-8a3+24a2-32a+16的值为1时，

即a4-8a3+24a2-32a+16=1,

a4+4x(—2)1a3+6x(—2)2a2+4x(—2)3a+(—2)4=(a—2)4=1,

(a—2)2=1或(a—2)2=—1(不合题意，舍去),

a—2=+1,

解得a=3或1,

故说法④正确，

1

11.................(a+»

.................(a+b)2

.................(a+b)3

(a+b>

................(a+b)5

综上可得，说法正确的有①③④，

故选：C

【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解

题的关键.

16.(2023•河南平顶山•二模)阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角.

杨辉三角如果将(a+b)n(ri为非负整数)的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面

的等式：

(a+b)o=l,它只有一项，系数为1；

(a+b)1=a+b,它有两项，系数分别为1,1；

(a+fa)2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1；

(a+fo)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1；

将上述每个式子的各项系数排成该表.

观察该表，可以发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都

写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写.

该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪

著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表

叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(B.Pascal,1623——1662)是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，

比贾宪迟600年.

(1)应用规律：

①直接写出(a+b)4的展开式，(a+6)4=；

②(a+b)6的展开式中共有项，所有项的系数和为—；

(2)代数推理：

已知“2为整数，求证：(HI+3尸一(7H-3产能被18整除.

【答案】⑴①a，++6a2b2++6,；②7,64

(2)见解析

【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键.

(1)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；

(2)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案.

【详解】(1)解：根据规律得：

①(a+b)4=a4+4a3。+6a2b2+4ab3+fa4；

②丫(a+b)6—a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+iSa2b4+6ab5+b6,

(a+b)6的展开式中共有7项，所有项的系数和为1+6+15+20+15+6+1=64；

故答案为：a4+4。3匕+6a2b2+4。庐+匕4,7,64；

(2)证明：:(a+b)3=+3帅2+庐，

(m+3)3-(m-3)3

=(m3+9m2+27m+27)—(m3—9m2+27m—27)

=m3+9m2+27m+27—m3+9m2-27m+27

=18m2+54

=18(m2+3),

(rn+3>—(m-3产能被18整除.

2)螺旋阵

17.(2023・山东聊城•中考真题)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位

于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如果

单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第〃个数

对：_____

•••37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【答案】(兀2+n+1,"+2几+2)

【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n个数对的第一

个数为：n(n+l)+l,第九个数对的第二个位：(践+1)2+1,即可求解.

【详解】解：每个数对的第一个数分别为3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,…

则第n个数对的第一个数为：n(n+l)+l=n2+n+l,

每个数对的第二个数分别为5,10,17,26,37,...

即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1...,

则第n个数对的第二个位：(?1+1尸+1="+2n+2,

第九个数对为：(层+7+1,足+2几+2),

故答案为：(/+几+l,/+2n+2).

【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题.

18.(2024•山东泰安・二模)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位于同一

列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5),(7,10),(13,17),(21,26),(31,37),如果单

把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律、请写出第50个数对：.

«••二37八

212。191817A36

22(7—6—讣1635

238141534

249v231433

25v1011121332

262728293031

v—>

【答案】(2551,2602)

【分析】此题考查数字的变化规律，根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研

究，可发现第几个数对的第一个数为：n(n+l)+l,第九个数对的第二个位：(九+1)2+1,当九=50时代

入即可求解，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解题的关键.

【详解】解：每个数对的第一个数分别为3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,…

则第n个数对的第一个数为：n(n+l)+l=n2+n+l,

每个数对的第二个数分别为5,10,17,26,37,...

即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1...,

则第n个数对的第二个数为：(几+1尸+1=/+2n+2,

第n个数对为：(,+?1+1,/+2n+2),

当n=50时，即第50个数对为(2551,2602),

故答案为：(2551,2602).

3)乘方阵

19.(2023・湖北恩施•中考真题)观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：

-2,4,—8,16,—32,64,...①

0,7,-4,21,-26,71,...②

根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为;取每行数的第2023个数，则这两个数的和

为.

【答案】1024一22。24+2024

【分析】通过观察第一行数的规律为(-2尸，第二行数的规律为(-2尸+n+l,代入数据即可.

【详解】第一行数的规律为(一2严，.•.第①行数的第10个数为(—2)1。=1024；

第二行数的规律为(―2严+n+l,

，第①行数的第2023个数为(-2)2023,第②行数的第2023个数为(-2)2。23+2024,

一22024+2024,

故答案为：1024；-22024+2024.

【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.

20.(2020.青海・中考真题)观察下列各式的规律：①1x3-22=3-4=-1；②2x4-32=8-9=-1；

③3x5-42=15-16=-1.请按以上规律写出第4个算式.用含有字母的式子表示第n个算式

为.

【答案】4x6—52=24—25=—1nx(n+2)-(n+I)2=-1

【分析】(D按照前三个算式的规律书写即可；

(2)观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1,根据此规律写出即

可；

【详解】(1)1x3—22=3—4=-1,

②2x4-32=8—9=-1,

③3x5-42=15-16=-1,

④4X6-52=24—25=-1；

故答案为4X6-52=24-25=-1.

(2)第n个式子为：nx(n+2)—(n+I)2=-1.

故答案为nx(n+2)-(n+l)2=-1.

【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键.

21.(2023•云南昆明•一模)观察下列按一定规律排列的单项式：支,一3%2,5产产7久4,9%5,一11鸡...,按这个

规律，第15个单项式是()

A.15x15B.-15x15C.29x15D.-29x15

【答案】C

【分析】本题考查数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键.

由所给的单项式可得第w个单项式为(—1严+1(2"-l)xn,当n=15时即可求解.

【详解】解：X,—3x2,5x3,—7x4,9x5,—llx6,

・•・第〃个单项式为(-1严+1(2兀-l)xn,

.•.第15个单项式为：29x15,

故选：c.

4）幻方表

22.（2022.湖北武汉.中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九

宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如

(1)(2)

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可.

【详解】解：设如图表所示:

根据题意可得：x+6+20=22+z+y,

整理得：x-y=-4+z,

x+22+〃=20+z+〃，20+y4-m=x4-z+m,

整理得：x=-2+zfy=2z-22,

/.x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z,

解得：z=12,

**.x+y

=3z-24

=12

故选：D.

【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解

题关键.

23.（2021•陕西・中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及

各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为.

-1-61

0a-4

-52-3

【答案】-2

【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个

数之和得到。的值.

【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为-1-6+1=-6,

—6+a+2=-6,

a=—2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的

关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功.

24.（2024.四川德阳.二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格.将

9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，表1是一个已完成的幻

方.表2是一个未完成的幻方，其中力-B的值为.

表1

276

951

438

表2

%+5

□n□□

【答案】-6

【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及数学常识，列出关于x,A,B（y可以消掉）的三元一次方

程组，并解出可用含x的代数式表示出4B的值是解题的关键.

设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x,A,

B（y可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含x的代数式表示出4B的值，再将其代入4-8中，即可求

出结论.

【详解】设左下角的空格中的数字为y,

rx—7—2+y=-4+A+y

根据题意得:tx-7+x+5-4=-2+i4+B

解得:(A=x—5

=%+1

A一B=x-5一（%+1）=—6.

故答案为：-6.

25.（2023・福建•一模）关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说，相传在远古时期，伏曦氏取得天下,

把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这

就是“河图”，也是最早的幻方.如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有—6、—4、—2、0、3、5、7、9分

别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则x-2y=

【答案】-12

【分析】设大圈上的空白圆内的数字为z,根据题意，列出等式，求出无，y的值，进行求出x-2y的值即可.

【详解】解：设大圆上的空白圆内的数字为Z,

贝U：由题意，得：-4+5+7+z=z+0+y+5,—4+5+7+z=—4+%+9+7,

・•・y=3,z=%+4

・・•共有一6、一4、-2、0、3、5、7、9个数字，还剩下一6,-2两个数字的位置没有确定，

・•・％+z=—6—2=—8

即：％+x+4=-8,

•••x=—6,

x—2y=-6—2X3=-12

故答案为：-12

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值.根据题意，正确的列出方程，是解题的关键.

5）月历表

26.（2024•河北邢台・模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分

别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖

的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数字之和为S2.若S1+$2=176,则S2-S1的最大值为（）

A.39B.44C.65D.71

【答案】B

【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“U型”中间数为x,“十字型”中间数为y,贝心尤-

14+5y=176,求出x+y=38,表示出S2-=5（y—x）+14,由图形可得：y的最大值为22,此时x=

38—y=16,代入计算即可得出答案.

【详解】解：设“U型”中间数为》,“十字型”中间数为y,

由题意得：S1=x+x—1+x—8+x+l+x—6=5%—14,52=y+y—l+y+l+y—7+y+7=5y,

'：S1+S2=176,

.".5x-14+5y=176,

.,.x+y=38,

S2—S]=5y-(5x-14)—5(y—x)+14,

由图形可得：y的最大值为22,此时x=38-y=38-22=16,

：.S2-Si=5(y-x)+14=5x(22-16)+14=44,

$2-Si的最大值为44,

故选：B.

27.(2022•河北保定.一模)图①、图②是某月的月历

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

图①图②

(1)图①中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由.

(2)如果将带阴影的方框移至图②的位置，(1)中的关系还成立吗？若成立，说明理由.

(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90,乙同学说，所求的9个数之和也可以是290,甲、乙的说法对

吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由.

【答案】(1)九倍关系，理由见解析

(2)成立，理由见解析

(3)甲对，中间数为10,乙不对，理由见解析

【分析】(1)直接进行实数运算，算出阴影中9个数的和在与方框中心的数比较，即可得解；

(2)方法同(1)；

(3)根据(1)和(2)中的结果可知，9个数字之和需要是9的倍数才能满足要求，即用此方法去验证即

可得解

【详解】(1)九倍关系，

理由：

3+4+5+10+11+12+17+18+19=99,

99+11=9,

即：九倍关系;

(2)成立,

理由如下：

V8+9+10+15+16+17+22+23+24=144,

1444-16=9,

...九倍关系成立；

(3)甲说法正确，

理由如下：

.".904-9=10,

.••甲正确，

二中间数为10；

乙说法错误，

理由：

2

：290+9=32-,

9

；.290不是9的整数倍，

乙说法错误.

【点睛】本题主要考查了寻找实数之间的规律的知识，通过对阴影部分的观察并进行实数运算最后总结规

律是解答本题的基础.

28.(2022•陕西宝鸡•模拟预测)根据2021年11月份的月历表，思考并回答如下问题

一二三四五六日

1234567

万圣节廿八廿九三十寒衣节初二立冬

891011121314

记者节初五初六初七初八初九初十

15161718192021

十一十二学生日十四下元节十六十七

22232425262728

小雪十九二十感恩节廿二廿三廿四

293012345

廿五廿六廿七廿八廿九宪法日初二

(1)2022年1月1日是星期几；

(2)5月1日是星期六，在2021年的月历中，1日恰好也是星期六的月份有哪个；

(3)有一种计算机病毒叫做黑色星期五，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作.已知2021

年8月13日是黑色星期五，请找出来接下来的三个“黑色星期五”.

【答案】(1)星期六；

(2)5月；

(3)2022年5月13日是黑色星期五，2023年1月13日是黑色星期五，2023年10月13日是黑色星期五.

【分析】考查了应用类问题，本题关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件求解.

(1)先求出2021年11月1日到2022年1月1日经过的天数，再用这些天数除以7,求出有几周还余几天,

再根据余数判断即可；

(2)依次推导出在2021年的月历中，1日是星期几，再判断即可；

(3)找到2021年8月13日后面日期是13日又是星期五的三个“黑色星期五”的天数求解即可.

【详解】(1)30+31+1=62(天),

•••62+7=8(星期)…6(天)，

2022年1月1日是星期六；

(2)根据(1)的算理或日历表可知：

2021年1月1日是星期五，

2021年2月1日是星期一，

2021年3月1日是星期一，

2021年4月1日是星期四，

2021年5月1日是星期六，

2021年6月1日是星期二，

2021年7月1日是星期四，

2021年8月1日是星期日，

2021年9月1日是星期三，

2021年10月1日是星期五，

2021年11月1日是星期一，

2021年12月1日是星期三

在2021年的月历中，1日恰好也是星期六的月份只有5月，

(3)根据(1)的算理或日历表可知：

2022年5月13日是黑色星期五，2023年1月13日是黑色星期五，2023年10月13日是黑色星期五.

A题型03图形规律

1)等差

29.(2024.重庆・中考真题)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案

中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中,

【答案】C

【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律.利用规律求解.通过观察图形找到相应

的规律，进行求解即可.

【详解】解：第①个图案中有1+3X(1-1)+1=2个菱形,

第②个图案中有1+3x(2-1)+1=5个菱形，

第③个图案中有1+3X(3-