高考数学二轮复习易错重难点提升：函数与导数（含解析）

函数与导数

届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.函数的奇偶性

(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于了轴对称.

(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.

(3)对于偶函数而言,有f(-x)=/(x)=/(|xI).

2.募函数的性质

累函数y=xy=x2y=x3y=x^y=x~i

定义域RRR[0,+oo)(-8,0)1>1。+8)

值域R[0,+oo)R[0,+co)(-OO,0)U(0,+GO)

在［0,+00)上在(0,+co)上

单调递增，单调递增，

单调性增增增

在(-8,0)上在(-°0,0)上

单调递减单调递减

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

公共点都经过点(1,1)

3.指数函数的图象和性质

0<。<1a>\

x

y=a'11/尸G*

图象(0,1)(0,1)

h

o\

%x

定义域R

)

性值域(0,+GO

质过定点(0,1),即x=0时，y=1

单调性减函数增函数

奇偶性非奇非偶

4.对数函数的图象和性质

5.函数零点存在定理：如果函数y=/(x)在区间［。，们上的图象是一条连续不断的曲线，且有

f(a)f(b)<0,那么，函数了=/(x)在区间(a")内至少有一个零点,即存在ce(a"),使得

/©=0,这个。也就是方程〃x)=0的解.

6.用导数求函数的单调区间的方法：

(1)当不等式八x)>0或L(x)<o可解时,确定函数的定义域,解不等式r(x)>0或/(x)<0

求出单调区间.

(2)当方程/(x)=0可解时，确定函数的定义域，解方程/(x)=0,求出实数根，把函数/(x)

的间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成

若干个小区间，确定f(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.

(3)不等式f(x)>0或/。)<0及方程/(x)=0均不可解时求导数并化简，根据/'(x)的结构

特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定了'(X)的符号，得单调区间.

7.已知函数单调性，求参数范围的方法：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在Q6)上单调，则区间色力)是相应单调区间的子

集.

(2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则/(x)20；若函数单调递

减，则/''(x)WO”.

(3)可导函数在区间伍力)上存在单调区间，实际上就是广(x)〉0(或广(x)<0)在该区间上

存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.

8.已知函数求极值：求求方程r(x)=0的根，列表检验尸(x)在r(x)=0的根的附近两

侧的符号，下结论.

9.求函数“X)在口,切上的最大值和最小值的步骤：

(1)若所给的闭区间口,切不含参数，

①求函数在伍力)内的极值；

②求函数在区间端点的函数值/(a),/(b)；

③将函数/(x)的极值与/(a),/(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)若所给的闭区间口,切含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数

的单调性，从而得到函数/(x)的最值.

易错试题提升

1.定义在R上的函数/(x)为奇函数，且/(x+1)为偶函数，当xe[0,l]时，/(x)=2x-l»则

/(3)+/(8)=()

C•普

7t\/2兀、

3•若°=161，b=log25144)c=log[9T,则(

ha<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.0<〃<6

log2x+2x,x>0

4.若函数/（x）二则正数0的取值范围是（

COXH----

71047710

35T35335T

5.已知点13,小在募函数/（x）=xa的图象上，设a=/（log25），6=/（ln2）,c=/1tan",则

a,b,c的大小关系为（）

A.。>6>。B.b>a>cC.a>c>bD-b>c>a

6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为《，则经过一定

t

时间/（单位：分钟）后的温度T满足7—（=］）⑵―4），其中7；是环境温度，〃为常数，

现有一杯80。（2的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55。。经测量室温为

25℃,茶水降至75。（2大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等

待（参考数据：lg2«0.30,1g3Mo.50,1g5Mo.70,lgll«1.04.）（）

A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟

7.若存在正实数x,使得不等式工山工22咏山2（。〉0）成立1是自然对数的底数），则实数。的

最大值为（）

A.—B.—C.，D.—

In2eeln22

8.设函数的导函数为广（x）,若在其定义域内存在不,使得〃%）=广国），则称

/（X）为“有源”函数.已知/（x）=lnx-2x-a是“有源”函数，则。的取值范围是（）

A.(-oo,-l]B.(-l,+co)C.(-00,-In2-1]D.(-ln2-l,+oo)

9.(多选)奇函数/(x)与偶函数g(x)的定义域均为R,且满足/(x)-g(x)=2%则下列判断

正确的是()

A./(x)+g(x)»0B-f(x)=2~2

C./(x)在R上单调递增D.g(x)的值域为(-oo,-l]

10.(多选)给定函数/(x)=(x+l)e1下列说法正确的是()

A.函数/(x)在区间(-*-2)上单调递减，在区间(-2,+oo)上单调递增

B.函数/(x)的图象与x轴有两个交点

C.当^<a<0时，方程/(x)=a有两个不同的根

e

D.若方程/(x)=a只有一个根，则420

,,一“〃f-C0S7DC,X>0,„,「4、(4、工―，

H.已知函数/(x)=';则/+/的值为.

12.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些

高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主

、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题,

实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方

面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%,则

该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是年.参考数据：

lgl.09»0.0374,lg2«0,3010,lg3«0.4771.

13.对任意》6(1,+00),函数/(x)=/lna-aln(x-1)之0伍〉1)恒成立，求。的取值范围

14.已知函数/(%)=-——lnx+x-a.

x

(1)若/(x)20,求。的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点苞，x2,贝1]中2<上

15.已知函数/(x)=(x-l)ex-lnx-a(x-l),其中实数aNO.

(1)当4=6-1时,求函数/(x)的单调性;

(2)若函数/(x)有唯一零点，求实数。的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为/(x)为奇函数，所以—/(》)=/(—x),

因为/(x+1)为偶函数,所以/(l+x)=/(l-X),即/(2+x)=/(—X),

从而/(2+%)=-/«，得f(x+4)=-/(x+2)=f(x),

所以/(x)以4为周期的周期函数，

/(8)=/(4x2+0)=/(0)=2°-l=0,

/(3)=/(2+1)=-/(1)=-(21-1)=-1-

所以〃3)+/⑻=-L

故选：A.

2.答案：B

解析：/(x)=11—3JJcosx,则/(x)的定义域为R,

(

又/(—x)=[l—卜。s(2x31岛

-X)=1-•cosx=T+­cosx=-/(%),

3X+1J

所以/(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD,

当X=7T时，/(7T)=fl-----—]COS7T=T+―-—<0,故排除A.

故选：B.

3.答案：C

2

解析：因为口=16卫=Q4>=2"=2万=0，b=log25144=logs212=log512,

c=随9T=log3,3-2=2

3

所以只需比较。与b的大小即可.

因为a=行<5=log553=log5A/T^<log5Vl44=log512=6，

所以a<6<c

故选：c

4.答案：B

解析：当%>0时，令/(x)=0,即log2X+2x=0,即log2X=-2x,

因为函数y=log2%与y=-2x的图象仅有一个公共点，如图所示,

所以x>0时，函数歹=/(x)只有一个零点,

log2x+2x,x>0

又由函数/(x)=„x+9-兀有4个零点,

所以工4-兀,。]时，方程/(x)=sin3x++有三个零点，如图所示,

yjk

因为X£[-71,0],可得公r+g£[-0)71+y,J-]，则满足-3兀<-0>7T+J<-27r，

解得即实数0的取值范围为耳,g).

故选：B.

5.答案：D

解析：♦.・点在募函数/(X)=Xa的图象上,

3"=La=-2，

9

・,./(%)=X~2，在(0,+00)上单调递减，

vlog25>log24=2,0=lnl<ln2<Ine=1，tanj=V3，

71

/.0<ln2<tan—<log25，

71

.■./(ln2)>/tally>f(log25))即b>c>〃

故选：D.

6.答案：C

解析：根据题意可知7；=25。（2,To=80℃,-北）'

因为茶水降至75。（2大约用时一分钟，即/=1，T=75℃»

々力,日1150110h=-------

所以75-25(80-25)，解得力=1。皂瓦=1。^^，则log】?’

ee-11

所以要使得该茶降至55。0即7=55。（2,则有55-25=［丫（80-25），

logi一i_2_

故6>〃二"1glg6—lgllJg2+lg3—Igll0.3+0.5—1.04

Sh

|H10Wi12IglO-lgll1-lgll1-1.04

11

所以大约需要等待6分钟.

故选：C.

7.答案：C

解析：当a>0时，-lnx>2m-ln2^>—>«-2^

aIn2

ax1O82%ax

=x-log2x>ax-2<=>2-Iog2x>ax-2.

设/(x)=x・2、,则/'(%)=2x+x2・ln2=2x(l+x・ln2)>0对x£(0,+oo)恒成立,

则/(x)在(0,+oo)上单调递增，则x•log2X^ax-2^/(log2x)

>f(ax)=logx>ax<^>->a.

2x

设g(x)=logzX,则g(x)=X.In2,----------=In”,当xe(0,e)时，g'(x)>0,当xe(e,+oo)

xxxIn2

时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+s)上单调递减，则当x=e时，g(x)取得

最大值g(e)=&=」一，故。《」一，因此实数。的最大值为」一•故选C.

eeln2eln2eln2

8.答案：A

解析：f(x)=Inx-2x-a>/.ff(x)=—-2，

x

由是"有源”函数定义知，存在/,使得In%-2%-。=工—2,BPa=hx0-2x0—>^-+2有解,

/%

记g(Xo)=lnXo-2xo-'+2,(Xo>0),所以a的取值范围是就是函数gQ。)的值域，

xo

则g，(X。)」—2+3=-2.学+1=-(2%+?(%-1),

当0</<1时，g(x0)>0»此时g(x。)单调递增，

当看〉1时，g'(x())<0,此时g(x。)单调递减，

所以g(x0)Wg(l)=lnl—2-1+2=_],所以a〈_l,

即a的取值范围是(-00,-1].

故选：A

9.答案：BCD

解析：因为/(X)为奇函数，g(x)为偶函数，所以/(-x)=-/(x),g(-x)=g(x)，

因为/(x)-g(x)=2"①,所以/(—x)_g(—x)=2f,即=2-工②，

所以由①②解得/(X)=2*[2T,8(司=_2-；2T故B正确;

/(x)+g(x)=-2-x<0,故A错误；

y=2、在R上单调递增，y=2-、在R上单调递减，则/(X)在R上单调递增，故C正确；

因为g(x)=_2、；2T《_22：=_1,当且仅当x=o时取等号,

所以g(x)的值域为(-oo,-l],所以D正确.

故选：BCD.

10.答案：AC

解析：八x)=(x+2)el当x<—2时，f'{x)<0,/(x)单调递减，当x>—2时，f\x)>0,/(x)

单调递增，故A正确./(x)min=/(-2)=-「<0,/(0)=1>0,x<-2时，/(X)<0,因此/(X)

只在(-2,0)上有一个点，即/(%)的图象与x轴只有一个交点，故B不正确.上面讨论知，当x＜-2

时，/(x)单调递减，/(x)e(-e-2,0),当xe(-2,0)时，/(x)单调递增，/(x)e(-e4)作出/⑴

的大致图象和直线y=a(如图)，知当-±＜。＜0时，方程/(x)=a有两个不同的根，故C正

e

确.

若方程/(x)=。只有一个根，则。20或。=故D不正确.

e

11.答案：3

解析：f{~\=-COS—=cos—=—,

U)332

/卜扪/卜刊+1="/1=/卜*1)+1+1=/(务2

2兀c兀c1c3

=-COS-----F2=COS-'F2="F2=—,

12.答案:2026

解析：设还需要〃年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元,

根据题意可得120(1+9%)"〉200，

故〃lgl.09〉lg*，所以〃〉炫5Tg3,解得〃>5.9,

3lgl.09

所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元,

故答案为：2026

一工\

13.答案：ee,+oo

解析：由题意得Ina之In(x-l),

因为xe(1,+oo),所以(》一1)优-1Ina>(x-l)ln(x-l),

即Inai>(x-l)ln(x—1),

令尸«)=/lnf/〉0,则网广1上尸(x—1)恒成立，

F'(t)=\+\nt,

令厂'⑴>0得，/〉二，尸(。=/Inf单调递增，

令尸’(。<0得，0</<J，E(/)=tint单调递减，

且当0<区1时，尸(。40恒成立，当空1时，尸⑺>0恒成立，

因为a>l，x>l，所以小1〉1恒成立，故尸(厂)〉()，

当x-le(O,l］时，F(x-l)<0,此时满足尸(x-1)恒成立，

当即x>2时，由于尸(。=tint在，«厂,+00)上单调递增，

由尸(ai)24(x—l)得a-»x—InlnaNln(；)，

A/、InM

vw=x-l>bg(w)=--->

u

则63=匕学，当〃e(l,e)时，g〈")〉0,g(M)=皿单调递增，

u2u

当〃«e,+oo)时,g'(〃)<0,8(〃)=电吆单调递减,

u

故g(.=她在^=。处取得极大值，也是最大值，g(e)=—=1,

uee

-1、

a的取值范围是ee,+oo

故答案为：ee,+oo.

_7

14.答案：（1）（―8,e+l]

（2）证明见解析

解析：(1)/(x)=-——lnx+x-<2=--i-ln-——a,令，=J(x>0),贝~簧-.

XXXXX

x

e

当0<x<l时，f<0,，二一在（0,1）上单调递减;

x

当x〉l时，f>0,，二《在（1,+00）上单调递增.

X

所以，=J（x>0）在x=l处取得最小值e,故此e.

x

于是/（%）>0等价于t+lnt-a>O^te[e,+oo）上恒成立，即Q«，+In/在，£[e,+8）上恒成立.

又显然y=，+ln/是增函数，故Q«e+1.

所以实数a的取值范围为（-8,e+l].

（2）证明：由（1）可得/（X）有两个零点玉，％等价于V=，+山”。在[e,+oo）上有一个零点才0,

即Q>e+1,

此时，有两个解再，X2,不妨设再<、2，则0<玉<1<、2,

X

,_e*

'o二——，

所以*两式相除，可得产』=七,

e*2x1

fo=­，

x2

故马一$=Inx2-In$,EP—————二1,

Inx2-In$

令n=叵(a>1),故1一J%%=X1-~T~U-X}U[u---2\nu\.

丫国V12Tin/J21n“(u)

因为上_恒大于0,故只需考虑M-工-21nM的正负.

2ln〃u

17/、1clZ八447,/、1I2"2—2"+l("-1)2

记ih(u)—u------21nM(M>1)9nxr/z(w)—1H—-------------------=---—〉。，

uuuuu

故h(u)在(1,+8)上单调递增.

又当1时，h(u)0,所以力(徐)>0,故1-曲论〉0,故再n2<1,

15.答案：(1)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增

(2)a=e-l

解析：(1)v<2=e-1,f(x)=(x-l)ex-Inx-(e-l)(x-1),

fr(x)=ex-x-----e+1.

x

令g(x)=e"•x------e+l(x>0)，

x

g〈x)=xex+ex+《〉0,