河南省周口市某中学2025届高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

2024-2025学年（上）高三数学开学考试卷

数学试题

试卷考试时间：120分钟满分：150

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

I.一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来.某考生知道正确的概率为3,而乱猜正确的概

2

率为在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.

【详解】［设4="考生答对"，8=“考生知道正确”，

由全概率公式：

P（A）=尸（8）尸（Z忸）+尸（后）产（2肉=；*1+|^；=；.

又由贝叶斯公式：P（B\A）=1=f=J-

故选：B

2.（/+3x+2）5的展开式中好的系数为（）

A.625B.800C.750D.600

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出（1+3》+2丫=（1+X）5（2+X）5,写出展开式通项，令X的指数为2,求出参数的

值，代入通项即可得解.

第1页/共16页

【详解】(x2+3x+2Y=[(l+x)(2+x)T=(l+x)5(2+x)5,

(x+1)5的展开式通项为4+1=Q•X，,(2+X)5的展开式通项为纥+1=C"^-kxk,

所以，(必+3x+2丫的展开式通项为=C；Cf♦25-的xr+k,

其中0<rK5,Q<k<5,且厂、斤eN,

r=0/=]y-2

令/+左=2,可得4c或「1或'C，

左=2[左=1[左二。

因此，+3x+2丫的展开式中/的系数为C；C；•23+CC124+CfCf-25=800.

故选：B.

【点睛】结论点睛：(a+b+c)"(〃eN*)的展开式通项为

&=C^an~rb'-kck(0<k<r<n,r,k^N).

3.随机变量X服从正态分布NQ,。?)，P(X<0)=0.16,则尸(2VXW4)等于()

A.0.84B.0.16C.0.36D.0.34

【答案】D

【解析】

【分析】根据正态分布性质求解给定区间概率

【详解】：随机变量X服从正态分布NR,。?)，P(X<0)=0.16,

、,“、l-2P(X<0)1-2x0.16”，

P(2<X<4)=-----------------=--------------=0.34

22,

故选：D.

4.某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人

参加，问共有多少种选派方法？下列算式中错误的是()

A.C&B.或。_偲

【答案】A

【解析】

【分析】利用间接法和分类加法原理求出满足题意的组合情况，依次判断选项即可.

【详解】B：先从60人选5人，有C；o种情况,

第2页/共16页

选出班干部2人，从余下的58人选5人，有C。种情况,

所以正、副班长至少1人参加的有C；8种情况，故B正确；

C：先在2个班干部选1人，从余下的59人选4人，有C；C；9种情况，

再排除正、副班长2人参加的情况，有C；C：8种情况，

所以正、副班长至少1人参加的有C；C；9-C；C：8种情况，故C正确，A错误；

D：当一个班长参加时，有C；C；8种情况，

当2个班长参加时，有C；C：8种情况，

所以正、副班长至少1人参加的有C；C|+C；C；8种情况,故D正确；

故选：A.

5.2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆

顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排，要求神

舟十四号3名航天员互不相邻且刘洋不站在两端，不同站法共有()

A.36种B.48种C.72种D.144种

【答案】C

【解析】

【分析】利用插空法和间接法可求出结果.

【详解】神舟十四号3名航天员互不相邻的排法种数有A；♦A；=144种，

其中刘洋站在两端的排法种数有A；-2A；=72种，

故符合题意的排法种数有144-72=72.

故选：C

6.(2x—l)(x—巾的展开式中一的系数为()

A.25B.15C.-25D.-15

【答案】A

【解析】

【分析】首先将原式变形为2x(x-1)',再写出(x-球展开式的通项，即可得解；

【详解】解：因为(2x-l)(x-l)5=2X(X-1)5-(X-1)5,又(x—球展开式的通项为=C；x5-r(-1/',

第3页/共16页

所以含丁的项有2x.C-（—1）2—C*425/,故以的系数为25,

故选：A

7.[2x-十]的展开式中各项二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为（）

A.-120B.120

C.-60D.60

【答案】D

【解析】

【分析】先求出〃=6,利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】由题意可得2"=64,解得"=6.

（J_V,

故展开式的通项为=晨（2x）6-1丫=C；-26-r-（-l）r-x

I）

令6—r—1=0,所以厂=4,所以C〉26T=6。，所以展开式中的常数项为60.

故选：D.

8.在某项测试中，测量结果与服从正态分布N（l,b2）（b〉0）,若P（0<J<l）=0.4,则P（0<J<2）=

（）

A.0.4B.0.8C.0.6D.0.21

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，求出正态分布曲线的对称轴为x=1，根据对称性可求出P（l<^<2）的值，进而可求

P（0<^<2）

【详解】解:.••测量结果与服从正态分布N（l,b2）（b>o）.•.正态分布曲线的对称轴为》=1

VP（0<^<1）=0.4.-.P（l<^<2）=P（0<^<l）=0.4

.•.P（0<^<2）=P（0<^<l）+P（l<^<2）=0.4+0.4=0.8

故选:B.

【点睛】本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时，结合正态分布曲线图像进行求解，其关键是

找到曲线的对称轴.

第4页/共16页

二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合要求，全部选对得6分,

部分选对得部分分，有选错得0分)

9.下列说法中正确的是()

32-I2

A.已知随机事件4,3满足尸(8)=—,则尸(王3)=：

553

B.已知随机变量4〜N(3,4),若4=2〃+1,则。07)=1

C.若样本数据3%+1,3X2+1,3西0+1的平均数为10,贝傲据不程马如今拓孙和⑹/的平

均数为3

D.随机变量X服从二项分布8(4,0,若方差。(X)=a，则P(X=1)=6

【答案】BC

【解析】

【分析】由条件概率的公式可得A错误；由正态分布的方差公式和方差的性质可得B正确；由平均数的计

算公式可得C正确；由二项分布的性质可判断D错误.

,、P(AB)2一।21

【详解】A：由条件概率的公式可得尸(#8)=士才=.，所以尸故A错误；

_ZIA-zIJJJ

B：因为随机变量*阳3,4),所以。(自)=4,

又自=2〃+1,所以〃=

所以DS)=g]xD(^)=l,故B正确；

C：因为样本数据3西+1,3X2+1,3%+1的平均数为10,

所以3西+1+3x2+1+…+3$0+1=3(西+々+-一+占0)+10=w,

io-io-'

化简可得阳+%2-----玉0=30,

所以西,》2，&，*4，/，乙，*7，/，工9，%0的平均数为苞+/募,,+苞0=[=3,故C正确；

313

D：由题意可得4p(l—p)=w，解得)=^或[，

则P(X=l)=C；x；xg)=||或p(x=l)=C；x=总,故D错误；

故选：BC.

第5页/共16页

10.用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）,

A.A：+2A：B.A⑻C.A"A：D.A：+A；

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据最高位不能为0,利用间接法、分步、分类法计算可得.

【详解】用0到6这7个数字组成没有重复数字的三位数，

若不考虑最高位是否为0,则有A；个，又最高位不能为0,故当最高位为0时有A；个，

故可以组成没有重复数字的三位数的A；-A：个，故C正确；

首先排最高位，有A：种，再排十位、个位，有A：种，故共有个没有重复数字的三位数，故B正确；

若选到的数字没有0,则有A：个，若选到的数字有0,先排0,有2种方法，

再从其余6个数字选2个排到其余位置，故有2A：个，

综上可得共有A：+2A：个没有重复数字的三位数，故C正确；

故选：ABC

11.下列判断正确的是（）

A.4!-3!>A；

B.由数字1,2,3,4可以组成24个无重复数字的四位数

C.由数字0,1,2,3,4可以组成120个无重复数字的五位数

D,若有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有70种不同的方法

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据排列数公式判断A,根据全排列判断B,首先排最高位，其余数字全排列即可判断C,利用组

合数判断D.

【详解】对于A：4!—3!=4x3x2xl—3x2xl=18〉A：=4x3=12,故A正确；

对于B：由数字1,2,3,4可以组成A：=24个无重复数字的四位数，故B正确；

对于C：由数字0,1,2,3,4可以组成A；A：=96个无重复数字的五位数，故C错误；

对于D：有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有C：=70种不同的方法，故D正确.

第6页/共16页

故选：ABD

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知随机变量4〜N（5,cy2）,若「（3VJW7）=O.4,则P（J>7）=.

3

【答案】0.3##—

10

【解析】

【分析】根据正态曲线的对称性即可求得答案.

【详解】由题意随机变量4〜N（5,cy2）,即正态曲线关于直线x=5对称，

P（3<^<7）=0.4,则尸（4〉7）=1一0（3；、.7）=1^£=03,

故答案为：0.3

13.第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人,

共有15人报了名.其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为.

【答案】—

21

【解析】

【分析】根据分组分配问题，结合古典概型的概率公式求解.

【详解】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为c*c：,

15人选10人分两组的分法种数为甘受，

A2

P=C'C：5

...两人都被选中且被分在不同组的概率“第21.

其

故答案为：—

21

14.对具有线性相关关系的变量x,>有一组观测数据（七,%）«=1,2,…,10）,其经验回归方程为

y=-2.2x+a,且万=5,y=9,则相应于点（13,—9）的残差为.

【答案】—0.4

【解析】

【分析】将样本中心代入可得6=20,即可根据残差定义求解.

第7页/共16页

【详解】将了=5,歹=9代入夕=—2.2x+6可得9=—2.2x5+6=6=20,

所以y=-2.2%+20,

故当x=13时，y=-2.2x13+20=-8.6,

所以残差为—9+8.6=—0.4,

故答案为：-0.4

四、解答题（共5小题，共计77分.）

15.某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.

年龄x（岁）123456

身高Mem）788798108115120

（1）画出散点图；

（2）判断y与x是否具有线性相关关系.

【答案】（1）图见解析；（2）具有.

【解析】

【分析】（1）利用表中数据描点可得出散点图.

（2）观察散点图可得y与x具有线性相关关系

【详解】⑴散点图如图所示.

,y

120•

110.

100.

90.

80.

7。！......，

0123456*

（2）由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为》与x具有线性相关关系.

16.为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所需数据调查整理后，画出了如图所示的频

率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3,其中第二组的频数为12.

第8页/共16页

（2）以该校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班报考飞行员的学生中（人数很多）任

选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）48；（2）分布列见解析；—.

8

【解析】

【分析】（1）根据前3组的频率之比设出前3组的频率，根据频率分布直方图中的数据计算后两组的频率,

根据频率和为1,计算出各组的频率，利用第2组的频数为12,计算总人数；

（2）X表示体重超过60kg的学生人数，利用直方图求出体重超过60kg的学生的频率，写出X的可取值,

符合二项分布，根据二项分布数学期望公式求出数学期望.

【详解】（1）设该校高三毕业班报考飞行员的人数为〃，前三组的频率分别为夕「p2,p3,

P2=2PlPi=0.125

则《2=3，i，解得<p2=0.25.

+?2+23+(0・037+0.013)x5=1p3-0.375

12

又42=——=025,所以〃=48,

n

即该校高三毕业班报考飞行员的总人数为48.

（2）由（1）,可得报考飞行员的学生的体重超过60kg的概率为P=2+（0.037+0.013）x5=*,

8

易知X~5^3,—

0/31/-33

则尸(x=o)=c；|,P(x=i)=c；管

881512

第9页/共16页

125

P（X=2）=C；n，

…春512

所以随机变量X的分布列为

X0123

27135225125

P

512512512512

£（X）=3x-=—.

v'88

【点睛】易错点睛：超几何分布的本质是“不放回抽样”，而二项分布的随机试验是“独立重复试验”，强调每

次试验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”.本题中，“若从全省高三毕业班报考飞行员的学生中

（人数很多）任选3人”，特别强调人数很多，意味着试验可以看作是“有放回抽样”，所以是一个二项分布.

17.某企业生产一种零部件，其质量指标介于（49.6,50.4）的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件

质量指标服从正态分布N（50,0.16）；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布

^（50,0.04）.

附：若及〜NJ,"）,取尸（因一“<<T）=0.6827,P{\X-ju\<2cr）=0.9545.

（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；

（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是p（O<p<l）,各个元件能否正常工作相互

独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠

性.

①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？

②假设该系统配置有23,〃eN）个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出

你的结论并证明.

【答案】（1）0.2718

（2）①可靠性为/（4-3。），增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当7?为奇数时，增加一个元件后系

统的可靠性会下降；当〃为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.

【解析】

【分析】（1）直接根据题目条件及给定的正态分布数据求解；

（2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同〃的取值下可靠性的大小关系即可，当然也可以采

第10页/共16页

取其它的思路求解.

【小问1详解】

技术改造前，易知〃1=50,%=0.4,则其优品率为

P(49.6<X<50.4)=P(4—巧<X<〃]+b])=P(\X—闻<2%)=0.6827；

技术改造后，“2=50，(T2=0.2,则其优品率为

P(49.6<X<50.4)="4-2%<X<外+2%)=P(|X-闯<2%)=0.9545.

所以优品率之差为0.9545-0.6827=0.2718.

【小问2详解】

①记x为原系统中正常工作元件个数，y为增加一个元件后正常工作元件个数.

由条件知，X〜5(4,0)，r~5(5,/?).

P(X>3)=C»3(1—p)+C：p4=/(4_30,P(Y>3)=C初3(1一02+切。一2)+c^5

因为尸(X23)—尸(丫23)=623(1—夕)2〉0,所以可靠性提高.

②方法一：

根据上一问的假设，易知X〜8(〃,p),y〜8(〃+1,。).

当〃为奇数时，设〃=2k-\(k>2,k^*\原系统的可靠性为尸(X>k),新系统的可靠性为P(y>k+l),

由题意可知，

P(Y>k+l)=P(X>k+l)+p-P(X=k).

所以，

P(Y>k+l)~P(X2k)=[P{X>k+\)+p-P(X=k)]-

[P(x>k+i)+P(x=初=5_I)尸(X=k)=c»(I-p)i(p-1)<O,这说明可靠性降低.

当〃为偶数时，设〃=2左卜22,左eN*),原系统的可靠性为P(X>k+l),新系统的可靠性为P(Y>k+l),

由题意可知，

p(y>^+i)=p(^>^+i)+p♦p(x=k).

k+l

所以，P(Y>k+l)-P(X>k+l)=p-P(<X=k)=C^kp(l-py>0,这说明可靠性提高.

综上，当〃为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当〃为偶数时，增加一个元件后系统的可靠

性会提高.

第11页/共16页

方法二：

当〃为奇数时，设〃=2k-\(k>2,k^*y原系统的可靠性为P(X>k),新系统的可靠性为p(y>k+l),

由题意可知，

2k-l2k-2

P(X2左)=WC»(l—2)2"I=£—2)2"I+721

i=ki=k

2k-l2k-2M

P(Y>k+l)=X匿*(1-p)2M=£(C；i+C%)p(1-p)2JT+p2k

i-ki-k

于是，P(Y>k+l)-P(X>k)

2k-22k-2

=E(Cj+C匕)*(1-P产T-EC-/Q-P)2E+p2Jp2I

i=ki=k

2k—2

=Z[pCl+CL)—C；I]加(1—p)2"i—(1—p)p2i

i=k

2k-2

=E[C；言p'M(1-P)2JT—(1—P)2I]—(1—p)p21

i=k

=y-y<o,

这说明可靠性降低.

当〃为偶数时，设〃=2左卜22,左eN*),原系统的可靠性为P(X>k+l),新系统的可靠性为P(Y>k+l),

由题意可知，

2k

p(x*+i)=£O(i-ppi

i=k+\

2k+\2k1

p(x"+1)=f(i—p产心=W(c-+c；Jy(i-2产-+

i=k+\i=k+\

于是，P(Y>k+l)-P(X>k)

2k2k

=E(c，4)d(i—夕严—一£c»i—/产+产】

i-k+\i-k+\

2k

=EFCM"P)2W+C筋”P)”+I_C\kP'(l-p)2J)]+p2m

i=k+lL

2k

=E[0(1—2严一+(")％/(l—p)2"1+/M

i-k+1

第12页/共16页

2k

=E[CM"?严~-q*(i-夕产[+厂+]

i^k+\

=C^/+1(l-^/>0.

这说明可靠性提高.

综上，当〃为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当〃为偶数时，增加一个元件后系统的可靠

性会提高.

方法三：

设八，…两两独立且均服从二项分布S),记.”巾+4八〉》则该系统配置有

23,”eN)个元件时，系统的可靠性为?

=

则Pim0(X\+X2+...+X2m>m+1]

<P(X]+X2+...+X2m2加+1)+尸(X]+X2+...+X2m=m,X2m+1=1)

=P[Xx+X2+...+X2m+l>m+l)=p2m+l,且

Pim-\=P{Xx+X2+...+X2m-\2m)

=l-P(X1+X2+...+X2ffl_1<m-l)

>1—P(X]+X2+...+X-,^〈加一1)—P(X]+X2+...+X2m_x—m,X2m-0)

=]—P(X]+X[+...+X[m4加)

=P(X]+工+...+X2m>m+1)=p2m.

这就得到P2m-\>P2m,Pim<Plm+l-

这表明，当〃为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当〃为偶数时，增加一个元件后系统的可

靠性会提高.

注意到X]+工+工+工服从二项分布5(4,0)，故

343

p4=P(Xi+X2+X3+X4>3)=Clp(l-p)+p=p(4-3p).

进行完以上准备工作后，我们回到原题.

①若控制系统原有4个元件，则系统的可靠性为夕4=23(4-3。).

第13页/共16页

而4是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高；

②根据上面的结论，当〃为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当〃为偶数时，增加一个元件

后系统的可靠性会提高.

【点睛】关键点点睛：第2小问②的结果本质上是因为：当〃是偶数时，若添加一个元件，那么要求的正

〃+2

常工作的元件的最小数量不变，还是——，但是元件多了一个，所以正常工作的元件数目必然有更大的机

2

会达到要求的值，所以可靠性一定更大了；

W+1

而当〃是奇数时，若添加一个元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大数量不变，还是〃------，但

2

是元件多了一个，所以未能正常工作的元件数目必然有更大的机会突破允许的最大值，所以可靠性一定更

小了.

第2小问的方法三的关键在于：构造一列独立同分布随机变量来比较不同的概率，相比构造单个二项分布

随机变量，构造一列独立同分布随机变量会更加便于比较不同的概率，因为此时每个随机变量的取值范围

都非常有限，而进行比较时只需要研究多出的一个随机变量即可.这就避免了花费力气对两个取值范围很

广的随机变量进行比较，那样太过困难.

18.第19届亚运会组委会消息、，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以

“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随

机选取了男生、女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查

发现甲组成员96人，其中男生36人.

甲组乙组合计

男生

女生

合计

(1)根据以上数据，补充上述2义2列联表，并依据小概率值&=0.001的独立性检验，分析学生喜欢排球

还是篮球是否与“性别”有关；

(2)现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，发放礼品的3人

在甲组中的人数为X,求X的分布列及数学期望.

。n(ad—be)?,.

参考公式：/~八----——-,n=a+b+c+d.

ya+b)yc+d)ya+c)\b+d)

第14页/共16页

参考数据:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.84110.828

【答案】（1）列联表答案见解析，认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.

621

（2）分布列答案见解析，数学期望:

575

【解析】

【分析】（1）补充分布列计算卡方进行独立性检验即可；

（2）利用超几何分布的概念得到分布列并计算数学期望即可.

【小问1详解】

列联表补充如下：

甲组乙组合计

男生3664100

女生6040100

合计96104200

零假设为笈°：学生选择排球还是篮球与性别无关.

n(ad-bc)2

根据列联表中的数据，经计算得到力2=

(a+b)(c+d)(a